Оптимизация транспортных сетей в режиме свободного движения автотранспорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

М. А. КОРНАЧ

Омский государственный технический университет, г. Омск

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СЕТЕЙ В РЕЖИМЕ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТА_

Рассматривается задача оптимального распределения ресурса по дорогам транспортной сети в режиме свободного движения. Для поиска решения используется метод множителей Лагранжа. Описывается пример оптимизации. Результаты оптимизации проверяются на имитационной модели транспортной сети с использованием программного продукта TraffOpt. Ключевые слова: имитационное моделирование, транспортная сеть, ремонт дорог.

Введение. Проблема низкого качества покрытия дорог, а также их своевременного ремонта актуальна не только в России [1], но и во всем мире [2, 3]. Каждый год часть бюджета любого города закладывается на ремонт улично-дорожной сети (УДС). Эта часть бюджета является ресурсом, использовать который можно с различной эффективностью. Одним из критериев эффективности использования ресурса является изменение среднего времени проезда через УДС. При оптимальном распределении ресурса среднее время проезда через сеть приближается к своему минимальному значению. Задача оптимального распределения ресурса является задачей параметрической оптимизации. При этом варьируемыми параметрами являются доли ресурса, выделяемые на дороги УДС. В общем случае данная задача решается с помощью метода направляющих гипербол [4], позволяющего найти оптимальное распределение ресурса за 6 — 8 итераций [5]. Каждая итерация состоит из двух этапов: аналитическое решение задачи и уточнение найденного решения с помощью имитационного моделирования. В режиме свободного движения автотранспорта решить задачу оптимизации можно с помощью метода множителей Лагранжа [6], который в [7] используется для оптимизации высокорезервированных немарковских сетей с очередями.

Благодаря высокой точности получаемых результатов уточнение с помощью ИМ не требуется, что значительно уменьшает время, затрачиваемое на оптимизацию.

Постановка задачи. Задача оптимального распределения ресурса по дорогам УДС заключается в минимизации среднего времени Е проезда через сеть:

I

(1)

1"Т гч+Нч

Коэффициенты а одноз начно определяются из системы узавнений баланса:

п

Т/Н~ООн-уРу1, ' н 0,...,п н0 т1,

>0

где р.. — вероятность перехода с г-й дороги на у-ю.

Варьируемыми параметрами в задаче (1) являются значения дополнительных скоростей ф.. При этом любая дорога транс пор тно й с ети обладает базовым ресурсом, который обеспечивает на ней скорость г.. Перераспределять базовый ресурс по дорогам УДС невозможно. При решении задачи оптимизации пррдпилагается, что из-за плохого качества покрытзя средняя скарооть V. недостаточна, т.е. ТС не могут передвигаться с желаемой скоростью, и что выдеиенин оо нолниоеньного рчсуэра повышает средню ю скорость на де ро ге.

Ограничени пм задачи оптимизации является суммароое кнАичнство выднленнпго на ремонт дорог ресурсг <+*:

ф(а) н о¡,с,ая' н ф* н сошг,

(2)

где с. — сооимосаный коэффициент, отражающий затраты резурса на 1 км дороги для увеличения средней скоуосзо на 1 фм/ч; н. — коэффициент нелинейности; Ф* нР: 0 — иоиичество выделенного ресурса.

Решенид ридачме. Под режимом с+ободного движения звтотран+яортя понимается режим, в котором интенсив но с ть н а доро ге н астоль ко мала, что ТС не умеют никаких пространственных взаимодействий. У]эавнания для оггннмальных значений варьируемых п араметров и для множителя Лагранжа X, соотвзосооуюнаеФн Фграничению (2), имеют вид:

^ + Я/рСрЯрНЯ111 н 0,

р Не

где а — срнднее нисло посещенип 1-го дороги транспортным средс тв ом (ТС), заходящим в сеть; Ъ . — среднее время проезда по г-й дороге; ¡. — длина г-й дороги; г. — средояя баз онфя скороять на г-й дороге; ф — дополнитель нная скорость на г-й дороге, определяемая количеством выделенного ресурса.

—+Я1 с я няпм1 н 0,

п ИГИТИ '

ННп

О 1рнНЯ' мф* н 0.

