ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Э.И. Абдурагимов1'2, Р.А. Омарова1

Положительное решение граничной задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения с дробными производными

Дагестанский государственный университет;Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а;abduragimov42@mail.ru, o.raisat@mail.ru;

2Дагестанский научный центр РАН;Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45

Граничные задачи для нелинейных дифференциальных уравнений встречаются почти во всехобластях науки и техники. Исследованию® построению положительных решений этих задач посвящено много работ российских и зарубежных математиков. В связи с тем, что в последние десятилетия резко начала развиваться теория дробного дифференцирования и интегрирования, среди таких задач представляют интерес граничные задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными. Вопросы существования, единственности, построения решений численными методами для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производным в настоящее время неплохо изучены. Аналогичные вопросы для нели-нейныхобыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными изучены в меньшей степени. Особенно мало изучены вопросысуществования и единственности положительного решения, его построения численными методами для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными. Поэтому цель настоящей работы — попытаться восполнить этот пробел.

Вработе доказываетсясуществование и единственностьположительного решения двухто-чечнойкраевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения сдробными производными и с использованием численных методов строитсяиисследуется зависимость положительного решения данной задачи от порядка дробного дифференцирования. Доказательство существования основано на теории конусов в банаховом пространстве. Для доказательства единственности положительного решения и его построения численными методами пользуемся принципом сжатых отображений. С этой целью рассматриваемую двухточечную краевую задачу с помощью функции Грина сводим к операторному уравнению.

Ключевые слова: дробная производная, дифференциальное уравнение, единственность, существование, положительное решение.

В последнее время имеется много публикацийпосвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. Часть из них публикаций посвящена краевым задачам для таких уравнений (см., например, [1-9] идр.).

В работе [4] доказано существование и единственность положительного решения краевой задачи

Dj?+u(t) + f(t, u(t)) = 0,0 <t< 1, (1)

u( 0) = u(1) = 0 (2)

в случае f(t, и) = и2 + ^^ + 1 предложен численный метод его построения и исследо-

4

3

вано поведение решения в зависимости от а £ [~, 2].

В данной работе обобщаются результаты [4]. А именно - доказывается существование и единственность положительного решения задачи (1), (2), в которой функция f имеет более общий вид

f(t,u) = a(t)un + b(t)(a(t) > 0,b(t) >0,n>1) (3)

для значений а £ [-;2] и предлагается численный метод его построения для этих значений а.

1. Предварительные сведения. Рассмотрим двухточечную краевую задачу:

£>о+и(0 + а(г)ип(1) + Ь(£) = 0, 0 < С < 1, (4)

и(0) = и(1) = 0, (5)

где^ <а<2,п>1- вещественные числа.

Предположим,что а(£)и Ь(£)-непрерывные на [0,1] функции, удовлетворяющие условиям

0 < а(£) < А, 0 < Ь0 < Ъ(Ь) < В, (6)

где А, В, Ь0 — константы. В (4)

£>о+"(0 = /о а_У-п+1 производная Римана-Лиувилля, п = |а| + 1.

Следуя [1], введем обозначения

М(а) = ^ G(a,5,5)d5^ = y(a,s)G(a,s,s)dsJ ,

y(a,s)

---'5£(0'Г]'

(4^' 5£[Г'1)'

1 ^

где - < г < - — единственное решение уравнения

"о -1 /о -1

;(1 — 5)] —(^ — 5) = -¿,(1—^ . (7)

Здесь С (а, £, 5) -функция Грина, котораяимеет вид [1]:

, 0 < 5 < ^ < 1,

с(^) = | ^ (8)

Рассмотрим задачу

£>£+и(£) + f(t, и) = 0, 0 < £ < 1, (9)

и(0) = и(1) = 0. (10)

Справедлива

Теорема 1[1, с502]. Пусть f(t,u) непрерывно на [0,1] х [0, от). Предположим, что существуют две положительные константы г2 > г1 > 0 такие, что

f(t, и) < М(а)г2, для всех (£, и)е[0,1] х [0,г2], (11)

f(t,u) > для всех (£,и)е[0,1] х [0,гх]. (12)

Тогда задача (9), (10) имеет не менее одного положительного решения и такого, что г1 < ||и|| < г2.

2. Cуществование положительного решения краевой задачи (4), (5)

Справедлива

Лемма2. Если А, В удовлетворяют неравенству

АВ"-1 <(^-)П(п—1Т-\ (13)

то для любого 5/4 < а < 2функция f(t,u) = а(£)ип(£) + Ь(£) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Доказательство.Оценим снизу

M(a) = (i G(a,s,s)ds] Г(й)

гдефункцияС (а, £, 5) определена формулой (8).Докажем, что М(а) возрастает по а.

