Об одном подходе к решению линейных задач оптимального быстродействия на основе дифференциальных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

С.О. Симонян, А.Г. Аветисян, Д.А. Казарян

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕИНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ на основе ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Предлагается новый подход к решению линейных задач оптимального быстродействия с частично закрепленными краевыми условиями, основанный на операционном методе дифференциальных преобразований Г.Е. Пухова. При этом исходная задача оптимального быстродействия сводится к эквивалентной статической задаче нелинейного программирования, решение которой в условиях современных информационных технологий и методов нелинейного программирования сравнительно проще, чем решение исходной динамической задачи на основе известного метода - принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Системы управления, быстродействие, линейные задачи.

A new approach for solution of linear speed problems with partially fixed boundary conditions, based on an operational method of G.E. Pukhov's differential transformations is offered. The initial speed problem is reduced to an equivalent static problem of nonlinear programming which solution in conditions of modern information technologies and methods of nonlinear programming is rather easier, than the solution of an initial dynamic problem on the basis of a known method - a Pontryagin's maximum principle.

Control system, velocity, linear problems.

Введение. Рассмотрим следующую линейную задачу оптимального быстродействия с частично закрепленными краевыми условиями на левом конце [1-5]

S.O. Simonyan, A.G. Avetisyan, D.A. Kazaryan

DIFFERENTIAL TRANSFORMATION BASED LINEAR PROBLEMS' SOLUTION APPROACH

T

U(t) '

(1)

X (t )= AX (t ) + BU (t ), X(o) = ?, X(T) = fix,

(2)

(3)

(4)

где (1) - критерий качества, (2) - система уравнений движения, (3) - частично закрепленные краевые условия (заметим, что хотя бы одна координата на левом конце оптимальных траекторий должна быть закреплена, в противном случае задача оптимального быстродействия лишается смысла), (4) - амплитудные ограничения на управляющие переменные,

A = {cij), i = 1, n, j = 1, n - постоянная матрица переменных состояния с действительными отрицательными или нулевыми собственными числами Xi, i = 1,n, B = bjk, j = 1, n, k = 1, r -матрица управляющих переменных, X(t) = (Xj(t),...., xn(t))T - n-мерный вектор переменных

состояния, U(()=(u((),...,ur(()) - r-мерный вектор управляющих переменных, r < n, T-время перехода.

Для решения рассматриваемой задачи и нахождения неизвестных начальных значений переменных состояния в соответствии с принципом max - а [1,3] необходимо использовать так называемые условия трансверсальности на левом конце оптимальных траекторий, в которых, как и в функциях управляющих переменных, участвуют подлежащие нахождению начальные значения вектора сопряженных переменных, по поводу определения которых принцип max - а, к сожалению, никакой регулярной вычислительной процедуры не указывает, что с практической точки зрения приводит к серьезным затруднениям. Между тем, предлагаемый подход не нуждается ни в использовании начальных значений сопряженных переменных, ни в использовании условий трансверсальности, что достаточно упрощает решение рассматриваемой задачи. При этом в качестве основного математического аппарата используются дифференциальные преобразования Г.Е. Пухова [6], в частности, дифференциально-тейлоровские преобразования:

Hk dKx(t) -Гt-t,^k

Х(К) = ^т , к = 0, ^^ = 4^1 Х(К), (5)

к! дt к=оV Н у

где X(K) - изображение (дискрета) оригинала х(^) (функция целочисленного аргумента К = 0, ^ ); Н - некоторая постоянная (масштабный коэффициент); ^ - центр аппроксимации.

Предлагаемый подход. Задачу (1)-(4) сначала решим как двухточечную краевую задачу с целью обеспечения выполнения краевых условий, а затем к полученной системе ограничений вида равенств добавим критерий качества (1) и ограничения вида (4). Тем самым придем к некоторой, эквивалентной к исходной, задаче нелинейного программирования. Далее, решение последней позволит находить все неизвестные значения и функции исходной задачи.

