Обратные задачи для нелинейных стационарных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

УДК 517.95

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ А. Ш. Любанова

Аннотация. Исследуется задача идентификации неизвестного постоянного коэффициента в старшем члене уравнения с частными производными -кМф1(и) + 9(Х)Ф2(и) = f (х) при граничном условии Дирихле. Здесь ^¿(и), I = 1, 2, — нелинейная возрастающая функция от и, М — линейный эллиптический оператор второго порядка. Коэффициент к восстанавливается по дополнительным интегральным данным на границе. Доказывается существование и единственность решения обратной задачи, включающего функцию и и положительное действительное число к. Ключевые слова: обратная задача, краевая задача, эллиптическое уравнение, теорема существования и единственности, фильтрация.

Введение

Данная работа посвящена исследованию обратных задач восстановления неизвестных старших коэффициентов уравнения

— ^у(к(ж, и)У^(и)) + 7(ж, и) = /, ж € О, (1)

с граничным условием Дирихле

иЫ = в(ж), (2)

где к(ж, и) — матрица функций, п(и) и 7(ж, и) — скалярные функции, О С К" — ограниченная область с границей дО.

Практический интерес к таким задачам обусловлен тем, что в многочисленных приложениях коэффициенты уравнения (1) характеризуют физические свойства среды (теплопроводность, проницаемость и т. п.). Различные вопросы, связанные с обратными задачами для (1), обсуждались в работах [1-7] (см. также ссылки в них).

Особый интерес представляет задача нахождения старших коэффициентов (1) по дополнительным граничным данным на дО или на некоторой части дО. В [1,2,6,7] эта задача рассматривалась в случае, когда п(и) = и, 7(ж,и) = 0, к(ж, и) = к(ж)Е, Е — единичная матрица, а функция к(ж) неизвестна.

В данной статье исследуется обратная задача идентификации постоянного коэффициента к в уравнении

(и)) + то(ж)^1 (и)} + д(ж)^2(и) = /(ж), ж € О, (3)

© 2016 Любанова А. Ш.

при граничном условии (2). Здесь ш(ж), /(ж), д(ж), в(ж), ^¿(и), г = 1, 2, — заданные функции, (ж) — матрица функций (ж), г,] = 1, 2,... ,п. С физической точки зрения постоянный коэффициент к можно интерпретировать как среднюю проводимость среды.

Дополнительная информация для восстановления коэффициента к задается в виде интегрального условия переопределения

дп

где ди/дК = п)д — производная по конормали, п — вектор единич-

ной внешней нормали к дО, ш = ш(ж) — заданная функция и ^ — заданное действительное число. Условие (4) описывает, например, общий расход жидкости через поверхность пласта породы.

Обратные задачи для эллиптических уравнений с аналогичными нелокальными граничными условиями переопределения рассматривались в [4, 5]. Задача для линейного уравнения (3) с ф1(р) = ф2(р) = Р обсуждалась в [4]. Работа [5] посвящена вопросам существования и единственности решения задачи (2)—(4), где Ф2(р) = р.

Если функция ф1(р) обратима в своей области определения, то задачу (2)-

(4) можно свести к обратной задаче для уравнения

—к{^у(^(ж)Уи) + ш(ж)и} + д(ж)ф(и) = /(ж), ж € О, (5)

с условиями (2) и

к / ¿в = (р. (6) оп

Основной целью настоящей работы является исследование корректности обратной задачи (2), (5), (6).

План работы состоит в следующем. В § 1 обсуждаются условия корректности и некоторые свойства решения прямой задачи (2), (5). В § 2 на основе этих результатов доказывается теорема существования и единственности решения задачи (2), (5), (6), а также приводится пример модельного уравнения, отвечающего условиям этой теоремы.

§ 1. Предварительные замечания

Начнем исследование с обсуждения вопросов корректности прямой задачи (2), (5) и некоторых свойств ее решения.

