CC BY
29
Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.
^ сибдк
www. sibac. info
1.4. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА
ПОЛИЭДРАЛЬНЫЙ ГРАФ ЗАДАЧИ ОБ ОСТОВНОМ ДЕРЕВЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТЕПЕНИ
Бондаренко Владимир Александрович
д-р. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой дискретного анализа, ЯрГУ им. П.Г. Демидова,
РФ, г. Ярославль E-mail: bond@bond.edu.var.ru
Николаев Андрей Валерьевич
канд. физ.-мат. наук, доцент ЯрГУ им. П.Г. Демидова,
РФ, г. Ярославль E-mail: werdan. nik@gmail. com
Шовгенов Джамболет Азаматович
аспирант ЯрГУ им. П.Г. Демидова, РФ, г. Ярославль E-mail: djsh92@mail.ru
1-SKELETON OF THE DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE PROBLEM
Vladimir Bondarenko
doctor of Science, Professor, Head of Discrete Anafysis Department,
P.G. Demidov Yaroslavl State University, Russia, Yaroslavl
Andrei Nikolaev
candidate of Science, Associate Professor, P.G. Demidov Yaroslavl State University, Russia, Yaroslavl
Dzhambolet Shovgenov
graduate Student, P.G. Demidov Yaroslavl State University,
Russia, Yaroslavl
35
^ СибАК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 8 (32), 2015 г
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ № 14-01-00333 и гранта Президента Российской Федерации МК-5400.2015.1.
АННОТАЦИЯ
Исследуются комбинаторно-геометрические характеристики
задачи о минимальном остовном дереве ограниченной степени. Устанавливается сверхполиномиальный рост кликового числа и NP-полнота проверки смежности вершин полиэдрального графа задачи.
ABSTRACT
We study combinatorial and geometric properties of the degree constrained minimum spanning tree problem. We establish a superpolynomial lower bound on the clique number and the NP-completeness of the vertex adjacency testing for the 1-skeleton of the problem polytope.
Ключевые слова: остовное дерево; полиэдральный граф;
кликовое число; NP-полная задача; гамильтонова цепь.
Keywords: spanning tree; 1-skeleton of a polytope; clique number; NP-complete problem; hamiltonian chain.
Значительное число работ, связанных с вычислительной сложностью комбинаторных задач, направлено на изучение геометрических объектов, ассоциированных с задачами. Чаще всего такими объектами являются многогранники задач и графы этих многогранников. В частности, кликовое число (размер наибольшего полного подграфа) полиэдрального графа задачи служит нижней оценкой вычислительной сложности в широком классе алгоритмов, основанных на линейных сравнениях. Более того, выяснилось, что эта характеристика полиномиальна для известных полиномиально разрешимых задач и сверхполиномиальна для труднорешаемых (см., например, [2; 3]).
Рассмотрим две задачи следующего вида: задан реберно-
взвешенный граф G = (V, Е) и некоторое множество Т его подграфов, требуется найти подграф из Т, имеющий минимальный суммарный вес.
Минимальное остовное дерево (minimum spanning tree, MST). Требуется найти в связном графе G остовное дерево с минимальным весом.
Задача об остовном дереве полиномиально разрешима, например, алгоритмами Прима и Краскала.
Минимальное остовное дерево ограниченной степени (degree constrained minimum spanning tree, DCST). В этой задаче требуется
36
Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.
^ сибдк
www. sibac info
наити дерево минимального веса среди всех остовных деревьев, степени вершин которых не превосходят заданную величину К.
Задача об остовном дереве ограниченной степени является NP-полной [4].
Обозначим через п — число вершин графа G, а через d — количество ребер в полном графе на п вершинах (d = п(п -1) / 2). Рассмотрим пространство Rd, координаты точек в котором ассоциированы с ребрами графа G. Каждому элементу t из Т сопоставим его характеристический вектор х = x(t) е Rd, положив равными единице значения тех координат, которые соответствуют ребрам, принадлежащим t, а остальные координаты приняв равными нулю. Совокупность характеристических векторов обозначим через X. Тогда выпуклая оболочка множества X называется многогранником задачи. Полиэдральным графом задачи называется граф многогранника, множеством вершин которого служит множество геометрических вершин (в данном случае это X), а множеством ребер — совокупность геометрических ребер, то есть множество одномерных граней.
Полиэдральный граф многогранника MSTn задачи об остовном дереве для графа G на п вершинах полностью описан, точное значение кликового числа приведено в работе [1].
Утверждение 1. Кликовое число полиэдрального графа многогранника MSTn полиномиально по n и равно
w(MST„)
п
2
4
Рассмотрим многогранник DCST„iK задачи о минимальном остовном дереве ограниченной степени в графе на п вершинах. Для п > 2 и К > 1 обозначим через
s =
п - 2
Т-1
и построим дерево t специального вида. Разобьем множество вершин на s подмножеств вида К ={vt,vtl,...,vik_2} по k — 1 вершине
в каждом. Все оставшиеся вершины, которых будет от 2 до к +1, разобьем на два подмножества V0 ={v0,v0v0 р}
37
^ СибАК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 8 (32), 2015 г
и V+1 ={vs+1,vj+11,...,vB} . Рассмотрим конструкцию следующего вида:
в каждом подмножестве Vi все вершины соединяются ребрами с только с вершиной vi (Рис. 1). Отметим, что степени вершин vo и vs+i по построению не могут превосходить К.
