ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СТЕПЕННЫМ РОСТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927 Э.И. Абдурагимов

Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ

второго порядка со степенным ростом

Дагестанский государственный университет, abduragimov42@mail.ru

Доказывается единственность положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ второго порядка со степенным ростом и получена априорная оценка положительного решения.

Ключевые слова: положительное решение, двухточечная краевая задача, дифференциальное уравнение, единственность, степенной рост.

The uniqueness of positive solutions of two-point boundary problem for a nonlinear second order O.D.E. with degree growth is proved anda priori bound of positive solutionis obtained.

Keywords: positive solution, two-point boundary problem, differential equation, uniqueness, degree growth.

Рассмотрим двухточечную краевую задачу

y" + JLa1 (x)|y\Pi = 0, 0 < x < 1, (1)

i=i

y(0) = y(1) = 0, (2)

где pi °const> 1, i = 1,2,..., k, ai(x) - неотрицательные непрерывные функции, тождественно неравные нулю на [0,1], k > 1.

Очевидно, y ° 0 - тривиальное решение этой задачи. Под положительным решением задачи (1), (2) понимается функция y е C2[0,1], положительная приx е (0,1), и удовлетворяющая граничным условиям (2).

Существованию, единственности, оценкам и другим свойствам положительных решений нелинейных дифференциальных уравнений посвящено много работ отечественных и зарубежных математиков (см., например, [1-8] и цитированную в них литературу). Причем большая часть из них посвящена доказательству существования положительного решения и некоторым свойствам положительных решений. Работ же, посвященных доказательству единственности положительного решения, сравнительно немного. Это объясняется тем, что доказательство существования намного легче доказательства единственности. Доказательство существования можно провести, например, пользуясь теорией конусов в банаховых пространствах или методом расслоения С.И. Похожаева [2, с. 5-10]. В работах автора [5-8] единственность положительного решения доказывается для частных случаев уравнения (1). Например, в [6] единственность положительного решения доказана в случае, когда нелинейная часть в уравнении (1) имеет вид a0xmyn, a0 = const > 0, m > 0, n > 1, в [8] - для квазилинейного эллиптического уравнения с аналогичной нелинейностью. В этом случае доказать единственность удалось, используя метод преобразования Ц. На [9] уравнения специального вида. В случае уравнения (1) этот метод невозможно применить. Как нам известно, единственность положительного решения в этом случае не доказана.

В предлагаемой работе доказывается единственность положительного решения задачи (1), (2), приводится также априорная оценка положительного решения в случае, когда ai (x) > a0 = const > 0 (i = 1, 2, • , k) при x е [0,1].

1. Единственность положительного решения

Для доказательства единственности положительного решения задачи (1), (2) рассмотрим задачу Коши:

k

u" + Xät (x)|u\Pi = 0, x > 0, (3)

¿=1

u(0) = 0, u'(0) = A, (4)

где ai (x) - продолженная на [1, <»] по непрерывности неотрицательная функция ai (x) , так, чтобы

lim ai (x) > 0, (5)

i

x®¥

A - произвольное положительное число, pi = const > 1.

Лемма 1. Любому положительному числу А соответствует единственное положительное число t, зависящее лишь от A и ai (х), такое, что задача Коши (3), (4) имеет единственное положительное решение на (0, t) и u(t) = 0.

Доказательство. Из уравнения (3) и начальных условий (4) следует, что существует интервал (0, 8) с 0 < 8 < 1, такой, что u'(х) > 0 на этом интервале, т. е. функция u(х) возрастает на

этом интервале. Пусть u(8) = U0 > 0 .

Предположим противное, т. е. u(х) > 0 при всех х > 0 . Интегрируя два раза от 0 до х уравнение (3) с учетом начальных условий (4), получим:

k х

u(х) = Ах - X j (х - s)ai (s)|u p (s)ds. (6)

i=1 0

Из уравнения (3) следует, что u"(х) < 0 при х > 0 . Следовательно, u(х) - выпуклая вверх функция при х > 0 . Пусть х1 > 0 - некоторое число. Из положительности и выпуклости вверх u (х) следует, что

J 8 + х1 ^ > u(8) + u(х1) > u0 (7)

[ 2 J 2 2 2'

Кроме того, в силу выпуклости вверх u (х) для любого 0 < s < х

s

u(s) > — u(x).(8)

x

Поэтому из (6) при x > 0 получаем:

k uPi ( r) x

u(x) < Ax - j a (s)(x - s)sPids .(9)

i=1 xPi 0

При x > 0 имеем

k u Pi (x) x k 1

X P ' Jät(s)(x - s)sp-ds > x2X u0P'Ja(xt)(1 - t)tpdt.

