CC BY
64
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2011 Прикладная теория графов №3(13)
УДК 519.1+519.8
ИНТЕРВАЛЬНАЯ НА ОДНОЙ ДОЛЕ ПРАВИЛЬНАЯ РЕБЕРНАЯ 5-РАСКРАСКА ДВУДОЛЬНОГО ГРАФА1
A. M. Магомедов, Т. А. Магомедов
Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Россия
E-mail: [email protected]
Пусть в двудольном графе G = (X, Y, E) степень каждой вершины в X равна 2, наибольшая степень вершины в Y равна Б. Найдены условия существования правильной реберной Б-раскраски графа G, интервальной на множестве X.
Ключевые слова: двудольный граф, NP-полнота, рёберная раскраска.
Введение
В работе приняты обозначения и терминология [1].
Рёберной р-раскраской графа G в цвета І, 2,... ,р называется сюръекция
р: E (G) ^{І, 2,... ,р}.
Количество ребер i-го цвета, инцидентных вершине v, обозначается p(v,i); говорят, что в вершине v цвет i представлен p(v, i) раз. Присутствие или отсутствие цвета i в вершине v означает, что p(v,i) > 0 или p(v,i) = 0 соответственно. Если p(v,i) ^ І для каждого цвета i, то реберная раскраска р называется правильной в вершине v; если р является правильной в каждой вершине v Є V(G), то р называется правильной рёберной раскраской графа G. Наименьшее р, такое, что существует правильная реберная р-раскраска графа G, принято обозначать x/(G). Напомним, что через А^) обозначается наибольшая степень вершины графа G (если граф G однозначно определяется из контекста, обычно применяется сокращенное обозначение А).
В [2] доказано, что для простого графа G значение X/(G) равно А или А + І. Для графа G без петель X/(G) ^ А + k, где k — максимальное число параллельных ребер; для непустого однородного графа с нечетным числом вершин X/(G) = А + І [1, c. 191]. Из работ [3, 4] и знаменитой теоремы о четырех красках следует, что для всякого 2-связного планарного кубического графа G выполняется равенство x/(G) = З. В общем случае для кубического графа G задача уточнения: X/(G) = 3 или X/(G) = 4 — является NP-полной [5] (соответствующая гипотеза была выдвинута ранее в [б]). Теорема Кенига о реберной раскраске [Т, c. SO] утверждает, что для двудольного графа G справедливо равенство X/(G) = А.
Для заданных целочисленных a и b, a ^ b, множество {a, a + І,... , b} будем называть интервалом. Реберную раскраску, правильную в вершине v Є V, называют интервальной в вершине v, если цвета ребер, инцидентных вершине v, заполняют некоторый интервал. Реберную раскраску графа G называют интервальной, если она является интервальной в каждой вершине графа, и интервальной на множестве V/ С V(G), если она является интервальной в каждой вершине из V/.
Задача существования правильной реберной А-раскраски двудольного графа G = (X, Y, E), интервальной на множестве X, рассмотрена в работе [S] в связи с прикладной задачей устранения «окон» преподавателей в расписании учебных занятий;
1Работа поддержана грантом РФФИ №2010-1.3.2-111-017-12.
в [S], в частности, показано, что если в графе G = (X, Y, E) степени вершин X «преобладают» (над вершинами Y) в следующем смысле:
min dGx ^ max dGy или V(x,y) Є E (dGx ^ dGy),
x€X y€Y
то G допускает правильную реберную А-раскраску, интервальную на X (с дополнительным свойством: цвет 1 представлен в каждой вершине X). Задача представляется более содержательной, когда в определенном смысле «преобладают» степени вершин множества Y; в [9] доказано, что задача о существовании правильной реберной А-раскраски, интервальной на X, NP-полна, даже если
Vx Є X (dGx ^ [А/2]); Vy Є Y (dGy = А).
Иногда в прикладных задачах требуется, чтобы тот или иной цвет присутствовал лишь в определенных вершинах. Реберную раскраску графа G = (X, Y, E) будем называть раскраской с ограничением на цвет k, если цвет k присутствует лишь в вершинах наибольшей степени. Пусть двудольный граф G = (X, Y, E) задает учебные нагрузки к расписанию: количество ребер, соединяющих вершины x^ Є X и yj Є Y, равно количеству уроков, предписанных учителю x^ провести в классе yj. Тогда, рассматривая цвета І, 2, . . . , А в качестве номеров академических часов, получим, что требование планировать урок учителю x^ в академический час с номером А лишь в том случае, когда учебная нагрузка учителя x^ содержит А уроков, равносильно условию ограничения на цвет А.
