Покрывающие-изолирующие подалгебры полиадических мультиколец Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета и м. Н. И. Лобачевского, 2008, № 1, с. 88-92

УДК 512.572

ПОКРЫВАЮЩИЕ-ИЗОЛИРУЮЩИЕ ПОДАЛГЕБРЫ ПОЛИАДИЧЕСКИХ МУЛЬТИКОЛЕЦ

© 2007 г. В.И. Гойко, С.П. Новиков

Белорусский госуниверситет, г. Минск

[email protected]

Поступила в редакцию 23.01.2008

Гашюц построил профраттиниевы подгруппы в конечных разрешимых группах. Такие подгруппы имеют важное свойство покрывать или изолировать любой главный фактор группы. В данной работе исследованы свойства покрывающих-изолирующих подалгебр полиадических мультиколец: связь с корадикалом и гиперцентром, взаимнооднозначное соответствие факторов композиционных рядов двух подалгебр, инвариантность при гомоморфизмах.

Ключевые слова: покрывающие-изолирующие подалгебры, полиадические мультикольца, корадикал.

В теории универсальных алгебр особую роль играют подалгебры, обладающие свойством покрывать или изолировать любой главный фактор алгебры. В связи с этим стоит отметить работу Гашюца [1], в которой построена одна из подгрупп с таким свойством. В дальнейшем появились интересные обобщения таких подгрупп и изучались свойства в конечных разрешимых группах [2-4], а также их многочисленные аналоги [5-10]. Впоследствии в работе [11] покры-вающие-изолирующие подгруппы были обобщены для мультиколец и исследованы в работах [12-15]. В данной работе исследуются свойства покрывающих-изолирующих подалгебр полиадического мультикольца: связь с корадикалом, гиперцентром, взаимно-однозначное соответствие факторов композиционных рядов двух подалгебр, вычисление порядков подалгебр, инвариантность при гомоморфизмах.

Приведем некоторые определения и обозначения, используемые в данной работе.

Под полиадическим мультикольцом понимается такая универсальная алгебра А сигнатуры О и (ю„, е}, п > 2, что 1) А является п-арной группой относительно операции юп; 2) все операции из О имеют ненулевую арность и связаны с юп дистрибутивным законом; 3) для элемента ее А, который будем отождествлять с нуль-арной операцией, выделяющей этот элемент, выполняются равенства: (е1-1, х, еп- )шп = х и (а!-1,е,а^) ст = е, где х, а1,...,ат е А, ат е О. Все рассматриваемые полиадические мультикольца имеют одну и ту же сигнатуру О и (юп, е} и принадлежат некоторому фиксированному мальцевскому многообразию, удов-

летворяющему условиям максимальности и минимальности для подалгебр.

Под идеалом полиадического мультикольца А понимается такая подалгебра Н алгебры А, которая является нормальной подгруппой п-арной группы А и (ар1, к, а”1) ст е Н для любого к е Н, любых а а е А, стт е О.

1 ? • • • ? т у

Говорят, что множество D централизует нормальный фактор Н/К полиадического мультикольца А, если Б есть множество всех таких элементов с е А, что 1) для любых к1,...,кп1 еН

существуют такие к1,...,кп-1 е К, что для любого г е {2, 3,..., п} выполняется равенство

(с, к1п-1 )®п = ((к1г-1, с, к”-1)^, к?-1)®^ 2) для любых г,/ е {2, 3,., п}, г < /, любых а а е А, любого к е Н, любой гат е О справедливы включения (а|-1, с, а/-1, к, ат+1) ст е К и (а^1, к,

а1-1, с,ат+1) ст е К. Идеал Ма(Н/К) с Б, содержащий всякий идеал А, входящий в Б, называется централизатором фактора Н/К в А.

Нормальный фактор Н/К полиадического мультикольца А называется А-абелевым, если Н с Ма(Н/К). Идеал Н полиадического мультикольца А называется фраттиниевым, если <К, Н> ф А для любой собственной подалгебры К из А. Нормальный фактор Н/К полиадического мультикольца А будем называть фраттиние-вым, если Н/К - фраттиниевый идеал в А/К. Если Н и К - подалгебры полиадического мультикольца А, то используется обозначение

/ п-1^

\Н, К . а = НК.

п

Через ^ обозначаем класс полиадических мультиколец, Е - некоторое множество главных факторов полиадического мультикольца. Через обозначается класс полиадических мультиколец с разрешимым ^-корадикалом.

Нормальные факторы Н / К и О / Я полиадического мультикольца А называют:

1) перспективными, если либо Н = КО и Я = К П О, либо О = ЯН и К = Я П Н ;

2) проективными, если в А найдутся такие нормальные факторы Н/К=\/В,,..., Ап/Вп = = О/Я, что для любого і є {1,...,п -1} факторы А / Ві и А / Ві+1 перспективны.