Тогда из (9) имеем

Отсюда следует

2 k 1 _

u(x) < Ax - x2 X uP J at (xt)(1 -1)tPi dt.

i=1 0

Xu0Pi J a (xt)(1 -1)tPidt < aA . i=1 0 x

Переходя здесь к пределу при х ®<х> и учитывая (5) при этом, получаем противоречие. Следовательно, существует точка t > 0 такая, что и{1) = 0, причем и(х) > 0 при х е (0, t). В силу выпуклости вверх и(х) точка t будет единственной. Кроме того, и(х) > 0 при х е (0, 1) и и^) = 0 . Из (6) следует, что и(х) < Ах, т. е. решение и(х) задачи Коши (3), (4) на [0, t] ограничено. Следовательно, ограничена и вторая производная и"(х) . Поэтому и е С 2[0, t]. Лемма доказана.

По лемме 1 каждому положительному значению A в (4) соответствует единственное положительное значение t такое, что u(t) = 0, т. е. определена функция t = t(A).

Лемма 2. Функция t(A) непрерывна и убывает при A > 0, lim t(A) = +<х>, lim t(A) = 0 .

A® 0 A®+¥

Доказательство. С помощью замены u = Av задачу (3), (4) можно записать в виде

k

v" + £ A Pi (x)| V Pi = 0, x > 0, (10)

¿=i

v(0) = 0, v'(0) = 1. (11)

Интегрируя два раза от 0 до X уравнение (10) с учетом начальных условий (11), получим:

k x

v(x) = X -£ APi-1J(x - s)ät (x)|v\Pi (s)ds, 0 < x < t. (12)

i=1 0

k -1 t _

Т. к. u(t) = 0, то и v(t) = 0 . Поэтому из (12) имеем t = £ APi J(t - s)ai (s)|v\P' (s)ds или

i=1 0

F(t, A) ° £ APi-1j (t, A) -1 = 0,(13)

i=1

' ( s V P-

где p. (t, A) = J 1--a (s)|v| ' (s)ds . Очевидно, pi (t, A) - непрерывная функция при t > 0 и

0 V t.

A > 0 и возрастает по t. Покажем, что

limp. (t, A) = 0 , lim рг (t, A) = +¥ . (14)

t®0 t®+¥

В самом деле, в силу (12) v(x) < x при 0 < x < t. Поэтому

' ( s \ tP'+2

p. (t, A) =11 1--I a. (s) v (s) Pi ds < max a. (s )-

0 V 10 0<s£t

(pt +1)( pt + 2)

Отсюда следует, что lim j(t, A) = 0. Первое равенство в (14) доказано. Далее, нетрудно

t ®0

убедиться, что из выпуклости вверх и неотрицательности v(s) следует неравенство

v(s) > |v||, s е [0, t], где d(s) = min(s, t — s) - расстояние от точки s до границы отрезка [0, t], v = maxv(s) .

0<s<t

Тогда из вида функции pt (t, A) имеем

p - (t, A) > I |v||p' J a.. (s)^1 - s | ^ds ||v||p' '\ät (s - s ) ^tp^ds =

P t/2

f

0

J (s) 1 - -1-1 ds = \\v\\Pi t J(tz)(1 - z)zPidz.

f c\Pi 1/2

^ It II II P' . Г —

a'

V

t

V t 0 0

Т. к. 0 < v < t, то отсюда в силу (5) следует второе равенство в (14).

