Два алгоритма из семейства полулагранжевых методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

нехватка быстрой регистровой памяти GPU, при этом часть данных принудительно сбрасывается в локальную, существенно более медленную, память устройства, что значительно увеличивает время чтения/записи данных.

2. Уменьшение количества активных потоков. Количество активных вычислительных потоков на GPU напрямую зависит от объема доступной регистровой и константной памяти. При использовании большого количества регистров неизбежно уменьшается количество активных потоков, что снижает количество параллельных операций в вычислительном ядре CUDA.

References

1. LeVeque R. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems (Cambridge Texts in Applied Mathematics). Cambridge : Cambridge University Press, 2002. 580 p.

2. Efremov A., Karepova E., Shaydurov V., Vyatkin A. A Computational Realization of a Semi-Lagrangian Method for Solving the Advection Equation // Journal of Applied Mathematics. 2014, doi:10.1155/2014/610398.

3. CUDA C Best Practices Guide, v6.0, last updated February 13, 2014. URL: http://docs.nvidia.com/cuda/ cuda-c-best-practices-guide/index.html#abstract.

4. Shaydurov V., Vyatkin A. The Semi-Lagrangian Algorithm Based on an Integral Transformation //

3. Ветвления. Наличие большого количества ветвлений в расчетном ядре отрицательно сказывается на производительности, поскольку в нашем случае ветвления не позволяют выравнять данные в памяти GPU.

После анализа проблем изменен подход к вычислению интеграла по пространству [4; 5], что позволило резко увеличить эффективность алгоритма для GPU. Заметим, что поскольку архитектура CPU нечувствительна к особенностям шага интегрирования, то обе ОрепМР-версии алгоритма имеют одинаковое ускорение (см. таблицу).

AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1648. Doi: 10.1063/1.4913096.

5. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral semi-Lagrangian approach for two-dimensional continuity equation // Mezhdunarodnaja konferencija matematicheskie i informacionnye tehnologii, MIT-2013 [International Conference on mathematical and informational technologies, MIT-2013]; Zbornik radova konferencije MIT-2013. University of Pristina, 2014, pp. 739-745.

© Вяткин А. В., Ефремов А. А., Карепова Е. Д., 2015

Ускорения параллельных версий для различных размеров сеток

NxN 160x160 320x320 640x640 1280x1280 2560x2560

OpenMP вер. [1] 6,50 7,47 8,20 7,50 7,98

OpenMP вер. [2] 7,64 7,78 7,89 7,83 7,86

CUDA вер. [1] 0,83 0,88 1,30 1,38 1,32

CUDA вер. [2] 29,62 35,03 38,54 40,15 40,19

УДК 519.63

ДВА АЛГОРИТМА ИЗ СЕМЕЙСТВА ПОЛУЛАГРАНЖЕВЫХ МЕТОДОВ*

А. В. Вяткин

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru

Представлены два алгоритма для численного решения трехмерного уравнения неразрывности. Исследуемые методы могут быть использованы при численном моделировании обтекания объекта воздушным потоком.

Ключевые слова: полулагранжевые методы, уравнение неразрывности, интегральное преобразование.

TWO ALGORITHMS FROM THE FAMILY OF SEMI-LAGRANGIAN METHODS

A. V. Vyatkin

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru

*

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-01-31203.

Решетнеескцие чтения. 2015

We develop two algorithms of the family of semi-Lagrangian methods for the three-dimensional advection problem. These methods are useful for numerical modeling of airflow motion near an object.

Keywords: semi-Lagrangian methods, advection problem, integral transformation.

Впервые полулагранжевы методы, в то время они назывались методами характеристик, были использованы для решения задач численного моделирования атмосферных явлений с целью предсказания погоды [1]. В настоящее время эти методы хорошо разработаны [2-4]. В основе современных версий этого метода лежит интегральный закон сохранения, сформулированный в виде тождества интегралов c областями интегрирования на соседних слоях по времени. В некоторых методах [2; 4] в качестве области интегрирования на верхнем слое по времени tm используется кубическая окрестность Qij]k узла (xi, y, zk) сетки Dh. В этом случае на нижнем слое по времени tm-1 область интегрирования Vj определяется траекториями движения точек с верхнего слоя по времени на нижний [2-4]. По сравнению с традиционными разностными схемами [5] полулагранжевы методы позволяют использовать большие шаги по времени. Простота и эффективность полулагранжевых методов сделала их популярными для решения многих задач.

В настоящей работе представлены два численных алгоритма из семейства полулагранжевых методов для решения трехмерного уравнения неразрывности. Для численного решения задачи искомая функция р (t, x, y, z) аппроксимируется сеточной функцией ph, определенной на Dh. Как правило [2-4], основные вычислительные затраты состоят в вычислении значения интеграла

¡и* = i р(tm-i,S,n,e)dçdnde.

V, j ,k

В основе разработанных алгоритмов лежит преобразование G = (Gx, Gy, Gz) области интегрирования Vjk в окрестность Пу,ь которое позволило переписать интеграл Iij,k в виде

¡ил = i Р(tm-1,Gx (x,y,z),Gy (x,y,z),Gz (x,y,z))x

ni, j,k

xJ (x, y, z ) dxdydz,

где J (x, y, z) - якобиан преобразования G. Для вычисления интеграла Iij,k использовалось следующее приближение:

1i, j,k ~ pint (tm-1, Gi, j,k, G[j,k, Gi,j,k ) x

x | J (x, y, z) dxdydz,

Qi, j,k

где pint - трилинейная интерполяция сеточной функции ph, GSj k = Gs (xi, y j, zk ), s = x, y, z. Особенность

двух представленных методов состоит в способе аппроксимации интеграла от функции J (x, y, z). В первом алгоритме этот интеграл приближается с помощью центральной разности [5] следующим образом:

{ J (x, y, z) dxdydz » J (xt, у,, zk ) mes ( j^ ),

Qi, j ,k

где mes (Oy,k) - объем области 0.jj,k. Во втором методе используется отображение G4, обратное преобразо-

ванию G. В этом случае справедливы следующие соотношения:

| J (x, y, z) dxdydz = J dxdydz и

ai,j,k Vi,j,k

и J dxdydz = mes ((jp).

