Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка и численный метод его построения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76) 5

МАТЕМАТИКА

УДК 519.946

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОДУ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ЕГО ПОСТРОЕНИЯ

© 2010 Э.И. Абдурагимов1

В работе доказываются существование и единственность положительного решения для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Предложен также неитерационный численный метод нахождения положительного решения.

Ключевые слова: существование, единственность, нелинейное дифференциальное уравнение, краевая задача, положительное решение.

Введение

Исследованиям положительных решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений посвящено много работ российских и зарубежных математиков (см., например [1-7] и цитированную в них литературу). Во многих из них рассматриваются вопросы существования положительного решения, его поведения, асимптотики. Работ, посвященных единственности положительного решения и численным методам его построения, мало, особенно в случае сильно нелинейных уравнений вида и = Аи с выпуклым оператором А. В предлагаемой работе делается попытка устранить указанный пробел.

1. Основные результаты

Рассмотрим семейство двухточечных краевых задач:

Уг(4) + Хт\Уг\П = 0, 0 <Х< 1, (1)

уг(0) = у/ (0) = у/'(0) = 0, (2)

1 Абдурагимов Эльдерхан Исрапилович ([email protected]), кафедра прикладной математики Дагестанского государственного университета, 367025, Россия, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43б.

уг(г)(1)=0, г = 0,1, 2, 3, (3)

где т ^ 0, п > 1 — константы.

Очевидно, уг = 0(г = 0,1,2,3) — тривиальное решение задачи (1)—(3). Под положительным решением задачи (1)—(3) понимается функция уг £ € С4[0,1], положительная при х £ (0,1), удовлетворяющая уравнению (1) и граничным условиям (2)—(3).

В работе доказывается существование и единственность положительного решения задачи (1)—(3). Кроме того, предлагается численный метод построения этого решения. Отметим, что существование положительного решения также можно доказать, пользуясь методом расслоения С.И. Похожаева [3]. В качестве примеров приводится положительное решение (в виде таблиц значений) задачи (1)—(3) при т = 0, п = 4, построенное приведенным здесь методом.

В данной работе продолжаются исследования автора, опубликованные в работах [8—11].

1.1. Вспомогательные предложения

Пусть А — произвольное положительное число. Рассмотрим задачу Ко-

ши:

у(4) + хт|у|п = 0, (4)

у(0)= у'(0)= у"(0) = 0, (5)

у'''(0) = А. (6)

Интегрируя уравнение (4) с учетом начальных условий (5), (6), имеем

Г X

у'"(х)= А - Лу(*)Г^, (7)

J 0

у''(х) = Ах - Г(х - 5)5т|у(5)|ПЙ5, (8)

У 0

у'(х) = Ах2 - ^Х ^^^ат|у(а)№ (9)

х3 ГХ (х _ ч)3

у(х) = Ах, - у ^^^ат|у(а)|п&. (10)

Лемма 1.1. При любом А > 0 существует единственная точка хз > 0 такая, что существует единственное решение у £ С4[0, хз] .задачи Коши (4)-(6) такое, что у'''(х3) = 0,у'''(х) > 0 при х £ (0,х3) и у'''(х) < 0 при х > х3.

Доказательство. Так как у'''(0) = А > 0 , то у'''(х) > 0 в некоторой окрестности (0, ¿) нуля. Из уравнения (4) следует, что у(4)(х) < 0. Следовательно, у'''(х) — невозрастающая функция.

Предположим противное, т. е. не существует точки х, в которой у'''(х) = = 0. Тогда у'''(х) > 0 при всех х > 0. В силу (7) из (10) и (9) следует

х3 ГХ

у(х) ^ у(А Лу(*)Г^) = уу'''(х) > 0,

х2 Гх х3

у' > у (А - /0 вт\у(в)Гйв) = Хг у'"(*) > 0.

