CC BY
35
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86)
МАТЕМАТИКА
УДК 519.946
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2011 Э.И. Абдурагимов1
Доказаны существование и единственность положительного радиально-симметричного решения задачи Дирихле в кольцевой области для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Ключевые слова: положительное решение, задача Дирихле, кольцевая область, нелинейное дифференциальное уравнение, единственность.
Введение
Пусть Б = {х € Д2 : 1 < г < 2} — кольцевая область, г = |х|. Рассмотрим задачу Дирихле
Дм + гк= 0, 1 <г < 2, (1)
м|г=1 = м|г=2 =0. (2)
Здесь к ^ 0,р > 1 — вещественные числа.
Очевидно, и = 0— тривиальное решение задачи (1), (2). Под положительным решением задачи (1), (2) понимается функция и € С2(Б), положительная в Б, удовлетворяющая уравнению (1) и граничным условиям (2).
Положительным решениям уравнений вида (1) посвящено много работ российских и зарубежных математиков (см., например, [1-12]). Во многих из них изучаются в основном вопросы существования положительного решения, его поведение, априорные оценки и другие. Публикаций, посвященных единственности положительного решения задачи Дирихле для уравнений вида (1) с р > 1, сравнительно мало. Задача Дирихле для уравнения вида (1) в кольцевой области изучалась также в [1; 11]. Но в этих работах доказано существование, по крайней мере, одного положительного радиально-симметричного решения. Доказательство единственности положительного решения задачи Дирихле для уравнений вида (1) представляет значительные трудности, которые можно объяснить наличием тривиального
1Абдурагимов Эльдерхан Исрапилович ([email protected]), кафедра прикладной мате-
матики Дагестанского государственного университета, 367025, Российская Федерация, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43б.
решения и = 0 и тем, что р > 1. Единственность положительного радиально-симметричного решения задачи Дирихле в шаровой области размерности п для уравнения (1) без ограничений на р > 1 при п = 2 и с некоторым ограничением на р > 1 при п > 2 доказана в работах автора [12; 13] соответственно.
В данной работе эти результаты распространяются на кольцевую область. В этом случае, оказывается, не требуются никакие ограничения на показатели к > 0, р> 1.
1. Основные результаты
Доказано, что задача (1), (2) имеет единственное радиально-симметричное решение и € С2 (О) при любых к ^ 0,р > 1.
1. Вспомогательные предложения Рассмотрим уравнение
у" + гк0+2в(к+2Кр = 0, г> о (3)
с начальными условиями
у(0) = 0, у'(0) = г0, (4)
где го— произвольное положительное число.
Из уравнения (3) следует, что у" 4 0 при г ^ 0, т. е. функция у(г) выпукла вверх при г ^ 0. Поэтому в силу у'(0) = го при любом го > 0 существуют ¿о и ¿о такие, что ¿о = у(£о) > у(г) > 0 при г € (0,¿о).
Лемма 1. При любом го > 0 в (3), (4) существует единственное число ¿* > 0, зависящее лишь от к,р и го, такое, что .задача Коши (3), (4) имеет единственное решение у € С2 [0, такое, что у(г) > 0 при г € (0,1*), у(г*) = 0.
Доказательство. Интегрируя два раза уравнение (3) с учетом начальных условий (4), получим
у(г) = го г — го0+2 [ (г — s)e(0+2)svp(s)ds. (5)
о
Из уравнения (3) следует, что у"(г) < 0 в тех точках, где у(г) = 0. Следовательно, положительное решение задачи (3), (4) выпукло вверх. Как отмечено выше, существуют положительные числа ¿о и ¿о такие, что ¿о = у(го) > у(г) > 0 при г € (0,¿о). Предположим противное, т. е. у(г) > 0 при всех г > 0. Пусть ¿1 > 0— некоторое число. Из положительности и выпуклости вверх у(г) следует, что
¿о^) ^ уЫ + у(М > ¿о (6)
^ 2 ' 2 2 2 к ' и у(в) ^ |у(г) для любого в > 0. Поэтому из (5) получаем
у(г) 4 гог — г0+2уР(г) Г (г — s)e(0+2)ssРds 4 гр ./о
г0+2уР(г) Г1 г0+2г2
4 гог — го у [г) (г — s)spds = гог —, г°г—туР(г). гр Л о (р + 1)(р + 2) ^
Отсюда имеем
г0+2г2
у(г)+(РТ%Г^уР(г) 4 го('
Следовательно,
,(t) <
(p + 1)(p + 2)
„fc+U
(7)
Отсюда, полагая t = to и учитывая, что v(to) = ¿o, получаем
(p +1)(p + 2)
to ^
„k+1
' 0 "0
soo
При t = ia+i- из (7) в силу (6) имеем
~2 <
2(p +1)(p + 2) L rk+\to+ti) j
Полагая здесь
ti =
2ot1 (p +1)(p + 2)
rko+1SPo
— to > to,
имеем < . Получили противоречие. Следовательно, существует точка t*, в которой v(t) обращается в нуль. В силу выпуклости v(t) вверх точка t* единственная. Кроме того, v(t) > 0 при t G (0,t*). Из (5) следует, что при 0 ^ t ^ t* справедливо неравенство 0 ^ v(t) ^ t, т. е. решение задачи Коши (3), (4) ограничено на отрезке [0, t*]. Поэтому v G C2 [0, t*]. Лемма доказана. □
По лемме каждому значению ro > 0 оответствует единственное значение t*, т. е. определена функция t*(ro).
