ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТРАНСПОРТНЫХ СЕТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.2:004.421.5:004.7 ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТРАНСПОРТНЫХ СЕТЕЙ

В. Н. Задорожный

Омский государственный технический университет, zwn2015@yandex.ru

Для немарковских сетей массового обслуживания предлагается эффективный полуаналитический метод комплексной оптимизации маршрутной матрицы и быстродействий узлов. В качестве целевой функции используется среднее время прохождения заявки через сеть. Метод сочетает быстрый точный расчет градиента целевой функции в пространстве варьируемых переходных вероятностей и ускоренный аналитико-имитационный расчет градиента целевой функции в пространстве варьируемых быстродействий узлов.

Разрабатываются методы комплексной оптимизации транспортных сетей, основанные на их аппроксимации немарковскими сетями массового обслуживания с многолинейными узлами-дорогами, быстродействие которых падает с ростом нагрузки. Предлагаемые методы ориентированы на различные режимы транспортной нагрузки. Приводятся примеры применения предлагаемых методов. Демонстрируется, что наибольший эффект в борьбе с заторами дает комплексная оптимизация транспортных сетей, ориентированная на режим высокой транспортной нагрузки.

Ключевые слова: немарковские сети массового обслуживания, градиентные методы оптимизации, транспортные сети, переменная интенсивность обслуживания.

SEMI-ANALYTICAL METHODS OF OPTIMIZATION OF TRANSPORT NETWORKS

V. N. Zadorozhnyi

Omsk State Technical University, zwn2015@yandex.ru

An effective semi-analytical method for the integrated optimization of the routing matrix and node speeds for non-Markov queuing networks is proposed. As the objective function, the average time spent on the application through the network is used. The method combines a fast accurate calculation of the objective function gradient in the space of variable transition probabilities and an accelerated analytic-simulation calculation of the objective function gradient in the space of variable nodes speeds.

Methods of integrated optimization of transport networks are developed. They are based on their approximation by non-Markov networks of queuing with multi-linear nodes (roads), the speed of which decreases with increasing load. The proposed methods are oriented to different modes of transport load. Examples of the application of the proposed methods are given. It is demonstrated that the greatest effect in combating blockings is provided by the integrated optimization of transport networks oriented to the regime of high transport load.

Keywords: non-Markov queueing networks, gradient methods of optimization, transport networks, variable service rate.

В общем случае для оптимизации немарковских сетей массового обслуживания (далее -СеМО) приходится использовать имитационное моделирование (далее - ИМ). При этом если число варьируемых параметров выходит за пределы десятка, то без применения градиентных методов оптимизация становится практически нереализуемой, а расчет градиентов в ИМ чрезвычайно затруднен наличием стохастических погрешностей у вычисляемых оценок целевой функции [1]. Тем не менее проблему вычисления градиентов в ИМ СеМО удается решать путем применения полуаналитических методов [1-5].

При оптимизации СеМО в качестве варьируемых параметров могут выступать быстродействие узлов [6], число каналов в узлах [7], объемы буферов [8], переходные

вероятности или совокупности параметров нескольких таких видов [1, 6, 9]. В реальных сетях общий ресурс, используемый для улучшения показателей заданного вида, как правило, ограничен, поэтому задачи оптимизации ставятся обычно как задачи поиска оптимального распределения ресурса заданного вида [10] или оптимального сочетания распределений ресурсов нескольких видов. Целевые функции часто включают такие показатели качества, как среднее время прохождения заявки через сеть (среднее время ответа), вероятность превышения допустимого времени ответа, объемы буферов, вероятность потери заявки в узлах сети, общее число каналов в узлах и т. д.

Разработка новых эффективных методов оптимизации немарковских СеМО актуальна в области проектирования компьютерных [10-12] и транспортных [13-17] сетей. Значительные затруднения при оптимизации СеМО возникают в случаях, когда варьируемые параметры включают переходные вероятности [1, 6], т. е. когда оптимизируются маршрутные матрицы. В данной статье разрабатываются методы, позволяющие существенно, по сравнению с непосредственным ИМ, ускорить комплексную оптимизацию маршрутных матриц и быстродействия узлов немарковских сетей, включая транспортные сети.

Совместная оптимизация переходных вероятностей и быстродействия узлов. Рассмотрим задачу оптимизации открытых немарковских СеМО путем одновременного перераспределения быстродействия узлов сети и ее переходных вероятностей.