Это значит, что у(х) — положительная всюду на (0, то) возрастающая функция. Из (10) при х > 0 имеем

Г X

Ах3 > / (х - 5)35т\у(5)\ПЙ5. (11)

Jо

Пусть хо ^ 5. Поскольку у(х) — возрастающая функция, то в силу (11) при х > хо имеем

Ах3 > Г(х - в)3вт\у(в)\^в ^ х^уга(хо)(х ,хо)4. (12)

¿хо 4

Отсюда при х = Мхо(М > 1) имеем

АМ3 > хот+1 (М - 1)4 уп(хо)

или

хот+1(М - 1)4 „, ч 1 > о 4а4М3 ) УП(хо). (13)

Так как уп(хо) > 0 и А > 0, то (13) при М ^ приводит к противоречию. Следовательно, существует точка х3 такая, что у'''(х3) = 0. Пусть 5- произвольное число из (0,х3). Из (7) имеем

хз гхз гх3

вт\у(в)\^в + вт\у(в)\^в = в™\у(в)\^в> 0.

о Jxз—¿ Jxз—¿

хз

у'"(х3 - 5) = А - вт\у(в)\га^в +

ох

Пусть теперь А — произвольное положительное число. Снова из (7) имеем

/•хз /-хз+Д /-хз

у,"(х3+А) = А- / вт\у(в)\^в- / вт\у(в)\га^в = - вт\у(в)\га^в < 0.

о хз хз-Д

Из уравнения (4) и равенств (7)-(10) следует ограниченность ||у||с4[охз]. Следовательно, существует единственное решение задачи Коши (4)-(6) на [0, х3]. Лемма доказана.

Лемма 1.2. При любом А > 0 существует единственная точка х2 > 0 такая, что существует единственное решение у £ С4[0, х2] задачи Коши (4)-(6) такое, что у''(х2) = 0, у''(х) > 0 при х £ (0, х2) и у''(х) < 0 при х > х2.

Доказательство. Так как по лемме 1.1 у'"(х) > 0 при х £ (0,х3), то у''(х) возрастает при х £ (0,х3). Поскольку у''(0) = 0, то у''(х) > 0 на (0,х3).

Предположим противное, т. е. не существует точки х, в которой у''(х) = = 0. Тогда у''(х) > 0 при всех х > 0 .Из (10) и (9) в силу (8) при х > 0 имеем

х Гх х

у' ^ ^(Ах - у (х - в)вт\у(в)\га^в) = 2у''(х) > 0,

х2 СХ х2

у(х) ^ - (Ах - (х - з) Лу(з)Г^) = ^у''(х) > 0.

6 0 6

Следовательно, у(х) > 0 и возрастает при х > 0. Пусть хо ^ хз, где хз определяется леммой 1.1. Тогда (10) в силу (11) при х > хо приводит к неравенству (12), далее — к неравенству (13), из которого получаем противоречие. Следовательно, существует точка х2 такая, что у''(х2) = 0. Очевидно, х2 ^ х3. Так как (у''))''(х) = у(4)(х) < 0 при х > 0, то у''(х)- выпуклая вниз функция. Поэтому точка х2, в которой у''(х2) = 0, единственна. Следовательно, у''(х) > 0 при х £ (0, х2) и у''(х) < 0 при х > х2. Ограниченность ||у||с4[о Х2] следует из (4) и (7)—(10). Следовательно, существует единственное решение задачи Коши (4)—(6) на [0,х2]. Лемма доказана.

Лемма 1.3. При любом А > 0 существует единственная точка х1 такая, что существует единственное решение у £ С4[0, х1] задачи Коши (4)-(6) такое, что у'(х1) = 0, у'(х) > 0 при х £ (0,х1) и у'(х) < 0 при х > х1, где у(х) — решение задачи (4)-(6).

Доказательство. Так как по лемме 1.2 у''(х) > 0 при х £ (0, х2) , то у'(х) возрастает при х £ (0,х2). Поскольку у'(0) = 0, то у'(х) > 0 на (0,х2).

Предположим противное, т. е. не существует точки х, в которой у'(х) = = 0. Тогда у'(х) > 0 при всех х > 0. Следовательно, у(х) возрастает при х > 0. Поскольку у(0) = 0, то у(х) > 0 при х > 0. Пусть х0 ^ х2, где х2 определяется леммой 1.2. Тогда так же, как и в лемме 1.1, приходим к неравенству (12). Полагая в нем х = Мхо(М > 1), получим неравенство (13), из которого получаем противоречие. Следовательно, существует точка х1 такая, что у'(х1) = 0. Очевидно, х1 ^ х2 ^ х3. Так как (у'(х))'' = = у'''(х) < 0 при х > хз по лемме 1.1, то у'(х)- выпуклая вниз при х > хз функция. Тем более она выпукла вниз при х > х1 ^ х2 ^ хз. Поэтому точка х1, в которой у'(х1) = 0, единственна, у'(х) > 0 при х £ (0, х1) и у'(х) < 0 при х > х1. Ограниченность 11у|с4[оХ1 ] следует из (4) и (7)-(10). Следовательно, существует единственное решение задачи Коши (4)-(6) на [0, х1 ] . Лемма доказана.

