CC BY
17Решетневскуе чтения. 2018
УДК 519.632.4
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЭРМИТОВЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Л. В. Гилева1, Е. Д. Карепова2, А. А. Пьяных
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]; [email protected]
Для уравнения диффузии с переменным коэффициентом предложен численный метод, основанный на использовании специальных бикубических эрмитовых элементов в сочетании с методом коллокации. Результаты расчетов показали высокую эффективность метода.
Ключевые слова: уравнение диффузии, метод конечных элементов, эрмитовы конечные элементы, метод коллокации.
THE APPLICATION OF SPECIAL HERMITE FINITE ELEMENTS TO THE DIFFUSION EQUATION WITH A VARIABLE COEFFICIENT
L. V. Gileva1, E. D. Karepova2, A. A. Pianykh
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]; [email protected]
For the diffusion equation with a variable coefficient, a numerical method based on the use of special bicubic Her-mite elements coupled with collocation is proposed. As a result, the dimension of the system of equations is reduced in comparison with the standard finite element scheme with the order of convergence of an approximate solution remaining unchanged. In the two-dimensional case, a convergence estimate is proved and confirmed with numerical experiments. Besides, for the one-dimensional case, numerical experiments with the standard Lagrange and Hermite cubic elements as well as with the special Hermite cubic elements proposed by the authors are performed. Numerical results demonstrate high efficiency of the last ones.
Keywords: diffusion equation, finite element method, Hermite finite elements, collocation method.
Численное решение краевых задач для уравнений математической физики методом конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений [1; 2]. При использовании эрмитовых элементов размерность такой системы значительно меньше, чем в случае лагранжевых элементов такой же степени, при одинаковом порядке сходимости приближенного решения [3]. Кроме того, для некоторых уравнений использование эрмитовых элементов позволяет применить метод коллокации, поскольку множество степеней свободы эрмитовых элементов содержит значения производных. В результате размерность системы уравнений становится еще меньше. В [4] предложены новые прямоугольные бикубические эрмитовы элементы и рассмотрен численный алгоритм для уравнения Пуассона, основанный на использовании этих элементов совместно с коллока-цией. В [5] этот метод применяется для уравнения диффузии с постоянными коэффициентами и приводится теоретическая оценка сходимости приближенного решения.
В настоящей работе данный подход обобщается для уравнения диффузии с переменным коэффициентом. Кроме того, для одномерного случая выполнены расчеты, позволяющие сравнить эффективность пред-
ложенного метода со стандартной схемой метода конечных элементов с использованием известных ла-гранжева и эрмитова кубических элементов.
В прямоугольной области О с границей Г рассмотрим задачу Дирихле для уравнения диффузии следующего вида:
~ихж - иуу + к(х)и = / (X У) в ^ (1)
и = 0 на Г, (2)
где к(х) = с > 0.
В области О построим равномерную прямоугольную сетку с узлами (х,-,у), i = 0, ..., п,] = 0, ..., т.
Для (1)-(2) рассмотрим стандартную схему метода конечных элементов с использованием бикубического эрмитова элемента, показанного на рисунке. Характерная черта этого элемента состоит в том, что множество его степеней свободы содержит значения вторых производных по каждой переменной в узлах элемента.
В результате мы получим систему уравнений, где неизвестными будут значения приближенного решения иу (х,, у). и приближенные значение вторых производных иХа (х, у ^ икуу (х, у^ ), - = 1 п-1, ] = 1 ..., т-1 во внутренних узлах сетки.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
На основании (1) для приближенного решения мы можем записать соотношение
-и1(Ъ , у.)" и»(х , У.) +
+ к(х,., у. )ик (х,., у.) и /(х,.,у.). Оно позволяет исключить неизвестные иХа (х1, у.) либо икуу (х1, у) В результате вместо системы из 3Ыы
уравнений мы получаем систему из уравнений, где Мш - число внутренних узлов сетки.
«Эталонный» эрмитов элемент. Двойные стрелки показывают степени свободы, являющиеся значениями вторых производных в узле по соответствующему направлению
Доказано, что приближенное решение имеет четвертый порядок сходимости в среднеквадратичной норме, характерный для бикубических конечных элементов, т. е. уменьшение размерности системы уравнений не нарушает порядок сходимости, что подтверждают результаты численных экспериментов.
Результаты расчетов для одномерного случая показывают, что из трех рассмотренных вариантов предложенный подход наиболее эффективен. Он обеспечивает наименьшую размерность системы уравнений без существенной потери в точности.
References
1. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Method. New York: Springer-Verlag, 1994. 420 p.
2. Ciarlet P. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Amsterdam: North Holland, 1978. 320 p.
3. Some properties of Hermite finite elements on rectangles / V. Shaidurov, S. Shut, L. Gileva // AIP Conference Proceedings, 2014. Vol. 1629. P. 32-43.
4. New Hermite finite elements on rectangles / L. Gileva, E. Karepova, V. Shaidurov // AIP Conference Proceedings, 2016. Vol. 1773. P. 100005. Doi: 10.1063/1.4964999
5. The application of a special Hermite finite element coupled with collocation to the diffusion equation / L. Gileva, E. Karepova, and V. Shaydurov // Lecture Notes in Computer Science, 2018. (submitted).
© Гилева Л. В., Карепова Е. Д., Пьяных А. А., 2018