Пусть A = A0 - произвольное положительное число. Т. к. j(t, A) возрастает по t от 0 до

+ ¥ и lim j (t, A) = 0, то существует t = to > 0 такое, что пара (t0, Aq) удовлетворяет равен-

t®0

ству (13). Причем, когда A пробегает все значения из интервала (0, да), t также пробегает все значения из интервала (0, да) . Очевидно, в любой окрестности {|t —10| < t1, |A — < A1}, где t1 < to, A1 < Aq , функция F(t, A) непрерывна по t и A и возрастает по t. Поэтому по теореме о неявной функции существует однозначная непрерывная положительная функция t = t(A) при A > 0 . Дифференцируя по A равенство (13), получим:

£ (Pi -1) APi ~2ji (t, A) + £ § = 0. (15)

i=i i=i dt dA

. .. , dj (t, A)

Т. к. ji (t, A) положительные и возрастающие по t функции, то -> 0 . Поэтому из

öt

dt

(15) следует, что —< 0, т. е. t (A) - убывающая функция. Следовательно, обратная функция

OA

A = A(t) также является непрерывной и убывающей. Из (13) следует

kAPM-1 jM(t, A) > 1, kAPm-1 jm(t, A) < 1.

где Pm = maXPi), Vm (t, A) = niax j (t, A), Pm = min(p,), Щм (t, A) = max j (t, A), или

1< i < k 1<ilk 1<ilk 1<ilk

1 / 1

-r < j (t, A) <-r.

kAPM-1 kAPm-1

Т. к. ji (t, A) - непрерывная возрастающая по t от 0 до ¥ функция, то отсюда следует, что

lim A(t) = +¥ и lim A(t) = 0 . Следовательно, для обратной функции

lim t(A) = 0, lim t(A) = +¥. Лемма доказана.

Следствие. Существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция t(A) (A > 0) такая, что lim t(A) = +¥, lim t(A) = 0 и решение задачи Коши

A®0 A®+¥

k

u " + £ äi (x)|u| Pi = 0, v(0) = 0, v'(0) = A, A > 0

i=1

существует, единственно, положительно на (0, t(A)) и u(t(A)) = 0.

Перейдем к доказательству единственности положительного решения задачи (1), (2). Рассмотрим задачу Коши:

У" + Ха (x)|y|Pi = 0, x > 0,(16)

i-1

y(0) = 0, y' (0) = A, A > 0.(17)

По следствию существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция

t(A) такая, что lim t(A) = +<x>, lim t(A) = 0 и решение задачи Коши (16), (17) существует,

A®0 A®+¥

единственно, положительно на (0, t(A)) и y(t(A)) = 0. Из указанных свойств функции t(A) следует, что уравнение t(A) = 1 имеет единственное положительное решение A = Aq . Следовательно, решение задачи Коши (16), (17) при A = Aq существует, единственно, положительно на (0, 1) и y(1)) = 0 , т. е. краевая задача

y " + £ а (x)| y|Pi = 0, 0 < x < 1, y(0) = 0, y(1) = 0

i-1

имеет единственное положительное решение. Поскольку ai (x) совпадает с ai (x) при x е [0,1], то доказана

Теорема 1. Если функции at (x) - непрерывны, неотрицательнына [0,1] и тождественно не равны нулю, то задача (1), (2) имеет единственное положительное решение.

Замечание. Т. к. произвольный отрезок [а, b] (а < b) заменой t =- можно свести к от-

b - а

резку [0,1], то утверждение теоремы справедливо и для задачи

k , P

y" + Хat (x)|y\Pi = 0, а < x < b, y(a) = 0, y(b) = 0. i=1

2. Априорная оценка положительного решения

Предположим, что при х е [0,1] в уравнении (1)

ai (х) > a0 = const > 0, i = 1, 2, • , k.(18) Пусть max у(х) = M . Справедлива

0<х<1

Теорема2. Если ai (х) - положительные непрерывные функции, удовлетворяющие условию (18), то для положительного решения задачи (1), (2) справедлива оценка

(

M < max

1, " 2(P +1_ — 2 p0-1 -- Ip0

ka0 p

V 0

■ (19)

где

Р0 = mm Pi, P = max Pi, Ip = j

1

=dt

1<i<k

1<i<k

V

£ (1 - tPi +1)