Лемма 2. Функция t*(ro), определенная в лемме 1, является непрерывной монотонно убывающей по ro причем, lim t* (ro) =0 и lim t* (ro) =
то^+то To^o
Доказательство. Пусть v(t,ro) — решение задачи Коши (3), (4). Обозначим w(t,ro) = дУдТ0Т0^. Дифференцируя по второму аргументу ro уравнение (3), начальные условия (4) и равенство v(t*,ro) =0, получим
w" + (k + 2)rk+1 e(k+2)tvO + prk+2 e(k+2)tvO-1w = 0, (8)
w(0) = 0, w/(0) = 1, (9)
w(t*) = 0. (10) Здесь для сокращения записи приняты обозначения
вместо
d2w(t,ro)
drl
w, w(0), w'(0),
(t, r0), w(t, r0), w(0, r0),
w(t*)
dw(0, r0)
dro
соответственно.
Полагая в (5) t = t* и учитывая, что v(t*) = 0, имеем
k+1
t*
i (t* — s)e(k+2)svo(s)ds
J о
(t*, r0)
rk+1
ft (t* — s)e(k+2)svO(s)ds
Отсюда следует, что функция Ф(г o,t*) = rt
k+1
(11)
непрерывна
при всех r0> 0 и t* > 0 и дФ(дтт°о'П
0 fj' (t*-s)e(k+2)svP(s)ds
> 0, т. е. при постоянном t* функция Ф(ro,t*)
p
о
p
w
v
t
о
или
t
о
монотонно возрастает по го. Тогда по известной теореме о неявной функции (см. [15, с. 449]) существует непрерывная неявная функция г*(го). Дифференцируя равенство (11) по г* , получим
(к + =
k dr0 _ ¡0 (t* - s)e(k+2)svP(s)ds - t* ¡0 e(k+2)svP(s)ds
/7/* / +* \ 2
d '¡0 (t* - s)e(k+2)svP(s)dsj
Jf se(k+2)svP(s)ds Jt* (t* - s)e(k+2)svP(s)ds^j
2
Отсюда следует, что ^р0 < 0, т. е. ro убывает с возрастанием t*. Тогда, очевидно, убывает и обратная функция t*(ro) с возрастанием ro. Из (5) следует, что при 0 ^ t ^ t* справедливо неравенство v(t) ^ rot. Тогда из (11) имеем
rok+1 > j^-1-.
/0 e(k+2)sr0PsPds
Отсюда получим
rok+1+P > _1_ > _Р + 1__(12)
r0 > Jt* e(k+2)ssPds > e(k+2)t* (t*)P+1. (12)
В силу монотонного убывания функции t*(ro) отсюда следует
lim t*(r0) _ 0, lim t*(r0) _
ro—ro—>0
Лемма доказана. □
2. Единственность положительного радиально-симметричного решения
Радиально-симметричное решение задачи (1), (2) удовлетворяет уравнению
и'
и'' + — + rkuP _0, 1 <r < 2 (13)
r
и краевым условиям
u(1) _ u(2) _ 0. (14)
Теорема. При любых к > 0,p > 1 .задача (1), (2) имеет единственное положительное радиально-симметричное решение.
Доказательство. С помощью преобразования Ц. На [14]
^v (15)
г = Лс и = Лв у,
где а, в— некоторые вещественные числа, Л— числовой параметр, уравнение (13) приводится к виду
Лв-2ауу
Лв-2а у" + Л-- + Л0а+Рв в0\у\р = 0.
в
Выберем здесь показатели равными между собой
в — 2а = ка + рв■ (16)
Тогда получим уравнение
у
у" + - + в0 ур = 0. в
Уравнение (13) оказалось инвариантным относительно преобразования (15).
Обозначим через А недостающее начальное условие
м'(1) = А.
В координатах (15) это условие примет вид
Aß-av'<А-а
Положив здесь
получим
(A-a) = A.
ß — а = 1,
v'(A-a) = 1.
(17)
Условие м(1) =0 в координатах (15) примет вид v(A-a) = 0. Таким образом, V является решением задачи Коши
в > г о,
v
kvp =
v(r o) = 0, v'(ro) = 1,
v" + - + sk vo = 0, s
где
ro = A-a.
