Математическая модель оптимизационной задачи размещения параллелепипедов с учетом погрешностей исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ной точке, лежащей на нулевом уровне функции допустимости. Первый прямолинейный участок траектории также принадлежит нулевому уровню и соответствует построению начального многогранника путем смещения начальной точки параллельно осям координат. Остальные три прямолинейных участка соответствуют трем шагам метода. Также можно отметить прохождение на одном шаге нескольких ограничений. Таким образом, найденная допустимая точка, соответствующая максимальному значению функции допустимости K (х), достигается за три шага.

Функция допустимости и траектория поиска

Рассмотренный пример демонстрирует эффективность предлагаемого подхода.

9. Заключение

Предложен пошаговый подход для решения задачи параметрического синтеза сложных систем автоматического управления со многими ограничениями, заключающийся в последовательном рассмотрении ограничений.

На основании предложенного подхода разработан пошаговый метод поиска допустимой точки, состоящий в формировании двух функций — функции допустимости и обобщенной штрафной функции и в одновременной их оптимизации.

УДК 519.6:514.1 "

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

РОМАНОВА Т.Е.________________________

Строится математическая модель оптимизационной задачи размещения параллелепипедов в параллелепипеде с учетом погрешностей исходных данных в интервальном виде. Вводится понятие интервального параллелепипеда и интервальной ф —функции геометрических объектов интервального пространства 13R . Приводится ф —функция интервальных параллелепипедов.

Для тестирования пошагового метода рассмотрена задача нахождения устойчивой точки линейной системы автоматического управления. Для всех тестовых моделей систем от третьего до десятого порядка включительно получены устойчивые точки из недопустимых точек, в которых не выполнялись даже необходимые условия устойчивости.

Литература: 1. Александров Е.Е., Бех М.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. Харьков: Основа, 1993. 114с. 2.Александров Е.Е., Борисюк М.Д., Брита Я.В., Кузнецов Б.И. Параметрическая оптимизация многоканальных систем автоматического управления. Харьков: Основа, 1995. 272с. 3. Пикур Э.А., Северин В.П. Минимизация интегральных квадратичных оценок качества линейных систем автоматического регулирования // Сб. науч. тр. ИК АН УССР. Математические методы кибернетики. Киев, 1979. С.8-13. 4. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы: Справочник. М.: Радио и связь, 1991. 256с. 5. Воронин А.Н., ЗиатдиновЮ.К., ХарченкоА.В., Осташевский В.В. Сложные технические и эргатические системы: методы исследования. Харьков: Факт, 1997. 240с. 6.Ho Yu-Chi. On the Numerical Solution of Stochastic Optimization Problem // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. V. 42, №5. Р. 727-729. 7.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. 128 с. 8. Теория автоматического управления. В 2-х ч. 4.1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986. 367с.

Поступила в редколлегию 30.10.2001

Рецензент: д-р техн. наук Куценко А.С.

Северин Валерий Петрович, канд. техн. наук, доцент кафедры системного анализа и управления НТУ “ХПИ”. Научные интересы: автоматическое управление, математическое моделирование, прикладная оптимизация. Увлечения: путешествия, туризм, авторская песня. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. (0572) 40-00-25. E-mail: [email protected].

Пусть имеется параллелепипед Б0 длиной 2а0 , шириной 2bo , переменной высоты 2ho и множество ориентированных параллелепипедов длиной 2ai, шириной 2bi и высотой 2hi, /=1,2,,й, причем

а о > a., bo > bt, h0) > h. . Размеры параллелепипедов To, T заданы с некоторыми погрешностями: 2va. > 0 , 2vb. > 0 , 2vh. ^ 0 , i = 0,1,2,..., n , соответственно.

Необходимо, учитывая заданные погрешности, разместить множество параллелепипедов Tt, i = 1,2,..., n , в параллелепипеде T0 так, чтобы высота занятой части параллелепипеда T0 и ее погрешность достигали своего минимального значения.

