Тензорные поля на m-мерном многообразии гиперэллипсоидов в n-мерном аффинном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Евтушик Л. Е. Дифференциальные связности и инфинитези-мальные преобразования продолженной псевдогруппы // Труды геометрического семинара. М. : ВИНИТИ, 1963. Т. 2. С. 119—150.

3. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

4. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. М. : ВИНИТИ, 1966. Т. 1. С.139—189.

5. Лумисте Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения />-кореперов // Труды геометрического семинара. М. : ВИНИТИ, 1974. Т. 5. С. 239—257.

6. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

A. Kuleshov

Center-projective frames as equivalence classes of the second order frames

The Laptev's projective structure is constructed as a quotient bundle of the second order frame bundle over a smooth manifold.

УДК 514.75

В. С. Малаховский, Е. П. Юрова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Тензорные поля на m-мерном многообразии гиперэллипсоидов в л-мерном аффинном пространстве

В n-мерном аффинном пространстве Ап исследуется m-параметрические семейства Vm (n - 1)-мерных невырожденных центральных нелинейчатых гиперквадрик (гиперэллипсоидов) Q. Найдены тензорные поля и определяемые ими инвариантные семейства различных геометрических образов (точек,

© Малаховский В. С., Юрова Е. П., 2015

гиперплоскостей, гиперконусов). Для каждого гиперэллипсоида семейства выделено фокальное многообразие. Для т = п - 1 построен канонический репер, концы базисных векторов которого лежат в фокальных точках гипперэллипсоида, а начало расположено в его центре.

Ключевые слова: гиперэллипсоид, многообразие, тензор, фокальное многообразие, канонический репер.

1. Система уравнений Пфаффа многообразия Ут. Рассмотрим в п-мерном аффинном пространстве Ап т-параметри-ческое многообразие Ут центральных невырожденных нелинейчатых гиперквадрик Q , которые в дальнейшем будем называть гиперэллипсоидами.

Отнесем многообразие Ут к реперу Ж = {Л; в}; еа}

(г.], к = 1, т; а, Ь, с = т + 1, п), где А — центр гиперэллипсоида Q , векторы ei расположены в касательной т-плоскости к т-мерной поверхности (А), а векторы еа сопряжены векторам ei относительно Q и лежат вне этой т-плоскости. В силу выбора репера (см.: [1, с. 23]).

^ = 0, < = ^ = Чг) (и)

Уравнение гиперэлипсоида Q принимает вид

^е/ Ь

^ = + даЬхахЬ-1 = 0, (1.2)

где Ру = Рг , ЧаЬ = ЧЬа и системы \ру } {ЧаЬ } не вырождены и

квадратичная форма р1Кх'хК (1,3,К = 1,п) положительно определенная. Обозначим символом V ковариантное дифференцирование. Например,

Vm] = dm; - т^ - т^ + тъца1. (1.3)

Используя уравнения стационарности точки M(x', xa ) G An [1, c. 15]

Ux' = -xk®k -xav'a , (14)

\dxa = -xkaak -xbaab,

находим

dF = Vpvxx + ^qAxaxb -2(p'jà + qiA®b)xV + p®x'. (1.5) В силу невырожденности га-мерной поверхности (А)

® л®2 л.... лат * 0. (1.6)

Система структурных форм гиперэллипсоида Q g Vm имеет вид

{Vpi}, Vqab, p®a + q®, (1.7)

Учитывая неравенства (1.6) и систему структурных форм гиперэллипсоида Q, запишем систему уравнений Пфаффа многообразия Vm в следующем виде:

VРу = ту, k®k , Vqab = qab®, P'ja'a + qab® = rja,k^ . (1.8) В силу невырожденности систем величин p } {qab} однозначно определенны системы величин j р' }, jqab } формулами

pjkpu = Sj, qbcqca =Sba . (1.9)

Имеем

p'J ( phj ®ha + qab®b ) = p"~rja,k ®k = a'a + p'qabSbk ®k .

Следовательно,

®a = pH^k - qj]k )®k = ГО,® . (1.10)

Система уравнений Пфаффа многообразия Ут запишется в виде

VРj = р^кРГ, Vqcъ = ЪъкР?, 4 = 04, 4 = ^>к, 4 = 0. (1.11)

Замыкание системы (1.11) имеет вид

лри л4 = о, лЧсЬМ л4 = о, Vr\м л4=о, Vs4 = о, (1.12)

где

\ЛрЧЛ = лрщ,к + (р^Ъ + К>к, (1 13)

ЬоЬ,к = ^аЬ,к + (ЧсЬГ'а,1 + ЧаА,1 Кк4 .

2. Тензорные поля на многообразии Ут, порожденные первой дифференциальной окрестностью. Из формул (1.4) следует

5хг =-хкл\, 5ха =-хЬпаъ, (2.1)

где 5 означает дифференцирование по вторичным параметрам, а из обозначений

йе/ ,

< =4 4о, < =4 4о (2.2)

4 =0 4 =0

вытекает, что системы величин {хг} {ха } образуют один раз контравариантные тензоры, т. е. векторы [2]. Уравнения

хг =0, ха =0 (2.3)

определяют инвариантные подпространства размерности п-т и т соответственно.

Из (1.12) следует, что системы величин {тг]- к},{паЬк},

{<к М^ }

являются тензорами соответствующей валентности.

