Научная статья на тему 'Полный класс Ф-функций для кругов и прямоугольников с поворотами'

Полный класс Ф-функций для кругов и прямоугольников с поворотами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
180
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Злотник Михаил Викторович

Строятся Ф-функции для следующих пар неориентированных объектов: замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и прямоугольник, круг и прямоугольник, замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и круг, замыкание дополнения круга до всего пространства R2 и прямоугольник.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Recently the problems of optimum cutting, packing and placement of objects with rotations are of interest. For the solution of these problems it is necessary to have analytic description of interaction of two objects, which have ability to rotate. The Ф-function gives such possibility. Therefore in the paper the full class of Ф-functions for objects with rotations having the frontier circle or rectangle is constructed.

Текст научной работы на тему «Полный класс Ф-функций для кругов и прямоугольников с поворотами»

УДК 519.859

ПОЛНЫЙ КЛАСС Ф-ФУНКЦИЙ ДЛЯ КРУГОВ И ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ С ПОВОРОТАМИ

ЗЛОТНИК М.В.

Строятся Ф-функции для следующих пар неориентированных объектов: замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и прямоугольник, круг и прямоугольник, замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и круг, замыкание дополнения круга до всего пространства R2 и прямоугольник.

Введение

В классе задач упаковки, раскроя и покрытия (Packing&Cutting&Covering) [1-3] наименее изученными являются задачи, в которых допускаются аффинные преобразования не только трансляции, но и поворота объектов [4].

Актуальность данной работы связана с тем, что для построения математических моделей таких оптимизационных задач требуется аналитическое описание взаимодействия объектов.

В [5,6] представлено аналитическое описание взаимодействия различных ориентированных геометрических объектов (допускающих аффинные преобразования только трансляции) - построены Ф-функции. Поэтому возникает необходимость в построении Ф-фун-кций неориентированных объектов (допускающих аффинные преобразования трансляции и поворота). Предметом данного исследования является построение Ф-функций неориентированных ф - объектов [7].

Рассмотрим полный класс ф - объектов, граница которых окружность C = {(x,у) є R2, x2 + y2 - г2 < 0}, г*

C или прямоугольник

R = {(x,y) є R2, - a < x < a, - b < у < b},

R* при этом множество T* = cl(R2 \T). Здесь clT -замыкание множества T [8], T є {C, R}.

Обозначим параметры размещения через Ui = (Vi,фі) = (xbybфі), где xi,yi — координаты центра собственной системы координат множества, а Фі — угол поворота собственной системы координат ф - объекта относительно неподвижной системы координат (рис.1).

Рис. 1. Представление прямоугольника

Множество Ti, для которого задан вектор движения Ui = (Vi,Фі) , обозначим через Ti(ui), Tє{C,R}.

Следует отметить, что множества C(u) и C*(U) не зависят от величины ф, поэтому для них u = v .

На данный момент построены Ф-функции для следующих пар множеств: R^u^ и R2(u2)[9], C1(u1)и C2(U2), C*(u1) и C2(u2) [5].

Целью данной работы является построение Ф-функ-ций для следующих пар объектов: R* и R2, R1 и C2, R*и C2, R1 и C*2.

Постановка задачи

Даны два объекта T1 и T2 , Ti e{C,C*,R,R*}, i = 1,2 . Необходимо построить функцию 0(u1, u 2), зависящую от взаимного расположения объектов T1 и T2 , в пространстве, которая позволяет моделировать взаимодействие объектов T1 и T2 . При этом 0(u1, u2 ) > 0, если T1 и T2 не имеют общих точек (рис. 2,а), 0(ubu2) = 0, если T1 и T2касаются (рис. 2,б) и 0(u1, u2) < 0, если T1 и T2 пересекаются (рис. 2,в).