1 2

ИмеемМ'(а) = [/^Ц - 5)]а"1(Г'(а) - Г(а) ЦяЦ - я))^]/ (/^(1 - я]? ds) .

Так как Г"(а) = /0 1п2 5 • 8а~1е~Бй8 > 0, то Г'(а) возрастает. Поэтому

/5\

Г'(а) > Г' (-) = -0.26 ... > -0.27. \4/

ТогдаГ'(а) - Г(а) 1п[я(1 - 5)] = Г'(а) + Г(а) >

> Г'(а) + Г(а) 1п 4 > -0.27 + 0.81п4 > 0. Следовательно, М'(а) > 0, т. е.М(а) возрастает при - < а < 2 и

4

5

М(а) >М^) = 1.468 4

Пусть г2 - положительное число, которое будет уточнено в дальнейшем. В силу (6) при (£,и)е[0,1] х [0,г2] имеем

/(£,и) < Лг2п + 5. (14)

Рассмотрим функцию ^(г) = М(а)г - Агп - В.

Легко убедиться в том, что наибольшее значение этой функции при г > 0достига-ется при

-Ч^Г— (15)

В силу (13) ф(г2) > 0,т. е.Аг2п + В < М(а)г2. Тогда в силу (14)/(£,и) < М(а)г2. Условие (11) теоремы 1 выполнено.

Теперь проверим условие (12) теоремы 1.

Имеем—- = \л.л у(а, 5)С(а,5,5)а5 = \л.л --г ^ \1ГГ .—--ая +

М(а) •'1/4 ' к у 4 у 1/4 [5(1-5)]а-1Г(а)

гЗ/4 1 [5(1-5)]"-!

(45)'а-1 Г(а) .

з з Г1 з1

Так как - (1 - 5) > - - 5 при 5е 1-, -I, то отсюда следует, что

3

> --- — >-- (16)

Нетрудно проверить, что единственное решение г уравнения (7) удовлетворяет неравенству 0.5 < г < 0.7495 при - < а < 2.Поэтому из (16) следует, что

4

1 _ 5^10

-4

>

N(a) ~ 42а~2Г(а)'

Следовательно, N(a) < 2000 ■ 42а"2Г(а) < 2000 ■ max^ [42a"2r(a)] < 16

-<а<2 1

4

2000.

Тогда/(£, и) >Ь0= ^М(а) = г±М(а)при (¿,и)е[0,1] х [0,г1],где

г± = —. (17)

Условие (12) теоремы 1 выполняется. Легко проверить, что г1 <г2. Следовательно, функция = а&)ип(?) + Ъ(Ь) удовлетворяетвсем условиям

теоремы 1. Лемма доказана.

Следовательно, справедлива

Теорема 2. Если функция f(t,u) удовлетворяет условию (13), то задача (4), (5)имеет по крайней мере одно положительное решение такое, что гг < ||и|| < г2, где гг и г2определяютсяравенствами (17), (15) соответственно.

3.Единственность и численный метод построения положительного решения

краевой задачи (4), (5)

Покажем, что положительное решение задачи (4), (5), существование которого установлено в теореме 2, единственно. Положительноерешениезадачи (4), (5) удовлетворяет уравнению

и = ф(и), (18)

где

Ф(и) = J01G(t,5)[a(5)un(5) + b(s)]ds. (19)

Рассмотрим метод простой итерации

ик+1 = Ф(ик), k=0,1,2, ... (20)

Сначала показываем, что Ф(и) является сжимающимся отображением на множестве

1

(М(а)Х^

T(a) = [ueC[0,1]:0<u(t)<Q(a)npu te[0,1]}, где Q(a) = i-^j-) , т. е.||Ф'(и)|| <q=i<1.

Далее убеждаемся, что Ф (и) отображает множество

(М(а)\

Gq(a) = {ueC[0,1],0 < u(t) < д(а)},где q(a) = в себя.

Отсюда в силу принципа сжимающихся отображений следует, что справедлива Теорема 3.При - < а < 2 и выполнении условия (13) уравнение (18) имеет единст-

4

1

венное решение u G Т(а) и < ||и|| <

Кроме того, итерационный процесс (20) сходится к этому решению и справедлива оценка погрешности:!и — икЦ < 0.5fc_1 У иг — и0 ||.

В силу (21) и уравнения (4) следует, что положительное решение задачи (4), (5)и £ С2 [0,1].Следовательно, утверждение теоремы 3 справедливо и для положительного решения задачи (4), (5).