В сеть поступает рекуррентный поток заявок с интенсивностью Л. Длительности интервалов поступления заявок описываются функцией распределения (далее - ф.р.) A(t).

Заявка входного потока сети с вероятностью pot попадает в i-й узел, i = 1, n. Независимое время обслуживания заявки в любом из Kt каналов i-го узла имеет ф.р. Bt(t). После обслуживания в i-м узле заявка случайно, в соответствии с заданными переходными

вероятностями py, выбирает один из узлов j = 1, n для продолжения своего маршрута или (с

вероятностью рю) уходит из сети (рис. 1). Вероятности py (i, j = 0, n) задаются неразложимой

маршрутной матрицей P = || ptJ ||. Если потоков, входящих в сеть из внешней среды, больше

одного, они объединяются в один поток, разветвляющийся с подходящими вероятностями на входы разных узлов.

Л = 1

i i

кпц^

Рис. 1. Пример открытой сети с многолинейными узлами

Среднее время Е прохождения открытой сети (среднее время ответа) можно выразить формулой:

E = Ъ

Í

а

i=1

1

Л

wi л--

V М J

где ( - среднее число (частота) посещений /-го узла заявкой за время прохождения сети;

Wi - среднее время ожидания в очереди /-го узла;

// = Ь-1 - интенсивность обслуживания в канале /-го узла (соответственно Ь/ - среднее время обслуживания в /-м узле).

Частоты а/ однозначно определяются вероятностями ру посредством системы линейных алгебраических уравнений (далее - СЛАУ):

п _

а = Е а3Рп,г = п ао =1 • (2)

Через решения а/ этой СЛАУ определяются интенсивности =Лаг потоков,

входящих в узлы, и затем - коэффициенты загрузки узлов рг = Яг / (/К1) , г = 1, п. Значения

Wi для целевой функции (1) в общем случае определяются посредством моделирования и эффективно используются для оптимизации быстродействия узлов сети методом направляющих гипербол [1]. Метод направляющих гипербол является градиентным методом. Он использует адаптивную сепарабельную гиперболическую аппроксимацию зависимостей wi (д ) и позволяет с высокой точностью решать задачу оптимального

распределения быстродействия по узлам немарковской СеМО, состоящей из сотен одноканальных и многоканальных узлов.

Более общая задача совместной оптимизации переходных вероятностей и быстродействия узлов ставится в [6] следующим образом: ресурс М быстродействия (стоимость) сети как функция вектора /л = (/,..., Дп) интенсивностей обслуживания в узлах

г = 1, п задается в виде М(/) = / , где с > 0 - стоимостные коэффициенты, Р/ > 0 -

коэффициенты нелинейности. Варьируемые переходные вероятности, выписанные в фиксированном порядке, являются координатами вектора ру размерности т.

Требуется найти векторы д = и ру = р (, доставляющие минимум среднего времени ответа:

n 2

Е(иpv) = (pv) w(jPv) +--> rpin - (3)

UA

Г

u

и принадлежащие области допустимых решений:

n n _

M(j) = £ cuuf = M* = const; 0 < Pi < 1; £ ptJ = 1, (' = 0, n);

2=1 j=0

pt < Pi < p-, (i=im. (4)

Разработанный и испытанный в [6] метод решения задачи (3), (4) состоит в выполнении цикла итераций, приближающих варьируемые параметры к решению (uopt, p t). Каждая

итерация состоит из двух шагов. На первом шаге при фиксированном pv методом направляющих гипербол [1] оптимизируется распределение ju = (j,..., un) ресурса M* по узлам сети. На втором шаге при найденном j оптимизируется вектор pv переходных вероятностей. Далее итерации поочередной оптимизации векторов ju и pv повторяются, пока не наступит заданное условие останова. На шаге оптимизации вектора p для определения градиентов рассчитываются частные производные (далее - ЧП) dE / dpJk времени E по всем компонентам вектора pv, причем вычисление этих производных сводится к вычислению

производных даг(р)/др]к. Действительно, дифференцируя (1) по любой переходной вероятностир/к, получаем равенство:

дЕ ^ д(а, / д) ^ д(аж) ^ 1 да, ^ да, ^ дwi

1=1 1=1 Ф,*

из которого в [1] выводится приближение:

1—1 Д дР к 1—1 дР

]к

дРк '

дЕ

др

я

5

дж.