Пусть Н / К - нормальный фактор полиадического мультикольца А, М - некоторая его подалгебра. Говорят, что М покрывает (изолирует) фактор Н / К, если Н с КМ (соответственно М П Н с К). Если при этом К = {б}, то говорят, что М покрывает (изолирует) идеал Н.

Нормальный фактор Н/К полиадического мультикольца А называется центральным (Щ-эксцентралъным), если Н/К X ^А/Са{Н/К)&% (соответственно Н / К X

^АІСа(НІК)Є%).

Говорят, что подалгебра В дополняет нормальный фактор Н / К полиадического мультикольца А в полиадическом мультикольце А, если ВН = А и В П Н = К .

Обозначения и определения, которые здесь используются, но не приведены, можно найти в книгах [16-18].

Пусть Е - множество главных факторов полиадического мультикольца А, содержащее вместе с каждым фактором и все ему проективные. Подалгебру В из А назовем САР Е -подалгеброй в А, если она изолирует все факторы из Е и покрывает остальные А-главные факторы.

Теорема 1. Пусть ^ - некоторый класс полиадических мультиколец, X- некоторое множество ^ - э ксцентр ал ьных главных факторов полиадического мультикольца А , обладающего главным рядом. Тогда каждая САР 2 -подалгебра Н из А содержит ^-гиперцентр

г* (А).

Доказательство.

Пусть {£} = АсДс...сА=^) -участок А-главного ряда, содержащийся в Тогда факторы г^(А)/Аг_1, А1_1/А1_2,...,А2/А1

будут -центральными. Следовательно, Н их покрывает: zf(A) , czHAt 2 с... сЯ]в^ =Я.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть ^ - класс ф -разрешимых полиадических мультиколец, ^ - формация с внутренним ^-экраном, Ae%, X - некоторое множество ^-эксцентральных А-главных факторов, Т- CAPX-подалгебра в А. Тогда справедливо: TAf = A.

Доказательство. Если допустить, что

W '

А = А. то утверждение теоремы очевидно. Полагаем теперь, что А -ф- А. Рассмотрим участок А-главного ряда

АЩ = Я0 сЯ, с ...сЯм сЯ( =А. Пусть/- экран формации ^ Ясно, что все факторы Я, /Я, , (/ = 1,2,...,/) будут /-цент-

ральными. Покажем, что они являются ^-центральными. Пусть i е {1, 2,..., t}. Обозначим: C = Ca (_i), D = H. / HM X A / C. Если фактор Hi / Hi_1 будет А-абелевым, то идеал Ht / Hi_1 будет /-центральным в D. Но D/(H, /Ям )=А/С ef(H, /Ям) ^ Значит, Z) е Пусть теперь фактор Я( /Яь1 не является А-абелевым. Тогда ввиду условия этот фактор нефраттиниев. Пусть М - максимальная в А подалгебра, не покрывающая фактор Ht / Hi_1. Ясно, что MА с C. Если C = МА, то поскольку А/С е Д Я( / Ям) ^ то А/МА е Легко видеть, что факторы Я■ /Я;-1 и HMa /Ma перспективны. Значит, C = CAC = = CA(HMA /МА). Нетрудно показать, что ( H.Ma /Ma ) X А/C е formA. Поэтому (HiMA/MA) X А/Се$ и т.к. Я, /Ям X X A/C=(Hi МА / МА) X А/C , то фактор Ht / Hi_1 будет -центральным в А. Пусть теперь MA cC. Тогда легко видеть, что C/MA -минимальный идеал в А/MA, отличный от HMa /MA. Нетрудно установить, что подалгебра M/MA дополняет в А /MA оба идеала HMA /MA и C / MA. Из этого следует, что м/мАе $ и А /MA - поддекартово произведение мультиколец (А / MA )/ (HMA / MA ) и (A/MAy{C/МА), принадлежащих $ . Значит,

А/ МА е ^ и поэтому фактор Н1 /Нг_1 будет ^-центральным в А. Из условия следует, что Т покрывает факторы Н./ Н._^. Н■ — ТН. ^,

г е {1, 2,..., . Последнее означает, что имеют

место следующие включения:

А = Я с ТН. , с ... с ш сш = Е4* .

г /-1 1 о

Отсюда следует, что 2у4® = Л. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть ^ - класс полиадических мультиколец, ^ - формация с внутренним ^-экраном, А - некоторое полиадическое мультикольцо из - некоторое множество

^-эксцентральных А -главных факторов, Т -САР 2 -подалгебра в А . Тогда ТА® = А.

Доказательство. Если = А, то утверждение очевидно. Пусть А® Ф А. Рассмотрим участок Л-главного ряда

А*=Н0 сЯ! с ...сЯм сЯ( =А.