Полагаем, что полюс параллелепипеда совпадает с началом его собственной системы координат и является центром симметрии параллелепипеда.

Введем следующие дополнительные обозначения: х., y., z. координаты полюса объекта T., і=1,2,...,й;

РИ, 2002, № 2

42

vx, , vy, , vzt — погрешности соответствующих координат, /=0,1,2,...,и.

Для построения математических моделей параллелепипедов, заданных с погрешностями, в данном исследовании используются элементы теории интервальной геометрии [1—4].

Рассмотрим пространство центрированных интервалов [1, 2]:

ISR = {(X) = <x,Tx>| x = C-^L є r 1

vx = ——- є R1, c, L є R1

(1)

с введенным на нем отношением порядка

<X)<(¥>» (x < у) v ((x = у) л (Vx <vy)),

< X ) = (Y >» (x = у) л (Vx =Vy) (2)

и евклидовой метрикой

p({X>,(Y» = ^/(x-y)2 + (vx-Vy)2. (3)

В интервальном пространстве 13s R = I s R x I s R x I s R с заданными арифметическими операциями [5] для любых двух точек

и 1 = «х 1 >, <Y1>, <Zi>) , U2 = «X2X <Y2X <Z2» є I3R вводится отношение линейного порядка вида и 1 < и 2 » «X 1><{ X 2 » V v(« X1 > = < X 2 » л («Y1 ><<Y2 » v v(«Y1> = <Y2 » л (<Z1 ><<Z 2 »))), и 1 = и 2 » «X1 > = < X 2 » Л л«^ > = <Y2 >) л « Z1> = < Z 2 >) и евклидова метрика

(4)

Р(и Ь и 2) - (x1 _ x 2) + (vxj ~vx7) + (у1 _ у 2) +

x2 •

+ (vу! _vy2)2 + (z1 _z2)2 + (vzx ~vz2')2 Пусть интервальное уравнение [3]

(X >) + ^ (Y >) + ^ < Z >) + < D) = < 0), li (V) если > 0 Xi (V) если Лі < O’

1

р(Л V >) =

(5)

Л- Є R, i = 1,2,3

задает интервальную плоскость в пространстве 13R , где (V) = (у, -vv) є IsR - элемент, сопряженный элементу (V) = (у, vy )є IsR [6].

2

Учитывая гомеоморфизм пространств R и I s R [1], установим биекцию между точками интервального пространства 13 R и исходными данными поставленной задачи следующим образом:

R 6 Э (x,Cx, у, Гу, z,Tz ) ^

^ «x, Tx >, <у, Vу >, <z, Tz >) є 13R.

Рассмотрим систему интервальных неравенств

< X > + < a,va >><0>, (Y ) + {b,vb >><0),

< Z )+(h,vh >><0>, -< X ) + {a,va >><0>, -<Y> + (b,vb >><0),

, -(Z)+(h,vh >><0),

определяющую некоторое множество S С 13 R . Из отношения порядка (4) следует, что S ф clS .

Топологическая внутренность множества S описывается так:

intS =

< X > + <a,Cx )><0),

<Y ) + {b,vv )><0),

(7)

< Z >+< h,Vz )>{ 0),

-< X > + <a,Cx )><0),

~(X) + (b,vy )><0),

-<z> + <h,rz )><0).

Топологическое замыкание -IS множества S задается следующим образом:

clS =

(X > + <a,Cx >>< 0),

<Y ) + (Ь,Уу >><0>,

< Z > + < h,Vz >><0>,

-< X > + <a,Cx >><0>,

~(X) + (b,vy >><0),

-<Z> + < h, v z >><0>.