Теперь перейдем к рассмотрению предлагаемого подхода. Для решения двухточечной краевой задачи (2), (3) воспользуемся подходом, предложенным в работах [7, 8]. Итак, спектральная модель системы (2) в области дифференциальных преобразований выглядит так:

х{к+1)=[[) ■ х(к-р)+в{р)-и{к-р)]],к = 0,1,..., (6)

К +1 V Р=0 У

где X(к) = (Х1(к),...,Хп(к))т - изображение вектора переменных состояния X(^) = (x1(t),...,\п(^))т , A(P) и В^) - Р-е матричные дискреты матриц А и В соответственно.

Заметим, что А^ = 0) = А, А^ > 1) = [0], а также В^ = 0) = В, В(Л > 1) = [0], что позволяет упростить (6). Окончательно будем иметь:

X(к +1) = -^-(Л-X(к) + B■U(к)), к = 0,1,. . (7)

к +1

Учитывая, что для рассматриваемого класса задач функция оптимального управления является кусочно-постоянной знакопеременной функцией (согласно хорошо известной в теории и практике оптимального управления теореме Фельдбаума [1,5]) и для каждой ком-

поненты ик(^), к = \,г вектора управления и(^ число переключений не может превосходить (п - \), то на интервале времени [0, Т] в общем случае будем иметь г • (п - \) + \ подынтервалов [0, ], [, ], р = \, г •(п - \), и \[г(п-\),Т], а количество времен переключений в общем случае будет равно г • (п -\).

Ввиду того, что на каждом подынтервале управляющее воздействие ик(^) к = \,г постоянно, т.е.

Г+ \ |

= ир(о) , ир(К > \) = 0, к = й р = \,Г •(п-\) + \, (8)

ukp (t ) = ukp = ^

или -1

окончательно будем иметь

X (К + \) = (А • X (К) + В • и (К )Ъ(К)), К = 0,\, ... (9)

К + \

или

х(к+\) = нК+1 [В^ • х(0)+Ск+1 (и(0))], К=0,\,... , (\0)

где изображения-матрицы ВК, К = 0, 1, ... и изображения-вектора СК(и(0)), К = 0, 1, ... определяются согласно следующим рекуррентным соотношениям [7-9]

BK+i = K- A • BK , K = 0,1,... к +1

Ск+1 (U (0)) = K- (A • Ck (u (0))+BU (к )ъ(к)), к = 0,1,..., к +1

(11)

где B0 = Enxn - единичная матрица порядка n; С0 = (0)nx1 - нулевой вектор-столбец размера n; Ъ(к) - так называемая теда [6].

Для восстановления оригинала X(t), применив обратное дифференциально-тейлоровское преобразование, будем иметь

X (() = X (0) + X (1)(( - tu ) + X (2)(t - tu )2 + - + X (к )(t - tu )к = (12)

= X (0) + (( X (0) + С1)((- tu)+(( X (0) + С2)((- tj + - + (5kX (0) + Ск )((- tj,

где t е [0, T], а tv - центр аппроксимации.

Таким образом, заменив исходную задачу на интервале времени t е [0, T] стыкующимися друг с другом r • (n -1) +1 двухточечными краевыми задачами, для их решения можно применить предложенный в [7-9] работах подход. Учитывая, что для каждой последующей двухточечной краевой задачи левый конец является правым концом предыдущей двухточечной краевой задачи, для первого подынтервала будем иметь

X (t ) = A • X (t) + B •U,;

T T (13)

x20 , ^ " , xn0 ) , X(t1 X21, ^ " , xn1 ) ,

где из n переменных состояния xi (t),i = 1, n хотя бы одна должна быть известной, т.е. xi 0 = fix, i е 1,n .

Следовательно, для i-го подынтервала будем иметь

X (t )= A • X (t)+B •U ;

(14)

X ((-1 ) = (x1,i-1, X2,i-1, ■ ■ ■, X„,i-1 У , X (ti ) = (x1i, X2i ХтУ ,

и, аналогично, для г ■ (п -1) +1 -го подынтервала

X (() = Л^ ^)+виг. ^ ;

X((г-(п-1}) = (х1,г(п-1), Х2,г■ (п-1), • ", Хп,г(п-1)) , X(т) = /1Х.