в

Рис. 2. Взаимное расположение объектов 1. Ф-функция для R* и R2

1) Пусть Ф1 = 0 и ф 2 = 0(R* и R2 могут быть только

транслированы на векторы v1 и v2 соответственно).

Тогда Ф-функция для R*(v1)и R2CV2) [5] может

быть представлена в следующем виде:

®(V1,V2) = min хi(v1,V2), (1)

i=1,...,4 v '

где X1CV1PV2) = A - (x2 - x1) , (2)

X2(v1,v2) = B - (У 2 -У1) ,

X3(V1,V2) = A + (x2 - x1), X4 (V1, V2 ) = B + (y 2 - У1), A = a1 -a2 , B = b1 -b2 ,

y= {(u1,u2) є R6 | ®(u1,u2) = 0} — проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции [5] (рис.3).

Рис.3. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(0,0,0)и R2(v2,0)

РИ, 2006, № 1

36

2) Полагаем = 0 . Построим Ф-функцию для множеств R*(vj)и R2(v2,Ф2)(т.е.R* может быть только транслирован на вектор vj, а R 2 транслирован на вектор v2 и повернут на угол ф2) (рис. 4). В этом случае A и B зависят от ф 2 .

в) Пусть л< ф2 <3л/2 (рис. 7), а=ф2-л ,

sin а = - sin ф 2 , sin а > 0, sin ф 2 < 0 , sin а =| sin ф 2 |.

Рис. 4. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции для R *(0,0,0) и R2(v2, ф 2)( ф2 - const)

Определим значения этих величин при разных ф 2 .

а) Пусть 0 <ф 2 <л / 2 (рис. 5), тогда

A^) = a1 - (a2 cosФ2 + b2 sinф2),

Bfo2) = b1 - (a2 sinф2 + b2 cosф2).

y *

Рис. 5. Объект R2 (0,0,ф2) при 0 < ф2 < л /2

б) Пусть л/2 < ф2 <л (рис. 6), а=л-ф2,

cos а = - cos Ф2, cos а > 0 , cos Ф2 < 0 ,cos а =| cos ф 2 |. Таким образом,

Afa2) = a1 - (a2 | cos ф2 | +b2 sin ф2),

B^2) = b1 - (a 2 sin ф 2 + b2 |cos ф 2 |).

Рис. 6. Объект R2(0,0, ф2) при л /2 <ф2 <л

Рис. 7. Объект R2(0,0, ф 2) при л<ф 2 < 3л / 2 Следовательно,

Afa2) = a1 - (a2 | cos ф2 | +b2 | sin ф2 |) ,

B(ф2) = b1 - (a2 | sinф2 | +b2 | cos ф2 |).

Пусть 3л /2 < ф2 < 2л (рис. 8), а = 2л - ф2 . Соответственно

Afa2) = a1 - (a2 cos ф2 + b2 | sin ф2 |), B(Ф2) = b1 - (a2 | sin ф2 | +b2 cosф2).

Рис. 8. Объект R2(0,0, ф2) при 3л /2 <ф2 < 2л

Учитывая (1), (2) и то, что коэффициенты A^2) и B^ 2) инвариантны относительно Ф2, Ф-функция может быть представлена следующим образом:

®(vbu2) = min хi(v1,u2) i=1,...,4 ’

где X1 (v1, u2) = A(ф2) - (x2 - x1) , (3)

x2(v1,u2) = B(ф2) -(y2 -y1) , x3(v1,u2) = A(ф2) + (x2 -x1) , x4 (v1,u2) = B(92) + (y2 -y1) ,

A(ф2) = a1 - (a2 |cos ф2 | +b2 | sin ф2 |) ,

B(ф2) = b1 - (a2 | sin ф2 | +b2 | cos ф2 |).

3) Построим Ф-функцию для множеств R*(v1, Ф1) и R 2 (v2, Ф 2) (те. R* и R2 могут быть и транслированы на векторы v1 и v2, и повернуты на углы ф| и ф2 соответственно) (рис. 9).