Пусть интервальные уравнения xi (и) = (0) , i = 1,2,...,6 , и = «X>,(Y>,<Z>) є 13R , интервальных плоскостей Pi имеют вид

Х1(и) = (X )-(a,Va > = <0>, x 2(и) = <Y )-(b,vb) = <0>, x3(и) = -<X> - (a, va> = <0>, x4(и) = -(¥) - (b,vb) = <0>, x 5 (и) = < Z )-(h,vh > = <0>, x 6 (и) = -<Z> -(h,vh) = (0).

Очевидно, что пересечение множества S с интервальными плоскостями не пусто. Обозначим часть плоскости P, принадлежащей множеству S , через Qi , i = 1,2,...,6 .

Объединение Qi, 1=1,2,...,6 формирует интервальную поверхность, описываемую интервальным уравнением

F = («X>, (Y), <Z») = <0> . (8)

Определение 1. Интервальным параллелепипедом называется объединение множеств, описываемых (7) и (8), если система (6) определяет параллелепипед T(u) в пространстве Rxy с IsR и, кроме того, система неравенств С,i(vx,vy,vz)>0,і = 1,2,...,6

РИ, 2002, № 2

43

з

определяет в пространстве R некоторый параллелепипед T(vu ); здесь

С\(ух ,vy ,vz ) = vx +V*, C 2(vx Xy ,vz ) = vy +v*’

Сз (У x Xy ,vz ) = ~vx + v*, ^4(^x Xy Xz ) = ~vy +v*’

C 5(vx Xy Xz ) = vz +v*’ Ce(vx Xy Xz ) = ~vz +v*’ v* = max\va,vb,vh} .

Назовем Q i интервальной гранью интервального параллелепипеда S.

Определение 2. Множество, описываемое уравнением (8), называется интервальной границей интервального параллелепипеда T и обозначается frT.

Интервальная граница frT может быть задана следующей совокупностью систем:

< X >-< a,va > = <0>,

(Y)~ЖЖ <<0>, ■ -(У)-ЖЖ <<0>,

< 2 )-ф-^) <<0>,

-<Z>-ф^) <{0>,

-< X )-(a,va > = <0>,

(У )~ЖЖ <<0>, ■ -Ж-ф^) <<0>, < Z )-ЖЖ 0>, -<Z>-жж - (0),

(У )-ф,Уь > = < 0), <X>-<a,ya> <{0), ■ -<X> - (a, va > <{0>,

< Z )-ЖЖ - (0), -Ж) -ЖЖ - (0),

-(У )-{b,Vb > = <0>, <X>-<a,ya> <{0), ■<X> ~{a,va > <{0>, < Z )-ЖЖ ^<0>,

-<Z>-ЖЖ - (0),

< Z )~{h,Vh > = <0>,

< X >-< a, v a ><< 0), • -< X )~(a,Va ><<0>,

(у )-ЖЖ - (0), -Ж)-ЖЖ - (0),

< Z )-{h,Vh > = <0X

(У )-ЖЖ - (0), -Ж -ЖЖ - (0),

(X>-<a, Va)<(0),

<X )-(a, Va ><<0>.

Поскольку T = intSufrT , очевидно, что clT Ф T , intT Ф T.

Таким образом, математическую модель параллелепипеда Tt с R 3 с учетом заданных погрешностей можно представить в виде интервального параллелепипеда T с 13R , i = 0,1,2,..., n .

Для того чтобы аналитически описать отношение касания, пересечения, непересечения интервальных параллелепипедов, рассмотрим понятие ф -функции интервальных объектов пространства 13 R , используя определение и свойства ф -функции [6, 7] объектов евклидова пространства R 3 .

Обозначим интервальный объект T, i = 1,2, заданный в собственной интервальной системе координат и транслированный на интервальный вектор Ui как

T (Ui) ={ X є 13 R| X = Ui + Y, Y є Tij ,

где Ui =((Xt),(Yt),(Zi)) — вектор параметров размещения объекта Ti, i = 1,2 .