V app i, j ,k

Здесь V;ppk - шестигранник с прямыми сторонами,

аппроксимирующий область Vij,k.

Проведенные вычислительные эксперименты подтвердили уменьшение вычислительных затрат и общего времени расчетов. Исследованные методы могут быть применены для численного решения системы уравнений Навье-Стокса, описывающей обтекание объекта воздушным потоком.

Библиографические ссылки

1. Winn-Nielsen A. On the application of trajectory methods in numerical forecasting // Tellus. 1959. Vol. 11. P. 180-196.

2. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral semi-Lagrangian approach for two-dimensional continuity equation // Математические и информационные технологии. MIT-2013 : материалы Междунар. конф. University of Pristina, 2014. С. 739-745.

3. Iske A., Kaser M. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numerical methods for Partial Differential Equations. 2004. Vol. 20, iss. 3. C. 388-411.

4. Использование гибридных вычислительных систем для решения уравнения переноса модифицированным методом траекторий / А. В. Вяткин [и др.] // Системный анализ и информационные технологии «САИТ-2013» : тр. V Междунар. конф. / Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2013. С. 45-55.

5. Годунов C. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). М. : Наука, 1977. 440 с.

References

1. Winn-Nielsen A. On the application of trajectory methods in numerical forecasting // Tellus, 1959. Vol. 11, pp. 180-196.

2. Vyatkin A. V., Shaydurov V. V. Integral semi-Lagrangian approach for two-dimensional continuity equation // Mezhdunarodnaja konferencija matematicheskie i informacionnye tehnologii, MIT-2013 [International Conference on mathematical and informational technologies, MIT-2013]; Zbornik radova konferencije MIT-2013. University of Pristina, 2014, pp. 739-745.

3. Iske A., Kaser M. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numerical methods for Partial Differential Equations. 2004. Vol. 20, iss. 3, pp. 388-411.

4. Vyatkin A. V., Efremov A. A., Karepova E. D., Shaydurov V. V. Using of hybrid computational systems for solving the advection problem [Ispol'zovanie gibridnyh vychislitel'nyh sistem dlja reshenija uravnenija perenosa modificirovannym metodom traektorij] // Trudy 5 Mezhdunarodnoj konferencii Sistemnyj analiz i informacionnye tehnologii "SAIT-2013" [Proceeding of 5th International conference on system analysis and information technologies]. Institute of Computational

Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Krasnoyarsk, 2013, pp. 45-55 (In Russ).

5. Godunov S. K., Ryaben'kii V. S. Raznostnye shemy (vvedenie v teoriju) [Difference schemes (introduction to theory)]. Moscow: Nauka Publ., 1977. 440 p. (In Russ).

© Botkhh A. B., 2015

УДК 519.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

А. А. Городов, В. А. Суслова, Е. А. Казакова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: glexx84@mail.ru

Рассмотрена проблема моделирования процессов при минимальном количестве данных. Сформулированы причины возникновения априорной неопределенности при моделировании показателей. Приведены модели прогнозирования показателей коротких временных рядов.

Ключевые слова: моделирование, короткий временной ряд, прогнозирование.

MODELING PARAMETERS UNDER A PRIORI UNCERTAINTY CONDITIONS

A. A. Gorodov, V. A. Suslova, E. A. Kazakova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: glexx84@mail.ru

The problem of simulation of processes with a minimum amount of data is considered. Causes of a priori uncertainty when modeling indicators are formulated. Models to forecast the indicators of short time series are given.

Keywords: modeling, short time series, forecasting.

В состоянии системного кризиса, в котором на сегодняшний день находится Россия, исключительно важным представляется точное управление. Однако эффективно управлять можно только на основе знания и прогноза. Классическая фраза Блеза Паскаля «Предвидеть - значит управлять» сейчас справедлива еще в большей степени, чем раньше.

Современная наука располагает большим количеством разнообразных методов прогнозирования, каждый управленец и специалист по планированию должен владеть навыками прикладного информационно-математического прогнозирования для принятия грамотных, обоснованных решений, и уметь сделать правильный выбор метода прогнозирования в каждой конкретной ситуации. Следовательно, процесс прогнозирования является особо актуальной и значимой задачей, требующей пристального внимания и решения.

Все современные теории прогнозирования в той или иной степени используют математический аппарат, связанный с понятием временного ряда. Ряд наблюдений

х(Д х^), ..., х((ы)

анализируемой случайной величины (), произведенных в последовательные моменты времени

/2, ..., tN , называется временным рядом.

Используемые различные методы прогнозирования на основе временных рядов можно объединить в группы. Классификация будет выглядеть следующим образом:

1. Трендовые модели (кривые роста).

2. Модели сглаживания (метод скользящих средних, экспоненциальное сглаживание).

3. Авторегрессионные модели и их модификации.

Модели сглаживания, как показано в [1], являются

частными случаями авторегрессионных моделей. Авторегрессионная модель первого порядка представляет собой линейную регрессию зависимости последующих значений ряда от предыдущих. В целом переоценить значимость авторегрессионных моделей при прогнозировании крайне сложно. Для сельского хозяйства прогноз часто осуществляется на основе