н

¡н!

Из (3), выполняя дифференцирование, получаем:

К-ОО2

а „1„

(ы„+Ф„)2

-ШлФГ^

+5'„с„у„оИя р1 = о,

или, иначе,

ф? '-е* = о,

}^С1|Р1С|)1ар1(1*1+р,1)2 = а1,

5с„У„Ф„ЫУ(р°е-ф„ )2=а„

2>|ф1 =1е*.

Ф| =

ЧРУ

- е. |'=1,...|и.

ф' = -!--Р., I =1,..., И ■

1 5п

§ 'си^;! - р| 1=ф •

Таким образом, расчет множителя Лагранжа производится в соответствии со следующим выражением:

( я _ V

Е '¡у^ч

(4)

х =

Е 'ПЫг +Ф'

V ¡=1

(9)

(5)

Описание экспе=пментоо1 Решение задачи оптимизации было произведено на участке улично-дорожной сети (УДС) города Омска. Участок УДС включает в себя 9 узлов и 13 дорог. Схема участка приведена на рис. 1. При выполнении оптимизации данный участок УДС можно представить в виде ориентированного графа транспортной сети, вершинами которого являются перекрестки, а ребрами — дороги между перекрестками. Маршрутная матрица данного граф а приведена в табл. 1. Для оптимизации данноп УДС выделено Ф* = 63820 руб.

Рассмот=им ситуацию, в которой все стоимостные коэффицае нпы + одинаковы:

Отсюда находим уравнение для долей дополнительного ресурса:

с = сояз( = 1000

руб.•ч , I = 1, ...,

(10)

(6)

В случае? ко1да ? = (-... ,1)) . =скояое решение принимает вид:

(7)

Подставив выраже—ие (7) и р. = 1 в последнее уравнение систамы (5), по—.им

(8)

Выделенный ресурс распределен равномерно на каждый километр транспортной сети, равномерное распределение ресурса по дорогам сети Фравн приведено в табл. 2. Применив распределение ресурса Фравн к УДС, находим по формуле (1), что значение среднего времени проезда через сеть составляет Е = 264,48 секунд.

По формуле (7) рассчитано оптимальное распределение ресурса Фопт (табл. 2). Применяя распределение ресурса Фопт, получаем значение среднего времени проезда через сеть Е = 247,6 секунд.

Рассмотрим ситуацию, в которой стоимостные коэффициенты с. принимают неодинаковые значения (табл. 3).

=1

1=1

п

ам

Рис. 1. Пример моделируемого участка УДС

Маршрутная матрица исследуемого участка

Таблица 1

Номер вершины графа 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 1 0

3 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0,3 0 0 0 0 0 0 0,2 0,5

8 0 0,2 0,3 0 0 0 0,5 0 0

9 0 0 0 0,3 0,3 0,2 0,2 0 0

Таблица 2

Результаты оптимизации при одинаковых значениях стоимостных коэффициентов

Таблица 3

Результаты оптимизации при разных значениях стоимостных коэффициентов

Дуга графа Стоимостные коэффициенты с, руб. ч/км2 Равномерное распределение ресурса Фравн, руб. Оптимальное распределение ресурса Фопт, руб.

7,1 1000 4680 7035

2,8 1000 4840 5357

9,7 1000 5140 6837

7,8 1000 4680 5231

3,8 1000 6100 5007

1,7 1000 3520 5591

7,9 1000 4840 3577

8,7 1000 5140 5230

8,2 1000 6100 8900

8,3 1000 9680 6233

9,5 1000 4140 2665

9,6 1000 1440 624

9,4 1000 3520 1527

Дуга графа Стоимостные коэффициенты с, руб. ч/км2 Равномерное распределение ресурса фравн, руб. Оптимальное распределение ресурса Фопт, руб.