Определение 3. Непрерывная, всюду определенная функция ф : I ^ R ^ I ^ R называется интервальной

ф -функцией объектов Ti(Ui) и T2(U2), если она удовлетворяет следующим характеристическим свойствам:

Ф( U1, U 2) =(ф( Ui, и 2), Ф ( УЩ,УЩ)),

Ф( U1,U2)>(0), если

[Ф( U1, и2) = 0 ( %Хи2) > 0,

[ф( U1, и2) = 0 [<ї>( %Хи 2) = 0

Ф( U1,U2)<(0), если

fФ( U1, и2) = 0

Ф( и1, и2) > 0 или Ф( U1,U2) = (0), если

Ф( и1, и2) < 0 или

[<ї>( %Хи 2) < 0,

где Ф(иь и2) — ф -функция объектов Tx(«i) и T>(M2), иг = (xt, yt, zt) є R3 ; Ф(^Хи2) - Ф -функция объектов Tі(Ущ ) и T2(vu2 ),

vut = (vxt ,vyt ,vzt ) є R 3 , І = 1,2 .

Поверхность Y = j(U1, U2) є ISR: Ф^ 1, U2) = (0)| называется интервальной поверхностью 0-уровня интервальной Ф -функции.

Очевидно,

Y = {(U1, U2) є 16R: (Ф(иь и2) = 0) л(Ф(^ ,^и2) = 0)} .

Определение 4. Интервальная Ф -функция называется нормализованной, если ф -функции Ф(иь и 2)

и Ф, си2) нормализованы [7], т.е. их значения

равны кратчайшим евклидовым расстояниям между соответствующими парами объектов T1(u1), T2(u2) и Ti(Cu1 ), T2(Cu2 ) при условии (и 1,и2) є G ,

(^и1, vu2 ) є G , где

G = I(и1,и2) єR6 |intT1 (иД nintT2(u2) =0j,

G = [(vu1 ,vu 2 ) є R 6 |int T1 (^u1 ) ^ int T2(vu 2 ) = 0} .

Построим интервальную Ф -функцию двух интервальных параллелепипедов T и T2 длиной

(2a1,2va^) и (2a 2,2va2) , Шириной (^Ь2^ ) и

(lb2,2vb2^l, высотой (lh1,2vh1^j и (lh2,2vh2^. Параметры размещения Ti обозначим

Ui =(( xi, vxi ) ,( yi ,Vyt) ,( zi ,Vzt)) , i = 1,2 .

Пусть A = a1 + a2, B = b1 + b2 , H = h1 + h2 ,

РИ, 2002, № 2

44

VA = v<n + va2 , VB = % + vb2 , VH = Vh1 + vh2 ;

X1U) = {X)-(A,va), X2(U) = <Y)-(B,vBX X 3U) = -<X> - {A,va >, X 4 (U) = -Y - <B,vs >, X 5 (U) = <z >-HY>, X 6 (U) = -<Z> -HY>, X(U) = X((X), (Y),{Z)) = {x(u), X(yu)),

где

Xi(u) = X - A, X2(u) = y - B,

Хз(u) = -x-A, X4(u) =-y-B, X5(u) = г -H, X6(u) = -z -H,

X 1(vu ) = vx ~ VA? X 2(vu ) = vy ~VB,

X 3(vu ) = ~vx ~ VA> X 4(vu ) = ~vy ~VB, X 5(vu ) = vz ~VH, X 6(vu ) = -Vz ~VH,

x{u) = max Xi{u), X(vu) = max Xi(vu).

i=1,2,...,6 i=1,2,...,6

Тогда интервальную ф -функцию параллелепипедов Ti(Ui) и T2(U2) можно представить в виде

Ф12 (U1, U 2 ) = X(U 1 - U 2 ) =

= ( X(u1 - u 2І X (Tu1 ~vu 2)) . (9)

Функция ф^(и 1, U2) не является нормализованной согласно определению 4, поскольку ф -функции ®(ubu2) и <£>(vu1,vu ) не нормализованы.