Всюду ниже будем использовать следующие обозначения: || • Уд, (•,-)д — норма и скалярное произведение в М"; || • ||, (•, •) — норма и скалярное произведение в Ь2(О); || • (•, •)1 — норма в (О), ] = 1, 2, и отношение двойственности

о

между Ж^О) и Ж—1 (О) соответственно; а(ж) — решение задачи

— ^у(^(ж)Уа) + ш(ж)а = 0, ж € О, а|дп = в(ж); (7)

b(x) — решение задачи

- div(^T(x)Vb) + m(x)b = 0, x G О, b|90 = w(x). (8)

Введем линейный оператор M : W2(0) ^ (W2(0)) * вида M = - div(^T(x)V) + m(x)I, где I — тождественный оператор, и следующее обозначение: для vi, v2 G W2(0)

(Mvi, V2)m = J[(^Vvb Vv2)R + TOV1V2] dx. n

Будем предполагать, что для оператора M выполняются следующие условия.

I. mj(x), dmij/dx;, i, j, l = 1, 2,..., n, и m(x) ограничены в О, M — эллиптический оператор, т. е. существуют положительные константы m1 и m2 такие, что для любого £ G Rn

n n n

miY, < E mj (x)£i£j < m^ . (9)

i=1 i;j = 1 i=1

II. Оператор M самосопряжен, т. е. mj(x) = mji(x), i,j = 1,...,n, и m(x) > 0.

III. Функция ^(p) — непрерывное взаимно однозначное отображение (-то, +то) на себя. Для любых p1; p2 G (-го, +то)

(^(Р1) - ^(Р2))(Р1 - Р2) > 0, i =1, 2, (10)

т. е. ^(p) — монотонно возрастающая функция.

Из предположения III следует, что существует обратная к ^(p) функция ^-1(p), которая также непрерывна и монотонно возрастает на (-то, +то).

В предположениях I—III задачи (7) и (8) однозначно разрешимы в W22(0), когда в G W23/2(dO) и дО с C2.

Существование и единственность решения прямой задачи (2), (5) гарантируется следующей леммой.

Лемма 1. Пусть выполняются предположения I—III и дО G C2. Пусть также к — заданное положительное число, / G L2(il), ß G W^2{d£l), g G C(f2), g > 0 в fi и

№(p)l< c|p|p (11)

для любого p G (-то, +то), где p, c > 0 — константы, p > 0 при n < 2 и 0 <p < n/(n - 2) при n > 2. Тогда существует единственное решение u задачи (2), (5) в W|(0).

Доказательство. Если при 0 < p < 1 функция ^(p) удовлетворяет условию (11), то задача (2), (5) сводится к случаю, рассмотренному в [5], и утверждение леммы немедленно следует из леммы 2.1 в [5].

Пусть теперь р > 1. Умножим (5) на и = и — а скалярно в Ь2(О) и проинтегрируем по частям в первом члене. Получим

kJ{(^Уи, Уи)д + ш(ж)и2} ¿ж + | д(-0(и) — -0(а))и^ж = (—д^(а) + /, и). (12) п п

Оценивая правую часть (12) с помощью неравенства Фридрихса [8, гл. 2]:

||V| < со Шв81/п О^ ||Уу||Д ^ 7 (13)

п

о

для V € Ш21(О), приходим к соотношению

kJ{(^Уи, Уи)д + ш(ж)и2} ¿ж + J д(^(и) — ^(а))и ¿ж пп

п1

/1 А С2 mP42/n О

||VÜ||2 (¿ж < — / {(^rvü, Vü)ä + той2}Йж < 0 ,, .— \\дф(а) -/II2 = С. R mW k2m1

откуда в силу (9), (10)

1 f г, , с2 mes2/™ О,

I

и и

(14)

Здесь положительная константа со зависит только от n. Из (13) и (14) вытекает, что

INI < C 1/2со mes1/n О, (15)

и 1 < a ||i + C1/2 max{1,co mes1/n О} = Ci. (16)

Для доказательства существования и единственности решения задачи (2), (5) перепишем уравнение (5) в следующем виде:

