Поле инвариантов борелевской группы присоединенного представления группы gl(n,k) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.999

ПОЛЕ ИНВАРИАНТОВ БОРЕЛЕВСКОЙ ГРУППЫ ПРИСОЕДИНЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СЬ(и,К)1

© 2014 К.А. Вяткина2

В работе рассматриваются вопросы теории инвариантов, а именно проблема нахождения образующих полей инвариантов в явном виде. Приведен набор образующих поля инвариантов унитреугольной группы относительно присоединенного действия группы ОЬ(и,К). Проведено построение набора образующих поля инвариантов борелевской группы и доказана их алгебраическая независимость.

Ключевые слова: группы Ли, присоединенное действие, поле инвариантов, образующие поля инвариантов, борелевская группа.

1. Предварительные сведения

Основной задачей теории инвариантов алгебраических групп является задача описания структуры кольца и поля инвариантов. Для разрешимых групп имеет место следующая теорема.

Теорема 1.1 [1]. Пусть V — векторное пространство над полем К. Для любой приводимой к треугольному виду подгруппы в группе ОЬ(у) поле инвариантов рационально, т. е. существуют инварианты Ql,...Qn € К(V) такие, что поле инвариантов есть поле рациональных функций К В 1989 году Э.Б. Винберг доказал более общую теорему.

Определение 1. Рациональное преобразование а векторного пространства Кп называется треугольным, если в подходящей системе координат все преобразования а(д),д € О, имеют вид

хг ^ агхг + !г (xi+1 , . . . , хп) ,

где а € К*, ^ € к(хн+1,... ,Хп).

Теорема 1.2 [2]. Пусть К — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Для любой подгруппы, состоящей из рациональных треугольных преобразований Кп, поле инвариантов рационально.

хРабота выполнена при поддержке грантов РФФИ 14—01—31052—мол_а и 14—01—97017—р_поволжье_а.

2Вяткина Ксения Анатольевна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Введем обозначения. Пусть К — поле характеристики нуль, V — векторное пространство над К, О = СЬ(п, К) — группа невырожденных матриц, а В и и ее верхнетреугольная и верхнеунитреугольная подгруппы соответственно. Рассматривается присоединенное действие группы О в линейном пространстве V = = Mat(n, К) : АйдX = дХд-1, д £ О, X £ V. Определим представление Лё,д в К[V] (соответственно Т = К(V)) по формуле:

Adg / (х) = / А-1 (х)).

Обозначим через Ти (соответственно Тв) подполе и-инвариантов (соответственно В-инвариантов) в поле Т. Согласно теоремам 1.1 и 1.2, поля Ти и Тв рациональны.

Цель этой работы — найти в явном виде образующие поля В-инвариантов для присоединенного представления. В теореме 2.2. сформулирован основной результат.

2. Основные результаты

2.1. Образующие поля инвариантов унитреугольной группы

Обозначим через координатные формы на V = Mat(n, К). Рассмотрим систему из п миноров вида:

-1,1

Хп—г+1,

Си,1

1, п.

(2.1)

Расширим данный набор инвариантов до набора из "("2+1) элементов следующим образом. О каждым минором свяжем систему из г определителей , где 0 ^ ] ^ г — 1. Определитель .г,о совпадает с минором В определителе , где 1 ^ ] ^ г — 1, первые г — ] строк совпадают с последними г — ] строками из минора а последние ] строк совпадают с аналогичными строками из минора Лг(Х*) присоединенной матрицы X* = (х*^), которая определяется следующим соотношением:

XX* = X* -X = detX -Е.

п

х

Пример 1. Случай п = 2,

.1 , 0 = Х2 ,1,

х11 х12 х21 х22

X =

( Х11 Х1^ X* ( Х11 Х*2 А

V Х21 Х22 ) , V Х21 Х*2 ) ,

2,0=

Пример 2. Случай

.2,1 = Х21 Х22

Х21 Х22

Х11 Х12 Х13

п = 3, X = 1 Х21 Х22 Х23

\ Х31 Х32 Хзз

X *

.1,0 = Хз,1, Х21

2,0 =

з,0

Хз1

Х22 Хз2

2,1 =

Хз1 Хз2

Х

з1

Х

з2

Х11 Х12 Х21 Х22 Хз1 Хз2

Х1з Х2з Хзз

з,1

11 * Х12 * Х13

21 Х22 Х23

31 Х32 Х33

Х21 Х22 Х23 Х31 Х32 Х33

Х31 Х32 Х33 , .3,2 = * Х21 * Х22 * Х23

Х31 Х32 Х33 Х31 Х32 Х33

Теорема 2.1 [3]. Поле и-инвариантов присоединенного представления группы СЬ(п, К) есть поле рациональных функций от {-г^ : 1 ^ г ^ п, 0 ^ з ^ г — 1}.