Учитывая зависимости, полученные в результате решения предыдущих подзадач, будем иметь следующую систему п уравнений, которые, по существу, будут выступать как ограничения вида равенств для задачи НЛП, обеспечивающие выполнение краевых условий исходной задачи:

Фт, Р = 1 г(п-1); т; икр, к = 1,г,Р = ^г^п-); хго, / = 1,п)-хт(т) = 0, т = 1 п. (16)

Имея в виду теорему Фельдбаума, ограничения вида (4) представим эквивалентными им ограничениями вида равенств и^ -1 = 0, к = 1, г, р = 1, г ■ (п -1) +1. Кроме того, к полученной

системе ограничений добавим ограничения вида tp-1 - tp < 0, р = 1, г(п -1), tr(п-1) - т < 0, t0 = 0, редуцируемые из цепочки ограничений 0 < ^ < t2 < •.. < tг■ (п-1) < т . Последние интервальные ограничения в виде неравенств в конечной задаче представим равенствами

^ («-!)- т + у2(„_1)+1 = 0. Тогда получим следующую эквивалент-

tp-l - tp + V2 = 0, р = 1, г (п -1), ную исходной задачу НЛП:

Ф

т ^ шт

t1,•tr -(п-1 )+1, т, "11—ы1,г -(п-1 )+1, иг1-.иг г .(п-1 )+1, х10, •, хп0

тЬ, р =1,г(п-1); т; икр, к =1,г,р =1 г(п-1); х-о, - =1,п)- хт(т) = 0,

= 0, т = 1, п;

икр -1 = 0, к = 1, г, р = 1, г ■ (п -1)+1

tp-l - tp + Vр = 0, р = 1,г (п -1) ^(п-1) - т

+ V; („_1;+1 = 0:

(17)

(18)

(19)

(20)

где vp, р = 1, г ■ (п -1) +1 - дополнительные неизвестные, также подлежащие определению.

Решив эту лагранжеву задачу некоторым методом [10], одновременно получим значения всех составляющих функции оптимального управления со своими моментами переключений, время минимального перехода, а также неизвестные значения переменных состояния и дополнительные постоянные. Далее, построение временных зависимостей переменных состояния и управляющих переменных не представит трудности.

Пример. Теперь рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия с частично закрепленными левыми и полностью закрепленными правыми концами:

т ^ шт ,

и (О

' х (() х2 (( ) хз(( )У

0 1 0 0 0 1 0 0 0

х (()

х2 (() V хз(()У

+

1 0 0 0 1 0 0 0 1

г и ^ '2 (() V Л3 (( )у

х

х.

х

(0) = -1, х (() = 0, ;(0) = х20 = ?, х2 (т) = 0,

,(0) = хз0 = ?; хз (т) = 0 ;

и

к(0|< 1, к = 1,3 . Очевидно, что = 0, V/ = 1,3 , а матричные дискреты

4>)=

0 1 0 0 0 1 000

, Л(К > 1)=[0]; 5(0) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

■ В(К > 1)=[0];

а также

В = Л(0) =

0 1 0 0 0 1 000

, в2 = 1 (Л(0)В + Л(1)) = 2

001 000 000

, В>3 =[0];

(

с1 = в (0 )и (0 ) =

и!(0 у и 2 (0 )

и 3 (0 )

С 2 =■

Ги 2 (0)1

и3 (0) 0

Ги (0)1

С3 =

0 0

С>4 =(0).

Для этой задачи, в общем случае, будем иметь г - (п -1) = 6 переключений, следовательно г - (п -1) +1 = 7 подзадач и г - (г - (п -1) +1) = 3 - 7 = 21 составляющих управляющих переменных.

Однако, не умаляя общности рассуждений, в конкретном случае нетрудно установить, согласно принципу шах-а, что эквивалентная задача НЛП в действительности содержит 3 момента переключений и одно Т, т.е. будем иметь 4 подзадачи с 12 составляющими управляющих переменных.

