ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОДУ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

Э.И.Абдурагимов, Т.Ю.Гаджиева, П.К.Магомедова

Численный метод построения положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а; tamila.usup@mail.ru

Достаточно много работ российских и зарубежных математиков посвящены исследованиям положительных решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. Большинство из них рассматривает вопросы существования положительного решения, его поведения, асимптотики и др. Однако мало изучены вопросы единственности положительного решения и численного метода его построения в случае нелинейных уравнений с выпуклым оператором. В данной работе делается попытка восполнить этот пробел.

Данная работа посвящена нахождению положительного решения краевой задачи, имеющей кроме того и тривиальное решение. Несмотря на то что для такого типа задач тяжело подобрать сходящийся итерационный процесс, в работе сделана попытка егонахождения. Здесь доказываются существование и единственность положительного решения краевой задачи. Отметим, что существование положительного решения можно также доказать, пользуясь теорией конусов в банаховом пространстве.

В работе также предлагается численный метод построения положительного решения, основанный на группе линейного преобразования Ц. На.Преимущество предложенного метода в том, что он не является итерационным. С помощью линейной группы преобразований решение краевой задачи сводится к решению задач Коши для ОДУ. Предложен алгоритм решения и в качестве практического применения этого алгоритма найдены таблицы значений решений трех краевых задач в узлах сетки. Соответствующие задачи Коши решались методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Чтобы иметь некоторое представление о точности полученных решений, вычислены также соответствующие невязки. В работе представлены таблицы решений и соответствующие им графики решений.

Ключевые слова: положительное решение, краевая задача, нелинейное дифференциальное уравнение, единственность, существование.

Введение

Много работ российских и зарубежных математиков (см. [1-7] и др.) посвящены исследованиям положительных решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. В большинствеиз них рассматриваются вопросы существования положительного решения, его поведения, асимптотики и др. Мало изучены вопросы единственности положительного решения и численного метода его построения в случае нелинейных уравнений с выпуклым оператором. В данной работе делается попытка восполнить этот пробел.

В работе [5] рассмотрена следующая краевая задача:

#) + хт\у\" = 0, 0 < л < 1, у, (0) = у; (0) = У(0) = 0, у()(1) = 0,, = 0, 1, 2, 3,

где т > 0, п > 1 - константы. В ней было доказано существование единственности положительного решения этой задачи и предложен численный метод его построения. При построении положительного решения такого типа краевых задач возникают трудности, связанные с тем, что у них кроме положительного решения имеется и тривиальное решение и = 0 В этом случае трудно, например, подобрать сходящийся итерационный процесс. Даже если для алгебраического уравнения х = х2 с тривиальным решением х = 0 и положительным решением х = 1 строить итерационныйпроцесс по формуле хк+1 = хк ,к = 0, 1, 2, .. ,,то он сходится к положительному решению х = 1 только в случае начального приближения х 0 = 1 или х = — 1.

Рассмотрим семейство двухточечных краевых задач:

#) + хту\" = 0, 0 < х < 1, (1)

у (0) = у; (0) = уДО) = 0, (2)

у( )(1) = 0,, = 0,1,2, (31)

где т > 0, п > 1 - константы.

Очевидно,

что у = 0 - тривиальное решение задачи (1г)-(3г). В качествеположи-тельного решения задач (1,)—(3,) принимается функция у, е С 4 [0,1], положительная при х е (0,1), удовлетворяющая уравнению (1,) и граничным условиям (2,)—(3,).

В работе доказывается существование и единственность положительного решения задачи (1г)-(3г). Кроме того, предлагается численный метод построения этого решения. Заметим, что существование положительного решения можно также доказать, пользуясь теорией конусов в банаховом пространстве [8]. В качестве примеров приводятся положительные решения (в виде таблиц значений) задачи

(1г)-(3г) ст = 0, п = 4, а

также при каждом , = 0, 1, 2 найден соответствующий вектор невязки, который позволяет судить о точности полученного решения.

1.Вспомогательные предложения

Пусть А - произвольное положительное число. Рассмотрим краевую задачу Коши:

У(4) + хт\у\п = 0, 0 < х < 1, (1.1)

у(0) = у(0) = у;;(0) = 0, (1.2)

у;(0) = А, (1.3)

где А - положительная постоянная.