Двудольный граф G = (X, Y, E), в котором dGx = a для всех x Є X, будем называть (a, ^-графом, (a, ^-графом, (a, ^-графом или ^)-графом, если соответственно dGy = b для всех y Є Y; dGy ^ b для всех y Є Y; max dGy = b или значения степеней вершин Y
у&
безразличны.
Докажем, что задача о существовании у заданного (2, 5)-графа G = (X, Y, E) правильной реберной 5-раскраски, интервальной на X и с ограничением на произвольно выбранный цвет k = І, З или 5, разрешима за полиномиальное время. Известно, что задача о существовании интервальной А-раскраски у двудольного графа G с А = 5 NP-полна [10].
Отметим также следующие результаты. Впервые вопрос об интервальной раскра-шиваемости двудольных графов, видимо, сформулировал H. M. Hansen [11]. Он, в частности, доказал, что в следующих случаях двудольный граф G интервально раскрашиваем: 1) G — полный граф, 2) G является (2, 2^-графом, 3) степени вершин в графе G не превышают трёх. Если G является (2, А)-графом, то при четном А существует реберная интервальная А-раскраска [12], а при нечетном А ^ З — реберная интервальная раскраска в А или (А + І) цветов [13]. В [14] доказана NP-полнота задачи
о существовании интервальной А-раскраски для (4, З)-графа (соответствующая гипотеза была сформулирована в [15]); NP-полнота аналогичной задачи для (б, З)-графа установлена в [16].
Представляют интерес контрпримеры, уточняющие значения А и n (количество вершин), для которых можно указать графы, не обладающие реберной интервальной раскраской: А = І4 и n = 2І (С. В. Севастьянов); А = ІЗ и n = 27 (P. ErdOs); А = І5 и n = І9 (M. Malafiejski). С привлечением компьютерных вычислений K. Giaro установил, что при n ^ І4 любой двудольный граф допускает реберную интервальную раскраску.
1. Вспомогательные утверждения
Для (2, 5)-графа G = (X, Y, E) примем следующие определения:
1) множество E/ С E, такое, что порожденный на E/ подграф графа G является (І, 2)-графом, называется рёберным 2-каркасом графа G;
2) реберная 2-раскраска p графа G называется выровненной, если выполнены следующие условия:
а) p(x, І) = p(x, 2) = І для всех x Є X;
б) для каждой вершины y Є Y, такой, что dGy ^ З, справедливо неравенство Ip(y, І) — p(y, 2)I ^ І; другими словами, для любого i = І, 2 p(y,i) ^ З для всех y Є Y и равенство p(y,i) = З возможно тогда и только тогда, когда dGy = 5, что равносильно p(y, З — i) = 2;
3) набор (p, E/) из реберной 2-раскраски p и реберного 2-каркаса E/ графа G будем называть 2-каркас-раскраской, если ни одной вершине из множества Y не инцидентны два ребра одного цвета из множества E/.
Далее понадобятся следующие обозначения для графа G = (V, E): r(S) —множество ребер, смежных вершинам S С V; density(G) = IEI/1VI.
В [17] доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть M(v,e) —время, требуемое для вычисления минимального разреза сети с v вершинами и e ребрами. Тогда в графе, состоящем из n вершин и m ребер, подграф G/ с наибольшим значением density(G/) может быть найден за время O(M(n, n + m) log n).
Утверждение 2. Если (2, 5)-граф G = (X, Y, E) обладает правильной реберной 5-раскраской p, интервальной на X, то
VS С X IS I ^ 2Ir(S )I. (1)
Доказательство. Пусть S С X; Gs = (S, r(S),Es) — подграф графа G, порожденный множеством S. Поскольку раскраска p является интервальной на S, то цвета ребер, инцидентных произвольной вершине x Є S, образуют одну из пар
І и 2; 2 и З; З и 4 или 4 и 5.