7,1 399,42 4680 5600,78

2,8 414,04 4840 4518,12

9,7 440,58 5140 5755,43

7,8 1398,42 4680 6603,2

3,8 523,31 6100 4833,12

1,7 305,67 3520 3945,2

7,9 1412,04 4840 4443,52

8,7 1437,58 5140 6621,51

8,2 524,31 6100 7946,03

8,3 1824,09 9680 7667,38

9,5 1352,45 4140 3275,35

9,6 1122,59 1440 763,57

9,4 1299,67 3520 1846,8

Как и в предыдущем эксперименте до оптимизации, выделенный ресурс распределен равномерно на каждый километр транспортной сети. Равномерное распределение ресурса по дорогам транспортной сети Фравн приведено в табл. 3. Применив это распределение ресурса, получаем значение среднего времени проезда через сеть Е = 208,6 секунды.

В результате применения оптимального распределения ресурса Фопт (табл. 3) получаем Е = 202,94 секунды.

На графиках, приведенных на рис. 2 и рис. 3, для выше описанных экспериментов наглядно показано изменение среднего времени проезда через сеть с ростом входной интенсивности транспортного потока. На этих графиках видно, что разница среднего времени проезда через сеть до и после оптимизации в результате выхода из режима свободного движения не уменьшается. Из этого можно

сделать вывод, что результаты оптимизации могут использоваться не только в режиме свободного движения автотранспорта. Графики на рис. 2 и рис. 3 получены с помощью имитационного моделирования сети средствами Тга!Юр1 [8].

Заключение. В данной статье решена задача поиска оптимального распределения ресурса по дорогам УДС в режиме свободного движения автотранспорта. Для решения этой задачи использован метод множителей Лагранжа.

Показано влияние разных распределений ресурса на среднее время проезда через сеть. С помощью имитационного моделирования установлено сохранение результатов оптимизации, полученных в режиме малой загрузки дорог, после увеличения нагрузки.

В результате оптимизации среднее время проезда через сеть в среднем уменьшалось на 15 %

Рис. 2. Влияние входной интенсивности транспортного потока на результаты оптимизации при с = const

Рис. 3. Влияние входной интенсивности транспортного потока на результаты оптимизации при с # const

и 3 % по сравнению с равномерным распределением ресурса.

Для проверки результатов оптимизации был использован программный продукт TraffOpt. Транспортная модель создавалась с использованием [9, 10].

Библиографический список

1. Скрыпников А. В., Кондрашова Е. В., Скворцова Т. В. Метод оптимизации планов ремонта участков лесных автомобильных дорог // Современные проблемы науки и образования. 2011. № 6. С. 119.

2. Zhang T. Z., Lu Y. M. Study on simulation and optimization of the road rush-repair model after disaster // Applied Mechanics and Materials. 2011. Vol. 50. P. 298-303. DOI 10.4028/www. scientific.net/AMM.50-51.298.

3. Tang C. H., Yan S., Chang C. W. Short-term work team scheduling models for effective road repair and management // Transportation planning and technology. 2009. Vol. 32. №. 3. P. 289-311. DOI 10.1080/03081060903017150.

4. Zadorozhnyi V. N., Kornach M. A. Optimization of transport queuing networks on the basis of the method of directing hyperbole // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON). Moscow, 12-14 May, 2016. DOI 10.1109/SIBCON.2016.7491716. URL: http://ieeexplore.ieee.org/ document/7491716 (дата обращения: 08.04.2017).

5. Задорожный В. Н., Корнач М. А., Пендер Е. А., Танеева М. И. Двухуровневый многомодельный подход к задачам

оптимизации транспортной инфраструктуры города // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015. № 1 (137). С. 189-193.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / под. ред. И. Г. Арамановича. М.: Наука, 1973. С. 335-336.

7. Задорожный В. Н. Оптимизация высокорезервирован-ных немарковских сетей с очередями // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2014. № 3 (133). С. 21-25.

8. Задорожный В. Н., Корнач М. А. Агентный оптимизирующий симулятор ТаЮрЬ свидетельство о регистрации электронного ресурса. М.: ОФЭРНИО, 2015. № 20801 от 27.02.2015.

9. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков: пер. с англ. / Под ред. И. Н. Коваленко. М.: Мир, 1966. 287 с.

10. Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими: пер. с англ. / Под ред. Н. П. Бусленко. М.: Транспорт, 1972. 424 с.

КОРНАЧ Максим Анатольевич, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 10.04.2017 г. © М. А. Корнач