РИ, 2006, № 1

37

Рис. 9. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(u!) и R2(u2) (xj, yb ф1,ф2 - const)

Воспользовавшись формулами трансляции и поворота координатных осей, получим:

(4)

(5)

Х2 = (Х2 - Xj)cOSФ1 - (y2 -Уі) sinфі,

У2 = (x2 - x1)sinФ1 + (y2 -y1)cosФ1 ,

Л(ф2) = a1 - (a2 |cos Ф12 | +b2 | sin Ф12 |)

Б(ф2) = b1 - (a2 | sin Ф12 | +b2 |cosФ12 |) где Ф12 =ф 2 -ф1-

Таким образом, используя формулы (3), (4), (5), получим

5С1 (U1,U2) = Л(ф1, ф 2) - Х2,

~2(U1,U2) = Б(ф1, ф2) -y2 ,

~~3(u1,u2) = Л(ФЪ Ф 2 ) + Х2 ,

X4 (U1, U2) = Б(ф1, ф2) + y 2 •

Тогда Ф-функция для множеств R*(u1) и R2(U2)

примет вид 0(U1, U2 ) = min Xi(U1,U2).

i=1,...,4

2. Ф-функция для R1 и C2

1) Пусть ф1 = 0 (рис.10).

Рис. 10. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1 (0,0,0) и C 2 (v 2)

Тогда Ф-функция для R1H1) и C2H2) [5] может быть представлена в следующем виде:

®(V1,V2) = max (хi(vbV2),

l-1,•••,4 ~~ (6)

min(roi(v1,V2), X i(v1,V2)}), где X1(V1,V2) = (x2 -x1)-Л,

X 2(v1,v2) = (y 2 - y1) - Б,

X 3(v1,v2) = -(x2 - x1) - Л,

X4(v1,v2) = —(y 2 -y1) -Б ,

®1(V1,V2) = Д /(x2 -x1 -a1)2 + (y2 -y1 -b1)2 -Г2

® 2 (V1, V2 ) = Д /(x2 _ x1 + a1)2 + (y 2 _y1 _b1)2 _ r2

® 3 (V1, V 2 ) =Д /(x2 _ x1 + a1)2 + (y 2 _ y1 + b1)2 _ r2

® 4 (V1, V 2 ) = д /(x2 _x1 _a1)2 + (y2 _y1 + b1)2 _r2

X1(V1,V2) = (x2 - x1) + (y 2 -y1) - s, X2(V1,V2) = -(x2 - x1) + (y 2 - y1) - s, X3(v1,v2) = -(x2 - x1) - (y 2 - y1) - s,

X4 (V1, V2 ) = (x2 - x1) - (y 2 - y1) - s ,

s = a1 + b1 + Г2 .

2) Рассмотрим случай, когда R1 может быть не только транслирован на вектор v1 , но и повернут на угол ф1 (рис.11).

Рис. 11. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(U1) и C2(u2) (x1, y 1, ф1 - const)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R1(u1) и C2 (u2), она будет иметь вид:

®(u1,u2) = max (хi(u1,u2),

i=1,...,4

min{roi(u1,u2),xi (U1,u2)}),

где

X1(U1,U2) = x2 - Л , x 2 (u1, u 2) = y 2 - Б,

X3(u1,u2) = -x2 -Л, X4(u1,u2) = —y2 -^

® 1 (U1, U 2 ) = д 1 (x2 _a1)2 + (y2 _b1)2 _r2

®2(U1,U2) = 1 /(x2 + a1)2 + (y2 _b1)2 _r2

® 3 (U1, u 2 ) = 1 /(x2 + a1)2 + (y2 + b1)2 _r2

®4(U1,U2) = \ ^(x2 _a1)2 + (y2 + b1)2 _r2

X1(U1,U2) = x2 + y2 -s , X2(U1,U2) = -x2 + y2 -S, X3(u1,u2) = “x2 -y2 -^ X4(u1,u2) = x2 -y2 “s, s = a1 + b1 + Г2 .

