Применение полулагранжевого метода для численного решения трехмерного уравнения неразрывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

Библиографические ссылки

1. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B. 2011. V. 2. No. 2-3. P. 215-230.

3. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах / М. П. Варыгина [и др.] // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 2 (23). С. 104-108.

4. Саркисян С. О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. 2011. Том. 57, № 4. С. 461-469.

References

1. Palmov V. A. General equations of nonsymmetric elasticity theory // Applied mathematics and mechanics. 1964. Vol. 28. No. 3. P. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B. 2011. Vol. 2. No. 2-3. P. 215-230.

3. Varygina M. P., Kireev I. V., Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Software for the analysis of wave motions in moment media on multiprocessor computer systems // Vestnik SibGAU. 2009. Vol. 2 (23). P. 104-108.

4. Sargsyan S. O. General theory of micropolar elastic thin plates with independent rotation and particular properties of theirs free oscillations // Acoustic journal. 2011. Vol. 57. No. 4. P. 461-469.

© Bapbiram M. n., CMO^XO H. B., 2016

УДК 519.642.2

ПРИМЕНЕНИЕ ИОЛУЛАГРАНЖЕВОГО МЕТОДА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ

А. В. Вяткин1, Е. В. Кучунова2*

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44

2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: HKuchunova@sfu-kras.ru

Представлен численный алгоритм решения трехмерного уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности входит в систему уравнений Навъе-Стокса, описывающую движение вязкой несжимаемой жидкости и применяемую в расчетах обтекания тел. Представляемый метод основан на точном тождестве двух пространственных интегралов, области интегрирования которых лежат на соседних слоях по времени. Представленный алгоритм имеет первый порядок сходимости, что подтверждают резулътаты численных экспериментов.

Ключевые слова: уравнение неразрывности, полулагранжевые методы, численное моделирование, инте-гралъное преобразование.

A SEMI-LAGRANGIAN METHOD FOR THE NUMERIAL SOLUTION OF THE THREE-DIMENSIONAL ADVECTION PROBLEM

A. V. Vyatkin1, E. V. Kuchunova2*

institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation 2Siberian Federal University 79, Svobodnyi Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: HKuchunova@sfu-kras.ru

We present an algorithm of the family of semi-Lagrangian method for the numerical solution of three-dimensional advection problem. The algorithm is based on the integral balance equation for the cubic neighborhood of a grid node. The algorithm is offirst-order accuracy. Numerical experiments confirm the suitability of the proposed scheme.

Keywords: advection equation, Semi-Lagrangian method, integral transformation, local conservation.

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

Одним из важнейших направлений вычислительной аэродинамики является расчет обтекания тел. Математической моделью вязкого теплопроводного газа является система уравнений Навье-Стокса, состоящая из уравнений движения и уравнения неразрывности.

В настоящей работе рассматривается численное решение трехмерного уравнения неразрывности, описывающего закон сохранения массы:

др dt

ам^аы + ам = f ^, х, y, z

дх

ду

dz

R3, t е[0,Г].

Здесь и(г, х, у, ¿), v(t, х, у, £), w(t, х, у, £) и Дг, х, у, £) - достаточно гладкие функции, известные в области [0, Т] х Неизвестной является функция плотности р(г, х, у, ¿), которую необходимо определить в [0, Т] х

В настоящее время существует большое число методов численного решения уравнения неразрывности. Первыми методами, имеющими строгое теоретическое обоснование аппроксимации и устойчивости, были конечно-разностные схемы [1; 2]. До сих пор они используются для поиска численного решения широкого класса дифференциальных и интегральных уравнений. Однако их применение накладывает жесткие ограничения на шаг по времени для обеспечения устойчивости [3].

С 1960-х годов начал активно развиваться другой подход [4; 5], вытекающий из метода характеристик. Суть его состоит в том, что вдоль характеристики уравнение неразрывности можно переписать в виде обыкновенного дифференциального уравнения. Это позволяет для ряда задач использовать большие шаги по времени и сократить время расчетов. В настоящее время рассмотренный подход называется полулагран-жевым методом. Современные версии метода [6-8] основаны на балансовом интегральном соотношении при переходе с одного временного слоя на следующий слой:

Jp(A ,х )dQ =

= \р(гк_!, х)dQ + \ | /(г, х^г +1 (),

Й гк _1 У (г)

где й - некоторая область на к-м слое по времени; й - криволинейный куб на (к-1)-м слое по времени, грани которого определяются характеристическими траекториями. Если область й расположена достаточно близко к границе обтекания, то некоторые траектории достигают границы дО. В этом случае возникает интеграл по области Як с дО .

Аппроксимация численного решения на каждом слое по времени раскладывается на три составляющих: аппроксимация интеграла на верхнем слое по времени, на котором решение еще не известно; построение характеристик (траекторий) с верхнего временного слоя на нижний слой; приближенное вычисление интеграла на нижнем слое по времени.

Для некоторых из этих алгоритмов получены результаты, позволяющие учитывать краевые условия Дирихле, обосновывать сходимость метода и выполнение дискретного аналога балансового соотношения [8].

Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают первый порядок сходимости численного решения к точному. Исследованный метод может быть применен для численного решения системы уравнений Навье-Стокса, описывающей обтекание объекта воздушным потоком.

Библиографические ссылки

1. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М. : Гостехиздат, 1956.

2. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения уравнений в частных производных. М. : Наука, 1963.

3. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). М. : Наука, 1977.