Из (16) и (17) а и ß определяются однозначно
1 — p k + 2
(18)
(19)
(20)
ß
к+ р+1 к+ р+1
Сделаем замену
ч
г = 1п —. (21)
г
Задача Коши (18), (19) после этой замены приводится к задаче (3), (4).
По лемме 1 существует единственное число г* > 0 такое, что задача (3), (4) имеет единственное решение V € С2[0,¿1] такое, что v(t*) = 0, v(t) > 0 при г € (0,г*). Следовательно, в силу (21) существует единственная точка в* = гов*1 > 0 такая, что на отрезке [го, в*] задача (18), (19) имеет единственное решение V € С2[го, в*] и
v(—1)=0. (22)
В соответствии с формулами (15) значению в = г о соответствует значение г1 = = Ааго = 1 в силу (20), а значению в = в*— значение г2 = А°—\ = Г0. Выберем параметр го так, чтобы г2 = — = в*1 (го) = 2. Отсюда имеем
t*(r o ) = ln(2).
(23)
Так как по лемме 2 t*(ro)— непрерывная убывающая функция и lim t*(ro) =
то^О
lim t1(ro) = 0, то уравнение (23) имеет единственное решение ro = r*. Тогда
то
из равенства A-a = r* следует, что A определяется однозначно: A = (r*)-а. В силу (15), (20) и (22)
«(1)= Aß v(A-a) = Aß v(r o) = 0,
u(2)= Aß v(2A-a) = Aß v(s1)=0. (24)
Так как по лемме 1 задача Коши (3), (4) имеет единственное положительное решение v G C2[0,t*] и v(0) = v(t*) =0, то в силу однозначности отображений (15), (21) во множестве положительных чисел и в силу (24) задача (13), (14) имеет единственное положительное решение. Следовательно, задача (1), (2) имеет единственное положительное радиально-симметричное решение. Теорема доказана. □
Литература
[1] Bandle С., Man Kam Kwong. Semilinear elliptic problems in annular domains // Journal of applied Mathematics and Physics(ZAMP). 1989. V. 40. P. 245-247.
[2] Vieri Benci, Donato Fortinato. Some nonlinear elliptic problems with asymptotic conditions // Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications. 1979. V. 3. № 2. P. 157-173.
[3] Похожаев С.И. Об одной задаче Овсянникова // ПМТФ. 1989. № 2. C. 5-10.
[4] Галахов Е.И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Математические заметки. 2005. T. 78. Вып. 2. C. 202-211.
[5] Kuo-Shung Cheng, Jenn-Tsann Lin. On the elliptic equations Дм = K(x)ua and Ди = K(x) exp2" // Transactions of American mathematical society. 1987. V. 304. № 2. P. 633-668.
[6] Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of nonlineare elliptic equations // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1982. V. 4. P. 525-598.
[7] Похожаев С.И. О целых радиальных решениях некоторых квазилинейных эллиптических уравнений // Математический сборник. 1992. T. 83. № 11. C. 3-18.
[8] Dancer E.N., Shi Junping. Uniqueness and nonexistence of positive solutions to semipositive problems // London Math. Soc. 2006. V. 38. № 6. P. 1033-1044.
[9] Kavano Nichiro, Satsuma Junkichi, Youtsutani Shoji. On the Positive Solution of an Emden-Type Elliptic Equation // Proc. Jap. Acad. 1985. Ser A. V. 61. № 6. P. 186-189.
[10] Jiang Ju. On radially symmetric solutions to singular nonlinear Dirichlet problems // Nonlinear Anal. Theory, Methods and Applications. 1995. V. 24. P. 159-163.
[11] Абдурагимов Э.И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Дагестанский математический сборник. 2005. Т. 1. C. 7-12.
[12] Абдурагимов Э.И. О положительном радиально-симметричном решении задачи Дирихле для одного нелинейного уравнения и численном методе его получения // Изв. вузов. Математика. 1997. № 5. С. 3-6.
[13] Абдурагимов Э.И. О единственности положительного радиально-симметрич-ного решения задачи Дирихле в шаре для одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. вузов. Математика. 2008. № 12. С. 3-6.
[14] На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. 296 с.
[15] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1970. 608 с.
Поступила в редакцию 12/I/2011;
в окончательном варианте — 3/V/2011.
UNIQUENESS OF POSITIVE RADIAL-SYMMETRICAL SOLUTION OF DIRICHLET PROBLEM IN ANNULAR DOMAINS FOR ONE CLASS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER
© 2011 E.I. Abduragimov2
The existence and uniqueness of positive radially symmetric solution of Dirichlet problem in annular domain for one class of nonlinear differential equations of the second order is proved.
Key words: positive solution, Dirichlet problem, annular domain, nonlinear differential equation, uniqueness.
Paper received 12/I/2011. Paper accepted 3/V/2011.
2 Abduragimov Elderkhan Israpilovich (abduragimov42amail.ru), the Dept. of Applied Mathematics, Dagestan State University, Makhachkala, 367025, Russian Federation.
