CC BY
12Прикладная математика
УДК 519.6
АЛГОРИТМ ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПОЛУЛАГРАНЖЕВОМ МЕТОДЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
А. В. Вяткин, Е. В. Кучунова
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru
Представлен алгоритм декомпозиции области интегрирования, возникающей в консервативном полула-гранжевом методе. Развитие метода ведет к улучшению результатов численного моделирования течения газа вокруг летательного аппарата.
Ключевые слова: полулагранжевый метод, уравнение неразрывности, декомпозиция области интегрирования, закон сохранения.
ALGORITHM OF DECOMPOSITION OF DOMAIN INTEGRATION IN CONSERVATIVE SEMI-LAGRANGIAN METHOD FOR THREE-DIMENSIONAL ADVECTION PROBLEM
A. V. Vyatkin, E. V. Kuchunova
Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru
We present the algorithm of decomposition of domain integration in conservative semi-Lagrangian method. The domain of integration is curved cuboid. Development of conservative semi-Lagrangian method elaborates results of numerical modelling of gas motion near aircraft.
Keywords: semi-Lagrangian method, advection equation, integration domain decomposition, conservation low.
Один из современных способов моделирования течения газа основан на численном решении системы уравнений Навье-Стокса, состоящей из уравнения неразрывности и уравнения количества движения [1; 2]. Для поиска решения уравнения неразрывности
др + д(ир) + д(ур) + д(м>р) = 0 дt дх ду д2
часто используют полулагранжевый метод [3; 4; 5]. Пусть задача поставлена на множестве [0, Т]х Б , где
Б = [0,1] х [0,1] х [0,1]. Тогда численное решение
уравнения неразрывности будем искать на пространственной сетке
Б = {(, у-, ^): х- = ^
у- = 2к = кк; ],к = 0,...,N}, с шагом h = 1/N, N > 1. Определим ячейки Б1 - к сетки Бк в виде
А, -,к = [ х-, Х+1 ]х[ Уj, Уj+1 ]х[ *
I z,r, z,r
1L
| р (^, х, у, 2) dxdydz = | Р ((, х, у, 2) dxdydz .
П V
Здесь П - некоторая область на т-м слое по времени; V - криволинейный куб на (т-1)-м слое по времени. Области интегрирования П и V зависят друг от друга. Для поиска численного решения в узле (х1, yJ, 2к) на очередном т-м слое по времени рассмотрим в качестве П окрестность
П,Лк = [х- - V2, х- + V2] • [у- - V2, у- + V2] х х [к - V2,2к + V2]П Б.
Куб Vij|k определяется траекториями движения точек, выпущенных из П с верхнего слоя по времени на нижний слой. Координаты вершин куба Vij¡k вычислим с помощью одного шага метода Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обозначим вычисленные координаты вершин через Wh, п = 1,...,8. Куб Wh с вершинами в ^ разде-
-,к = 0,..., N -1.
Современные консервативные версии метода [4] основаны на следующем балансовом интегральном соотношении при переходе с одного временного слоя на следующий слой
лим плоскостями х = хп у = у- , 2 = 2к
гранников Ял как это показано на рис 1. Положим, что
на 8 шести-
т<-
h
2max
л/u2 + v2 + w2
Решетневские чтения. 2018
а б
Рис. 2. Разбиение шестигранника на две призмы (а); разбиение призмы на три тетраэдра (б)
В силу ограничения на шаг по времени, несложно показать, что каждый Rs находится в пределах одной соответствующей ячейки Dpqr сетки. Далее, каждый
шестигранник Rs разложим на две треугольные призмы, каждую из которых разложим на три тетраэдра, как это показано на рис. 2. Таким образом, интегрирование по кубу Wh мы свели к интегрированию по тетраэдрам. Причем каждый тетраэдр находится в пределах одной соответствующей ему ячейки Dpqr сетки. Заменим подынтегральную функцию p(C-i, х, у, z) на трилинейную интерполяцию
Рh (-1,х, У, z). Интеграл от трилинейной функции по
тетраэдру вычислим точно с помощью кубатурной формулы Гаусса-4.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда науки в рамках научного проекта: «Численное моделирование формирования квазиустойчивых фигур, образованных многокомпонентной газовой смесью, вытекающей из промышленной дымовой трубы».
Библиографические ссылки
1. Лапин Ю. В., Стрелец М. Х. Внутренние течения газовых смесей. М. : Наука, 1989. 368 с.
2. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М. : Мир, 1976. 555 с.
3. A semi-Lagrangian approximation in the Navier-Stokes equations for the gas flow around a wedge /
V. Shaydurov, T. Liu, G. Shchepanovskaya, M. Yaku-bovich // AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1684. P. 090011-1-090011-11.
4. Iske A. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numer. Meth. Part. Diff. Eq. 2004. Vol. 20. P. 388-411.
5. Shaydurov V., Vyatkin A., Kuchunova E. Semi-Lagrangian difference approximations with different stability requirements // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2018. Vol. 33 (2). P. 123-135.
References
1. Lapin Yu. V., Strelets M. Kh. Vnutrennie techeniya gazovykh smesey [Internal flows of gas mixtures]. M.: Nauka, 1989. 368 p. (In Russ.)
2. Fertsiger Dzh., Kaper G. Matematicheskaya teoriya protsessov perenosa v gazakh [Mathematical theory of transport processes in gases]. M. : Mir, 1976. 555 p. (In Russ.)
3. A semi-Lagrangian approximation in the Navier-Stokes equations for the gas flow around a wedge / V. Shaydurov, T. Liu, G. Shchepanovskaya, M. Yaku-bovich // AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1684. P. 090011-1-090011-11.
4. Iske A. Conservative semi-Lagrangian advection on adaptive unstructured meshes // Numer. Meth. Part. Diff. Eq. 2004. Vol. 20. P. 388-411
5. Shaydurov V., Vyatkin A., Kuchunova E. Semi-Lagrangian difference approximations with different stability requirements // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2018. Vol. 33 (2). P. 123-135.
© BATKHH A. B., KynyHOBa E. B., 2018
