Полулагранжевый метод для решения уравнения адвекции на адаптивной сетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

8. Ispol'zovanie gibridnyh vychislitel'nyh sistem dlja reshenija uravnenija perenosa modificirovannym metodom traektorij / A. V. Vjatkin, A. A. Efremov, E. D. Karepova, V. V. Shajdurov // Pjataja Mezhduna-rodnaja konferencija "Sistemnyj analiz i informacionnye

tehnologii" : Trudy konferencii. V 2 t. Krasnojarsk : IVM SO RAN. 2013. T. 1. S. 45-55.

© Вяткин А. В., Кучунова Е. В., 2016

УДК 519.63

ПОЛУЛАГРАНЖЕВЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ

НА АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ1

А. В. Вяткин, А. А. Ефремов, Е. Д. Карепова*, В. В. Шайдуров

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

В математическом моделировании сложных физических процессов и задач, в том числе в космической отрасли, широко применяется полулагранжевый подход. Представлен численный метод решения краевой задачи для уравнения адвекции, использующий апостериорную адаптацию сетки в областях с большим градиентом решения.

Ключевые слова: уравнение адвекции, полулагранжевый метод, адаптация сетки.

SEMI-LAGRANGIAN METHOD ON ADAPTIVE GRID FOR ADVECTION EQUATION А. V. Vyatkin, А. А. Efremov, E. D. Karepova*, V. V. Shaidurov

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

The semi-Lagrangian approach is widely used for numerical modeling in complex natural phenomena; it includes a space sciences and technologies. In the paper, the semi-Lagrangian method is considered for the numerical solution of the advection problem. A numerical solution is constructed as a piecewise constant function on a rectangular grid. To reduce the effect of smoothing an approximate solution due to numerical viscosity, a mesh refinement is applied in the vicinity of large gradients of the approximate solution. The localization of the smoothing effect is illustrated by a numerical example.

Keywords: advection equation, semi-Lagrangian method, adaptive grid.

Полулагранжевый подход применяется для по- Зр —

строения численных методов решения начально- + ^'(Up) = 0 (t, У) е[0, T] xD,

краевых задач для гиперболических уравнений. Одним из несомненных достоинств полулагранжевых где D = [0,1] x [0,1] - единичный квадрат с границей Г ; методов является отсутствие ограничений на шаг по u(t, x, y) = (u(t, x, y),v(t, x, y)) - заданный вектор ско-

времени, связанных с условием фридрехса- рости. Пусть Г := rin и Гout и Гrigid. На входящей гра-Куранта-Леви. Однако проблема построения монотонных численных методов решения гиперболиче- нице Гь ={(0,y):0< y < 1} мы полагаем, что ских уравнений, для которых выполняется дискретный аналог балансового соотношения, и в этом слу- p(t,x,y) = pin(t,y) ^(t,x,y) e [0,T] хГт, чае остается нерешенной. В работе описывается полулагранжевый подход, используемый совместно с методом конечных объемов и апостериорной адаптацией сетки.

Рассмотрим относительно неизвестной функции где n = (nx (x, y), ny (x, y)) - это внешняя нормаль к Г .

На границе Tout = {(1, y): 0 < y < 1} полагаем, что по-

ток выходит из области без отражений и поглощений:

а для вектора скорости выполняется следующее условие:

и • п < 0 х, у) е [0, Т] xГin,

p(t, x, y) двумерное уравнение адвекции

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ _ г_ _

(проект^. 14-01-00296). Р ф р и •п > 0 ^х,У) е [0,Т]хГ

out •

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

На твердой стенке Гrigid = {(х, y) : х е [0,1], y = 0,1} для скорости выполняется условие прилипания: U = (0,0) V(t,х,y) е [0,T]ХГrigid .

Пусть также задано начальное условие р(0, х y) = pinit(х, y) V(х, y) e D.

Для построения численного метода используется балансовое соотношение, описывающее баланс массы в вычислительной области [1; 2]. Дискретный аналог строится на равномерной сетке с помощью метода конечных объемов и полулагранжевого подхода, аналогично описанному в [2; 3] методу. В областях с большим градиентом решения предлагается на каждом шаге по времени использовать апостериорную адаптацию сетки.

Пусть каждому узлу сетки zt j = (х;, yj j соответствует окрестность

«Ъ := [х - h:1,j / 2, xi + h;1,j / 2] х

х [yj - h;1,j / 2, yj+h;1,j / 2] n d„,

а также целое значение ; j < ;"" - уровень адаптации сетки, который использовался, чтобы получить zi j . Здесь h;h j и h;'' j - шаги сетки на уровне ; j

в направлениях х и y соответственно, ;max - максимально возможный уровень адаптации. Адаптивная сетка строится, начиная с равномерной прямоугольной сетки. Для всех узлов начальной сетки уровень адаптации равен нулю. Опишем схематично алгоритм адаптации для внутренних точек сетки (см. рисунок).