Подзадача 1.

Имеем

' Х1(()= Х2 (() + Г Х (0Г Г-11 Г х1(/1 г ГХ 1 л, 11

Х2 (() = Х3 () + и21, X (0)0 = Х2 (0) = Х20 , X (tl ) = Х2 (t1 ) = Х21

. Х3 (( ) = и31 ; V Х3 (0)у V Х30 У V Х3 (tl ),У V Х31 у

На подынтервале времени [0, t1] согласно (12)

X() = X(0)0 + (( х(0)0 + С! > + (В2X(0)0 + С2 ) t2 + (В3X(0)0 + С3>3 + • • • , откуда при I = t1 имеем следующую систему уравнений

X ( ) = X (0)0 + ((X (0)0 + С1 )t1 + ((2 X (0)0 + С2 )t12 + (В3 X (0)0 + С3 )t13 +... = (, хи, Х31 )т или, в явном виде

Г-1 ^ "0 1 0" Г-1 > Г и- 1

Х20 + 0 0 1 Х20 + и21

V Х30 у 0 0 0 V Х30 у V и31 у

1

t1 +1 2

0 0 1 0 0 0 0 0 0

Г-1 1 Г ^211

+

V Х30 у

V 0 у

21 + 6

(и ^

31

V 0 у

Х

= X (tl ) =

V Х31 у

Отсюда

1 + (х20 + и11 X + 1 (Х30 + и21 )t1 + 1 и31^^1 = Х11, 2 6

Х20 + (х30 + и21 )t1 + Т

ЩА Х21 :

Х30 I Uзltl Х31.

1

1

2

6

0

Х

и

Х

20

31

21

Подзадача 2.

Имеем

' Х1(()= Х2 )+ (Х л 11 ( Х1 (2 Г (Х Л Х12

Х2 (() = Х3 (() + и22 , X (0)1 = X (/1 ) = Х21 = Х2 (/2 ) = Х22

. Х3 (( ) = и32 ; V Х31У V Х3 (/2 )У V Х32 У

На подынтервале времени [/ь /2] согласно (12)

X (/) = X (0)1 + (( X (0)1 + С1 )(( - ^ ) + (В2 х (0)1 + С2 )(/ - ^ )2 + (Вз х (0)1 + Сз )(/ - ^ )3 + •

откуда при / = /2 имеем следующую систему уравнений

)= х(0) +(Б1Х(0)1 + С1 )(12 -11 )+(Б2Х(0)1 + С2)(12 - 11 )2 +

+ (ВзХ(0)1 + С3 Х^2 - 11 )3 + - = (Х12,Х22,Хз2 )Т или, в явном виде

(Х Л X11 "0 1 0" (Х л 11 (и л и 12

Х21 + 0 0 1 Х21 + и22

V Х31У 0 0 0 V Х31У Vи32 У

1 и32

+ — 6

V 0 У

((2 - /1 ) + 1

((2 - /1 )3 = X ((2 ) =

0 0 1" (Х л 11 и22

0 0 0 Х21 + и32

0 0 0 V Х31У V0 У

((2 - / )2 +

{Х л 12

VХ32 У

Отсюда

Х11 + (Х21 + и12)(/2 /1) + „ (Х31 + и22)(/2 /1) + , и32(/2 /1) = Х12,

1 2

6

1 2

Х21 + (Х31 + и22 )(/2 - /1) + ^ и32 (/2 - /1) = Х22 ,

Х31 + и32(/2 - О = Х32-

Подзадача 3.