Mü = Mü + g(^(ü + а) - ^(а)) = f - #(а). (17)

____ о

В условиях леммы оператор M : W2(0) ^ W— 1(О) деминепрерывен, коэрци-тивен и монотонен. Поэтому согласно теореме 2.1 из [9, гл. III] операторное

о

уравнение (17) имеет решение и £ W2(0), и это решение единственно. Действи-

о

тельно, пусть и1;и2 £ W2(0) — два решения уравнения (17). Тогда в силу (9) и строгой монотонности оператора M справедливо неравенство

0= (MU1 - MU2,U1 - U2) 1 > TO1||V(U1 - U2) |2,

из которого вытекает, что u1 = u2.

Докажем, что u £ W2(0). Умножим (5) на Mu скалярно в L2(0):

k||Mu||2 = -(#(и), Mu) + (f, Mu).

Оценим правую часть этого равенства с помощью (11), (16) и неравенства Коши, учитывая тот факт, что в условиях леммы согласно теореме вложения L2p(O) С W2(O). В результате получим

1 2 k

ЩМчГ < ъ [c\\g\\cm\\u\\pL2p{n) + II/II]2 + -\\Мф(п)Г

1 2 k < + II/II]2 + -\\Muf,

откуда

\\Ми\\<1[сс>СПд\\2ст + \\Я]=С2, (18)

где с' — константа из неравенства вложения. Ввиду (14), (16) и теоремы 5.1 из [10, гл. 2] последнее неравенство влечет оценку

М2 < k(||Mu|| + ||u - 0У1) + IHI2 < к(С2 + Cl) + ||оУ2(к + 1), (19)

где константа к зависит от n, m1, m2, vrai maxn |дтоу/дж;|, i, j, l = 1, 2,..., n, и mes O. Таким образом, решение u принадлежит W2 (O). □

Лемма 2. Пусть выполняются предположения леммы 1. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если д-0(о) — f > 0, то решение u задачи (2), (5) удовлетворяет неравенству u < о почти всюду в O.

2. Если ^(0) = 0, f > 0 почти всюду в O и ß > 0 почти всюду на dO, то u > 0 почти всюду в O.

Доказательство. 1. В случае, когда условие (11) выполняется при 0 < Р < 1, утверждение леммы следует из леммы 2.1 в [5].

Пусть p > 1. Рассмотрим функцию w = —u = о — u и перепишем уравнение (17)в виде

kMw + д(ж)(-0(о) — ^(u)) = g^(o) — f. Умножим его скалярно в L2(O) на о — u, где

u, если u < о,

а =

а, если и > а,

и проинтегрируем по частям в первом слагаемом левой части результирующего соотношения. Это даст

к J[(^У(а — и), У(а — и))д + т(а — и)2] ¿ж о

+ У(д(^(а) — ^(и)) — #(а) + /)(а — и) ¿ж = 0. (20) о

В силу (9), (10) и неотрицательности д^(а) — / из (20) следует, что

k"'i/ <v°— Vu)2 < 0

n

т. е. V(^(a) — ^(u)) = 0. Ввиду (2) и (7) a|go = u|gn- Поэтому a — u = 0и u < a почти всюду в О.

2. Определим функцию u-, равную u при u < 0 и 0 при u > 0. Умножим (17) на u- в смысле скалярного произведения в Ь2(О) и проинтегрируем по частям в первом слагаемом. Получим тождество

k(Mu-,u-)i + (g^(u-),u-) — (f,u-) = 0,

из которого вытекает, что u- = 0, т. е. u > 0 почти всюду в О. □

§ 2. Обратная задача

Перейдем к доказательству теорем существования и единственности решения обратной задачи (2), (5), (6). Для этого введем дополнительное предположение относительно функции

IV. Функция ^(р) удовлетворяет условию (11) с некоторым p > 0. Кроме того, для любых числа r > 0 и функций vi, v2 £ W21(0) таких, что Ц^Ц^р^) < r, i = 1, 2, справедливо неравенство

ll^(vi) — ^(V2)|| < a(r)(M(vi — V2),V1 — V2)MM2,

где постоянная a(r) > 0 зависит от r.