дД ) дР

да

3к

содержащее значения всех переменных и производных, известные (за исключением даг- / др/к) после шага оптимизации вектора Д методом направляющих гипербол. В [6] все ЧП даг- / др/к рассчитываются в ходе последовательных упрощений графа вложенного полумарковского процесса, сопровождаемых рекурсивным пересчетом ЧП от суперпозиций функций многих переменных. Ниже метод расчета ЧП даг- / др/к существенно уточняется и ускоряется за счет сведения расчета ЧП даг- / др/к к решению нескольких вспомогательных СЛАУ.

Расчет ЧП частот а/ по переходным вероятностям. Поскольку задача расчета ЧП даг- / др/к представляет собой задачу расчета ЧП решений аг- СЛАУ (2) по коэффициентам р/ этой СЛАУ, достаточно показать, как рассчитываются ЧП решений х произвольной СЛАУ С? = е по ее коэффициентам С, е .

Пусть дана имеющая единственное решение СЛАУ:

С11Х1 + С12Х2 + ••• + С1пХп — е1, С21Х1 + С22Х2 + ••• + С2пХп = е2,

с „л I с „о х^ I ••• I с.х — е

п1 1 п 2 2 пп п п

(5)

и требуется вычислить ЧП дхг / дс/к всех решений хг этой системы по выбранному ее коэффициенту с/к. Для точного расчета искомых ЧП продифференцируем уравнения этой СЛАУ по выбранному коэффициенту с/к. В результате получаем:

-11

сИ

"п\

дх1 дс*к

+ ••• + С1к

дхи

дс

+ ••• + с

дх„

1п

дс

— 0,

Д

дхг дс*к

+ ••• + с

дхи

}к

дс

дхх дс

+ ••• + спк

}к

дх,-

дхп

+ ••• + с — ~ Х

к,

(6)

}к

дс

+ ••• + с„

дх„

}к

дс

— 0^

}к

Все п ЧП дхг / дс/к теперь являются неизвестными в СЛАУ (6) и, следовательно, могут быть найдены как ее решения. Матрица С коэффициентов СЛАУ (6) совпадает с матрицей С исходной СЛАУ (5). Столбец правых частей содержит нули везде, кроме строки /, в которую записывается значение (-Хк). Таким образом, нами получен простой двухшаговый метод для расчета ЧП всех решений хг СЛАУ (5) по ее выбранному коэффициенту с/к: 1) решаем исходную СЛАУ (5);

1—1

<

2) решаем вспомогательную СЛАУ (6), получаемую из исходной СЛАУ (5), заменой нулями всех элементов столбца е , кроме элемента еу - он заменяется значением (-хк), известным после выполнения шага (1).

Здесь у - номер строки с ненулевым свободным членом, задается первым индексом выбранного коэффициента сук. Номер к решения хк, определяющего ненулевой свободный член, задается вторым индексом коэффициента сук.

Решение (^,..., хп) вспомогательной СЛАУ (6), получаемое на шаге (2), есть искомый

вектор

д Xj

Kdcjk

д x„

дс

jk У

При расчете ЧП решений исходной СЛАУ (5) по выбранному коэффициенту ej вспомогательная СЛАУ отличается от СЛАУ (6) только тем, что Cj = 1.

Как показывают численные эксперименты, метод вспомогательных СЛАУ позволяет рассчитывать соответствующие ЧП с высокой точностью и большой скоростью. Например, в Excel ЧП рассчитываются этим методом с 15-ю точными значащими десятичными цифрами. Решение рассчитывается по сравнению с шагами ИМ практически мгновенно. Так, решение СЛАУ из 100 уравнений в Excel (методом обращения матрицы C) занимает вместе с отображением результата долю секунды.

Задача оптимизации ПБУ-сетей и ее прикладное значение. Рассмотрим представленную на рис. 2 часть городской улично-дорожной сети (далее - УДС). Дороги 9-5, 9-6 и 9-7 этой сети однонаправленные (от узла 9), остальные дороги двунаправленные. Дороги во всех направлениях двухполосные.

О

©

Рис. 2. Пример моделируемого участка УДС

Проиллюстрируем на примере этой УДС возможность комплексной оптимизации (по быстродействию дорог и по переходным вероятностям) транспортных сетей методами теории очередей. Для этого условимся представлять дороги УДС многолинейными системами массового обслуживания. Число ^-каналов каждой многолинейной системы положим равным емкости соответствующей дороги - максимальному числу автомобилей среднего размера, которые могут двигаться по дороге одновременно, т. е. могут «обслуживаться» ею параллельно во времени. Маршрутная матрица P полученной таким образом сети с многолинейными узлами-дорогами представлена в табл. 1. На практике переходные вероятности подобных маршрутных матриц можно определять путем наблюдения исследуемых УДС.