Таким образом, в вершине x Є S представлен один и только один из цветов 2 и 4. Тогда можно указать цвет i0 Є {2, 4}, который представлен хотя бы в половине вершин из S; следовательно, не менее ISI/2 ребер множества Es закрашены в цвет i0. Отсюда и из правильности раскраски p следует, что цвет i0 представлен в не менее чем ISI/2 вершинах множества r(S). Следовательно, ISI/2 ^ IT(S)I. ■
Далее покажем, что условия (1) являются и достаточными для существования в (2, 5)-графе G = (X, Y, E) правильной реберной 5-раскраски p, интервальной на X. Отметим аналогию условий (1) с условиями теоремы Холла [1, с. 1б4] о существовании в двудольном графе G = (X, Y, E) полного паросочетания множества X с множеством Y. Естественно, следует рассмотреть вопрос эффективной проверки условий (1).
Утверждение 3. Проверка условий (1) выполнима за полиномиальное время.
Доказательство. Заменим в графе G = (X, Y, E) каждую вершину x Є X и ребра (x,y/) и (x,y//) одним ребром (y/,y//); полученный граф обозначим через H = (Y, Z), где Z — множество ребер. Условия (1), очевидно, равносильны следующим: для любого Z/ С Z и подграфа H/ = (Y/, Z/) графа H, порожденного множеством Z/, выполняется неравенство IZ/1/1Y/1 ^ 2.
Воспользуемся утверждением 1: найдем в графе H подграф G' с наибольшим значением density(G') и заметим, что проверка условий (1) сводится к проверке неравенства density (G') ^ 2. ■
Результат работы [18] удобно привести в следующем виде.
Утверждение 4. Если (2, 5)-граф G = (X, Y, E) удовлетворяет условиям (1), то G обладает реберным 2-каркасом.
Нам понадобится также следующее утверждение из [19].
Утверждение 5. Если в связном (2)-графе G существует некоторый 2-каркас, то граф G обладает 2-каркас-раскраской.
Утверждение 6. Если связный (2)-граф G = (X, Y, E) обладает полным паро-сочетанием X с Y, то G содержит не более одного цикла.
Доказательство. Пусть G содержит два различных цикла: C1 и C2. Обозначим через G' = (X;, Y', E') минимальный по числу ребер связный подграф графа G, включающий Ci и C2. Тогда Г(Х') = Ydcx = 2 для всех x Е X; dcy ^ 2 для всех y Е Y для некоторого y Е Y' выполняется условие dc У > 2.
Отсюда получаем |X'| > |r(X')|. Но это противоречит упомянутой выше теореме Холла, согласно которой G = (X, Y, E) содержит полное паросочетание X с Y тогда и только тогда, когда для любого X' С X выполняется неравенство |X'| ^ |r(X')|. ■
Следствие 1. Если G = (X, Y, E) — связный (2)-граф, обладающий полным па-росочетанием X с Y, то G — либо дерево, либо цикл, либо состоит из простого цикла и набора деревьев, «прикрепленных» к циклу в некоторых вершинах из Y.
Утверждение 7. Пусть (2,5)-граф G = (X, Y, E) обладает 2-каркас-раскрас-кой (p,E'). Тогда каждый подграф Gj = (Xi,^,Ei), i = 1, 2, графа G, порожденный множеством Ej = {e Е E : р(е) = i}, допускает интервальную раскраску р' в три цвета— 2i — 1, 2i и 2i + 1, такую, что в вершине y Е Yj цвет 3 представлен тогда и только тогда, когда dGiУ = 3.
Доказательство. По определению 2-каркас-раскраски (p,E'), каждый из подграфов Gi = (Xj,Yj,Ej) является (2, 3)-графом, который обладает полным паросоче-танием Xj с Yj. Исходная раскраска р более не потребуется; удалим цвета всех ребер.
Покажем сначала, что Gi допускает интервальную раскраску в три цвета — 1, 2 и 3, такую, что цвет 3 представлен только в вершине y Е Y степени 3. Вершины множества X1 (Y1) будем называть «:X1-вершинами» (соответственно «^-вершинами»).
Рассмотрим случай, когда граф G1 содержит некоторый цикл C. Выберем одно из направлений обхода цикла C и, начиная с произвольной Y1-вершины цикла, выполним обход, поочередно закрашивая ребра C в цвета 1, 2,1, 2,..., 1, 2 (любой цикл в двудольном графе имеет четную длину).