Под решением обратной задачи будем понимать пару u, k, включающую функцию u £ W22(0) и положительное действительное число k, которая удовлетворяет уравнению (5) почти всюду в О и условиям (2), (6).

Теорема 1. Пусть выполняются предположения I-IV и условие (11). Пусть также

(i) / G L2(il), Ф(Р) G W2/2(dn), ш(х) G W2/2(dn), g(x) G C(fi);

(ii) w(x) > 0 и в(х) > 0 почти всюду на дО, f (x) > 0 почти всюду в О,

0 < g(x) < g1 = const < x £ О, (21)

Ф = (MVa, Vb)M > 0, (22)

F(x) = g^(a) — f > 0, (23)

Ф = ^ — (g^(a) — f,b) > 0. (24)

Тогда задача (2), (5), (6) имеет решение (u(x), k). При этом u(x) £ Wf (О) и для u справедлива оценка

0 < u(x) < a(x) (25)

почти для всех x £ О. Кроме того, если g = 0 или выполняется неравенство

Ф > (gia(r)||b|^com-1/2 mes1/n ОНF||)1/2, (26)

где r = ||а|ьр(п), то решение задачи (2), (5), (6) единственно.

Доказательство. Если ^(р) удовлетворяет условию (11) при 0 < p < 1, то задача (2), (5), (6) сводится к случаю, рассмотренному в [5], с помощью замены v = ^(u), в1 = ^(в), a1 = ^(a).

Докажем существование решения при произвольном р > 0. Следуя идее [11], сведем обратную задачу к операторному уравнению для неизвестного коэффициента к. Для этого умножим (5) на Ь в смысле скалярного произведения в Ь2(0) и дважды проинтегрируем по частям в первом члене результирующего равенства. Ввиду (5) получим

+ кФ + | д(ж)-0(и)Ь^ж = | /Ь^ж. (27)

о о

В силу (22) и определения Ф (см. (24)) тождество (27) можно переписать в виде к =(Ф + (д(^(о) - ^(и)),Ь))Ф-1. (28)

Если д = 0, то к = Ф/Ф > 0 — известная постоянная. По лемме 2.1 задача (2), (5) с таким к имеет единственное решение и € Ш^О) и соответственно утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь д = 0 и выполняются условия (21)—(24). Введем оператор А, отображающий множество положительных действительных чисел в И по следующему правилу: для каждого у €

А(у) = (Ф + (д(^(о) - ф(иу)), Ь))Ф-1,

где иу — решение прямой задачи (2), (5) с к = у. Согласно лемме 1 задача (2), (5) при любом у > 0 имеет единственное решение иу € Ш и, следовательно, значение А(у) определено для каждого у € И+. Поэтому (28) может быть записано как операторное уравнение

к = А(к). (29)

Следуя идее из [11, гл. 1], можно показать, что задача (2), (5), (6) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда разрешимо операторное уравнение (29).

Согласно лемме 2 иу < о, т. е. справедливо (25). В силу (22) и (25)

о < ^ Ц < А(„) < И + 1(/^)1 + д1||^К)1Н|ь|| (30)

для любого у € И+. Левое неравенство в (30) позволяет получить оценку на ||"^(иу)||. Как показано в лемме 1, для иу справедлива оценка (16). Поэтому для каждого у > ко

Ы(иу)|| < с||иуЩ2р(о) < сс'|и|? < сс'ср = Сз. (31)

Из (30) и (31) получаем, что для у > ко имеет место неравенство

которое показывает, что оператор А отображает [ко, Ко] в себя.

