CC BY
13
УДК 519.16+514.172.45
ББК 22.174.2
Ш 78
Шовгенов Д.А.
Аспирант кафедры дискретного анализа Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, e-mail: [email protected]
Комбинаторно-геометрические характеристики задачи о сбалансированном полном двудольном подграфе
(Рецензирована)
Аннотация. Изучается плотность графа многогранника следующей задачи. Задан полный реберно-взвешенный двудольный граф. Рассматриваются все его полные подграфы с фиксированным количеством вершин. Требуется найти среди них подграф с минимальным (максимальным) суммарным весом ребер.
Ключевые слова: двудольный граф, полиэдральный граф, плотность графа, NP-полная задача.
Shovgenov D.A.
Post-graduate student of the Discrete Analysis Department, Yaroslavl State University named after
P.G. Demidov, Yaroslavl, e-mail: [email protected]
Combinatorial-geometric characteristics of the problem of a balanced complete bipartite subgraph
Abstract. In this paper, we study graph of polyhedron of the following problem. A complete edge-weighted bipartite graph is given. We consider all of its complete subgraphs with fixed number of vertices. It is required to find among them a subgraph with the minimum (maximum) total weight of edges.
Keywords: bipartite graph, 1-skeleton, the clique number, NP-complete problem.
1. Введение
Известно, что вычислительная сложность задач комбинаторной оптимизации отражает некоторые свойства многогранников, порождаемых этими задачами. В частности, одной из ключевых характеристик является плотность графа многогранника, которая служит нижней оценкой временной трудоемкости для широкого класса алгоритмов [1].
Ниже рассматривается задача комбинаторной оптимизации, представляющая собой задачу на графах и допускающая следующую постановку. Заданы полный реберно-взвешенный двудольный граф и некоторое множество X его подграфов. Требуется найти подграф из X, имеющий минимальный (максимальный) вес, под которым понимается сумма весов всех входящих в него ребер.
Сбалансированный полный двудольный подграф (Balanced complete bipartite subgraph, BCBS) [2]. Требуется найти полный двудольный подграф максимального веса, при условии, что размер каждой его доли равен заданному числу k.
2. Сложность задачи BCBS
Рассмотрим близкую к BCBS задачу распознавания ВСВБрасп следующего вида. Заданы полный реберно-взвешенный двудольный граф G=G(V, E) и целое число М. Требуется выяснить, существует ли полный двудольный подграф с k вершинами в каждой доле, сумма весов ребер которого не меньше, чем М.
Теорема 1. Задача ВСВ8расп NP-полна.
Доказательство.
Принадлежность BCBS^^ классу NP легко следует из того, что в случае положительного ответа достаточно указать соответствующий подграф, чтобы за полиномиальное время убедиться в том, что его вес не меньше, чем M.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 14-01-00333.
Теперь осуществим полиномиальное сведение к нашей задаче известной #Р-полной задачи КЛИКА [2], предварительно напомнив ее формулировку.
Заданы граф g=g(U, E) и натуральное число k. Требуется выяснить, имеются ли в графе g k попарно смежных вершин (иначе, есть ли в графе клика размера £).
Рассмотрим индивидуальную задачу КЛИКА. По заданным g и k построим индивидуальную задачу ВСВ8рас«, полагая М=2£2-£, а в качестве полного двудольного реберно-взвешенного графа выберем граф G с множествами и={и\,и2,...,ип} вершин в одной доле и К={у1,у2,...,уи} - в другой, где п=|Ц|. Значения сг7=с(мг-,у/) весов ребер определим формулой
k, если 1 = /, 1, если (и., V. )е Е, 0, если (и., V. ) Е.
c = <
V
Покажем, что граф g имеет клику размера k в том и только том случае, когда в двудольном графе G есть полный двудольный подграф с k вершинами в каждой доле, вес которого не меньше М.
Действительно, если в графе g есть клика и' е и, |и= £, то вес сбалансированного полного двудольного подграфа графа G, одна доля которого и', а вторая - {уг : и. еи'}, равен
У , е.. + У , е.. = £2 + £(£ -1) = 2£2 - £.
¿—¡и1 еи' 11 ¿—¡и1 ,и. еи ',1*] ¡7 у '
Обратно, если в графе G есть сбалансированный полный двудольный подграф с £ вершинами в каждой доле и весом, не меньшим, чем М=2£2-£, то у этого подграфа вес каждого ребра положителен, и среди них ровно £ ребер вида (и1, V.). Следовательно, множество вершин и, состоящее из таких ui еи, для которых (и., V.) принадлежит нашему двудольному подграфу, образует клику из £ вершин графа g. Теорема 1 доказана.
3. Многогранник и полиэдральный граф задачи БСБ8
Обозначим, как и выше, через G полный двудольный граф с п вершинами в каждой доле. Пусть ш=п2 - общее количество ребер графа G. Рассмотрим пространство Ят, координаты которого ассоциированы с ребрами G. Выберем натуральное £ (£<п) и рассмотрим совокупность X всех сбалансированных полных двудольных подграфов ~ графа G с £ вершинами в каждой доле. Для каждого ~ е X определим его характеристический вектор хе Ят, положив равными единице значения тех координат, которые соответствуют ребрам ~ , при этом приняв равными нулю значения остальных координат. Совокупность всех характеристических векторов обозначим через X. Рассмотрим вектор е е Ят, составленный из весов ребер графа G. Тогда поставленная задача является задачей оптимизации линейной функции (е, х) на конечном множестве X.