Если граф G1 состоит только из цикла C, то закрашивание завершено.
Пусть G1, кроме цикла C, содержит (см. следствие 1) и некоторые деревья, «прикрепленные» к C. Для каждой Y1-вершины y цикла C, к которой «прикреплено» некоторое дерево F, выполним следующую процедуру.
Процедура закрашивания дерева. Сориентируем ребра F так, чтобы получить ориентированное корневое дерево F' с корнем в вершине y, и закрасим дуги дерева F' в цвета множества {1, 2, 3} по следующему правилу:
1) дугу с началом в корневой вершине y закрасим в цвет 3; теперь в вершине y представлены цвета 1,2 и 3;
2) для каждой У^вершины у' дерева закрасим дугу с концом в у' в цвет 2; теперь в каждой У1-вершине дерева (независимо от степени вершины) точно один раз представлен цвет 2;
3) если из некорневой У1-вершины у' дерева выходят две дуги,
то одну из них закрасим в цвет 1, другую — в цвет 3; теперь в каждой У1-вершине дерева, степень которой равна 3, представлены цвета 1, 2 и 3; иначе закрасим дугу с началом в у' в цвет 1; теперь в каждой У1-вершине степени 2 представлены цвета 1 и 2.
Конец процедуры.
Если О1 состоит из единственного дерева ^, то выберем любую его висячую вершину у и выполним описанную выше процедуру закрашивания дерева с заменой п. 1 на следующий: «дугу с началом в у закрасим в цвет 1».
Полученную реберную раскраску графа О1 в цвета 1, 2 и 3 обозначим через р' и подытожим свойства р':
1) в каждой Х1-вершине представлен цвет 2 и один из цветов 1 или 3 (следовательно, раскраска р' интервальна на Х1);
2) в каждой У1-вершине у степени 1, 2 и 3 представлены цвета 2; 1 и 2; 1, 2 и 3 соответственно (следовательно, раскраска р' интервальна на У1).
Таким образом, для О1 требуемая раскраска построена. Аналогично построим раскраску для О2, после чего перекрасим в О2 ребра цвета 1 в цвет 5, а ребра цвета 2 — в цвет 4. ■
2. Условия существования правильной реберной 5-раскраски,
интервальной на X
Теорема 1. Пусть А = 5; к — произвольный элемент множества {1, 3, 5}. Тогда (2, А)-граф О = (X, У, Е) обладает правильной реберной А-раскраской, интервальной на X и с ограничением на цвет к, если и только если выполнены условия (1).
Доказательство. Необходимость доказана в утверждении 2.
Достаточность. Пусть (1) выполнено и, согласно утверждениям 4, 5 и 7, для графа О существует реберная раскраска р и разбиение на два (2, 3)-графа О1 = = (Х1,У1,Е1) и О2 = (Х2,У2,Е2), таких, что: 1) dGiу = 3 тогда и только тогда, когда dG3_іу = 2; 2) сужение р' раскраски р на О1 является интервальной раскраской графа О1 в цвета 1, 2, 3, такой, что в У1-вершине у цвет 3 присутствует тогда и только тогда, когда dG1 у = 3; 3) сужение р' раскраски р на О2 является интервальной раскраской графа О2 в цвета 3, 4, 5, такой, что в У2-вершине у цвет 3 представлен тогда и только тогда, когда dG2у = 3.
Поэтому в вершине у Є У цвет 3 представлен тогда и только тогда, когда dGУ = 5, и точно один раз. Поэтому р является правильной реберной 5-раскраской графа О в цвета множества {1, 2, 3,4, 5}, интервальной на X. Ясно, что в вершине у Є У цвет 3 представлен в том и только в том случае, когда dGУ = 5. Для к = 3 теорема доказана.
Ввиду симметрии случаев к =1 и 5 ограничимся доказательством для случая к = 5. Покажем, как преобразовать р в правильную реберную 5-раскраску в цвета множества {1, 2, 3, 4, 5}, интервальную на X и такую, что цвет 5 представлен в вершине у Є У тогда и только тогда, когда dGy = 5.
Пусть у Є У, р(у, 5) = 1, dGy < 5.