4. Магомедов К. М. Метод характеристик для численного решения пространственных течений газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6, № 2. С. 313-325.

5. Wiin-Nielson. On the application of trajectory methods in numerical forecasting // Tellus. 1959. Vol. 11 P. 180-186.

6. Iske A. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numer. Meth. Part. Diff. Eq. 2004. Vol. 20. P. 388-411.

7. Xin Wen, Vyatkin A. V., Shaidurov V. V. Semi-Lagrangian Scheme for soling hyperbolic equation of first order // Молодой учёный. 2013. № 9(56). С. 6-13.

8. Использование гибридных вычислительных систем для решения уравнения переноса модифицированным методом траекторий / А. В. Вяткин [и др.] // Системный анализ и информационные технологии : тр. V Междунар. конф. В 2 т. Т. 1. Красноярск : ИВМ СО РАН, 2013. С.45-55.

Referances

1. Rjaben'kij V. S., Filippov A. F. Ob ustojchivosti raznostnyh uravnenij. M. : Gostehizdat, 1956.

2. Vazov V., Forsajt Dzh. Raznostnye metody reshenija uravnenij v chastnyh proizvodnyh. M. : Nauka, 1963.

3. Godunov S. K., Rjaben'kij V. S. Raznostnye shemy (vvedenie v teoriju). M. : Nauka, 1977.

4. Magomedov K. M. Metod harakteristik dlja chislennogo reshenija prostranstvennyh techenij gaza // Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1966. T. 6, № 2. S. 313-325.

5. Wiin-Nielson On the application of trajectory methods in numerical forecasting // Tellus. 1959. Vol. 11 P. 180-186.

6. Iske A. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numer. Meth. Part. Diff. Eq. 2004. Vol. 20. P.388-411.

7. Xin Wen, Vyatkin A. V., Shaidurov V. V. Semi-Lagrangian Scheme for soling hyperbolic equation of first order // Molodoy ucheniy. 2013. № 9(56). С. 6-13.

Тешетневс^ие чтения. 2016

8. Ispol'zovanie gibridnyh vychislitel'nyh sistem dlja reshenija uravnenija perenosa modificirovannym metodom traektorij / A. V. Vjatkin, A. A. Efremov, E. D. Karepova, V. V. Shajdurov // Pjataja Mezhduna-rodnaja konferencija "Sistemnyj analiz i informacionnye

tehnologii" : Trudy konferencii. V 2 t. Krasnojarsk : IVM SO RAN. 2013. T. 1. S. 45-55.

© Вяткин А. В., Кучунова Е. В., 2016

УДК 519.63

ПОЛУЛАГРАНЖЕВЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ

НА АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ1

А. В. Вяткин, А. А. Ефремов, Е. Д. Карепова*, В. В. Шайдуров

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

В математическом моделировании сложных физических процессов и задач, в том числе в космической отрасли, широко применяется полулагранжевый подход. Представлен численный метод решения краевой задачи для уравнения адвекции, исполъзующий апостериорную адаптацию сетки в областях с болъшим градиентом решения.

Ключевые слова: уравнение адвекции, полулагранжевый метод, адаптация сетки.

SEMI-LAGRANGIAN METHOD ON ADAPTIVE GRID FOR ADVECTION EQUATION А. V. Vyatkin, А. А. Efremov, E. D. Karepova*, V. V. Shaidurov

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

The semi-Lagrangian approach is widely used for numerical modeling in complex natural phenomena; it includes a space sciences and technologies. In the paper, the semi-Lagrangian method is considered for the numerical solution of the advection problem. A numerical solution is constructed as a piecewise constant function on a rectangular grid. To reduce the effect of smoothing an approximate solution due to numerical viscosity, a mesh refinement is applied in the vicinity of large gradients of the approximate solution. The localization of the smoothing effect is illustrated by a numerical example.

Keywords: advection equation, semi-Lagrangian method, adaptive grid.

Полулагранжевый подход применяется для по- Зр —

строения численных методов решения начально- + ^'(Up) = 0 (t, У) е[0, T] xD,

краевых задач для гиперболических уравнений. Одним из несомненных достоинств полулагранжевых где D = [0,1] x [0,1] - единичный квадрат с границей Г ; методов является отсутствие ограничений на шаг по u(t, x, y) = (u(t, x, y),v(t, x, y)) - заданный вектор ско-

времени, связанных с условием фридрехса- рости. Пусть Г := rin и Гout и Гrigid. На входящей гра-Куранта-Леви. Однако проблема построения монотонных численных методов решения гиперболиче- нице Гь ={(0,y):0< y < 1} мы полагаем, что ских уравнений, для которых выполняется дискретный аналог балансового соотношения, и в этом слу- p(t,x,y) = pin(t,y) ^(t,x,y) e [0,T] xГin, чае остается нерешенной. В работе описывается полулагранжевый подход, используемый совместно с методом конечных объемов и апостериорной адаптацией сетки.

Рассмотрим относительно неизвестной функции где n = (nx (x, y), ny (x, y)) - это внешняя нормаль к Г .

На границе Tout = {(1, y): 0 < y < 1} полагаем, что по-

ток выходит из области без отражений и поглощений:

а для вектора скорости выполняется следующее условие:

и • п < 0 х, у) е [0, Т] xГin,

p(t, x, y) двумерное уравнение адвекции

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ _ г_ _

(проект^. 14-01-00296). Р ф р и •п > 0 ^х,У) е [0,Т]хГ

out •