Специфика дорог как обслуживающих узлов учитывается в теории транспортного моделирования путем использования для каждой дороги индивидуальной характеристики, называемой фундаментальной диаграммой (далее - ФД), которая отражает снижение средней скорости автотранспорта на дороге при увеличении плотности движения. Сети с такими обслуживающими узлами далее называются ПБУ-сетями (сетями с подавляемым быстродействием узлов). Разрабатывается и исследуется ускоренный метод комплексной оптимизации транспортных сетей, использующий их представление ПБУ-сетями.

Имеется несколько общепринятых форм представления ФД. Определим ФД как функцию 6(р) коэффициента р загрузки дороги:

В(р) — (7)

V)

где р — АЬ / К, Л - интенсивность входа автомобилей на дорогу, Ь — Ь(р) — I / у(р) - среднее время проезда по дороге, I - длина дороги ( 0 < р < 1);

v(р) - средняя скорость на дороге при коэффициенте загрузки р;

V — ^(0) - базовая средняя скорость, т. е. скорость, с которой автомобили движутся по пустой дороге.

Таблица 1

Переходные вероятности участка УДС

Дорога / До рога /

0 7-1 2-8 9-7 7-8 3-8 1-7 7-9 8-7 8-2 8-3 9-5 9-6 9-4

0 0,3 0,3 0,4

7-1 1

2-8 0,5 0,2 0,3

9-7 0,3 0,2 0,5

7-8 0,5 0,2 0,3

3-8 0,5 0,2 0,3

1-7 0,3 0,2 0,5

7-9 0,2 0,3 0,2 0,3

8-7 0,3 0,2 0,5

8-2 1

8-3 1

9-5 1

9-6 1

9-4 1

Емкости узлов-дорог в сети достаточно велики, поэтому в случае значительной загрузки дороги случайное число автомобилей в соответствующем многолинейном узле имеет распределение, близкое к распределению Гаусса [12]. Это позволяет приближенно рассчитывать стационарные режимы и оптимизировать их характеристики, ориентируясь на среднее число машин на дорогах и на их средние скорости. Ориентация на такое приближение оправдывает использование соотношения Ь(р) — I / v(р) (из наблюдений за плотными транспортными потоками видно, что скорости автомобилей в плотном потоке практически одинаковы). В общем случае соотношение Ь(р) — I/v(р) несостоятельно, так как в нем средние Ь и V рассматриваются как средние по множеству автомобилей, движущихся с разными скоростями. Впрочем, в общем случае этот вопрос можно снять, определяя и измеряя ФД сразу как зависимость Ь(р) среднего времени прохождения дороги от нагрузки.

Как правило, ФД В(р) (7) - монотонно невозрастающие функции, поэтому, согласно (7), 0 <В(р) < 1 и при известной ФД фактическая средняя скорость v(р) на дороге определится формулой v(р) — v() В(р).

Для целей данной статьи можно использовать упрощенную ФД - одну и ту же для всех многолинейных узлов сети. Для сети, изображенной на рис. 2, выберем, например,

ФД 8(р) = —-, изображенную верхней линией на рис. 3.

1 + р2

Основные параметры дорог приведены в табл. 2. В последней строке указаны базовые средние скорости У0г, низкие значения которых объясняются плохим качеством дорог. На ремонт дорог выделен финансовый ресурс Ф* = $ 63 820. Задача оптимизации сети заключается в нахождении такого распределения выделенного ресурса по дорогам, при котором среднее время Е прохождения сети автомобилем будет минимально. При этом необходимо учесть, что после ремонта дорог водители личного транспорта могут менять свои прежние маршруты прохождения сети на новые, ставшие более выгодными.