Покажем, что А непрерывен на [ко, Ко]. Пусть у1; у2 € [ко, Ко] и иу1, иу2 — решения задачи (2), (5) с к = у1 и к = у2 соответственно. Согласно определению оператора А имеем

А(ш) — А(У2) = —Ф-1(д(^(иУ1) — ^(иУ2)), Ь). (33)

Разность Ш = иу1 — иу2 удовлетворяет уравнению

ухМШ + д(ф(иу1) - -ф(иу2)) = ~(у 1 - у2)Миу2 (34)

и краевому условию гй|до = 0. Умножим (34) на гй в смысле скалярного произведения в Ь2(О) и проинтегрируем по частям в первом члене результирующего уравнения:

у1(мт,т)1 + (д(ф(иу1) - ^(и^Уш)) = -(у 1 - у2){Миу2,Ш)ь (35)

В силу предположения (10) левая часть этого равенства неотрицательна. Для оценки правой части (35) умножим (5) для иу2 на и = иу2 — а скалярно в Ь2(О) и проинтегрируем по частям в первом слагаемом:

У2(Миу2,иу2)м + (д(^(%2) — ^(а)),и) = у2(МиУ2,а)м + (/ — #(а),и). Отсюда ввиду (10), (15) следует, что

с2 те82/" О

(.Миу2,иу2)м < (Ма, а)м Н—-—2-Ы(а) - Д2■ (36)

у2 т1

Возвращаясь к равенству (35), в силу (25) и (36) получаем ^ ^ , 1 ,„. „а,*,.. .. \

у1(Мии,'ш)1 < —(Мии,™) 1 + — |у1 - у21 {Миу2,иу2) 1 < —(Мии,™) 1 2 2у1 2

(Ма,а)м + С§1"Г2/П"м(а)-/||2

к5то1

У1

с2 те82/и О,

к5то1

|У1 — У21

2

к2 ко

= С4|У2 — У1|2. (37)

(МШ,Ш) 1 <

Далее, ввиду (36), (37) и предположения IV имеем

|(дМ%1) — ^(иУ2)),Ь)| < шН^КО — ^(и„2)||||Ь||

< 51а(г)||Ь||(АШ,Ш)^2 < С5|А1 - Лг!, (38) 1 /2

где г = ||а|^р(о), С5 = д1а(г)|Ь|С4 . Наконец, из (33) в силу (38) получаем неравенство

С5

\А(У1)-А(У2)\<^\У1-У2\,

которое доказывает непрерывность оператора А на [ко, Ко]. Так как А отображает [ко, Ко] на себя, согласно теореме Брауэра уравнение (29) имеет решение

k G [ko, Ko]. Это, в свою очередь, влечет существование решения {u(x),k} задачи (2), (5), (6). Найденное решение удовлетворяет соотношениям (25), (31), (32) и (36). Кроме того, по лемме 1 для u справедливы оценки (14)—(19) с ko вместо k в константах C и C2.

Докажем, что если исходные данные обратной задачи удовлетворяют условию (26), то построенное решение единственно. Пусть (u1,k1) и (u2,k2) — два решения задачи (2), (5), (6). В силу (2) (u1 — u2)|go = 0. Вычитая (5) для (u2,k2) из (5) для (u1,k1), умножая эту разность на U = u1 — u2 скалярно в L2(0) и интегрируя по частям в результирующем тождестве, приходим к равенству

MM (U ), U >1 + (g(V(u) — VM), U ) = (k1 — k2)(M (a — u2), U>1. (39)

Для оценки правой части (39) умножим (5) для u2 на u2 — a скалярно в L2(0) и проинтегрируем по частям в первом слагаемом. Имеем

k2(M(u2 — a), u2 — a>M + (g(V(u2) — V(a)), u2 — a) = (f — gV(a), u2 — a). Отсюда ввиду (10), (15) заключаем, что

c2 mes2/n О,, , ч ll2

{M(u2-a),u2-a)M < ° fc2mi-||#(a)-/||2.