Далее, построим интервальную ф -функцию объекта T* = (13 R / C/T1) u frT1 и интервального параллелепипеда T2. Пусть размеры Ti заданы соответствующими интервальными значениями

(2ai ,2va^ ,( 2bi ,2vbt) и (2hi ,2Vhi) , i = 1,2 , При

этом полагаем a1 > a2, b1 > b2 , hx > h2, Va1 ^ va2 , Vb1 ^^ъ2 , Vh1 ^Vh2 . Параметры размещения T* и T2 обозначим U1 и U2 .

Пусть A = a1 - a2, B = b1 - b2 , H = h1 - h2,

VA = Va1 ~va2 , VB =v\ ~vb2 , VH = Vh1 ~vh2 ,

X1(U) = -<X) + (A, vA), X2(U) = -(Yj + (B, vBX ш) = (X> + (A, vA), X4(U) = <Y> + <B, VBX X5U) = -{Z) + (H, vH X %6(U) = <Z ) + (H ,vH X X(U) = X({ X), (Y),(Z )) = {x(u), ~x (Vu)) , где

X1(u) = -x + A, X2(u) = ~y +B, Xi(u) = x + A, X4(u) = y + B, X5(u) = ~z + H, %6(u) = г + H,

X 1(Vu) = ~vx + VA, X2(vu) = ~vy +VB, ЇЇ 3(vu ) = vx ЇЇ 4(vu ) = vy +VB,

ЇЇ5(^u) = ~VZ +VH, ЇЇ6(vu) = vz +VH,

РИ, 2002, № 2

X {?) = min XAu) ЇЇ(Vu) = min ЇЇі(vu)

i=1,2,...,6 ’ i=1,2,...,6

Тогда определим интервальную ф -функцию объекта T*(U 1) и параллелепипеда T2U2) в виде

ф^ь u 2) = X(U1 - U 2) =

= ( ЇЇ^1 - u2), Її^щ ~vu 2)) . (10)

Учитывая (1)-(10), математическую модель поставленной задачи можно представить так:

min <h0,Vh )

(и,(h0,vhQ I3"+1R ,

U = (U1, U 2, ^, Un) є l3nR = I^RxI^Jix...xI3R ,

n

где D — область допустимых решений, которая описывается системой интервальных неравенств

|ф ij (Ui, U j) >( 0), i, j = 1,2,..., n, i ф j,

{ф 0i (Uo,Ui) > (0), i = 1,2,..., n,

здесь ф ij Ui , U j) — ф -функция интервальных параллелепипедов Ti (Ui) и Tj (U j); ф oi (U0, Ui) — ф -функция интервального параллелепипеда Ti (Ui) и интервального объекта

To (U0) = (13R / clTo(U0)) иfrTo (U0).

Литература: 1. StoyanYu.G. The extended interval space and elementary mappings // Proc. of the IMACS—GAMM Intern. Symp. on Numerical Methods and Error Bounds. — Oldenburg (Germany). 1995. P.270—279. 2. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов// Докл. НАН Украины. Сер. A. 1996. №7. С.23—25. 3. Стоян Ю.Г. Интервальные отображения// Докл. НАН Украины. Сер. A. 1996. №10. С.57-61. 4. Стоян Ю.Г. Интервальное пространство 13R. Интервальные уравнения// Докл. НАН Украины. 1998. №6. С.109— 116. 5. KaucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Computing Suppl. 1980. №2. P.33—49. 6. Stoyan Yu. G. ф- function and its basic properties// Докл. НАН Украины. 2001. №8. С.112-117. 7. Stoyan Yu. G. Construction of a Ф - function for 2D primary objects/ Stoyan Yu., Gil N., Romanova T., Terno J., Schithauer G. // Technische Univarsitat Dresden, MATH-NM-13. 2001. 27 p.

Поступила в редколлегию 22.03.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.

Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-96-77.

45