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2

0

Р

0 0.25 0.5 0.75 1

Рис. 3. Примеры фундаментальных диаграмм

Транспортные службы также могут влиять на маршруты, в том числе на маршруты движения общественного транспорта. Такая оптимизация маршрутов накладывается на оптимизацию распределения финансового ресурса Ф* после его реализации. Поэтому распределение ресурса Ф* разумно оптимизировать одновременно с маршрутной матрицей Р. Возникает следующая задача оптимизации, в общих чертах похожая на задачу (3), (4). Требуется найти вектор добавляемых за счет ремонта скоростей у = у { и маршрутную

матрицу Р = Р доставляющие при заданной Л минимум среднего времени ответа:

Е(у, Р) = £а, (Р)

^ Ш1П -

1=1 V Жр, ) у,р

(8)

и принадлежащие области допустимых решений:

Ф(у) = (у ) = Е с^ =Ф*; 0 <р< 1; ^ Р = 1, (1 = 0, п);

1=1

1 ' ¿.^ г 1

1=1 ]=0

~ШП < Р < РШах , (1, у = 1, п) .

РШ < Ра < РШ

(9)

В (8) р = Л,Ь,/ к = аАъ,/ К = аг (Р)М /(^ ) / К. В (9) все коэффициенты нелинейности рг- примем равными единице. Стоимостные коэффициенты Сг указаны в табл. 2 в единицах измерения [доллар / (км/час)]/км = доллар х час/км2.

Таблица 2

Исходные параметры дорог

Параметр До рога 1

7-1 2-8 9-7 7-8 3-8 1-7 7-9 8-7 8-2 8-3 9-5 9-6 9-4

Длина, м 234 242 257 234 305 176 242 257 305 484 207 072 176

Емкость 47 48 51 47 61 35 48 51 61 97 41 14 35

с 399,42 414,04 440,6 1398 523,3 305,7 1412 1437 524,3 1824 1352 1123 1300

а] 0,75 0,74 0,25 0,5 0,96 1,15 1,25 1,1 0,44 0,66 0,375 0,25 0,375

У0г, км/ч 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

В (9) в ограничениях р™" -Ру —рЩ* на изменения маршрутной матрицы положим, что все р™" равны р0 - 0,1 и все рЦах равны р0 + 0,1, где р0 - исходные значения

переходных вероятностей, приведенные в табл. 1. При этом вероятности, заданные нулями и единицами, не варьируются. В практических задачах ограничения на изменение переходных вероятностей более естественно задавать в виде ограничений на частоты а [9]. Как показывают численные эксперименты, такой способ задания ограничений не влияет на эффективность предлагаемого подхода.

Оптимизация транспортных ПБУ-сетей в режиме низкой нагрузки. На практике распределение ресурса Ф* (8) по многолинейным узлам ПБУ-сетей (по дорогам транспортных сетей) можно оптимизировать для режима низкой нагрузки р ^ 0, т. е. для режима, когда автомобили движутся по пустым дорогам, не учитывая при этом возможность модификации маршрутной матрицы, если поводы для такой модификации оцениваются как незначительные. Задача оптимизации при этом значительно упрощается и решается аналитическими методами. Основной вопрос к правомерности такого подхода заключается в том, как изменится целевая функция Е оптимизированной таким образом сети, когда нагрузка дороги будет значительной, например, в часы пик перед выходными днями.

Решим эту упрощенную задачу оптимизации и оценим качество упрощенного решения на примере ПБУ-сети, построенной в предыдущем разделе статьи. Задача (8), (9) в результате упрощения ставится следующим образом. Требуется найти вектор скоростей у = у ,, добавляемых за счет ремонта дорог, доставляющий минимум среднего времени ответа:

Е(у) = Еа ,

I

^ шт -

~ '^0, +уг у

(10)

и принадлежащий области допустимых решений:

Ф(у)=Е>-(У)=Есу =Ф* •

(11)

Задача (10), (11) легко решается методом множителей Лагранжа, и при всех Д = 1 оптимальное решение определяется выражением:

У г =.

Ас

- -, ' = п,

(12)

где А =

( п

г=1

Е1с л, +Ф*

V '=1

п

п

г=1

г=1

2

п

Здесь X - множитель Лагранжа.

Используя параметры сети, приведенные в табл. 2, по формуле (12) получаем на дорогах 7-1, 2-8, ..., 9-4 оптимальные добавляемые скорости (в км/час) 42,59; 41,31; 18,91; 12,95; 41,98; 64,45; 26,11; 23,57; 25,16; 13,09; 10,21; 8,11; 10,62. С учетом базовых скоростей средние скорости на дорогах составят в результате ремонта 52,59; 51,31; 28,91; 22,95; 51,98; 74,45; 36,11; 33,57; 35,16; 23,09; 20,21; 18,11; 20,62 (км/час).