38

РИ, 2006, № 1

3. ф-функция для R* и C2

1) Пусть фі = 0 (рис. 12).

Рис. 12. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(0,0,0) и C2CV2)

Тогда Ф-функция для R*(vi) и C2CV2) [5] может быть представлена в следующем виде:

0(vbv2) = min Xi(vi,V2) i=1,...,4 ’

где

X1 (v1, v2) = A - (X2 - X1) ,

X 2(v1,v2) = B - (У 2 - У1) ,

X3 (v1, v2 ) = A + (x2 - x1) ,

X 4(v1,v2) = B + (y 2 - У1),

A = a1 - r2, B = b1 - r2.

2) Рассмотрим случай, когда R* может быть не только транслирован на вектор v1, но и повернут на угол ф1 (рис.13).

Рис. 13. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(u1) и C2(u2) (x1, y 1,ф1 - const)

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R*(u1) и C2(u2), она будет иметь вид:

Ф(и 1,u2) = min ~i(ubu2) i=1,...,4 ’

где

~1(u1,u2) = A - (X2 - X1)cos Ф1 + (y 2 - y1)sin Ф1 , ~2 (u1, u2 ) = B - (X2 - X1) COS Ф1 - (y 2 - y1) sin Ф1 , Xз(u1,u2) = A + (X2 -X1)cosФ1 -(y2 -y1)sinФ1, ~2 (u1,u2) = B - (X2 - X1) Sin Ф1 - (y 2 - y1)COS Ф1 ,

A = a1 - Г2, B = b1 - Г2.

4. Ф-функция для R1 и c2

1) Пусть ф1 = 0 (рис. 14).

Рис. 14. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(v1,0) и c2(0,0)

Тогда Ф-функция для R1(v1) и C2(v2) [5] может быть представлена в следующем виде:

®(vbv2) = min хi(vbv2) i=1,...,4 ’

где

X1(v1,v2) = r2 -((X1 -X2) + a)2 -((y1 -y2) + b)2 ,

X 2 (v1, v 2) = r2 - ((X1 - X2) - a)2 - ((y1 - y2) + b)2,

X 3 (v1, v 2) = r2 - ((X1 - X2) - a)2 - ((y1 - y 2) - b)2,

X4(v1,v2) = r2 -((X1 -X2) + a)2 -((y1 -y2)-b)2.

2) Построим Ф-функцию для множеств R1(v1, Ф1) и C2(v2) (т.е. R1 может быть как транслирован на вектор v1, так и повернут на угол ф1) (рис.15).

Рис. 15. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(X1,y1,Ф1) и C2(X2,y2) (Фь X2Jу2 -const )

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R1(u1) и C2 (u2), она будет иметь вид:

®(ubu2) = min ~i(u1,u2) i=1,...,4 ’

где

X1(ubu2) = r2 - (a - X2)2 - (b - y'2)2, X2 (u1, u2) = r2 - (a + X2)2 - (b - У2)2,

РИ, 2006, № 1

39

Х3 (uj, u 2) = r2 - (a + X2)2 - (b + У2)2, X4(U!,U2) = r2 - (a - x'2)2 - (b + У2)2 . Выводы

Новизна. Впервые построен полный класс Ф-функ-ций с поворотами для объектов, имеющих пространственную форму круга и прямоугольника.

Научные и практические результаты. Построенные Ф-функции позволяют строить математические модели оптимизационных задач геометрического проектирования, в которых объекты могут не только транслироваться, но и поворачиваться. Эти математические модели могут быть использованы при решении задач раскроя материалов и в задачах покрытий. Применение ф - функции для решения задач этого класса позволяет получать лучшие результаты в более короткий промежуток времени.