Обозначим через Р(X) многогранник задачи P(X)=convX. Полиэдральным графом задачи называют граф многогранника, множеством вершин которого служит множество геометрических вершин, а множеством ребер - совокупность геометрических ребер (множество одномерных граней). Для описания графа многогранника бывает полезным следующее утверждение [3]:
Лемма 1. Две вершины х и у многогранника Р смежны тогда и только тогда, когда они строго отделяются от множества остальных его вершин, или, иными словами, они несмежны тогда и только тогда, когда некоторая их выпуклая комбинация совпадает с некоторой выпуклой комбинацией остальных вершин, то есть найдутся такие а>0, в>0, Уг—0, для которых
аЖ + РУ = (1)
а + Р = = 1, (2)
и суммирование проводится по всем вершинам, отличным от х и у.
Следующее утверждение дает эффективное описание полиэдрального графа задачи БСББ (ср. с [4]).
Теорема 2. Для того чтобы две вершины х и у многогранника Р(Х) были смежны, необходимо и достаточно, чтобы либо соответствующие двудольные подграфы у и у не имели одинаковых долей, либо имели по одной одинаковой доле, а их вторые доли отличались не более чем на одну вершину. Доказательство.
Достаточность. Предположим сначала, что соответствующие х и у подграфы у и у не имеют совпадающих долей. Рассуждая от противного, допустим, что х и у несмежны. Воспользуемся леммой 1 и рассмотрим 2 е X , для которого уг>0. Обозначим через их, иу, иг подмножества вершин из (щ,и2,...,ип}, через Ух, ¥у, У2 - подмножества из . ,,уп},
а через Ех, Еу, Е2 - множества ребер подграфов у, у и у соответственно. Из условий (1), (2) следует вложение
Ег с Ех и Еу . (3)
Так как выполняются условия гфх и хфу, то и2 не совпадает ни с множеством их, ни с иу, а Уг не совпадает ни с Ух, ни с Уу. Но это противоречит вложению (3). Предположим теперь, что их=иу, а
|Ух\Уу|=1. (4)
Снова рассуждая от противного и допуская, что х и у несмежны, применим лемму 1 и рассмотрим 2 е X, для которого у2>0. Из вложения (3) вытекает, что их=иу=и2 и У2 с Ух и Уу. Но тогда, учитывая (4), получим одно из равенств Ух=Уу или Ух=Уу, откуда
следует, что ¿=х или 2=у. Снова приходим к противоречию. Второй вариант - когда Ух=Уу, а ЩДЦ,|=1, рассматривается аналогично.
Необходимость. Пусть х и у смежны и пусть их=иу. Докажем равенство (4). Снова рассуждая от противного, предположим, что (4) не выполняется. Так как УхфУу, иначе х и у совпадали бы, то |Ух\Уу|>2. Пусть у1е Ух\Уу и \2е Уу\Ух. Рассмотрим два новых подграфа
X-у и у2, у которых и2 = ич=их, У21 =(Ус\(^1})и (У2}, У22 =(Ух\(^2})и (у1 }. Непосредственно проверяется равенство
х+у=г1+г2,
которое означает, что х и у несмежны, что приводит к противоречию. Теорема доказана.
Из доказанного критерия смежности вершин многогранника Р(Х) вытекает неполиномиальная нижняя оценка кликового числа, или плотности его полиэдрального графа.
Теорема 3. Плотность Рпк графа многогранника Р(Х) задачи сбалансированный полный двудольный подграф удовлетворяет неравенству:
Рпк * Скп. (5)
Доказательство. Для получения оценки (5) выберем среди вершин одной доли (м1,м2,_,м„} графа G к вершин (количество вариантов равно Скп), а из другой доли
(у1,у2,_,у„} выберем вершины с такими же номерами. Тогда в силу теоремы 2 любые два полных двудольных подграфа с такими наборами вершин порождают смежные точки множества X.
Теорема доказана.
4. Заключение
Установлено, что задача о поиске максимального сбалансированного полного двудольного подграфа в полном двудольном графе является #Р-трудной и имеет сверхполиномиальную нижнюю оценку плотности полиэдрального графа, которая получена на основе его эффективного описания.
Примечания:
1. Бондаренко В.А., Максименко А.Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации. М., 2008. 184 с.
2. Гэри М.Р., Джонсон Д. С. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.
3. Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. М.: Мир, 1988. 240 с.
4. Антонов А.И., Бондаренко В.А. Полиэдральные графы задач РАЗБИЕНИЕ НА ТРЕУГОЛЬНИКИ И ПОЛНЫЙ ДВУДОЛЬНЫЙ ПОДГРАФ // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 6. С. 101-106.
References:
1. Bondarenko V.A., Maksimenko A.N. Geometric constructions and complexity in combinatorial optimization. M., 2008. 184 pp.
2. Garey M.R., Johnson D.S. Computers and Intractability. M.: Mir, 1982. 416 pp.
3. Brondsted A. An introduction to convex polytopes. M.: Mir, 1988. 240 pp.
4. Antonov A.I., Bondarenko V.A. Polyhedral graphs of graph partitioning and complete bipartite subgraph problems // Modelling and Analysis of Information Systems. 2012. Vol. 19, No. 6. P. 101-106.