Итерационный процесс (20) нами численно реализован для ряда значений а от 5/4 до 2 по схеме, приведенной в нашей предыдущей работе [4].Для задачи (4), (5) с

п = 2, a(t) = 1,b(t) = ^^ + 1получены следующие результаты.

Значения положительных решений задачи (4), (5)

1

п-1

T 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

u1 0.000 0.529 0.596 0.618 0.617 0.602 0.577 0.544 0.507 0.469 0.000

u2 0.000 0.344 0.432 0.478 0.501 0.507 0.502 0.487 0.466 0.442 0.000

u3 0.000 0.189 0.275 0.332 0.372 0.396 0.408 0.410 0.405 0.395 0.000

u4 0.000 0.102 0.172 0.227 0.270 0.302 0.324 0.337 0.343 0.341 0.000

u5 0.000 0.054 0.105 0.159 0.192 0.226 0.252 0.271 0.283 0.289 0.000

Графики полученных решений

t

u1 - график решения при к = 1.25, u2 -график решения при к = 1.4,u3 -график решения при к = 1.6,u4 -график решения при к = 1.8,u5 -график решения при к= 2.

Приведенные результаты показывают, что полученные решения удовлетворяют условиям теоремы 3 и убывают по а.

Литература

1.BaiZ.B.,H.S. L й.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation // J.Math.Anal.Appl. - 2005. - V. 311,№ 2. - Р. 495-505.

2.Changyou Wang, Ruifang Wang, Shu Wang, Chunde Yang.Positive solution of singular Boundary Value Problem for a nonlinear Fraction Differential Equation//Hindawi Publishing Corporation Boundary Value Problems. - 2011. - P. 1-12.

3.Zhang S.Existence of solution for a boundary value problem of fractional order//Acta Mathematica Scientis.- 2006.- V.26, №2. - P.220-228.

4. Абдурагимов Э.И., Омарова Р.А.Численный метод построения положительного решения двухточечной краевой задачи для одного дифференциального уравнения второго порядка с дробной производной// Вестник ДГУ. - 2014. - Вып.6. - С.40-46.

5. Бейбалаев В.Д. О численном решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона с производными дробного порядка// Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.-

2012. - № 2(27). - С. 183-187.

6.Алероев Г.С.Краевые задачи для дифференциальных уравнений сдробными про-изводными:дис. ... д. физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 2000.

7. Ahmed Anber, Soumia Belarbi and Zoubir Dahmani.New Existence and Uniqueness Results for Fractional Differential Equations// An. St. Univ. Ovidius Constanta, versita.-

2013.- V. 21(3). - P.33-41.

9. Ivan Area, Eduardo Godoy and Juan J. Nieto. Fixed point theory approach to boundary value problems for second-order difference equations on non-uniform lattices//Advances in Difference Equations.- 2014.- V.14. -P. 1-13.

9. Youji Xu. Existence and Multiple ofPositive Solution for Nonlinear Fractional Difference Equations with Parameter // Journal of Applied Mathematics and Physics.- 2015.- № 3. - P.757-760.

Поступила в редакцию 29 июля 2015 г.

UDC 517.958

The positive solution of a boundary problem for one nonlinear differential equation with fractional derivatives

E.I. Abduragimov1'2, R.A. Omarova1

1Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a;abduragimov42@mail. ru, o. raisat@mail. ru

2Dagestan Research Centre of the Russian Academy of Sciences; Russia, 367000,Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45

Boundary problems for the nonlinear differential equations are met almost in all the fields of science. Many works of the Russian and foreign mathematicians are devoted to research and creation of positive solutions of these tasks. As in the last decades the theory of fractional differentiation and integration has been developing, special interest has been paid to the differential equations with fractional derivatives. Questions of existence, uniqueness, creation of decisions with fractional to derivatives aren't bad studied by numerical methods for the linear ordinary differential equations now. Similar questions for the nonlinear ordinary differential equations with fractional derivatives are studied to a lesser extent. Questions of existence and uniqueness of the positive decision, its construction by numerical methods for the nonlinear ordinary differential equations with fractional derivatives are poorly studied. Therefore, the purpose of this work is to try to meet this lack.

In the work, existence and uniqueness of the positive solution of a two-point boundary problem for one nonlinear differential equation with fractional derivatives is proved and, using numerical methods, dependence of positive solution of this task on the order of fractional differentiation is proved. The proof of existence is based on the theory of cones in banach space. For the proof of uniqueness of the positive decision and its construction by numerical methods we use the contraction mapping principle. For this purpose we reduce the considered two-point boundary problem by means of Green's function to the operator equation.

Keywords: fractional derivative, differential equation, uniqueness, existence, positive decision.

Received 29July, 2015