Лемма 1. Граф th, получаемый из дерева t отбрасыванием вершин vo, vs+i и vij вместе с ребрами (vij,vi), является гамильтоновой цепью с концевыми вершинами v1 и vs.
Доказательство. По построению степени вершин v1 и vs не могут быть меньше К -1, а степени вершин {v2,...,vs-1} меньше К - 2. Так как степени вершин в дереве t не превосходят К, то граф, получаемый после отбрасывания вершин, может быть только гамильтоновой цепью, соединяющей v1 и vs.
Vl,l vl,k-2
Рассмотрим совокупность ТК всех остовных деревьев описанного вида. По лемме 1 каждое такое дерево содержит цепь th с концевыми вершинами v1 и vs, проходящую через вершины {v2,...,vs-1}. Верно и обратное: каждой цепи указанного вида соответствует дерево из ТК. Обозначим через HC1s выпуклую оболочку характеристических векторов гамильтоновых цепей между вершинами v1 и vs.
Лемма 2. Вершины x и y многогранника DCST„,k, отвечающие деревьям из Tk, несмежны тогда и только тогда, когда несмежны соответствующие им вершины xh и yh многогранника HC1s.
Доказательство. Предположим, что вершины xh и yh многогранника HC1s несмежны. Тогда некоторая их выпуклая комбинация совпадает с выпуклой комбинацией остальных вершин многогранника HC1s.
ахн + Руh = Z g*Zh - 2h е HC1s > a + b = ^yz = L
38
Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.
^ сибдк
www. sibac info
Каждой гамильтоновой цепи из HC1s однозначно соответствует остовное дерево из Тк. Дополним равенство координатами, соответствующими отброшенным ребрам и получим равенство
ах + ру = ^yzz, z е Т,
означающее, что вершины х и у многогранника DCST„,k несмежны. Пусть теперь вершины х и у несмежны, тогда
ах + ру = ^rzz-
У точек х и у все координаты, соответствующие ребрам (vy,v,), совпадают, так как эти ребра фиксированы для остовных деревьев из Тк, а значит они совпадают и у точек z, что позволяет перейти к равенству
ах +
Ру = Е^ zеТк•
Каждому остовному дереву из Тк однозначно соответствует гамильтонова цепь между вершинами vi и vs из HC\s. Таким образом,
ахк +
рУн =ТГЛ, zh е HC\s ,
и вершины хн и ун многогранника HC1s несмежны.
Лемма 2 дает возможность воспользоваться свойствами задачи коммивояжера для изучения многогранника DCST„?k. Для этого достаточно учесть следующий простой факт: две вершины многогранника HC1s гамильтоновых цепей смежны тогда и только тогда, когда в многограннике задачи коммивояжера смежны вершины, соответствующие гамильтоновым циклам, образованным при отождествлении крайних вершин в одну. Таким образом из леммы 2 и известного результата Х. Пападимитриу [5] следует
Теорема 1. Задача распознавания смежности вершин многогранника DCST„,k является NP-полной.
Теорема 2. Кликовое число полиэдрального графа многогранника DCST„k задачи об остовном дереве ограниченной степени сверхполиномиально по s:
a(DCSTn k ) > 2
s-1
/2
39
^ СибАК
www. sibac. info
СибАК
Естественные и математические науки в современном мире
№ 8 (32), 2015 г
Для доказательства теоремы 2 достаточно воспользоваться леммой 2 и нижней оценкой кликового числа полиэдрального графа многогранника TSPn задачи коммивояжера для п городов [1]:
Таким образом, классическая задача о минимальном остовном дереве и задача о дереве ограниченной степени имеют принципиально отличные полиэдральные характеристики. Для классической задачи известны полиномиальные алгоритмы, полностью описан полиэдральный граф задачи, и установлено, что его кликовое число полиномиально по размерности пространства. При этом задача об остовном дереве ограниченной степени является труднорешаемой, полиэдральный граф задачи являются крайне сложными: даже проверка смежности вершин является NP-полной задачей, кликовое число графа сверхполиномиально по размерности пространства.
Список литературы:
1. Белов Ю.А. О плотности графа матроида // Модели исследования операций в вычислительных системах. Яросл. гос. ун-т., Ярославль. 1985. — C. 95—100.
2. Бондаренко В.А., Максименко А.Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации. М.: ЛКИ, 2008. — 184 с.
3. Бондаренко В.А., Николаев А.В. Комбинаторно-геометрические свойства задачи о разрезе // Доклады Академии наук. — Т. 452, — № 2. — 2013. — С. 127—129.
4. Гэри M., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир. 1982. — 416 с.
5. Papadimitriou C.H. The Adjacency Relation on the Traveling Salesman Polytope is NP-Complete // Mathematical Programming. — Vol. 14, — Iss. 1. — 1978. — P. 312—324.
w(TSPn) > 2
40