Имеем

' Х () = Х2 )+ (Х л Л12 ( ^3 Г (Х л Л13

Х2 (() = Х3 (() + и23 , X (0)2 = X (/2 ) = Х22 = Х2 (/3 ) = Х23

.¿3 (() = и33 ; V Х32 У V Х3 (/3 )У V Х33 У

На подынтервале времени [/2, /3] согласно (12) X() = х(0)2 + ((1 х(0)2 + С1) - /2) + (ВX(0)2 + С2)(/ - /2 )2 + (ВX(0)2 + С3 )(/ - /2 )3 + • откуда при / = /3 имеем следующую систему уравнений

X (/3 ) = X (0)2 +((1X (0)2 + С1 )) - г2 )+(в X (0)1 + С2 & - /2 )2 +

+ ((3X(0)1 + С3 )((3 - /2 )3 + - = (( Х23 , Х33 )Г

или, в явном виде

0

22

С х л Л12 "0 1 0" Сх Л Л12 с и Л и 13

Х22 + 0 0 1 Х22 + и23

V Х32 У 0 0 0 Vх32 У V и33 У

1 Си33 л

+—

6

V 0 У

((3 - <2 ) + 1

((3 - <2 )3 = X ((3 ) =

0 0 1" Сх л Л12 Си23

0 0 0 Х22 + и 33

0 0 0 V х32 У V 0

((3 - <2 )2

С х Л

Л13

V х33 У

Отсюда

Х12 + (Х22 + и13)(<3 <2) + ~ (Х32 + и23 )(<3 <2) + , ^33(^3 <2) = Х13 ,

Х22 + (Х32 + ^23 )(<3 <2 ) + ~ и33 (<3 <2 ) = Х23 ,

Х32 I ^^33 (<3 <2) Х3

1 2

1 2

6

{х Л

13

23

V х33 у

, Х(т) =

с х1 (т)Л С0л

х

(т) ,(т)

V х3\-и

0 0

Подзадача 4.

Имеем

х 1 (() = х 2 (1) + и14,

<Х 2 (1)= х3 (1)+ и 24 , Х(0)3 = Х(13 )=|х х 3(( ) = и 34 ;

На подынтервале времени [<3, Т] согласно (12) X () = X (0)3 +((1X (0)2 + С1) - <3 )+(^2 X (0)3 + С2 )(< - <3 )2 +(^3 X (0)3 + С3 )(< - <3 )3 +• откуда при < = Т имеем следующую систему уравнений

X (т) = X (0)3+((1X (0)2 + С1 )(Т - <3 )+(^2 X (0)3 + С2 )(Т - <3 )2 +

+ ((3X(0)3 + С3 )(( - <3 )3 + • • • = (0,0,0)т .

или, в явном виде

Т0 0 1 (т - <3) + 2 0 0 0 0 0 0

С 0 Л

Сх л 13 "0 1 0" Сх л 13 Си л и14

Х23 + 0 0 1 х23 + и24

V х33 У - 0 0 0 V х33 У V и34 У С и34

Сх л 13 Си л М 24

Х23 + и34 (Т - <3 )2 +

V х33 У V0 У

+ — 6

V 0 У

(т - <3 )3 = X (т ) =

0

V 0 У

Отсюда

Т ^ шт ;

х13 ,х23 ,х33 ,<3,Т ,и14,и24 ,и34

1 2 1 3

Х13 + (Х23 + и14)(Т - Ч) +~ (Х33 + и24)(Т - О + Т и34(Т - ^ = 0,

2 6

12

Х23 + (Х33 + и24 )(Т - О + ^ и34(Т - <3) = 0

х33 + и34(Т - <3) = 0.

23

0

В итоге совместного рассмотрения всех 4 подзадач и исключения переменных Xjj, i = 1,3, j = 1,3 , получим следующую задачу НЛП:

T ^ min ;

h'h'h'T •и11>и21>и31> u12'u22'u32'u13'u23'u33'u14'u24'u34'x20,x30

-1 + (x20 + un X + 1 (Хзо + u21 )^12 + 1 М31^13 + [ X20 +(X3G + u21 X + 1 «31^1 + ui2](t2 " t1) + 2 6 2

1 21 3 / \ 1 2

+ ~ [ X30 + ^1u31 + u22 ] (t2 - t1) +"7 u32(t2 - t1) + [ X20 + (X30 + W21 )t1 + ~ ПзА + (X30 + ¿1П31 + u22)(t2 - t1) +