В цвет 5 закрашены только ребра графа О2, пусть ребро е = (ж, у) Є Е2 имеет цвет 5; другое ребро из Е2, инцидентное вершине ж, обозначим (ж, у'). Так как dGy < 5, то dGlу < 3 и dG2у < 3; поэтому р(у, 3) = 0. Перекрасим ребро (ж, у) в цвет 3.
Во-первых, цвета ребер, инцидентных вершине y, различны и после перекраски ребра (x, y). Во-вторых, поскольку до перекраски цвета ребер, инцидентных вершине х, образовывали интервал и цвет ребра (x,y) был равен 5, то цвет ребра (x,y') равен 4. Поэтому после перекраски ребра (x,y) в вершине x присутствуют цвета 3 и 4, следовательно, раскраска остается интервальной в вершине x. В вершине y, dcy < 5, цвет 5 теперь отсутствует; таким образом, количество вершин множества Y, степени которых меньше 5 и в которых присутствовал цвет 5, уменьшилось на единицу. ■
Заключение
Доказано, что правильная реберная раскраска (2, 5)-графа G = (X, Y, E), интервальная на X и с ограничением на любой из цветов множества {1, 3, 5}, существует тогда и только тогда, когда выполнены условия (1). Из утверждений 1 и 3 видно, что проверка условий (1) достигается за полиномиальное время.
ЛИТЕРАТУРА
1. Свами М., Тхуласираман K. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
2. Визинг В. Г. Об оценке хроматического класса р-графа // Дискретный анализ. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1964. Вып. 3. С. 25-30.
3. Tait P. G. Remarks on the previous communication // Proc. Roy. Soc. Edin. 1880. V. 10. P. 729.
4. Tait P. G. Note on a theorem in the geometry of position // Trans. Roy. Soc. Edin. 1880. V. 29. P. 657-660.
5. Holyer J. The NP-completeness of edge-colorung // Siam J. Comput. 1981. V. 10. No. 4. P. 718-720.
6. Garey M. R. and Johnson D. S. Computers and Intractability. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1979.
7. Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии: пер. с англ. М.: Мир, 1998.
8. Асратян А. С., Камалян Р. Р. Интервальные раскраски ребер мультиграфа // Прикладная математика. Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1987. Вып. 5. С. 25-34.
9. Магомедов А. М. Непрерывное расписание для специализированных процессоров без отношения предшествования // Вестник Московского энергетического института. 2009. №5. С. 14-17.
10. Giaro K. The complexity of consecutive Д-coloring of bipartite graphs: 4 is easy, 5 is hard // Ars Combin. 1997. V. 47. P. 287-298.
11. Hansen H. M. Scheduling with minimum waiting periods (in Danish) // Master Thesis. Odense University. Odense, Denmark, 1992.
12. Магомедов А. М., Рашайда А. Матрица расписания с двумя ненулевыми элементами в строке // Вестник Дагестанского госуниверситета. 1999. Вып. 4. C. 12-15.
13. Hanson D., Loten C. O. M., and Toft B. On interval colourings of bi-regular bipartite graphs // Ars Combinat. 1998. V. 4. P. 23-32.
14. Pyatkin A. V. Interval coloring of (3,4)-biregular bipartite graphs having large cubic subgraphs // J. Graph Theory. 2004. V. 47. No. 2. P. 122-128.
15. Jensen T.R. and ToftB. Graph coloring problems. New York: Wiley-Interscience series in discrete mathematics and optimization, 1995.
16. Asratian A. S. and Casselgren C. J. Some results on interval edge colorings of (а, в)-biregular bipartite graphs // Department of Mathematics, Linkoping University S-581 83. Linkoping, Sweden, 2007.
17. Goldberg A. V. Finding a maximum density subgraph. Berkeley: University of California / Technical Report UCB/CSD 84/171, CA. 1984.
18. Магомедов А. М. Два частичных паросочетания в двудольном графе специального вида // Материалы X Междунар. семинара «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.) / под ред. О. М. Касим-Заде. М.: Изд-во мехмата МГУ, 2010. С. 312-313.
19. Магомедов А. М. Об одной специальной реберной 2-раскраске // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Cер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. Раздел «Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии». 2011. №2(120). С. 1Б6-1Б9.