Лемма 1.4. При любом А > 0 существует единственная точка хо > 0 такая, что существует единственное решение у £ С4[0, хо] задачи Коши (4)-(6) такое, что у(хо) = 0, у(х) > 0 при х £ (0,хо).

Доказательство. Так как по лемме 1.3 у'(х) > 0 при х £ (0,х1) и у(0) = 0, то у(х) > 0 и возрастает при х £ (0, х1) .

Предположим противное, т. е. у(х) > 0 при всех х > 0. Так как по лемме 1.2 у''(х) < 0 при х > х2, то у''(х) < 0 и при х > х1 ^ х2, т. е. у(х) — выпуклая вниз функция при х > х1 . Следовательно, существует единственная точка хо такая, что у(хо) = 0, у(х) > 0 при х £ (0, хо) и у(х) < 0 при х > хо. Ограниченность 11у|с4[оХо] следует из (4) и (7)-(10). Следовательно, существует единственное решение задачи Коши (4)-(6) на [0, хо]. Лемма доказана.

1.2. Оуществование и единственность положительного решения

Следуя Ц. На [12], введем линейную группу преобразований

х = А«х, у = Ав у, г = 0,1,2,3, (14)

где а, в — константы, подлежащие определению, Аг — положительный параметр преобразования. В новых координатах (х, у) уравнение (1) примет вид

Ав-4ау(4) + Аат+впхтуп = 0. (15)

Выберем константы а и в так, чтобы это уравнение не зависело от параметра Аг :

в - 4а = ат + вп. (16)

Тогда из (15) имеем

у(4) + хтуТ = 0, г = 0,1, 2, 3. (17)

т. е уравнение (1) оказалось инвариантным относительно преобразования

(14).

Обозначим через Аг недостающее начальное условие в задаче (1) - (3):

у'''(0) = А. (18)

Это условие в координатах (х, у) запишется в виде

Ав-3ау'''(0) = Аг, (19)

и оно не будет зависеть от параметра А , если

в - 3а = 1. (20)

Тогда из (19) получим

уг'' (0) = 1. (21)

Решая систему (19), (20), находим

а =--, (22)

т + 3п + 1 у у

в = т + 4 . (23) и т + 3п + 1

В силу (17), (21) и того, что условия (2) в новых координатах (х, у) будут иметь вид у(0) = у'(0) = у''(0) = 0, приходим к следующей задаче Коши для у (х) :

У(4) + хтуп = 0, (24)

у (0) = у' (0) = у ''(0) = 0, (25)

уг'' (0) = 1. (26)

Из лемм 1.1-1.4 с А = 1 следует, что существует единственная точка хго, г = 0,1, 2, 3, такая, что решение у (х) задачи Коши (24)-(26) на [0, хго] определяется единственным образом, удовлетворяет условию у(г) (хго) = = 0,г = 0,1, 2, 3, и у(г)(х) > 0 при х £ (0, хго). Выберем параметр Аг в (14)

так, чтобы х = 1 при х = х,о,г = 0,1, 2, 3, т. е. из равенства 1 = А®х,о. Отсюда положительный параметр А, определяется однозначно:

А = (хо)-а ,г = 0,1,2,3,

(27)

где а определяется равенством (22). Поэтому задача (1)-(3) имеет единственное положительное решение у, £ С4 [0,1].

Теорема 1.1. Задача (1)-(3) имеет единственное положительное решение у, £ С4[0,1], г = 0,1, 2, 3.

Замечание 1. Отрезок [0, а] с произвольным положительным а заменой £ = Х сводится к отрезку [0,1]. Поэтому сформулированная здесь теорема имеет место для любого отрезка [0, а] с заменой условия (3) на у,(г)(а) = = 0,г = 0,1, 2, 3.

