ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Э.И. Абдурагимов, Р.А. Омарова

Численный метод построения положительного решения двухточечной краевой задачи для одного дифференциального уравнения второго порядка

с дробной производной

Дагестанский государственный университет; abduragimov42@mail.ru, o. raisat@mail. ru

В работечисленными методами строится положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения с дробными производными. Этот же метод позволяет убедиться в единственности построенного решения.

Ключевые слова: краевая задача, решение, положительное, дробная производная, нелинейное.

В последние годы возрос интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так и приложениями этой теории к различным областям науки.

Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических формациях.

В последние годы стали интенсивно изучать дифференциальные уравнения с дробными производными. Имеется много публикаций отечественных и зарубежных математиков, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными (см., например, [1-11]). В частности, имеются публикации, посвященные существованию положительных решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными (см., например, [1-2], [46], [8], [12]). Однако публикаций, посвященных построению численными методами положительных решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, сравнительно мало, хотя такие задачи возникают на практике.

Поэтому наша цель - восполнить этот пробел. В работе строится численным методом положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения с дробными производными. Этот же метод позволяет доказать существование и единственность.

1. Предварительные сведения

Рассмотрим двухточечную краевую задачу:

D£+u(t) + f(t, u(t)) = 0, 0 < t < 1, (1)

u( 0) = u(1) = 0, (2)

где 1 < а < 2 —вещественное число, ичисленными методами строится это решение. В дальнейшем понадобится

Теорема 1[1, c.502]. Пусть f(t,u) непрерывно на [0,1] х [0, от). Предположим, что существуют две положительные константы r2 > гг > 0, такие, что

(У1) f(t, и) < Мг2, для всех (t, u)e[0,1] х [0, г2\, (3)

(У2) f(t, и) > Nrt, для всех (t, u)e[0,1] х [0, гг], (4)

где

М(а) = ^J G(a,s,s)ds^j ,N(a) = fj^ y(a,s)G(a,s,s)dsj ,

y(a, s) =

4 4 —, se(0,r],

[s(1 — s)]»-1 1

-7, s e [r, 1),

(45)

а функция Грина G (a, t, 5) имеет вид:

<[t(l-s)]a~1-(t-s)a-1

,0 < S < t < 1,

С(.а,^з) = { (5)

^^^^-,0 < £ < 5 < 1.

Тогда задача (1), (2) имеет не менее одного положительного решения и такого, что гг < ||и|| < г2.

3. Единственность ичисленный метод построения положительного решения

Рассмотрим численный метод построения положительного решения двухточечной краевой задачи на примере задачи

+ и2 + — + 1 = 0,0 < £ < 1, (6) и(0) = и(1) = 0, (7)

где 3/2 < а < 2. Справедлива

Лемма2. Для любого 3/2 < а < 2функция /"(£, и) = и2 + ^^ + 1 удовлетворяет

условиям теоремы 1.

Доказательство.Для этого, используя теорему 2, оценим снизу

гдефункцияС (а, £, я) определена формулой (5). Легко показать, чтоМ ^ = --^.Докажем, что М(а) возрастает по а. Имеем

М'(а) = Г'(а) [ [я(1 - я)]«"1^

- Г(а) [ 1п[я(1 - я)] [я(1 - я)]«"1^ 1

= [ {Г'(а)К1-5)]а-1-Г(а)1п[5(1-5)][5(1-5)]а-1}<^

1

= [ [я(1 - 5)]а"1Г(а)[1п(а - 1) - 1п[я(1 - я)]]^. ■'о

1 1 Так как 5(1 - 5) < -при 5е[0,1], а а - 1 > - то отсюда следует, что М'(а) > 0.

Следовательно, функция М(а) возрастает, поэтому М(а) > -^при ае 2|. При (£, и)е[0,1] х [0,г2] имеем

ятС 4

f(t,u) = и2 + —— + 1 < 2.25 < — т2, 4

где г2 = 1,т. е. условие (3) теоремы 1 выполняется. Теперь проверим условие (4) теоремы 1. Имеем

1 Г3/4 ВД) ^/4

Г 3/4

= I y(a,s)G(a,s,s)ds

-м /4

- [j(1-s)]«-1-(j-s)«-1][s(1-s)]a-1 гЗ/4 1 [S(1-S)]«-1

J~ ' -ds.

_ Г [;U-s)r --(--sr ^][5(i-5)]- - r Л/4 [s(1-s)]«"1r(a) dS + Jr (4s)«"1 Г(а)

3 з Ti з1

Так как - (1 — s) > — 5 при se 1-,-I, то отсюда следует, что

4 1 ,3/4 4 4 1

1 1 Г3/4 1 1

->-I (1 — s)a~1ds>-=-

N(a)~ 4a~1r(a)Jr ( ) _ 4а-1Г(а)4»-1 42»-2Г(а)'

Следовательно,

N(a) < 42а"2Г(а) < шах[42а"2Г(а)] = N0.