2.2. Образующие поля инвариантов борелевской группы

Обозначим через Н подгруппу диагональных матриц в ОЪ(п, К). Легко видеть, что присоединенное действие подгруппы Н сохраняет поле Ти, причем поле Тв совпадает с подполем Н-инвариантов в Ти.

Определение 2. Функция ] € к[У] называется полуинвариантом, если

Лйн1 = Хк(1)/,

где Н € Н и хн(1) € К*. Характер Хн(1) подгруппы Н называют весом полуинварианта /.

Пусть Н = diag(al,..., ап) € Н. Тогда Ланхг,з = — хг,з, то есть

аг

ХН(х1,з) •

Заметим, что присоединенная матрица X* изменяется точно так же. Действительно, из определения присоединенной матрицы

X • X* = X* • X = det X • Е,

Лак(Х) • Лан^*) = det(Лdh(X))Е.

Отсюда Л*) = (Лан^))* и, следовательно, Ланх* 3 = — х* 3. Тогда

и аг и

Хн(х* , ^) = Хн(хг ) = —. (2.2)

Введем обозначения

1. У1 = -1 , о, уг = ' — 1 , где 2 < г < п,

-г-1 , 0

2. Уг,3 = -'-^ Уп-г+^+1 , где 2 < г < п, 0 < з < г — 2.

,-ъ—1,3 • уг

Легко доказывается следующая лемма.

Лемма 1. Пусть Г = К(¿1,.. ,гп) — поле рациональных функций от переменных ¿1,... ,хп над полем К. Пусть диагональная подгруппа Н действует на поле Г по формуле: Нгг = хН(ггТогда подполе Н-инвариантов Гн порождается элементами вида

¿Г1 ... С", где тг € £ и ХнЫ™1 ■ ■ ■ Хн(*пТп = 1■

Определение 3. Элементарным преобразованием системы образующих ¿1,... ,хп поля Г будем называть переход от нее к новой системе при помощи операции вида

¿г ^ ¿г • где г = 3.

Определение 4. Будем называть две системы образующих эквивалентными, если от одной можно перейти к другой, используя элементарные преобразования.

Перейдем к формулировке и доказательству основной теоремы работы.

Теорема 2.2. Поле В-инвариантов присоединенного представления группы СЬ(п, К) является полем рациональных функций от

{Уп

У ■

2 < г < п, 0 < ] < г - 2}.

(2.3)

Доказательство. Как было сказано, поле Ти порождается набором алгебраически независимых элементов {-110, ••• ,-пп—1} (см. теорему 2.1). Составим следующую таблицу, которую назовем таблицей образующих элементов:

п,0

-10

2,0

2,1

п-1,0

-1,п-2

п,1

1

(2.4)

Каждый из образующих элементов является полуинвариантом. Аналогично таблице образующих элементов составим таблицу весов:

Хь.(-п,0) Хн(-п — 1,0) Хн(-п,1)

ХН-2,0) Хн(-1,0) Хн-2,1)

Хн-п — 1,п— 3) Хн(-п ,п— 2) Хн-п — 1,п— 2) Хн(-п ,п— 1)

(2.5)

Действие подгруппы Н в поле Ти удовлетворяет условиям леммы 1. Наша цель — перейти, используя элементарные преобразования, от исходной системы образующих {-г^ }к новой системе образующих элементов, имеющей максимально простую таблицу весов.

Используя формулу (2.2), получаем

Хн(-г,3) = --_ Й1 -. (2.6)

."п—]+1 '

"п ..."п—

п—г+]+1

В частности,

"1 "1 . . . "г

Хн(-1,0) = —,..., Хн(-г,0) =-,

"п "п . . . "п—г+1

"1 . . . "г

Хн-2,1) = ,..., Хн-г,г—1) =

"п"п "п . . . "п—г+2"п

Подставляя найденные значения в (2.5), получаем:

., Хн (-п,0) = 1,

( т ч _ "1

. ХН(-п,п—1) = -.

"п

"1 ... "п—1

"п ..."2

"1"2

"п"п—1 "1 "1"2

"п "п"п

"1"2"3

"п"п—1"п—2

Хн-3,1)

"1"2"3

"п"п"п—1

1

Хн(-п,1)

Хн-п — 1,п—

Хн-п 1,п з)

"1 ... "п—1 "п"п"п—1 . . . "3

Хн-п ,п 2) "1 "п

. . . 1,п—3 -п,п — 2

п

Выполним следующий ряд элементарных преобразований.