Используя дважды контравариантные симметрические

гг аЬ

тензоры р, д , получаем ко- и контравариантные векторы:

аЬ г гк 1"

Рг = Р Р}к,г, Чг = Ч ЧаЬ.г, Р = Р Р Рк, (24)

г гк аЬ а г а г а ас г \ • '

Ч = Р Ч ЧаЬ,к, Я = Р^Ц, Га = Га,г, Г = Ч Гс,г •

Ковариантные векторы {рг }, {ч, }, {га } задают в «-мерном аффинном пространстве Лп инвариантные гиперплоскости, проходящие через центр А и содержащие касательную плоскость к поверхности (А) (первые две) и (п—т) плоскость (третья)

рХ = 0, Чгх' = 0, гаха = 0. (2.5)

Контравариантные векторы {тг} « } } } задают инвариантные точки

М = Л + ре, N = Л + Че,, Я = Л + гаеа, £ = Л + яаеа. (2.6)

Дважды ковариантный тензор

Ч, = ^ (2.7)

определяет в подпространстве ха = 0, т.е. в касательной т-плоскости к т-мерной поверхности (А), (т—1)-мерный конус с вершиной в точке А:

г1

Аффинор

^Хх1 = 0. (2.8)

*

г 1 = pkhsakhrJiг (2.9)

определяет контравариантные векторы

р г = тк г к , ч г = пк г к , (2.10)

задающие в этой касательной т-плоскости инвариантные точки

* *

М* = Л + р к ек, N * = Л + Чкек. (2.11)

3. Фокальное многообразие гиперэллипсоида Q еУт .

Определение 3.1. Фокальной точкой гиперэллипсоида

Q еУт называется точка касания (с точностью до бесконечно малых второго порядка) двух смежных гиперэллипсоидов многообразия Ут.

Фокальным многообразием гиперллипсоида Q называется множество всех его фокальных точек.

Учитывая уравнения (1.8) в формуле (1.5) находим

dF = Екюк, (3.1)

где

Fk + Ч^ —2(р^к + Ч^ъ]к)хаХ + 5{р^Х. (3.2)

Из определения (3.1) следует, что фокальное многообразие гиперэллипсоида Q е Ут определяется системой алгебраических уравнений

F = 0, ^=0, F2=0,..., Fm =0. (3.3)

Эта система содержит т + 1 уравнений второй степени и определяет, следовательно (п —т — 1)-мерное фокальное многообразие гиперэллипсоида Q порядка 2т+\

4. Многообразие Ки-1. Канонический репер. Рассмотрим случай т = п — 1. Тогда индексы а,Ъ,с принимают только одно значение а = Ъ = с = п, и эти индексы можно исключить в компонентах геометрических объектах. Обозначим

def

Чпп = Ч, Чпп,к = Чк, Гп,к =Гк, % = %. (4.1)

Система уравнений Пфаффа многообразия Уп-1 запишется в виде (1.11):

Чрц = Р«фк, ^ — ЧК = ЧкК, Кп = ГкК, К = %К. (4.2)

Имеем (1.2), (3.2)

^ = Р::ХгХ:' + Ч(Хп )2 —1 = 0,

I и

^ =РукХх] + Чк Х )2 — 2(] + Ч?]к)ХпХ +3кРуХ.

Система алгебраических уравнений (4.3) принимает сле-дующи вид:

Г Р]хгх] + Ч(хп )2 —1 = 0,

{Р],кХХ + Чк (хп )2 — 2(р г]Гк + Ч^1к )хпХ +8]р]Х =0. (4.4)

Эта система определяет 2т фокальных точек.

Канонический репер многообразия Уп-1 образован так, что концы базисных векторов ек совмещаются с любыми п фокальными точками (при п < 2т такой выбор всегда можно осуществить). Из выражения (4.4) следует

Ч = I Р11 = Р22 = ... = Рп—1 п—1 = 1, Р] к — 3'кРгг = 0. (4.5)

Подробное исследование многообразий Уп-1 дано в работах [3-5].

Список литературы

1. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1980.

2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—283.

3. Сопина Е.П. Конгруэнции центральных невырожденных гиперквадрик в п-мерном аффинном пространстве // Дифф. геом. мно-гообр. фигур. Калининград, 1976. Вып. 7. С. 105—110.

4. Сопина Е. П. О полях геометрических объектов на многообразии Уп-1 // Там же. 1981. Вып. 12. С. 93—95.

5. Сопина Е. П. Об инвариантных образах, ассоциированных с конгруэнцией центральных невырожденных гиперквадрик // Там же. 1986. Вып. 17. С. 83—86.

V. Malakhovsky, E. Yurova

Tensor fields on m-dimensional manifold of hyperellipsoids in n-dimensional affine space

In n-dimensional affine space An m-parametric families Vm (n-l)-di-mensional nondegenerates central nonruled hyperquadrics (hyperellipsoids) Q are investigated. Tensor fields and invariant families of different geometric images (points, hyperplanes, hypercones) are found. Focal manifold for each hyperellipsoid is defined. For the case m=n-1 canonical frame with ends of base vectors in focal points and original in the center is constructed.

УДК 514.76

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков

Продолжается исследование расслоений реперов 1-го и 2-го порядков и касательных расслоений 1-го и 2-го порядков к расслоению линейных реперов на многообразии, проводимое в работах [2—4] и опирающееся на структурные уравнения и деривационные формулы. Способом Лаптева — Луми-сте заданы аффинные связности 1-го и 2-го порядков. Получены разложения компонент аффинной связности 1-го и 2-го порядков с помощью слоевых координат того же порядка, что и связность, и некоторых функций, зависящих от базисных и слоевых координат низшего порядка, чем порядок связности. Рассмотрены некоторые специальные связности, названные простейшими и естественными; указаны их свойства.

Ключевые слова: касательные расслоения 1-го и 2-го порядков, базисные и слоевые координаты, структурные уравнения, аффинные связности 1-го и 2-го порядков, ковариантные производные.

© Полякова К. В., 2015 114