Интегрируя уравнение (1.1) с учетом начальных условий (1.2), (1.3), имеем

У'"(х) = —X¡sm у(s)|nds, (1.4)

0

у;(х) = А — х (х — s) • sm у(s)|nds, (1.5)

0

у'(х) = Ах — I(х^2• sm •!у(s)|nds , (1.6)

0 2

2 Х ( _ )3

у(Л) = А Х- _ |• sm • |у(s)|" ds. (1.7)

2 0 6

Лемма.При любом А > 0 существуют единственные точки ЭС^ > Х^ > > О такие, что у(х{)) = О, у(х) > 0 приХ £ (0,:\'о) и у(х) < 0 при х > х(), у'(х1) = О, у'(х) > 0 при х е (0,хх) и у'(х) < 0 при х > хх, у" (х2) = 0, у"(х) > 0 при Х е (0, Х2) и у"(х) < 0 при Х > Х2, где у(х) - решение задачи (1.1)-(1.3).

Доказательство. Так как (у"(х))" = _Хт\у\" < 0, то у"(х) - выпуклая вверх функция. Из (1.4) следует, что у" (х) убывает. В силу того, что А > 0, у" (х) - выпуклая вверх и убывающая функция, то существует единственная точка Х2 >0 такая, что у"(х2) = 0, у"(х) > 0 при х е [0, х2) и у"(х) < 0 при х > х2.

Так как у"(х) > 0при Х е (0, Х2), то на этом промежутке у'(х) возрастает. Из (1.4) следует, что (у') "(х) < 0, т. е. у'(х) - выпуклая вверх функция приХ > 0. Кроме того, у" (х) < 0 при Х > Х2, поэтому у;(х) убывает при Х > Х2. Следовательно, найдется единственная точка Х1 > Х2 такая, что у'(Х1) = 0 , у'(х) > 0 при Х е (0, Х1) и у;(х) < 0 при Х > Х1.

Так как у'(х) > 0 на (0, Х1), то на этом промежутке у(х) возрастает и у " (х) < 0 при Х > Х2. Следовательно, у(х) является выпуклой вверх функцией при Х > Х2. При Х > Х1 по лемме 2 у'(х) <0 , поэтому у(х) убываети выпукла вверх при Х > Х1. Следовательно, найдется единственная точка Х0 > Х1 такая, что у( Х0) = 0, у( Х) > 0 при Х е (0, Х0) и у(х) < 0 при Х > Х0. Лемма доказана.

2. Существование и единственность положительного решения

Следуя На Ц. [9], введем линейную группу преобразований

Г Х = А"х,

1 ! / (2.1)

[у = А? у, , = 0,1, 2,

где а, ¡3- этоконстанты, подлежащие определению, А, - положительный параметр преобразования. В новых координатах (Х, у,) уравнение (1,) примет вид

А3_4а у(4) + А™"+3"хту" = 0. (2.2)

Константы а и ¡3 выберем так, чтобы это уравнение не зависело от параметра А,

3 _ 4а = ат + ¡¡п . (2.3)

Тогда из (2.2) имеем

у(4) + лтуп = 0, / = 0,1,2. (2.4)

Уравнение (1,) оказалось инвариантным относительно преобразования (2.1). Обозначим через Ai (/' = 0,1, 2) недостающее начальное условие в задаче(1г-)-(3,):

_у"(0) = А, ._(2.5)

Вестник Дагестанского государственного университета. 2015. Том. 30. Вып. 6 87

Параметр А подберем так, чтобы решение задачи Коши (1.1)—(1-3) с А = А{ удовлетворяло граничному условию (31). Очевидно, полученное таким образом решение будет решением краевой задачи (11)-(31).

Условие (2.5) в координатах (х, у.) запишется в виде

А,Р—2а • у; (0) = А,. (2.6)

Оно не будет зависеть от параметра А, , если выполняется условие

Р — 2а = 1. (2.7)

Тогда из (2.6) получим

у;;(0)=1.