Теперь рассмотрим, насколько это решение отличается от еще более простого решения,

Ф*

распределяется по дорогам равномерно, т. е. пропорционально длине дорог. На каждую дорогу при этом выделяется ) = с1 у=^г-Ф* = —1— Ф*

В 3,191

долларов, и, следовательно, мы получаем добавленные скорости у = Ф*/(3.19Ц) . В сумме с базовыми скоростями в результате такого ремонта дорог 7-1, 2-8, ..., 9-4 на них достигаются средние скорости 60,07; 58,30; 55,39; 24,30; 48,22; 75,43; 24,16; 23,91; 48,15; 20,96; 24,79; 27,82; 25,39 (км/час).

Для сравнения качества двух рассмотренных решений в широком диапазоне нагрузок выполнены соответствующие имитационные эксперименты с транспортной сетью.

Имитационная модель воспроизводит следующие особенности движения транспортных потоков, не учитываемые ПБУ-сетью:

- скорость автомобиля, входящего на дорогу, определяется фактической (т. е. случайной) загрузкой дороги на текущий момент времени;

- при попытке перехода на следующую дорогу могут возникать блокировки (если на выбранную дорогу автомобиль перейти не может из-за ее полной занятости, то он не покидает текущую дорогу).

Модель имеет достаточно много и более тонких соответствий реальным транспортным потокам, в том числе возможность учета длительности фаз светофоров. Перечисление и обоснование этих соответствий не входит в задачи нашей статьи.

400

300

200

100

0

Е Зависимость целевой функции Е от нагрузки Л

^Е^ХЕ 3

Е ' 3 с

Л

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Рис. 4. Изменение качества оптимизированных сетей с ростом нагрузки

На рис. 4 сравниваются Е(Л)-характеристики ПБУ-сети, оптимизированной в режиме малой нагрузки (тонкая линия Е\), и соответствующей транспортной сети (полужирная кривая Е1). При изменяемых Л характеристика Е'1 рассчитана по формуле (8) при добавочных скоростях (12) и заданной в табл. 1 матрице Р. Характеристика Е1 получена путем прогонов ИМ. Кривые Е2 и Е'2 являются аналогичным образом полученными характеристиками транспортной сети и ПБУ-сети, в которых ресурс Ф* распределялся по дорогам пропорционально их длине,

т. е. в равном количестве на каждый километр дорог. Интенсивность Л указана в числе автомобилей в секунду, время Е - в секундах. Сравнение полученных характеристик показывает, что оптимизированные по нулевой загрузке сети обладают заметно лучшими пропускными способностями, чем сети, ресурс ремонта которых распределялся равномерно. В стационарном режиме среднее время проезда через оптимизированные сети меньше, и они переходят в нестационарный режим (вертикальные участки графиков) при большей интенсивности Л входящего в сеть потока. Соответственно, если в час пик заторы возникнут, то они наступят позже, будут мягче, короче и расформируются быстрее.

Характеристики Ез, Езс и Езс, показанные на рис. 4, достигаются за счет комплексной оптимизации, учитывающей нагрузку и возможность изменения переходных вероятностей.

Оптимизация транспортных ПБУ-сетей в режиме высокой нагрузки. При ненулевой интенсивности Хг входа автомобилей на дорогу г возникает положительный коэффициент ее загрузки р > 0. Это приводит к уменьшению значения ФД 81 (р) = 5(р)

(рис. 3) и уменьшению фактической средней скорости V = Уа1д(р) на дороге. Учитывая ФД, запишем для коэффициента загрузки рг- произвольной дороги уравнение:

Р =

Ab А

l

Ро

K K,Vo, -5(р) 5(р,)

= Ро,(1 + Р,2),

(13)

где - длина дороги;

рш=АЬ /() - виртуальный коэффициент загрузки, который имел бы место, если бы скорость автомобилей с ростом нагрузки не снижалась.

Уравнение (13) приближенно выполняется в стационарном режиме. Решение квадратного уравнения (13) имеет вид:

Р =

1

2Poi V

1

(2Poi)

._ 1 = Voi K

А Ц

Л, г V V0iKi

v А j

_1

(14)

где А — агА. Это решение корректно (соответствует стационарному режиму) при рт < 1/2 (в этом случае р < 1).

Используя решение (14), выразим целевую функцию (8) непосредственно через параметры ПБУ-сети и сформулируем задачу ее комплексной оптимизации следующим образом.