Из этого соотношения и уравнения (39) следует неравенство

c2 mes2/n О

(M(mi - M2),MI - M2)I < CoI?;S ||f||2|fci -fc2|2. (40)

ko

С другой стороны, вычитая (28) для (u2,k2) из (28) для (u1,k1), получим уравнение

Л1 _ = Akl - Ак2 = _ШЫ-ФЫ),Ь)Ш (41)

Оценим правую часть (41) по модулю с помощью (14), (32), (40). С учетом предположения IV и того, что в условиях теоремы ||u^lp(o) < 1Ы|ьр(п), имеем

|(g(VK) — VM), b)| < g1|^(u1) — VMlllHl

ф2c mes1/n О

<gia(r)|H|(M(Ml -n2),Ul -u2)i2 <gia(r)||b|| ° №i

Ф2то/ (42)

где r = ||a||_LP(o). Соотношения (41), (42) приводят к неравенству

фСп mes1/n О

1*1 - к21 = |Акг - Ак21 < â'ia(r)||b||—- \\р\\\к, - к2\,

Ф2то1/2

которое доказывает сжимаемость оператора A в силу (26). Из него следует, что k1 — k2 = 0 и ввиду (40) u1 — u2 = 0 почти всюду в О. □

Как видно из доказательства теоремы 1, при g = 0 утверждение теоремы остается справедливым и без условий неотрицательности f, в, ш и ограничения (23). Однако в этом случае u не удовлетворяет неравенству (25).

Обратную задачу для уравнения (5) с граничными данными (2) и условием переопределения, заданным только на части Г границы дО, т. е.

/ди

lo ds = o?, (43)

dN у '

г

можно свести к задаче (2), (5), (4). Если функция ш G W^/2(r) финитна на Г и supp ш С Г, то ее можно продолжить на всю границу дО, положив ш = 0 на дО \ Г, и рассматривать интеграл в (43) по всей границе дО. В этом случае теорема 1 формулируется следующим образом.

Теорема 2. Пусть выполняются предположения I—IV и (11), f G L2(0), G W23/2(9fi), cj(x) G W2/2(T), g(x) G C(H). Пусть также ¡3{x) > 0 почти всюду на дО, f > 0 почти всюду в О, ш(ж) неотрицательна и финитна на Г, suppш С Г, ш(ж) = 0 на дО \ Г и выполняются условия (21)—(24). Тогда задача (2), (5), (43) имеет по крайней мере одно решение (u(x),k), при этом u(x) удовлетворяет неравенству (25) почти всюду в О. Кроме того, если g = 0 или выполняется неравенство (26), то решение задачи (2), (5), (43) единственно.

Как отмечалось выше, интерес к задачам идентификации коэффициентов в эллиптических уравнениях, в том числе уравнениях типа (3) или (5), объясняется их широкими приложениями. Некоторые примеры таких задач в случае изотропных сред можно найти в [5]. Примером модельного уравнения анизотропной среды является стационарное нелинейное уравнение анизотропной диссипации в кристаллическом полупроводнике. При некоторых допущениях оно принимает вид [12]

f д2и \ -k ^ai A2u + J + X\u\qu = 0,

где Д2 — оператор Лапласа по переменным xi и ж2, параметры к и А зависят от электрической восприимчивости, а постоянные a¿ > 0, i = 1, 2, определяются тензором электрической поляризуемости полупроводника, q > 0. В данном случае оператор M = — (а1Д2 + а2д2/дж2) и функция ^(р) = |u|qu при q < 2 удовлетворяют всем предположениям теорем 1 и 2, если область О достаточно мала.

В заключение следует отметить устойчивость решения задач (2), (5), (6) по В условиях теоремы 1, гарантирующих единственность решения обратной задачи, справедливы оценки

||ui — U2 У 2 < C6|^i — í^2 |, |ki — кг | < Crl^i — |,

где — решение обратной задачи (2), (5), (6) при ^ = ^, i = 1, 2. Эти

оценки следуют из сжимаемости оператора A в уравнении (29) в теореме 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alessandrini G., Caburro R. The local Calderón problem and the determination at the

boundary of the conductivity // Commun. Partial Differ. Equ. 2009. V. 34. P. 918-936.