Литература: 1. Lody A., Martello S., Vigo D. Recent advances on two-dimensional bin packing problems // Discrete applied mathematics. 2002. № 123. Р. 379-396. 2. Dyckhoff H., Scheithower G., Terno J. Cutting and Packing // In Annotated Bibliographies in Combinational Optimization. Chichester. 1997. Р. 393-412. 3. Karen D., Rajasekhar I. An Incremental

Algorithm for Translational Polygon Covering // Computer Science Technical Report. University of Massachusetts at Lowell. 2001. № 2001-1. 31 р. 4. Milencovich V. Rotational polygon overlap minimization and compaction // Computational Geometry. 1998. № 10. Р. 305-318. 5. Stoyan Y., Terno J., Scheithaue G., Gil N., Romanova Т. Ф-functions for primary 2D-objects. //Preprint MATH-NM-15-2001, Technical University of Dresden, 2001. 6. Stoyan Y., Gil M., Terno J., Scheithauer G. Ф-function for complex 2D objects // 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. 2004. Т 2. № 1. Р. 69 - 84. 7. Стоян Ю. Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 8. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979. 336 с. 9. Стоян Ю. Г. Phi-function of non-convex polygons with rotations //Проблемы машиностроения, В. 6, No 1.2003. Р. 74-86.

Поступила в редколегию 17.03.2006

Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.

Злотник Михаил Викторович, младший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 95-9536, дом. тел.: 711-98-76.

УДК 621.3

ОЦЕНКА ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАМЕНИ ПРИ ГОРЕНИИ НЕФТЕПРОДУКТОВ

АБРАМОВ Ю.А., БАСМАНОВ А.Е.______________

Предлагается стохастический подход к описанию факела пожара и расчету теплового излучения от него. Строится процедура экспериментального определения корреляционной функции пульсаций пламени.

1. Постановка проблемы

Планирование действий пожарных подразделений при ликвидации пожара в резервуарном парке существенно осложняется угрозой дальнейшего его распространения. Нагрев соседних резервуаров может привести к их воспламенению или взрыву. Существующие математические модели основываются на детерминированном подходе, в то время как пожар и пути его развития зависят от ряда случайных факторов.

В работе [1] построена математическая модель нагрева резервуара с нефтепродуктом от факела пожара. При этом предполагается, что форма и температура пламени не меняются во времени. Однако простейшие наблюдения указывают на турбулентный характер пламени. Оно постоянно меняется и не имеет какой-то определенной формы. Случайные порывы ветра также вносят дополнительные искажения. В [2] предполагается, что тепловой поток от факела описывается стационарным случайным процессом с заданной корреляционной функцией. При этом удается учесть некоторые случайности, но вопрос о виде и параметрах корреляционной функции остается открытым.

Цель исследования - разработать методику оценивания корреляционной функции, описывающей случайные пульсации пламени.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач: 1) построение выборочной корреляционной функции; 2) оценка вида и параметров корреляционной функции.

2. Математическая модель

Наличие пульсаций пламени приводит к случайному изменению площади взаимного облучения [1] между факелом и нагреваемым телом. Следовательно, случайным образом изменяется и тепловой поток от факела.

В силу турбулентного характера пламени, аналитическое описание его поверхности и вычисление площадей взаимного облучения являются практически невозможными. Вместо этого ограничимся рассмотрением площади поперечного сечения факела.

Пусть эта площадь описывается стационарным случайным процессом E,(t) с математическим ожиданием | и корреляционной функцией к ^ (т). По имеющейся реализации x(t) случайного процесса на отрезке времени [0,т] легко найти выборочное среднее X и построить оценку корреляционной функции [3]:

„ 1 Т-т

К(т) = —— J [x(t) - x][x(t +т) - x]dt. (1)

1т 0

Если наблюдения за процессом проводились в дискретные моменты времени 0 , At, ..., nAt, то соотношение (1) примет вид:

40

РИ, 2006, № 1

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.