ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Э.И. Абдураггшов. Единственность положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ второго порядка_

УДК 517.927

Единственность положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ второго порядка

Э.И. Абдурагимов

Рассмотрим двухточечную краевую задачу

у" + а(х)у" = 0, 0 < х < 1, (1)

у(0) = у(1) = 0, (2)

где п = const > 1, а(х) — неотрицательная непрерывная функция, тождественно не равная нулю.

Очевидно, у = 0 — тривиальное решение этой задачи. Под положительным решением задачи (1), (2) понимается функция уеС2[0,1], положительная при х е (0,1) и удовлетворяющая граничным условиям (2).

В работе доказывается единственность положительного решения задачи (1), (2) методом, отличным от метода, предложенного в [1].

Приведем некоторые сведения из [2] по теории конусов в банаховых пространствах.

Обозначим через К конус неотрицательных непрерывных на [0, 1] функций. Под полуупорядочением и -< v конуса К будем понимать v(x) — и(х) е К, т. е.

v(x) > и(х) при всех х е [0,1].

Определение 1 [2, с. 259]. Нелинейный оператор называется положительным

на М а Е (Е- банахово пространство), если AM С К.

Определение 2 [2, с. 385]. Пусть и0 — фиксированный ненулевой элемент ко-

в/

нуса К cz Е. Оператор А называется и0 - выпуклым на конусе К, если для каждого ненулевого х 6 К выполнены соотношения

а(х)и0 -<Ах-< Р{х)ий, (3)

где а(х), /3(х) > 0, и если для каждого такого х е К, который удовлетворяет неравенствам а, (х)и0 -< Ах -< Д (х)и() (а, (х), Д (х) > 0), выполнены соотношения

A(tx) -< [1 - Г){х, t)~\tAx (0 < t < 1), (4)

где rj(x, t) > 0.

Определение 3 [2, с. 256]. Конус К называется телесным, если хотя бы одна точка х0 входит в К вместе с некоторой окрестностью.

Лемма [2, с. 386 - 387]. Пусть конус К телесен. Пусть для каждых двух ненулевых решений х, и х2 уравнения

х = Ах + v, (5)

где v е К, с монотонным и0 — выпуклым оператором А одна из разностей X, - х2, х2 — х, либо равна нулю, либо является внутренним элементом конуса

Э.И. Абдурагимов. Единственность положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ второго порядка

К. Тогда уравнение (5) имеет в конусе К не больше одного ненулевого решения.

В [2] лемма доказана при V = 0. Поскольку при произвольном V е К доказательство, приведенное в [2], не меняется, то здесь ссылка сделана на [2].

Теорема. Задача (1), (2) имеет единственное положительное решение.

Доказательство. Существование по крайней мере одного положительного решения доказано в [2]. Докажем единственность. Предположим противное, т. е. существуют 2 положительных решения ух ^ у2. Из априорной оценки для положительного решения задачи (1), (2), полученной в [1], следует, что ух и уг могут иметь лишь конечное число общих точек 0 = х0 < х, <... < хИ =1. Обозначим У\(хк) = Уг(хк) ~ ак- Пусть для определенности у2 - ух е К на [хк, х^+1]. Очевидно, ^(х) и у2(х) при [х^, хАг+1], к = 0,1,..., N, являются решениями задачи и"к + а{х)и"к =0, хк < х < л>+1, (6)

Щ(хк) = ак, ик(хк+1) = ак+1. (7)

£ '

сЬсг

ными условиями имеет вид

Функции Грина для оператора —— на отрезке [х^, хк+1 ] с нулевыми гранич-

вк(х, 5) =

(х Л^Х^-Н -з)

Хк+1 — Хк

(хк+, - х)0 - Хк)

Хк

хк<хй5йхк+х,

хк<5<х<хг+и

Нетрудно проверить, что Ок (х, ,?) удовлетворяет неравенствам

<вк(х,з)<<1к(х), (8)

ОКО)

Хк+1 Хк

где с1к (х) = шш(х - хк, хк+] — х) — наименьшее из расстояний от точки х до границ отрезка [х^х^]. Очевидно, с1к{х) - непрерывная неотрицательная функция, следовательно, с1к е К .

С помощью функции Грина Ск{х, я) задачу (6), (7) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением

Щ =АЛ + < (9>

где

хк+1

Акик(х)= (10)

ч

ак(х

Ук(х) =

Хк+1 Хк

Так как СДх,^) > 0 при х е [х^, хш ], то Ак - положительный на К оператор.

Э.И. Абдурагимов. Единственность положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ второго порядка______________________________________

Уравнение (9) имеет вид (5). В силу (8) имеем

И Г Хк+1 Хк+1 Хка

X — X

"4+1 лк хк хк хк

Отсюда следует, что (3) выполняется с ненулевым элементом и0= (х), хе[х{, хк+х ] конуса Кис

а{ик) =- ^к{8)а{8)ипк{8)с18, Р{ик)= \а(8)ик{8)с18.

Хк+1 ~ Хк Ч хк

Пусть 0<?<1. Из (10) имеем

хк*\

Ак(Шк{х)) = Г = = хе[0,1]. Для

хк

Ак неравенство (4) выполняется с ?](ик/) -1 >0, следовательно, Ак -и0 -вьшуклый оператор. Очевидно, Ак - монотонный оператор на К. Таким образом, выполнены все условия леммы. Следовательно, уравнение (7) имеет не более одного ненулевого решения. А так как оно имеет до крайней мере одно положительное решение (см. [1], [2]), то ух{х) = у2(х) = ик{х) на [хк,хк+1], к = 0,1,..., N-1, т. е. на каждом отрезке [х^ ] положительное решение задачи (1), (2) определяется однозначно. Следовательно, однозначно определяется и на всем отрезке [0,1]. Теорема доказана.

Литература

1. Абдурагимов Э.И. О единственности положительного решения одной нелинейной двухточечной краевой задачи // Изв. вузов. Математика. 2002. № 6. - С. 3 -6.

2. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. - 542 с.