Требуется найти вектор скоростей у — yopt и маршрутную матрицу P — Popt, доставляющие минимум среднего времени ответа E(y, P) при заданном Л > 0:

E(y, р)—£ off* (1+р2) — Ё ога

i—1 V0i +Уг i—1 V0i +Уг

и принадлежащие области допустимых решений:

f (

1 + V0,K,

2а, (P)li ^

V V

С л, v V

V0iKi

2а, (P)li

_ 1

^ min _

у,р

(15)

ЁсУ — Ф*; 0 <р, < 1; ЁPj— 1, (i — 0,n); p™1 < pv < p™*, (i, j — 1,n).

j—0

(16)

i— 1

Эту задачу комплексной оптимизации удобно решать путем многократной поочередной оптимизации текущего решения только по добавочным скоростям уг- и только

по матрице P - такие итерации очень быстро сходятся к решению, оптимальному одновременно и по добавочным скоростям, и по маршрутной матрице P.

При небольших размерах сетей, когда число дорог находится в пределах сотни, сети можно оптимизировать с помощью стандартных программ оптимизации, использующих для вычисления градиентов численное дифференцирование. При этом затраты времени персонального компьютера средней мощности составляют от доли секунды до нескольких секунд. В случае, когда ПБУ-сети содержат сотни узлов, нужен точный расчет градиентов целевой функции по переходным вероятностям. Такой расчет быстро выполняется методом вспомогательных СЛАУ, предложенным в статье.

Решая задачу (15), (16) при некоторой Л > 0, мы находим такое распределение ресурса Ф* по ремонтируемым дорогам, которое наиболее эффективно проявится при интенсивности входящего в сеть потока, равной Л.

На рис. 4 характеристика E3 транспортной сети рассчитана путем ее имитационного моделирования при параметрах уг-, полученных решением задачи (15), (16) при Л = 0,75 автомобиля в секунду и при фиксированной матрице P, заданной в табл. 1.

Характеристика E3C рассчитана путем имитационного моделирования транспортной сети при параметрах уг- и P, полученных решением задачи (15), (16) при Л = 0,75 автомобиля в секунду, при варьировании скоростей уг- и при варьировании вероятностей pij в диапазоне ± 0,1 (т. е. при параметрах, полученных путем комплексной оптимизации сети).

Кривая Ef3C характеризует соответствующую ПБУ-сеть и рассчитана без имитационного моделирования, непосредственно по выражению целевой функции (15).

Приведем решение у=уорt, P = Popt, задачи (15), (16), полученное для Л = 0,75 и

обеспечивающее характеристику E'3C для ПБУ-сети и характеристику E3C для соответствующей транспортной сети (см. рис. 4):

yopt = 46,63; 44,15; 13,60; 7,54; 33,43; 80,24; 39,16; 26,09; 21,28; 7,37; 9,63; 16,63; 19,25;

Popt представлено в табл. 3.

Таблица 3

Переходные вероятности матрицы Popt

Дорога i Дорогаj

0 7-1 2-8 9-7 7-8 3-8 1-7 7-9 8-7 8-2 8-3 9-5 9-6 9-4

0 0,3 0,2 0,5

7-1 1

2-8 0,6 0,2 0,2

9-7 0,3 0,1 0,6

7-8 0,6 0,2 0,2

3-8 0,6 0,2 0,2

1-7 0,3 0,1 0,6

7-9 0,1 0,2 0,3 0,4

8-7 0,3 0,1 0,6

8-2 1

8-3 1

9-5 1

9-6 1

9-4 1

Сравнивая характеристики Eзc и Eзc с другими характеристиками, приведенными на рис. 4, можно увидеть, что комплексная оптимизация, ориентированная на большую нагрузку и учитывающая возможность частичного изменения (адаптации) маршрутов, позволяет существенно снизить среднее время проезда через сеть и повысить ее пропускную способность.

Экономический эффект, достигаемый оптимизацией транспортных сетей путем быстрой численной оптимизации соответствующих ПБУ-сетей, вполне очевиден.

Столь же эффективные решения получаются и в случае более «жестких» ФД, в том числе в случае, когда ФД описывается функцией, изображенной на рис. 3 нижней линией.