1. Перейдем от системы {Лг]} к системе {Л' ]}, в которой Л'

Л,

г]

Л

3 ^ г ^ п, 1 ^ 3 ^ г — 2; для остальных Л' ] = Лг ]. Так как

г—1,3

для

ХН ^'г]) =

г] аг

ап — г +] + 1

то матрица весов для {Л']} имеет вид:

а1 ... ап-1 ап .. .а2

ап-1

ап— 1

а1 ... ап-1

апапап— 1 .. .аз

Л

Л г,г-1

а1а2

апап—1

а1 а1а2

а2

ап — 1 а1

(2.7)

2. Каждый Л'г_1, где 2 ^ г ^ п, заменим на уг = —у-= —:-. Заметим, что

' Лг _1 о Лг—1.о

-»г-1,о

У1 = Л'10 = Л10. Таблица образующих элементов примет вид:

Лп

-1,0

Л Л Л

Л' Т т

Л2,0 . . . Лп- 1,п~з Лп,п-2

У1 У2

Уп — 1

Уп

(2.8)

Вычислим Хн(уг):

Хн(У1) = —,

ап

Хн(Уг) = —,

ап

.. ,Хн(Уп—1) Подставляя эти веса в (2.7), получаем:

ап 1

, ХН (Уп) = — = 1 ап

а1

1

а1 ап

ап а2

а1 а2 ап—1 ап

апап—1 а2 ап—1 ап—1 ап— 1

ап ап

3. Перейдем от системы образующих элементов

{У1 ,...,Уп,Л], 2 < г < п, 0 < 3 < г — 2} Л

к новой системе, положив Л"0 =

7 г,0

Л

и Л'] = Л' ] для остальных образу-

г—1,0

ющих элементов. Веса вычисляются по формуле:

ХН (А0)

ап—г +1

где 2 ^ г ^ п — 1.

1

а

п

а

п

а

п

а

п

а

п

а

Таблица весов примет вид:

ai an

1

an-i an

a2 a2

a2 an-i an

an-i an-i an-

a2 an-i 1

an an

4. Каждый J' j, где 2 ^ i ^ n, 0 ^ j ^ i — 2, заменим на

Уг.

Jij • Уп-i+j+1

Уг

Получаем

Ji,j • yn-i+j+1 А

Xh(y'j)= ~ Уг )

an-i + j+1 : ai _ 1

у1 / ап—ап ап

то есть каждый Уявляется инвариантом.

Таблица образующих элементов и таблица весов принимают вид:

Уп

1,0

Уп,0 Уп,1

У2,0

У1 У2

Уп-1,п-3 Уп,п-2 Уп-1 Уп

1

ai an

1 11

a2 an-i

an an

Применяя к системе образующих

{Ук : 1 < к < п — 1, 2 < г < п, 0 < ] < г — 2}

лемму 1, заключаем, что набор алгебраически независимых элементов {уп, : 2 ^ г ^ п, 0 ^ ] ^ г — 2} порождает поле Тв.

Автор благодарит своего научного руководителя Александра Николаевича Панова за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

a

Литература

[1] Miyata K. Invariants of certain groups // Nagoya Math. J. 1971. V. 1. № 41. P. 69-73.

[2] Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер.: Соврем. пробл. матем. Фундам. направл. 1989. T. 55. C. 137-309.

[3] Вяткина К.А., Панов А.Н. Поле U-инвариантов присоединенного действия группы GL(n, k) // Мат. заметки. 2013. T. 93. № 1. C. 144-147.

References

[1] Miyata K. Invariants of certain groups // Nagoya Math. J. 1971. V. 1. № 41. P. 69-73

[2] Vinberg E.B., Popov V.L. Invariant theory // Itogi Nauki i Tekhniki. VINITY. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr. 1989. V. 55. P. 137-309.

[3] Vyatkina K.A., Panov A.N. Field of U-invariants of adjoint representation of the group

GL(n, K) // Matematicheskie Zametki. 2013. V. 93. № 1. P. 144-147.

Поступила в редакцию 10//V/2014; в окончательном варианте — 10/IV/2014.

FIELD OF INVARIANTS OF BORELEAN GROUP OF ADJOINT REPRESENTATION OF GL(n,K)

© 2014 K.A. Vyatkina3

The paper is devoted to invariant theory problems, in particular to the problem of finding generators of invariant fields in an explicit form. The set of generators is given for invariant field of unitriangular group concerning the adjoint representation of GL(n, K) group. Moreover, the set of generators of Borel group for the field of invariants is constructed and their algebraic independence is proved.

Key words: Lie group, adjoint representation, field of invariant, generators of the field of invariants, Borel group.

Paper received 10//V/2014. Paper accepted 10//V/2014.

3Vyatkina Kseniya Anatol'evna ([email protected]), the Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.