CC BY
16
Список литературы
1. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. N. Y., 1973.
2. Заятуев Б. В. Об одном примере почти эрмитовой структуры на касательном расслоении // Матем. заметки. 2004.
B. Zayatuyev
On the Kahler structure on a four dimensional tangent bundle
Article is devoted to construction of Kahlerian structure on the four dimensional tangent bundle.
УДК 514.75
В. П. Козяйкин
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Особенности двух аналитических аппаратов в проективном пространстве на примере многообразия плоскостей
В проективном пространстве Pn рассмотрено r-мерное многообразие Br m-мерных плоскостей Lm в двух аналитических аппаратах. В обоих случаях построено ассоциированное расслоение — главное расслоение, базой которого является само многообразие, а типовым слоем — подгруппа стационарности плоскости. В однородном аппарате это расслоение имеет два фактор-расслоения: фактор-расслоение плоскостных линейных реперов и фактор-расслоение нормальных линейных реперов, а в неоднородном аппарате ассоциированное расслоение содержит единственное главное фактор-расслоение проективных реперов. Это вызвало особенности полученных результатов в разных аналитических аппаратах.
Ключевые слова: проективное пространство, фактор-расслоение, ассоциированное расслоение, многообразие плоскостей.
© Козяйкин В. П., 2014 50
1. Однородный аналитический аппарат
Отнесем «-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {Ar} (I', J', K' = 0, ..., «), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dAr = eJ'Aj, (1)
причем формы Пфаффа 6jJ удовлетворяют структурным уравнениям (см.: [1])
D6jr = 6jka 6КГ (2)
и условию проективности
6/ = 0. (3)
Формулы (1—3) образуют первый аналитический аппарат (см.: [5]) проективного пространства Pn.
В проективном пространстве Pn рассмотрим r-мерное многообразие Br (1 < r < (m + 1)(n - m)) m-мерных плоскостей Lm (1 < m < n). Произведем специализацию подвижного репера
{Aa, Aa}, (A, B, C = 0, ..., m; a, p, у = m + 1, ..., n),
помещая вершины Аа на плоскость Lm. Деривационные формулы (1) подвижного репера принимают следующий вид:
dAA = 6abAb + 6AaAa, dAa = eaAAA + ва%.
При размещении вершин Аа на плоскости Lm она натянута на эти точки Lm = [AA], поэтому
Lm = const 6Aa = 0.
Получили уравнения стационарности плоскости Lm. Значит, 6Аа — главные формы.
Систему уравнений многообразия Br запишем в виде
6Аа = A^ff (i, j = n + 1, ..., n + r). (4)
Это параметрический способ задания семейства плоскостей, причем формы Пфаффа в, заданные в некоторой области r-мерного пространства параметров Sr, удовлетворяют структурным уравнениям
Dff = в л в/. (5)
Систему функций ЛА1а назовем однородным фундаментальным объектом первого порядка многообразия Br относительно прямого произведения двух групп — подгруппы стационарности плоскости Lm и линейной группы с инвариантными формами
ni _ ni\ i в = в]\в =0
Утверждение 1. При параметрическом задании семейства Br плоскостей Lm однородный фундаментальный объект первого порядка ЛА1а является тензором
ААЛ1а = 0 (mod 0).
Здесь тензорный оператор А действует следующим образом:
ЛЛА1а = dAAla - Лл]ав{ + ЛА?вра - ЛВ1авлВ.
Обозначим через s число независимых инвариантных форм вВ , вра, ва специальной линейной группы SGL(n + 1), являющихся вторичными в рассматриваемом репере нулевого порядка, тогда с учетом условия проективности
2 2 s = n - nm + +m + n + m.
Найдем внешние дифференциалы этих форм:
DввA = ввс л всА + в л ввЛ, ввЛ = ЛвГваА, (6)
Dвpa = в/ л в; + в л вРа, вРа=- ЛА1аврА, (7)
DвaA = ваВ л ввА + ваР л врА. (8)
Выражения (5—8) — структурные уравнения главного расслоения НДвг) над базой вг, типовым слоем которого служит подгруппа стационарности Hs плоскости Lm.