Заключение. Для немарковских сетей массового обслуживания разработан эффективный полуаналитический метод комплексной оптимизации маршрутной матрицы и быстродействий узлов. В качестве целевой функции используется среднее время прохождения заявки через сеть. Особенностью предлагаемого метода является эффективная реализация двух его основных частей:

- быстрого точного расчета градиента целевой функции в пространстве варьируемых переходных вероятностей методом решения дополнительных СЛАУ;

- ускоренного аналитико-имитационного расчета с повышенной точностью градиента целевой функции в пространстве варьируемых быстродействий узлов методом направляющих гипербол.

В методе направляющих гипербол время ожидания в очередях рассчитывается путем имитационного моделирования. Частные производные целевой функции по быстродействиям узлов рассчитываются в ходе моделирования путем построения адаптивных сепарабельных гиперболических аппроксимаций целевой функции. В целом разработанный метод позволяет за один сеанс работы на персональном компьютере осуществлять комплексную оптимизацию немарковских сетей, содержащих сотни одноканальных и многоканальных узлов - систем массового обслуживания.

Разработан метод комплексной оптимизации транспортных сетей для стационарных режимов в широком диапазоне изменения транспортной нагрузки. Метод основан на аппроксимации транспортных сетей немарковскими ПБУ-сетями с многолинейными узлами-дорогами, быстродействие которых падает с ростом нагрузки, а буферы для очередей отсутствуют, вследствие чего заявки ожидают освобождения в следующем узле, не покидая предыдущего.

Предложены эффективные методы комплексной оптимизации транспортных ПБУ-сетей, ориентированной на различные режимы транспортной нагрузки. Показано, что наибольший эффект в борьбе с транспортными заторами дает комплексная оптимизация, ориентированная на режим высокой транспортной нагрузки.

Литература

1. Задорожный В. Н. Оптимизация однородных немарковских сетей массового обслуживания // Проблемы упр. 2009. № 6. С. 68-75.

2. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / пер с англ.; под ред. Ю. П. Адлера и В. Н. Варыгина. М. : Статистика, 1978. Вып. 1. 221 с.

3. Johnson M. E. Jackson J. Infinitesimal Perturbation Analysis: a Tool for Simulation // J. of the Operational Res. Soc., 1989. Vol. 40, № 3. P. 134-160.

4. Rubinstein R. Y. Sensitivity analysis of computer simulation models via the efficient score // Oper. Res., 1989. Vol. 37. P. 72-81.

5. Suri R, Zazanis M. Perturbation Analysis Gives Strongly Consistent Sensitivity Estimates for the M|G|1 Queue // Mgmt Science, 1988. Vol. 34. P. 39-64.

6. Zadorozhnyi V. N. Optimization of Uniform Non-Markov Queueing Networks using resources and transition probabilities redistribution // Communications in Computer and Information Science, 2016. Vol. 638. P. 366-381.

7. Zadorozhnyi V. N., Zakharenkova T. R. Optimization of Channel Distribution over Nodes in Networks with Fractal Traffic // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines: conference proceeding, 15-17 Nov. 2016. P. 1-5.

8. Zadorozhnyi V. N. Simulation modeling of fractal queues // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics), December, 2014. P. 1-7.

9. Tsitsiashvili G. Sh. Parametric and Structural Optimization of the Queuing Network Throughput // Automation and Remote Control, 2007. Vol. 68, № 7. P. 1177-1185.

10. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / пер. с англ.; под ред. Б. С. Цыбакова. М. : Мир, 1979. 600 с.

11. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М. : Техносфера, 2003. 512 с.

12. Моисеев А. Н, Назаров А. А. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания. Томск : Изд-во НТЛ, 2015. 240 с.

13. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. М. : Мир, 1966. 288 с.

14. Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими / пер. с англ. Е. Г. Коваленко и Г. Д. Шермана ; под ред. Н. П. Бусленко. М. : Транспорт, 1972. 424 с.

15. Daganzo C. F. Urban Gridlock: Macroscopic Modeling and Mitigation Approaches // Transportation Part B. 2007. Vol. 41. P. 49-62.

16. Транспортная стратегия Российской Федерации на период до 2030 года. Проект, Москва, 5 Августа 2013 г. 183 с. URL: https://mintrans.ru/documents/ (дата обращения: 27. 12. 2018).

17. Zadorozhnyi V. N., Kornach M. A. Optimization of transport queuing networks on the basis of the method of directing hyperbole // 2016 International Siberian conference on control and communications SIBCON, sec. Control of the Large-Scale Systems, Russia, Moscow, May 12-14, 2016. P. 1-4.