CC BY
26<Тешетневс^ие чтения. 2016
2. A Computational Realization of a Semi-Lagrangian Method_ for Solving the Advection Equation / A. Efremov [et al.] // Journal of Applied Mathematics, 2014. Vol. 2014. 610398. 12 p.
3. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral Semi-Lagrangian Approach for Two-Dimensional Continuity
Equation // Zbornik radova konferencije MIT 2013. 2014. C. 739-745.
© Вяткин А. В., Ефремов А. А., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В., 2016
УДК 519.63
СЕМЕЙСТВО БИКУБИЧЕСКИХ ЭРМИТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
И ТРЕУГОЛЬНЫХ ЯЧЕЙКАХ1
Л. В. Гилева*, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: gileva@icm.krasn.ru
Предложен новый бикубический эрмитов элемент на прямоугольнике и дополняющие его треугольные эрмитовы элементы, в том числе на треугольнике с криволинейной стороной. Совместное использование прямоугольных и треугольных элементов позволяет применять их для решения задач в многоугольных облостях и областях с криволинейными участками границы.
Ключевые слова: бикубические эрмитовы элементы, прямоугольные эрмитовы элементы, треугольные эрмитовы элементы, конечные элементы с криволинейной стороной.
A FAMILY OF BICUBIC HERMITE FINITE ELEMENT ON RECTANGLES
AND TRIANGLES
L. V. Gileva*, E. D. Karepova, V. V. Shaidurov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: gileva@icm.krasn.ru
In the paper, a new bicubic Hermite element on a rectangle and related Hermite elements on a straight-sided triangle and on a triangle with a curved side are proposed. The combination of these elements enables one to apply them for problems in a polygonal domain and in a domain with curved parts of the boundary.
Keywords: bicubic Hermite elements, rectangular Hermite elements, triangular Hermite elements, finite elements with a curved side.
Преимущество эрмитовых конечных элементов по сравнению с лагранжевыми элементами той же степени состоит в том, что они позволяют получить систему линейных алгебраических уравнений значительно меньшей размерности при одинаковом порядке сходимости приближенного решения. Так, для обычных бикубических прямоугольных эрмитовых элементов [1] число неизвестных и уравнений составляет ~ 3Ы, где N - число узлов сетки, тогда как для полных и неполных (серендиповых) бикубических лагранжевых элементов [2; 3] число неизвестных возрастает до ~ 9N и ~ 5N соответственно [4].
В работе предложен новый бикубический элемент на прямоугольнике (см. рисунок, а). Множество степеней свободы этого элемента содержит зна-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296).
чения функции и двух ее вторых производных в узлах элемента. Использование такого элемента позволяет в некоторых случаях сократить число неизвестных, по сравнению с обычным бикубическим эрмитовым элементом. Например, для уравнения Пуассона размерность системы уравнений уменьшается до ~ 3N.
Непосредственное применение прямоугольных эрмитовых элементов ограничено случаем простых областей, составленных из прямоугольников. Однако, используя подход, изложенный в [5; 6], прямоугольные эрмитовы элементы можно применять при решении задач на многоугольных областях и областях с криволинейными участками границы. Для этого вблизи границы используются треугольные эрмитовы элементы подходящего вида. Для бикубического эрмитова элемента, множество степеней свободы которого содержит вторые производные, предложен бикубиче-
Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
ский треугольный эрмитов элемент (см. рисунок, б), обеспечивающий непрерывность решения между элементами двух типов. Кроме того, предложен специальный бикубический эрмитов элемент на треугольнике с криволинейной стороной (см. рисунок, в). Особенность этого элемента состоит в том, что ячейка имеет криволинейную форму, а базисные функции являются полиномами. Использование таких элемен-
тов позволяет построить расчетную область, совпадающую с областью для исходной дифференциальной задачи.
Проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с теоретическими оценками сходимости и подтверждают высокую эффективность использования предложенных конечных элементов для решения уравнений математической физики.
Бикубические эрмитовы конечные элементы со вторыми производными в качестве степеней свободы: а - на прямоугольнике; б - на треугольнике; в - на треугольнике с криволинейной стороной; точками показаны степени свободы, использующие значения функции в узле; двойными стрелками показаны степени свободы, использующие значения вторых производных в узле в соответствующем направлении
Библиографические ссылки
1. Chen Z. The Finite Element Method. Its Fundamentals and Applications in Engineering. New York : World Scientific Publishing, 2011.
2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. : Мир, 1980, 512 с.
3. Brenner S. C., Scott L. R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Berlin : Heidelberg ; New York : Springer-Verlag, 1994.
4. Shaidurov V., Shut S., Gileva L. Some properties of Hermite finite elements on rectangles // AIP Conference Proceedings. 2014. Vol. 1629. Pp. 32-43.
5. Gileva L., Shaidurov V., Dobronets B. The triangular Hermite finite element complementing the Bogner-Fox-Schmit rectangle // Applied Mathematics. 2013. Vol. 4 (12A). Pp. 50-56.
6. Gileva L., Shaidurov V., Dobronets B. A family of triangular finite elements complementing the Bogner-Fox-Schmit rectangle // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2015. Vol. 30(2). Pp. 73-85.
References
1. Z. Chen. The Finite Element Method. Its Fundamentals and Applications in Engineering. World Scientific Publishing, New York, 2011.
2. Ciarlet P. The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, Amsterdam, 1978.
3. Brenner S. C., Scott L. R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994.
4. Shaidurov V., Shut S., Gileva L. Some properties of Hermite finite elements on rectangles // AIP Conference Proceedings, 2014. Vol. 1629, pp. 32-43.
5. Gileva L., Shaidurov V., Dobronets B. The triangular Hermite finite element complementing the Bogner-Fox-Schmit rectangle // Applied Mathematics, 2013, Vol. 4 (12A), pp. 50-56.
6. Gileva L., Shaidurov V., Dobronets B. A family of triangular finite elements complementing the Bogner-Fox-Schmit rectangle // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2015, Vol. 30 (2), pp. 73-85.
© TrneBa H. B., KapenoBa E. ,3,., mangypoB B. B., 2016