1.3. Численный метод построения положительного решения

Приведенные выше рассуждения позволяют сформулировать алгоритм построения единственного положительного решения задачи (1)-(3), состоящий из следующих шагов:

1. Вычисляем а и в по формулам (22), (23).

2. Решаем каким-либо численным методом, например методом Рунге-Кутта четвертого порядка, задачу Коши (24)-(26), начиная с х = 0 до тех пор, пока по одной из лемм 1.1-1.4 не выполнится равенство у(,) (х,о) = 0 с хо > 0, г = 0,1, 2, 3.

3. Вычисляем А, по формуле (27).

4. Находим решение по формулам (14).

Замечание 2. Для уменьшения вычислительной погрешности, связанной с вычислением степени А,, пункт 4 можно заменить пунктом

4'. Решаем задачу Коши (1), (2), (18) тем же численным методом, что и в пункте 2, начиная с х = 0 до х = 1.

В качестве примера приведем таблицу значений положительного решения задачи (1) - (3) при г = 0, т = 0, п = 4, полученного указанным здесь методом.

Положительное решение задачи (1) - (3) при г = 0,т = 0,п = 4

X 0,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

У 0,00 0,04 0,31 1,05 2,49 4,86 8,39 13,18 18,54 19,65 0,00

Заключение

Доказано, что каждая задача из семейства двухточечных краевых задач у,(4) + хтЫга = 0, 0 < х < 1, у,(0) = у,' (0) = у/'(0) = 0, у,(,) (1) = 0, г = 0,1, 2, 3,

где m ^ 0, n > 1 — константы, имеет единственное положительное решение, и предложен неитерационный численный метод его построения. Для данного класса уравнений результат о единственности, а также предложенный здесь неитерационный численный метод построения положительного решения являются новыми.

Литература

[1] Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М., 1962. 394 с.

[2] Похожаев С.И. Об одной задаче Овсянникова // ПМТФ. 1989. № 2. C. 5-10.

[3] Похожаев С.И. Об одном конструктивном методе вариационного исчисления // ДАН СССР. 1988. T. 298. № 6. C. 1330-1333.

[4] Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of nonlineare elliptic equations // Commutations on Pure and Applied Mathematics. 1982. V. 4. P. 525-598.

[5] Kuo-Shung Cheng, Jenn-Tsann Lin. On the elliptic equations Au = = K(x)ua and Au = K(ж) exp2u // Transactions of American mathematical society. 1987. V. 304. № 2. P. 633-668.

[6] Галахов Е.И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Математические заметки. 2005. Т. 78. Вып. 2. C. 202-211.

[7] Гапоненко Ю.Л. О положительных решениях нелинейных краевых задач // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1983. № 4. C. 8-12.

[8] Абдурагимов Э.И. О единственности положительного решения одной нелинейной двухточечной краевой задачи // Изв. вузов. Математика. 2002. № 6. C. 3-6.

[9] Абдурагимов Э.И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Дагестанский математический сборник. 2005. Т. 1. C. 7-12.

[10] Абдурагимов Э.И. О положительном решении двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка: материалы междунар. конф. Махачкала, 2005. C. 12-13.

[11] Абдурагимов Э.И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Изв. вузов. Математика. 2006. № 8. C. 3-6.

[12] На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. 296 с.

Поступила в редакцию 24/ VI/2009; в окончательном варианте — 24/ VI/2009.

12

D.H. AßdypaauMoe

POSITIVE SOLUTION OF TWO-POINT BOUNDARY PROBLEM FOR NONLINEAR ODE OF THE FOURTH ORDER AND NUMERICAL METHOD OF ITS CONSTRUCTION

© 2010 E.I. Abduragimov2

In the paper the existence and uniqueness of the positive solution for one class of nonlinear differential equations of the fourth order is proved. The numerical noniteration method to its finding is also suggested.

Key words: existence, uniqueness, nonlinear differential equation, boundary problem, positive solution.

Paper received 24/ VI/2009. Paper accepted 24/ VI/2009.

2Abduragimov Elderkhan Israpilovich ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics, Dagestan State University, Makhachkala, 367025, Russia.