3-<а<2

Тогда при (t,u)e[0,1] х [0,rj, где г1 = —

N0

sint 1

f(t,u) = u2 + —- + 1 > 1 = = NqT-i > N(a)r1.

4

Следовательно, функция f(t,u) = u2 +---+ 1 удовлетворяет условиям теоремы

4

1. Лемма доказана.

Следовательно, по теореме 1 задача (6), (7) имеет не менее одного положительного решения при - < а < 2, причем гг < ||и|| < г2, где ||и|| = max u(t).

В дальнейшем докажем, что это решение единственно. Положительное решение задачи (6), (7) удовлетворяет уравнению

и = Ф(и), (8)

где

Г1 sins

Ф (и) = I G (t, s) [и2 (s) + — + 1] ds, (9)

-'о 4

Нелинейное уравнение (8) будем решать методом последовательных приближений:

"fc+i(t) = ф(и*)> т. е. sins

uk+1(t) = I G(t,5)

, . ■'О

U2(sK^+1

ds, k = 0,1,2,... (10)

Покажем, что Ф (и) является сжимающимся отображением на множестве

Т = {иеС[0,1]: 0 < и(ь) < 1 при £е[0Д]}. Для этого достаточно показать, что ||Ф'(и)|| < ц < 1. Легко видеть, что

Ф'(и)к=1 2С(а, ^и^Л^^я. -'о

Тогда при иеГ имеем:

||Ф'(и)|| = тах

0<£<1

2С(а, £, s)u(s)ds

г

1

< 2 Г G(a,5,5)d5 =-2—[ [я(1-я)]«"^ < ]0 1 (а) -/о

Г(а) 4«"1'

сверить, что функция Г(а)4а_1 при - < а < 2 возрастает.

Поэтому

Г(а)4а"1 > Г (3) = 2^. 2 1

Следовательно, ||Ф'(и)|| < = — = д < 1.

Очевидно, Ф(и) отображает в себя множество функций, положительных на (0,1) и удовлетворяющих граничным условиям и(0) = и(1) = 0. Пусть иева = [иеС[0,1],0 < и(£) < д]. Имеем

"1 2 , . 51П5

0 < ф(и) = [ С (а, С, 5)

"'О

+ —— + 1 4

1 . 39.

7 Г1 / 39\ 1 / 39\о --)

<(^2 +32+1) I ^ < + й) Г(а)4=Г < К+32) Г=7 < *

Следовательно, Ф(и) отображает множество^ в себя.

Так как Ф(и) является сжимающимся отображением на множестве Т и отображает множество с Т в себя, то в силу принципа сжимающихся отображений итеоремы 1 справедлива

Теорема 2.При 3/2 < а < 2 задача (6), (7) имеет единственное решение и и ± < |Ы| < ± гдеМ0 = тах3/2<а<2[42а~2Г(а)].

Кроме того, итерационный процесс (10) сходится к этому решению, и справедлива оценка погрешности:

к

Ни - М < -¡^тахо^^и^) - и0(£/)|,

где * = ^

В качестве начального приближения в (10) возьмем функцию и0(£) = Г), которая удовлетворяет краевым условиям (2). Последующие приближения ик+1&), (к = 0,1,2,...) будем вычислять в точках ^ = 0.1/,у = 0,1,2,... 10. При этом интеграл в правой части (10) будем вычислять по какой-либо квадратурной формуле, например по квадратурной формуле средних прямоугольников:

. N-1

Гс V / Ь - а _

I f(x)dx^h2^f\^i+2),TДе h = ~~^—= а + Ш,1 = 0,Ы. (11)

а 1=0

1 ■ П_1 I С(11,5)(у2(5)+5-^+1у5 « С((£у,5г)

0 ; —п

[у^ + ^ + Ч,

где 5г = 0.1г + -, г = 0, п - 1,;' = 0,1,... 10.

При вычислении интеграла в (10) функцию ик(ь)(к = 0,1,2,...) заменим интерполяционным многочленом Лагранжа 10-й степени по ее значениям в узлах £у = 0.1/,

] = 0,1,... 10.