Решая систему (2.3), (2.7), находим

а =

Р =

п — 1

т + 2п + 2

т + 4

(2.8)

(2.9)

(2.10)

т + 2п + 2

В силу (2.4), (2.8) и того, что условия (2,) в новых координатах (х,у,) будут иметь вид у, (0) = у"(0) = у;;(0) = 0, приходим к следующей задаче Коши для

V = уг (х),, = 0,1, 2 :

V(4) + х^п = 0, (2.11)

v(0) = V ' (0) = V "(0) = 0, (2.12)

V"(0) =1. (2.13)

Из леммы сА=1 следует, что существует единственная точка х.,. = 0,1, 2, такая, что для решения у(х) задачи Коши (2.11)-(2.13) V(.}(х), , = 0,1,2, определяются единственным образом на [0,х.], удовлетворяют условиям V(')(хi) = 0, / = 0,1,2 и V(1 \х ) > 0 при х е (0,х.). Выберем параметр А,в (2.1) так, чтобы х = 1 при х = х.,

, = 0,1,2, т. е. из равенства1 = А**!, .Отсюда положительный параметр А. в (2.1) определяется однозначно:

Аг = ()—а,. = 0,1,2, (2.14)

где а определяется равенством (2.9). Таким образом, решенияyi (х),, = 0,1, 2 задач (1,)-(3,)определяются единственным образом по формулам (2.1), где у1 (х) = v( х)— решение задачи Коши(2.11—2.13) на[0,х. ] с х., определяемыми по лемме с А = 1. Покажем, что уг е С 4[0,1], . = 0,1,2.

Для решения у0(х) = v(х), где у(х)— решениезадачи Коши(2.11—2.13) на

[0,х0], справедливо равенство (1.7) с А = 1и х

х

из которого следует, что

х2

0 < у0(х) < Далее, пользуясь равенствами (1.4)—(1.6) и (1.1), можно получить

оценки для у0.)(х), . = 1, 2, 3, 4. Следовательно, у0 е С4[0, х0]. Тогда из (2.1) с

1

А0 = (х0) а следует, что у0 е С 4[0,1].

Точно также для решения ух( х) = v( х) где у( х)— решениезадачи Ко-

ши(2.11)—(2.13) на [0, х1], справедливо равенство (1.7) с А = 1и х = х , из которого

_ _ х2

следует, что0 < у1(х) < Далее, пользуясь равенствами (1.4)—(1.6) и (1.1), можно

получить оценки для у0}(х), , = 1, 2, 3, 4. Следовательно, у1 е С 4[0, х1]. Тогда из (2.1) с

— 1

А = (х1) а следует, что у 1 е С 4 [0,1]. Аналогично доказывается, что у2 е С4[0,1]. Доказана.

Теорема. Задача (1,)-(3.) (.=0,1,2) имеет единственное положительное решение. Замечание1.Отрезок [0,а],где а- произвольное положительное число, заменой х

? = — сводится к отрезку [0,1]. Поэтому сформулированная здесь теорема имеет ме-а

сто для любого отрезка [0,а]с заменой условия (3.) нау(.)(а) = 0,. = 0,1,2 .

З.Численный метод построения положительного решения

Приведенные выше рассуждения позволяют сформулировать алгоритм построения единственно положительного решения задачи (1. )—(3.), состоящий из следующих шагов.

1. Вычисляем а и Р по формулам(2.9), (2.10);

2. Решаем каким-либо численным методом, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка, задачу Коши (2.11)-(2.13), начиная с х = 0до тех пор, пока лемме пункта 1не выполнится равенство у.1) (х[) = 0, . = 0,1, 2;

3. Вычисляем А. по формуле (2.14);

4. Находим решение по формулам (2.1). Замечание2.Пункт 4можно заменить пунктом

4 ". Решаем задачу Коши (1..) — (2 {), (2.5)тем же численным методом, что и в пункте

2 , начиная с х = 0 до х = 1.

В качестве практического применения этого алгоритма найдены таблицы значений решений краевых задач

у.(4) + у.4 = 0, 0 < х < 1, у, (0) = у" (0) = у" (0) = 0,

у(. )(1) = 0,. = 0Л2

в узлах хк = °.1к, к = 0,10. Соответствующие задачи Коши решались методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Чтобы иметь некоторое представление о точности полученных решений, вычислены также соответствующие невязки.