Сначала для каждой пары соседних в направлении х узлов сетки одного уровня адаптации проверяем,

Ph,',j -Ph,'+1,j >в, где Ph,',j

превышает ли модуль изменения численного решения в этом направлении заданный предел е. Например, пара ячеек ю^ - и ю;+1 - должна быть адаптирована,

если уровни адаптации ее центров меньше Хтах и

численное решение на

текущем слое по времени к в узле zi - . При адаптации

каждая ячейка делится на 9 равных частей (на три части в каждом направлении). Для каждой новой подъячейки, за исключением центральной, определяется узел сетки как её геометрический центр. Затем вычисляются значения приближенного решения в новых восьми узлах с помощью полулагранжевого метода. Для выполнения закона сохранения на предыдущем временном слое проводится коррекция областей интегрирования. Рекурсивно повторяем описанный алгоритм для каждого нового узла. Повторяем описанный алгоритм в направлении у.

После этого проверяется необходимость укрупнения ячеек сетки с одинаковым уровнем адаптации.

8

Для группы 3x3 смежных ячеек - = ^ юга- с оди-

а=0

наковым уровнем адаптации и с общим центром

~к

в узле - вычисляется значение ры - - суть численное решение на области юi - без адаптации. Если

к ,а

Ph,', j

"Ph,',

< в для всех а = 0,...,8, то группа ячеек

объединяется, вместо девяти узлов остается один (центральный) узел -, значение рА I - считается

решением в этом узле.

Численные эксперименты подтверждают эффективность описанного подхода для решений с большими градиентами.

УГ

"1+1,7

у г

-f

-f

Декомпозиция ячеек: а - перед декомпозицией; б - после декомпозиции Библиографические ссылки

1. Anderson J. D. Computational Fluid Dynamics. The Basics with Applications. McGraw-Hill, New York, 1995.

2. A Computational Realization of a Semi-Lagrangian Method for Solving the Advection Equation / A. Efremov [et al.] // Journal of Applied Mathematics, 2014. Vol. 2014. 610398. 12 p.

3. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral Semi-Lagrangian Approach for Two-Dimensional Continuity Equation // Zbornik radova konferencije MIT 2013, 2014. C. 739-745.

References

1. Anderson J. D. Computational Fluid Dynamics. The Basics with Applications. McGraw-Hill, New York, 1995.

Тешетневс^ие чтения. 2016

2. A Computational Realization of a Semi-Lagrangian Method_ for Solving the Advection Equation / A. Efremov [et al.] // Journal of Applied Mathematics, 2014. Vol. 2014. 610398. 12 p.

3. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral Semi-Lagrangian Approach for Two-Dimensional Continuity

Equation // Zbornik radova konferencije MIT 2013. 2014. C. 739-745.

© Вяткин А. В., Ефремов А. А., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В., 2016

УДК 519.63

СЕМЕЙСТВО БИКУБИЧЕСКИХ ЭРМИТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРЯМОУГОЛБНЫ1Х

И ТРЕУГОЛБНЫ1Х ЯЧЕЙКАХ1

Л. В. Гилева*, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: gileva@icm.krasn.ru

Предложен новый бикубический эрмитов элемент на прямоугольнике и дополняющие его треугольные эрмитовы элементы, в том числе на треугольнике с криволинейной стороной. Совместное использование прямоугольных и треугольных элементов позволяет применять их для решения задач в многоугольных облостях и областях с криволинейными участками границы.

Ключевые слова: бикубические эрмитовы элементы, прямоугольные эрмитовы элементы, треугольные эрмитовы элементы, конечные элементы с криволинейной стороной.

A FAMILY OF BICUBIC HERMITE FINITE ELEMENT ON RECTANGLES

AND TRIANGLES

L. V. Gileva*, E. D. Karepova, V. V. Shaidurov

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: gileva@icm.krasn.ru

In the paper, a new bicubic Hermite element on a rectangle and related Hermite elements on a straight-sided triangle and on a triangle with a curved side are proposed. The combination of these elements enables one to apply them for problems in a polygonal domain and in a domain with curved parts of the boundary.

Keywords: bicubic Hermite elements, rectangular Hermite elements, triangular Hermite elements, finite elements with a curved side.

Преимущество эрмитовых конечных элементов по сравнению с лагранжевыми элементами той же степени состоит в том, что они позволяют получить систему линейных алгебраических уравнений значительно меньшей размерности при одинаковом порядке сходимости приближенного решения. Так, для обычных бикубических прямоугольных эрмитовых элементов [1] число неизвестных и уравнений составляет ~ 3Ы, где N - число узлов сетки, тогда как для полных и неполных (серендиповых) бикубических лагранжевых элементов [2; 3] число неизвестных возрастает до ~ 9N и ~ 5N соответственно [4].

В работе предложен новый бикубический элемент на прямоугольнике (см. рисунок, а). Множество степеней свободы этого элемента содержит зна-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296).

чения функции и двух ее вторых производных в узлах элемента. Использование такого элемента позволяет в некоторых случаях сократить число неизвестных, по сравнению с обычным бикубическим эрмитовым элементом. Например, для уравнения Пуассона размерность системы уравнений уменьшается до ~ 3N.

Непосредственное применение прямоугольных эрмитовых элементов ограничено случаем простых областей, составленных из прямоугольников. Однако, используя подход, изложенный в [5; 6], прямоугольные эрмитовы элементы можно применять при решении задач на многоугольных областях и областях с криволинейными участками границы. Для этого вблизи границы используются треугольные эрмитовы элементы подходящего вида. Для бикубического эрмитова элемента, множество степеней свободы которого содержит вторые производные, предложен бикубиче-