Теорема 1. В однородном аппарате ассоциированное расслоение Hs(Br) имеет 2 фактор-расслоения:
1) (5,61) — фактор-расслоение плоскостных линейных реперов L(m+1)2(Br) с той же базой, типовым слоем которого является линейная фактор-группа L(m+12 = GL(m + 1) в группе Hs, неэффективно действующая на плоскости Lm;
2) (5,71) — фактор-расслоение нормальных линейных реперов L(n-m)2(Br) с той же базой, типовым слоем которого является линейная фактор-группа L(n-m)2 = GL(n - m) в группе Hs, неэффективно действующая в проективном фактор-пространстве pn-m-i = Py/Lm.
Связность в главном расслоении Hs(Br) задается с помощью поля объекта однородной связности L = (LBiA, Lpia, LaA) на базе Br:
ALBA + 6ba = LBA0, ALPla + 6Pla = Ljd, (9)
ALj - LBiA6aB + L J6PA = LmA0. (10)
Компоненты объекта однородной фундаментально-групповой связности L = (LBiA, Lpf, LaiA) определяют формы связности
д A _ д A J Aff П a _ П a т aa д A _ д A т Asp
6b = 6b - LBi 6, 6p = 6p - Lpi 6, 6a = 6a - Lai 6,
задающие связность в главном расслоении Hs(Br), которое превращается в ассоциированное пространство фундаментально-групповой связности Hsr со структурными уравнениями (5) и следующими:
d6ba = 6bc л 6cA + r&fff л 6, D6pa = 6/ л 6ya + Rjff л 6, (11)
ВвА = вав л ввА + в/ л врА + ЯаА&л в, (12)
в которые входят компоненты объекта кривизны Я = [ЯвгА, Ярг]а, ЯагА}. Доказано, что объект кривизны Я однородной фундаментально-групповой связности Ь является тензором
А ЯВА = 0, А Яр,Г = 0, А ЯаА - ЯвАвав + Яа]%А = 0. (13)
2. Неоднородный аналитический аппарат
Опуская условие проективности (3), в качестве инвариантных форм проективной группы ОР(п) будем рассматривать формы
Юк1 = вк1 - $к%0, О = во1, Ю1 = в10 (1, 3, К = ~п), которые удовлетворяют структурным уравнениям [2; 3]:
ВюК = Юк л ( + (ёкЮ3 + л О, (14)
ВоО = юк л тк1, Бю1 = ю1к л юк. (15)
Деривационные формулы (1) подвижного репера {А, А1} примут следующий вид:
ёА = в А + ю1А1, йАг = ОА1 + + (А (А = Ла в = во0). (16)
Утверждение 2. Неоднородный аналитический аппарат проективного пространства Рп состоит из деривационных формул (16) и структурных уравнений (14), (15) проективной группы ОР(п), эффективно действующей в пространстве Рп.
Рассмотрим многообразие Вг в неоднородном аналитическом аппарате. Произведем специализацию подвижного репера {А, Аа, Аа} (а, Ь, с = 1, ..., т), помещая вершины А, Аа на плоскость Ьт. Деривационные формулы (16) для вершин А, Аа примут вид
ёА = вА + юаАа + юаАа, ёАа = вАа + юаьАь + юааАа + юаА,
откуда вытекает эквивалентность
Lm = const юа = 0, юаа = 0.
Это уравнения стационарности плоскости Lm. Значит, ша, юаа — главные формы. Система дифференциальных уравнений многообразия вг в параметрической форме имеет вид
: ЛаГв'. (17)
r
а _ л ari а _ л ari
Продолжая систему уравнений (17), получим
ма- Аа1аюа = Аг;0, ААа1а-А«01а = Аа/0, (18)
причем А[у]а = 0, Аа[у]а = 0. Систему функций А = (А?, Аага) назовем неоднородным фундаментальным объектом первого порядка многообразия Вг.