2 6 2

213

+ T u32(t2 - t1) + u13]((3 - t2 ) + T [ X30 + u31^1 + u32(t2 - t1) + u23](t3 - t2) +T u33(t3 - t2) + 2 2 6

1 2 12

X30 + u21 )t1 + 2u3^1 + [X30 + u31^1 + u22](t2 - t1) + ^^32 (t2 - t1) +

12

+ [ X30 + u31t1 + (t2 " ^ )u32 + u23 ](t3 " t2) + ^ ^3 (t3 " t2) + W14 ](T " t3) +

1 2 1 3

+ -[X30 + u31t1 + u32(t2 - t1) + u33(t3 - t2) + u24](T " t3) + T W34(T " t3) = 0 , 26

X20 +(X30 + u21 ))1 + ^u31t1 + [X30 + u31t1 + u22](t2 - t1) + 2W32 (t2 - t1) +

1 2

+ [X30 + u31t1 + u32 (t2 - t1) + u23](t3 - t2) + 2^33 (t3 - t2 ) +

12

+ [X30 + u31t1 + u32(t2 -11) + u33(t3 -12) + u24](T-13) + 2u34(T-t3) = 0,

X30 + ^^ + ^32 (t2 + ^33 (t3 t2 0 + ^34 (T t3) — 0;

m2 -1 = 0, MJ22 -1 = 0, u23 -1 = 0, u24 -1 = 0, w21 -1 = 0, -1 = 0, u223 -1 = 0, u24 -1 = 0, u31 -1 = 0, u322 - 1 = 0, u323 - 1 = 0, u324 -1 = 0.

-11 + v2 = 0, t1 -12 + v22 = 0, t2 -13 + v32 = 0, t3 - T + v42 = 0.

Решение этой задачи с 19 ограничениями методом Лагранжа с последующим применением метода, предложенного в работе [11], для решения соответствующей определенной системы нелинейных алгебраических уравнений (с 41 переменной (3 момента переключения, одно время перехода, 12 составляющих управляющих воздействий, 4 неизвестные дополнительные переменные vi, i = 1,4, 19 неизвестных множителей Лагранжа, два неизвестных начальных значения X20, X30 переменных состояния X2(t) и X3(t))) было получено следующее решение:

t1 = 0,0000, u11 = 1, u21 = 1, u31 = 1,

t2 = 0,0000, U12 = 1, u22 = 1, u32 = -1,

t3 = 0,0000, u13 = 1, u23 = -1, u33 = -1,

T = 0,6988, u14 = 1, u24 = -1, u34 = 1,

х20 = 0,9431, х30 = -0,6989,

в правильности которого удостоверились решением следующей задачи с закрепленными краевыми условиями:

' х1 (0) = -1, х1 (Т)= 0,

< х2 (0) = 0,9431, х2 (Т) = 0, х3 (0)=-0,6989; х3 (Т ) = 0 .

При этом полученное решение точно совпало с решением исходной задачи НЛП. По полученным результатам на подынтервале [0, <1 ]=[0,0] имеем и11 = 1,и21 = 1,и31 = 1,

на подынтервале [[, <2 ]=[0,0]- и12 = 1,и22 = 1,и32 =-1, на подынтервале [[2, <3 ]=[0,0] -и13 = 1,и23 =-1,и33 =-1, и наконец, на последнем подынтервале [3,Т] = [0,0.6988]-и14 = 1, и24 = -1, и34 = 1, т.е. в действительности имеем только один подынтервал. Иными словами, управляющие переменные не имеют переключений, следовательно:

и1 (< ) = и14 = 1,

и2 (()= и24 =-1,

и3 (() = и34 = 1,

а переменные состояния изменяются согласно следующим соотношениям:

X () = 0,1667<3 - 0,8494<2 +1,9431 -1, х2(() = 0,5<2 -1,6989< + 0,9431, х3 (() = < - 0,6989.