Результаты вычислений.

При .= 0:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

У 0 0.25019 1.00076 2.25170 4.00249 6.24671 8.93522 11.80737 13.82835 11.94417 0

г -0.00002 -0.00015 -0,00245 -0,01673 -0,05566 -0,14412 -0,13235 0,60998

У-

0.2 0.4 0.6 0.3 1

При.= 1

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

У 0 0.12921 0.51685 1.16291 2.06737 3.22975 4.64656 6.299 8.10922 9.81465 10.683

г 0 -0.00003 -0.00008 -0.00094 -0.00409 -0.00937 -0.02815 -0.04051

У +

15

0.2 0.4 0.6 0.3 1

При.= 2:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

У 0 0.05674 0.22694 0.51062 0.90777 1.41837 2.04229 2.77884 3.62509 4.57099 5.58671

г 0 -0.00001 -0.00019 -0.00018 -0.00064 -0.00070 -0.00152 -0.00355

Литература

1. GidasB., SpruckJ.Global and local behavior of positive solutions of nonlineare elliptic equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. -1982. -V. 4. - P. 525-598.

2. Ma R., YangB., Wang Z.Positive periodic solutions of first-order delay differential equations with impulses // Appl. Math. Comput. - 2013. - №219. - P. 6074-6083.

3. Гапоненко Ю.Л. О положительных решениях нелинейных краевых задач //Вестник Московского университета.Серия15. Вычислительнаяматематикаикиберне-тика. - 1983. - № 4. - С. 8-12.

4. Cabada A. andEnguiça R.R.Positive solutions of fourth order problems with clamped beam boundary conditions //Nonlinear Analysis.Theory, Methods&Applications. - 2011. -Vol. 74, № 10. - P. 3112-3122.

5. Абдурагимов Э.И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка и численный метод его построения // Вестник Самарскогогосударственного университета. - 2010. - № 2(76). - С. 5-12.

6. Абдурагимов Э.И. Существование положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Вестник СамГу. - 2014. -№ 10(121). - С. 9-16.

7.

FengM.Existenceofsymmetricpositivesolutionsforaboundaryvalueproblemwithintegralbounda ryconditions // Appl. Math. Lett. - 2011. - № 24. -P. 1419-1427.

8. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. - М., 1962. - 394 с.

9.На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982. - 296 с.

Поступила в редакцию 12 июля 2015 г.

UDC 517.946

Numerical method of creation of the positive solution of a point-to-point regional task for one nonlinear the ode of the fourth order

E.I. Abduragimov, T. U. Gadzhieva, P.K. Magomedova

Dagestan State University, Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a; tami-la.usup@mail. Ru

Many works of the Russian and foreign mathematicians are devoted to researches of positive solutions of regional tasks for the nonlinear differential equations. The majority of them consider questions of existence of the positive decision, its behavior, an asymptotics, etc. However, issues of uniqueness of the positive decision and a numerical method of its construction in case of the nonlinear equations with the convex operator are little studied. In this work an attempt to complete this lack is undertaken.

This work is devoted to finding the positive solution of the regional task wiyh a trivial decision. In spite of the fact that for tasks of this kind it is hard to pick up the converging iterative process, in the work an attempt of its finding is made. The existence and uniqueness of the positive solution of a regional task is proved. The existence of the positive decision is also possible to prove, using the theory of cones in space of Banach.

In the work, the numerical method of creation of the positive decision based on group of linear transformation C. Na. is also proposed. Advantage of this method is that it isn't iterative. By means of linear group of transformations the solution of a regional task is consolidated to the solution of tasks of Cauchy for the ODE. The algorithm of the decision is proposed and tables of values of solutions of three regional tasks are found in grid knots as practical application of this algorithm. The corresponding problems of Cauchy were solved by Runge-Kutt's method of the fourth order. To have some idea of the accuracy of the received decisions corresponding nonviscous are calculated. In work tables of decisions and schedules of decisions corresponding residual errors are submitted.

Keywords: positive solution, boundary problem, nonlinear differential equation, uniqueness, existence.

Received12 July, 2015