2. Calderon A. P. On an inverse boundary value problem // Seminar on numerical analysis and its applications to continuum physics (Rio de Janeiro, Brazil, 1980). Rio de Janeiro: Soc. Brazil. Mat., 1980. P. 65-73.

3. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht: VSP, 2004.

4. Lyubanova A. Sh. Identification of a constant coefficient in an elliptic equation // Appl. Anal. 2008. V. 87. P. 1121-1128.

5. Lyubanova A. Sh. On an inverse problem for quasi-Linear elliptic equation // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2015. T. 8, №1. C. 38-48.

6. Nachman A., Street B. Reconstruction in the Calderon problem with partial data // Commun. Partial Differ. Equ. 2010. V. 35. P. 375-390.

7. Nakamura G., Tanuma K. A nonuniqueness theorem for inverse boundary value problem in elasticity // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56. P. 602-610.

8. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

9. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

10. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1968.

11. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 2000.

12. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физмалит, 2007.

Статья поступила 3 марта 2016 г.

Любанова Анна Шоломовна Сибирский федеральный университет, пр. Свободный, 79, Красноярск, 660041 lubanova@mail.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

UDC 517.95

INVERSE PROBLEMS FOR NONLINEAR STATIONARY EQUATIONS A. Sh. Lyubanova

Abstract: Identification of the unknown constant coefficient in the main term of the partial differential equation —kM-0i(u) + g(x)^>2 (u) = f (x) with the Dirichlet boundary condition is investigated. Here ^¿(u), i = 1, 2, is a nonlinear increasing function of u and M is a second-order linear elliptic operator. The coefficient k is recovered on the base of additional integral boundary data. The existence and uniqueness of the solution to the inverse problem with a function u and a positive real number k is proved. Keywords: inverse problem, boundary value problem, second-order elliptic equation, existence and uniqueness theorem, filtration.

REFERENCES

1. Alessandrini G. and Caburro R., "The local Calderon problem and the determination at the boundary of the conductivity," Commun. Partial Differ. Equ., 34, 918-936 (2009).

2. Calderon A. P., "On an inverse boundary value problem," in: Seminar on numerical analysis and its applications to continuum physics (Rio de Janeiro, Brazil, 1980), Soc. Brazil. Mat., Rio de Janeiro, 65-73 (1980).

3. Klibanov M. V. and Timonov A., Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications, VSP, Utrecht (2004).

4. Lyubanova A. Sh., "Identification of a constant coefficient in an elliptic equation," Appl. Anal., 87, 1121-1128 (2008).

5. Lyubanova A. Sh., "On an inverse problem for quasi-linear elliptic equation," Zh. Sib. Fed. Univ., Mat. Fiz., 8, No. 1, 38-48 (2015).

6. Nachman A. and Street B., "Reconstruction in the Calderon problem with partial data," Commun. Partial Differ. Equ., 35, 375-390 (2015).

7. Nakamura G. and Tanuma K., "A nonuniqueness theorem for inverse boundary value problem in elasticity," SIAM J. Appl. Math., 56, 602-610 (1996).

8. Ladyzhenskaya O. A. and Uraltseva N. N., Linear and quasilinear elliptic equations, Acad. Press, New York; London (1968) (Math. Sci. Eng.; V. 46).

9. Gaevski Kh., Greger K., and Zakharias K., Nonlinear operator equations and operator differential equations [Russian transl.], Mir, Moscow (1978).

10. Lions J.-L. and Majenes E., Nonhomogeneous boundary value problams and its application [Russian transl.], Mir, Moscow (1968).

11. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for solving inverse problems in mathematical physics, Marcel Dekker, Inc., New York (2000).

12. Sveshnikov A. G., Al'shin A. B., Korpusov M. O., and Pletner Yu. D., Linear and nonlinear

© 2016 A. Sh. Lyubanova

equations of Sobolev type, Fizmatlit, Moscow (2007).

Submitted March 3, 2016

Anna Sholomovna Lyubanova Siberian Federal University, Svobodnyi ave., 79, Krasnoyarsk 660041 lubanova@mail.ru