I=1

Доказательство. Т. к. положительное решение задачи (1), (2) выпукло вверх, то существует единственная точка х0 такая, что у'(х0) = 0 и, следовательно, М = у(х0). Тогда у"(х) > 0прих е [0, х0] и у" (х) < 0 при х е [х0,1]. Умножая уравнение(1) на 2у ", получим:

- 2y У " = 2y' X аг (х)yPi .

i=1

Отсюда при х е [0, х0] в силу (18) имеем

(20)

(у 2)"

>

P+- X (yPi+1)

P +1 i=1

Интегрируя это неравенство от х до х0 (0 < х < х0 ), получим:

У' 2(х)>

Отсюда имеем

У' (х) _>

P+- X (Mpi+1 - yp +1).

P +1 i=1

y ( х)

i

X (Mpi +1 - ypi +1) i=1

1

2a

0

P +1 .

Проинтегрируем полученное неравенство от 0 до х0:

M dy I 2а,

0

0

k , , VP+1

X (Mp+1 - ypi+1) i=1

Производя в интеграле замену y = Mt , получим:

1

х,

0.

rI >

k p X M^-1

2a0 P +1

Г*-1 Г- —

Отсюда, полагая М > 1 и учитывая, что при этом £Мр1 1 >л/ кМ 2 имеем

Ь=1 '

х

0

i=1

1 2a

1Р xo. (21)

Ро-1 р V р + 1

4кы 2

При х е [х0,1] из (20) в силу (18) имеем

2у'у" = -2у'^ (х)ур > Р+- £ (уР+1)'.

г=1 р + 1 1=1

Проинтегрируем это равенство от Хо до х (Хо < х < 1):

у '2(X) > рО- £ (Мр+1 - ур+1). р +1 /=1

Отсюда, учитывая, что у'(х) < 0 при х е [х0,1], имеем

— У' (x) > 2ao

k , , VP+1'

£(Mp +1 — yp+1)

Интегрируя это неравенство от Xq до 1, получим:

M J

f dy >

0

V

£ (Mp-+1 — yp+1) i=1

2a0 (1 — Xq).

Р + 1

Отсюда, так же, как в случае отрезка [0, х0], получим неравенство

1 2a,

-- 1p > J^41 — x0).

po —1 p \ P + 1 0

VkM 2

Складывая полученное неравенство с неравенством (21), получим:

1 I po—1

1p

4k p \2(P +1) Отсюда следует (19). Теорема доказана.

Насколько полученная оценка положительного решения близка к точному значению

максимума положительного решения можно проверить на примере уравнения y + y2 =0,

которое является частным случаем уравнения (1) с k = 1, ai (x) ° 1, pt = 2. Максимальное

значение положительного решения для этого уравнения непосредственно вычисляется, с использованием метода стрельбы, и оно равно 11,79668793900... Его оценка по формуле

(19) дает 11,79668793896. Разность не превосходит по модулю числа 5-10—11.

Литература

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. -М.: Наука, 1975. - 511 с.

2. Похожаев С.И. Ободной задаче Овсянникова // ПМТФ. 1989. № 2.

3. Kuo-Shung Cheng and Jenn-Tsann Lin. On the elliptic equations Du = K(x)ua и Du = K (x)e2u // Transections of American mathematical society. 1987. V. 304. - P. 633-668.

4. Галахов Е.И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Математические заметки. 2005. Т. 78, № 2. - С. 202-211.

5. Абдурагимов Э.И. О единственности положительного решения одной нелинейной двухточечной краевой задачи // Изв. вузов. Математика. 2002. Т. 481, № 6. - С. 3-6.

6. Абдурагимов Э.И. Единственность положительного решения одной нелинейной двухточечной краевой задачи и численный метод его построения // Изв. вузов. Математика. 1998. Т. 438, № 11. - С. 3-7.

7. Абдурагимов Э.И. Единственность положительного решения двухточечной краевой зада-чидля одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Вестник ДГУ. 2007. Вып. 1. - С. 86-89.

8. Абдурагимов Э.И. О единственности положительного радиально-симметричного решения в шаре задачи Дирихле для одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. вузов. Математика. 2008. № 12. - С. 3-6.

9. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982. -294 с.

Поступила в редакцию 6 июля 2011 г.