Утверждение 3. Неоднородный фундаментальный объект первого порядка А = {Лга, Аага} многообразия Вг, заданного параметрически, является тензором, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (18), причем с точностью до обозначений А = {ЛАга}.
Число инвариантных форм юа, юъа, юа, Юра, юа, юаа проективной группы ОР(п), являющихся вторичными в рассматриваемом репере нулевого порядка, также равно 8. Найдем внешние дифференциалы этих форм:
Бюа = юъ л оъа + & л ю", (19)
Бюъ" = Оъ л юса + (Зъаос + 3са0ъ) л оос + 0 л юы", (20)
Бюа = О а лооъ + 0 л 00 аг, (21)
Бор1 = Юр л оуа + ¿ра0а лоа + 0 л Юрга, (22)
Вюа = Оаа лОа + О ав л Юр, (23)
Боаа = Ша л <Оъа + Юав л юва + ю а л юа, (24)
где новые формы юга, юъга, юаг, Юрга имеют определенные выражения [4].
Теорема 2. С многообразием Вг ассоциируется [4; 7] главное расслоение О/Вг) со структурными уравнениями (5, 19— 24). Базой главного расслоения Оц(Вг) служит многообразие Вг, а типовым слоем — s-членная подгруппа стационарности Он е ОР(п) плоскости Ьт. Ассоциированное расслоение О/Вг) имеет [6] единственное главное фактор-расслоение проективных реперов От(т+2)(Вг) (5, 19—21) с той же базой, типовым слоем которого является проективная фактор-группа Ст(т+2) = ОР(т) группы Оц, действующая на плоскости Ьт.
Связность в главном расслоении Gs(Br) задается [4; 7] способом Лаптева-Лумисте с помощью поля объекта неоднородной связности Г = (га, гыа, Гаг, Г$, Гаг, Га") на базе Бг:
АГга - ГЫаЮЬ + Юга = Гуав, (25)
АГЪга + Ьъ(ГагОс - Ггсюс) + Гыюа - ГО + юыа = ], (26)
АГаг + ГаЪОъ + Оаг = Гш]в, (27)
АГрга + 8ра(Г(а - Г( + Юр? = Гр^в, (28)
АГаг + ГаГЮа + Г авЮр - Г( = Г ш]в, (29)
АГага - ГъгаЮаЪ + ГсавЮра - ГО + Г( = Г^в. (30)
Компоненты объекта неоднородной фундаментально-групповой связности Г = {Гг", Гъга, Гаг, Грга, Гаг, Га"}, определяющие формы связности
а>а = ©а - Г1а01, а Ьа = Юьа - Гыа01, а а = ©а - ГД
а ра = Юра - ГР1а01, а а = ©а - Га101, а = ©аа - Г^В1,
позволяют задать связность в главном расслоении Gs(Br), которое превращается в ассоциированное пространство фундаментально-групповой связности 08,г со структурными уравнениями [7]:
В а а = а ъ л а ъа + Я^в л 9, В а ъа = а ъс л а са + ($ъа а с + $са а ъ) л а с + Яъг^&лв, В а а = а аъ л а ъ + Я] л в,
В а ва = а ру л а а + Зра а а л а а + Я^в л в, В а а = а а л а р + а * л а а + ЯаЬ-0 л в, В а аа = а аъ л а ъа + а £ л а ва + аа л а а + Я^в л в,
в которые входят компоненты объекта кривизны Я = {Ща, Яы", Яа], Я], Яф Яш]"}. Доказано, что объект кривизны Я неоднородной фундаментально-групповой связности Г является тензором (ср.: [7]):
ARj - Rbvaab = 0, (31)
ARbj + Sba(RclJof - Rvcrnc) + Rja - Rvamb = 0, (32)
ARa] + Rajoib = 0, (33)
ARj + Spa(Rajof - Rvaoa = 0, (34)
ARay + Raj^a + Rafvp - Ray^j = 0, (35)
ARj - Rjma b + Raifrnp" - Rvawa + Rjf ^ 0. (36)
Из дифференциальных уравнений (25—30) следует, что объект неоднородной связности Г содержит лишь один по-добъект проективной связности Г0 = {г", rbla, rai} с дифференциальными уравнениями компонент (25—27), который задает связность в расслоении проективных реперов Gm(m+2)(Br). Дифференциальные сравнения (31—36) показывают, что тензор неоднородной кривизны R содержит единственный под-тензор R0 = {Ri]a, Rbija, Raij}, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (31—33).