Временные зависимости изменения переменных состояния и управляющих переменных представлены на рисунке. Обобщение

Итак, для задач оптимального быстродействия данного класса при применении предлагаемого подхода в общем случае

1) не используется принцип шах-а, следовательно не используются сопряженные переменные, которые, в общем случае, приводят к сложной, известной в прикладной теории оптимального управления задаче, связанной с определением начальных значений этих сопряженных переменных;

Хз©,111ор1 © ,112ор1 © ,U3c.pt ©

Временные характеристики переменных состояния и управляющих переменных

2) не используются условия трансверсальности, которые задаются принципом max-a при решении задач с частично закрепленными краевыми условиями;

3) исходная задача оптимального быстродействия сводится к эквивалентной статической задаче нелинейного программирования, решение которой несравненно проще;

4) задача легко программируется, поскольку все подзадачи обладают одинаковыми структурами, в которых изменяются соответствующие краевые условия;

5) поскольку все подзадачи в итоге рассматриваются совместно, то размерность полученной эквивалентной задачи достаточно велика. Однако, при наличии современных технических и программных средств и численных методов это обстоятельство не порождает непреодолимых принципиальных затруднений (как в принципе max-a) при решении эквивалентной к исходной окончательной задачи НЛП.

ЛИТЕРАТУРА

1. Симонян С.О. Прикладная теория оптимального управления / С.О. Симонян. Ереван, 2005. 180 с. (на армянском языке).

2. Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брайсон, Ю-Ши Хо. М.: Мир, 1972. 554 с.

3. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983. 392 с.

4. Симонян С.О. Основы синтеза специализированных вычислителей динамических задач нелинейного программирования: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / С.О. Симонян. Ереван, 1993. 47 с.

5. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельд-баум. М.: Наука, 1966. 623 с.

6. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели / Г.Е. Пухов. Киев: Наукова думка, 1990. 184 с.

7. Симонян С.О. Прямой метод решения линейных многоточечных краевых задач / С О. Симонян, А.Г. Аветисян // Известия НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. 2002. Т. LV. № 1. С. 95-103.

8. Симонян С. О. Метод решения линейных многоточечных краевых задач, основанный на дифференциально-дирихлеевских преобразованиях / С.О. Симонян, А.Г. Аветисян, Д. А. Казарян // Вестник ИАА. 2007. Т. 2. С. 253-257 (на армянском языке).

9. Симонян С. О. Метод решения задач оптимального управления, основанный на дифференциальных преобразованиях / С.О. Симонян, А.Г. Аветисян, Д. А. Казарян // Вестник ГИУА. Сер. «Моделирование, оптимизация, управление». 2007. Вып. 10. Т. 2. С. 102-114.

10. Таха Х. Введение в исследование операций: в 2 т. / Х. Таха. М.: Мир, 1985. Т. 2. 496 с.

11. Simonyan S.H. Jordanian Reduction of Finite Systems of the Effective Method of their Solution / S.H. Simonyan, A.G. Avetissyan // The Problems of the Efficiency Improvments of the Control Systems of Technological Processes / Armenian National Committee of Automatic Control. Yerevan, 1992. Vol. 3. P. 11.

Симонян Саркис Оганесович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информационное обеспечение технических систем» Государственного инженерного университета Армении, г. Ереван

Аветисян Армине Геворговна -

кандидат технических наук, доцент кафедры

Simonyan Sarkis Oganesovich -

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of «Data Support of Technical Systems» of State Engineering University of Armenia, Yerevan

Avetisyan Armine Gevorgovna -

Candidate of Technical Sciences,

«Информационное обеспечение технических систем» Государственного инженерного уневерситета Армении, г. Ереван

Казарян Давид Ашотович -

аспирант кафедры «Информационное обеспечение технических систем» Государственного инженерного уневерситета Армении, г. Ереван

Assistant Professor of the Department of «Data Support of Technical Systems» of State Engineering University of Armenia, Yerevan

Kazaryan David Ashotovich -

Post-graduate Student of the Department of «Data Support of Technical Systems» of State Engineering University of Armenia, Yerevan

Статья поступила в редакцию 12.03.09, принята к опубликованию 23.09.09