Так как ик(ь) = ^-при к=0, то интерполяционный многочлен Ь10(£) для этой функции равен , (0 < £ < 1) в силу единственности интерполяционного много-

5(1—5)

члена. Полагаяв (10) ик(5) при к = 0 приближенно Ь10(5) = —-— и, пользуясь квадратурной формулой (11) с шагом ^=0.01, можно вычислить (при k=0) значения правой части равенства (8) при t = £у,у = 0,10, т. е. можно найти значения первого приближения %(£) при£ = Ь],] = 0,10. Далее с помощью полученных значений щ(^) можно аппроксимировать %(£)интерполяционным многочленом 10-й степени. Затем также, при

k=1, как и в случае k=0, можно вычислить значенияи2(£у), ] = 0,10 и так далее, прок

должаем вычислять тех пор, пока не окажется^—тах0<у<10|и1(£у) — и0(с,-)| <

£, где £ - некоторое малое положительное число.

При £ = 10 ~4 нами получены следующие таблицы положительных решений зада-

з

чи (6), (7) для значений а от - до 2 с шагом 0.1.

при при при при при при

t= а=1.5 а=1.6 а=1.7 а =1.8 а =1.9 а =2.0

0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.1 0.2557 0.1890 0.1392 0.1020 0.0743 0.0539

0.2 0.3459 0.2753 0.2182 0.1720 0.1348 0.1052

0.3 0.4006 0.3333 0.2760 0.2275 0.1862 0.1519

0.4 0.4332 0.3720 0.3180 0.2705 0.2286 0.1924

0.5 0.4497 0.3958 0.3468 0.3024 0.2620 0.2660

0.6 0.4538 0.4077 0.3645 0.3243 0.2865 0.2521

0.7 0.4485 0.4100 0.3728 0.3373 0.3030 0.2710

0.8 0.4364 0.4050 0.3737 0.3429 0.3122 0.2831

0.9 0.4203 0.3953 0.3693 0.3428 0.3157 0.2893

1.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Приведемсоответствующие графики полученных решений.

При а =1.5

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 t

0.4 0.3 и 0.2 0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0.4 0.3 и 0.2 0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

При а =1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8

и

и

1

1

1

При а = 1.7

При а =1.8

При а =1.9

0.4 0.3 u 0.2 0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

0.3

0.2

0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

При а =2.0

u

Приведенные результаты показывают, что полученные решения удовлетворяют условиям теоремы 2: ||и|| < — и убывают по а.

Литература

1.Zhanbing Bai, Haishen Lu. Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation // J.Math.Anal.Appl.- 2005. - В. 311. - Р. 495-505.

2.Changyou Wang, Ruifang Wang, Shu Wang and Chunde Yang. Positive solution of singular Boundary Value Problem for a nonlinear Fraction Differential Equation//Hindawi Publishing Corporation Boundary Value Problems,2011. -P. 1-12.

3.Zhang S. Existence of solution for a boundary value problem of fractional order//Acta Mathematica Scientis.- 2006.- V.26, №2.- P.220-228.

4.Bai Z.B.andLu H.S. Positive solutions for boundaryvalue problem of nonlinear fractional differential equation// Journal ofMathematicalAnalysis and Applications.- 2005.-V.311, №2.- P.495-505.

5.Qiu T. and Bai Z. Existence of positive solutions for singular fractional differential equations // Electronic Journal of Differential Equations.- 2008.- V. 149.- P. 1-9.

6.Caballero Mena J., Harjani J. andSadarangani K. Existence and uniqueness of positive and nondecreasing solution for a class of singular fractional boundary value problems // Boundary Value Problems. - 2009. - Vol.2009.- P. 10.

7.Chang Y.-K. andNieto J.J. Some new existence results for fractional differential inclusions with boundary conditions// Mathematical and Computer Modelling. - 2009. - V.58, №9.- P.1838-1843.

8.ShangS.Q. Positive solutions to singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation// Computers and Mathematics with Applications.- 2010.-V.59, №3.- P.1300-1309.

9. Бейбалаев В.Д. О численном решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона с производными дробного порядка// Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.- 2012. - № 2(27). - С. 183-187.

10. БейбалаевВ.Д., Шабанова М.Р. Численный метод решения начально-граничной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка// Вест. сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. -2010. - № 5(21). -С. 244-254.

11..Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений сдробными производными:дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 2000.

12. Бейбалаев В.Д., Давудова Ф.Ф., Ламетов А.Г. Численное решение краевой

задачи для нелинейного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка// Вестник ДГУ. - 2013 - Вып.6 - С.86-92.

Поступила в редакцию 17 мая 2014 г.

UDC 517.958

Numerical method of constructing positive solution of two point-boundary value problem for a second order differential equation with fractional derivative

E.I. Abduragimov, R.A. Omarova

Dagestan State University; abduragimov42@mail.ru, o.raisat@mail.ru

Numerical methods of positive solution of two-point boundary value problems for a nonlinear differential equation with fractional derivatives have been constructed. This method testifies the uniqueness of the constructed solution.

Keywords: boundary problem, solution, positive, fractional derivative, nonlinear.

Received17May, 2014