CC BY
12Решетневские чтения. 2017
УДК 519.642.2
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ИНТЕГРАЛА ПО КРИВОЛИНЕЙНОМУ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКУ*
А. В. Вяткин, Е. В. Кучунова
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru
Представлена асимптотическая оценка точности аппроксимации интеграла по криволинейному четырехугольнику. Представленная оценка может быть использована для теоретического обоснования сходимости полулагранжевого метода.
Ключевые слова: уравнение неразрывности, полулагранжевы методы, сходимость.
APPROXIMATION OF INTEGRAL OVER QUADRANGLE WITH CURVED BOUNDARIES
A. V. Vyatkin, E. V. Kuchunova
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: vyatkin@icm.krasn.ru
We present the theoretical estimation of approximation of integral over curvilinear quadrangle. It allows to get a theoretical justification of convergence order for semi-Lagrangian methods.
Keywords: semi-Lagrangian method, theoretical justification, curvilinear quadrangle, integration.
Один из современных способов моделирования течения газа основан на численном решении системы уравнений Навье-Стокса, состоящей из уравнения внутренней энергии и уравнения неразрывности. Для поиска численного решения уравнения неразрывности
Ф + d(uP) + d(vP) = 0 Ф + d(uP) + d(vP) = 0
dt dx dy dt dx dy
часто используют полулагранжевый метод [1; 2], построенный на равномерной сетке с шагом h. В этом случае возникает задача приближенного вычисления интеграла
I = jph {tk _„ x, y )dQ
Q
где ph - известная функция на предыдущем шаге по времени tk-1; Q - криволинейный четырехугольник с вершинами в точках V = (V*, Vy); i = 1, ..., 4.
Во многих методах для вычисления интеграла I каждую сторону четырехугольника Q приближают отрезком прямой линии с вершинами в соответствующих точках из множества точек V,h = (V,h,x, Vty), таких что
Vh,d = Vd + о (T 2),
* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта № 16-41-243029.
где ё = х, у; т - шаг по времени в численном методе. Построенные описанным способом отрезки формируют прямосторонний четырехугольник Р.
Таким образом, интеграл I по области Q аппроксимируется интегралом 1к по области Р (см. рисунок). Как правило [1; 2] в качестве подынтегральной функции рк выступаем многочлен. Проведено теоретическое обоснование, доказывающее что, если значение интеграла 1к по множеству Р вычислено аналитически, то
I = / + О (^ т).
Аппроксимация четырехугольника Q
Вычислительные эксперименты подтверждают аналитические выкладки. Данный результат может быть использован для обоснования сходимости полу-лагранжевого метода.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Библиографические ссылки
1. Вяткин А. В., Кучунова Е. В. Параллельная реализация полулагранжевого метода для уравнения неразрывности // Образовательные ресурсы и технологии. 2016. № 2 (14). С. 423-429.
2. A computational realization of a semi-lagrangian method for solving the advection equation / A. Efremov, E. Karepova, V. Shaydurov и др. // Journal of applied mathematics. 2014. № 2014. P. 610398. DOI 10.1155/2014/610398.
References
1. Vyatkin A. V., Kuchunova E. V. [A parallel semi-Lagragian algorithm for advection equation]. Obra-zovatel'nyye resursy i tekhnologii. 2016. Vol. 2(14). P. 423-429. (In Russ.)
2. Efremov A., Karepova E., Shaydurov V., Vyat-kin A. A computational realization of a semi-lagrangian method for solving the advection equation // Journal of applied mathematics. 2014. № 2014. P. 610398. DOI 10.1155/2014/610398.
© BATKHH A. B., KynyHOBa E. B., 2017