Выводы
В проективном пространстве Pn первый аналитический аппарат с условием проективности компактен, больше подходит для исследования семейств, образующая фигура которых не содержит изолированных точек и гиперплоскостей. Второй аппарат, отражающий проективную двойственность, более удобен для исследования семейств фигур, включающих точку или гиперплоскость. Он естественнее при обобщении геометрии аффинного пространства, позволяет легко выделять подгруппы проективной группы. В обоих аппаратах совпадают размерности, равные n(n + 2), двух групп: специальной линейной группы SGL(n + 1) и проективной группы GP(n). Размерность подгруппы стационарности Hs е SGL(n + 1) и Gs е GP(n) плоскости Lm е Pn не зависит от аппарата.
В однородном аппарате расслоение Hs(Br), ассоциированное с r-параметрическим семейством Br плоскостей Lm, имеет два фактор-расслоения линейных реперов L(m+1)2(Br) и L(n-m)2(Br),
а в неоднородном аппарате ассоциированное расслоение Gs(Br) имеет единственное фактор-расслоение проективных реперов Gm(m+2)(Br). Объект однородной связности L = {Lbia, Lpt , LaiA} содержит два подобъекта Lbia, Lpt; а тензор однородной кривизны R = {Rbia, Rj, Raj4} — два подтензора Rb/, Rj. В неоднородном аппарате объект связности Г содержит лишь один подобъект проективной связности Г0, а тензор кривизны R — единственный подтензор R0.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
2. Столяров А. В. Системы уравнений Пфаффа в инволюции. Классические пространства. Чебоксары, 1998.
3. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
4. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1978. Вып. 9. С. 124—133.
5. Шевченко Ю. И. Специальный линейный и проективный аналитические аппараты проективного пространства // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5. С. 303.
6. Жовтенко О. М. Индуцированные групповые связности семейства плоскостей в проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 43—47.
7. Жовтенко О. М. Объект кривизны связности, ассоциированной с семейством плоскостей // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 2002. С. 81—86.
V. Kozyajkin
Features of two analytical apparatuses in projective space with the example of the manifold of the planes
In projective space Pn r-dimensional manifold Br of m-dimensional planes of Lm is considered in two analytical apparatuses. In both cases we built the associated fiber bundle — bundle which base is the manifold,
and the typical fiber is stationarity subgroup of the plane. In a homogeneous apparatus this bundle has two factor bundle: the factor bundle of planar linear frames and quotient bundle normal linear frames; and in the nonhomogeneous apparatus associated fiber bundle contains the only principal factor bundle of projective frames. This caused the features of the obtained results in the different analytical apparatuses.
УДК 514.75
М. В. Кретов
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Дифференцируемое отображение, порожденное комплексами конусов
В трехмерном эквиаффинном пространстве рассматривается дифференцируемое отображение, порожденное комплексами конусов со специальными свойствами ассоциированных образов. Геометрически охарактеризованы индикатриса и главное направление исследуемого отображения, характеристическое и фокальное многообразия образующего элемента комплекса.
Ключевые слова: комплекс, эквиаффинное пространство, отображение, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, индикатриса вектора, главное направление, индикатриса отображения, конгруэнция, система уравнений Пфаффа.
В трехмерном эквиаффинном пространстве рассмотрим дифференцируемое отображение
{: С ^ я е То,
где С — вершина конуса, я — конус (образующий элемент комплекса То, являющегося подклассом комплекса Т31, рас-
© Кретов М. В., 2014