Пусть /- экран формации Ясно, что все факторы Hi / Н__х (г =1, 2, ... , t) являются

/■центральными. Покажем, что они являются центральными. Пусть ге{1, 2,..., t}. Введем обозначения: С = СА (И- / Н_1 ), Б = Н г / Нг_1 х X А / С. Теперь в силу следующих соотношений Я,. / Л» с С * (Я / л®/Я,. ,/А*' =

1 — А!А* " 1 г~1 )

= СЛЯ,/Я,_1)/# получаем, что фактор

Н{ / Нг1 будет Л-абелевым. Поэтому идеал Н1 / Нг_1 будет у-центральным в Б. Но ЩЯ,/ЯН )зА/С Е/(Я(/Я.н) = Значит, Г) е Из условия следует, что Т покрывает факторы Н1 /Нг_1 (г =1, 2, ... ,t), т.е.

Н1 с ТНг1. Из последнего утверждения теперь получим следующие соотношения: А = Н t — с ТН, , с /Я, 2 с ... с ш, с ш. =ТА^. Отсюда следует, что 7А^=А. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть 2 - некоторое множество главных факторов полиадического мультикольца Л, содержащее вместе с каждым фактором и все ему проективные, N - идеал мультикольца Л и 2 - множество таких А / N -главных факторов Н/N/^/N, что Н/^ е2. Тогда, если $

есть САР Е -подалгебра в А, то ВЫ/N есть САР Е' -подалгебра в А /N.

Доказательство. Если Н / N/К /N єЕ', то видно, что Н / К єЕ. Значит подалгебра В изолирует Н / К , т.е. справедливо включение: Н П В с К. Отсюда теперь получаем следующие соотношения:

(Н / N ) П ^ ) / N = Н П ^ ) / N =

= ЩН ПВ ) / N С NK / N = К / N.

Полагаем теперь, что (А / N )-главный фактор Н / N / К / N не принадлежит Е'. Тогда Н / К не принадлежит Е. Следовательно, В покрывает фактор Н / К. Значит, Н С ВК. Тогда

Н / N С ВК / N = ^ / ЩК / N. Последнее означает, что В N / N покрывает фактор Н / N / К / N в этом случае. Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть Е - множество главных факторов полиадического мультикольца Т, содержащее вместе с каждым фактором и все ему проективные, А и В - САР Е -подалгебры полиадического мультикольца Т и пусть

{8} = А0 С А1 С . . . С Ап=А ,

{8} = В0 С В1 С . . . С Вт=В

- композиционные ряды соответственно А и В. Тогда п = т и между факторами этих рядов можно установить такое взаимнооднозначное соответствие, при котором соответствующие факторы изоморфны.

Доказательство. Возьмем произвольный главный ряд {8} =Т0 С Т1 С... С Тк = Т мультикольца Т. Достаточно показать, что для любого і є{1, 2,.к} фактор Ті п А/Т-1 п А изоморфен фактору Т. п В / Т.-1 п В.

Если Т / Т-1 єЕ, то А и В его изолируют. Получаем следующие включения: А пТс Т-1, В п Т с Ті_1. Следовательно, Т— (Ті п А) / Ті-1 = Ті п А / Ті п Ап Ті-1= Ті п А /Ті-1 п А, Ті-1 ( Ті п А ) / Ті-1 = Ті-1 / Ті-1. Отсюда получаем следующий изоморфизм: Т п А / Т-1 п А =

- Т-1/Т-1. Дале^ ТЛТ п В)/^ = ТГ_1 /Ті-! и Т-:^т;гпі?)/Т-1 = Т п В/Т-1 п В, Т п п В/Ті-1 п В = Ті-1/Ті-1. Значит, Т. пА/Т._х пА= = Ті п В / Т-1 п В . В этом случае теорема справедлива.

Пусть теперь Т, / Т-1 не принадлежит Е. Тогда получаем следующие включения: Т С Т_1 А, Т с Т_В. Следовательно,

Т п А / т_1 п А = т_(Т п А)/т_ =

=Тг п(^А)/Т,_1 = Т /Т,_1

и

Т п В / Т_1 п В = Т, п (^5)/ Т_1 = Т / Т_1.

Значит, Т п В / Тч п В изоморфна Т п А / Т. п А и в этом случае.

г г _1 ^

Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть Е - множество главных факторов конечного полиадического мультикольца А, содержащее вместе с каждым фактором и все ему проективные, В - САР Е -подалгебра полиадического мультикольца А. Тогда порядок подалгебры В равен произведению порядков факторов А-главного ряда, не принадлежащих Е.

Доказательство. Пусть полиадическое мультикольцо А - контрпример наименьшего порядка и пусть

{в} = А0 е А = N е. . . е А = А (1)

- некоторый А-главный ряд. Тогда

N / N = А1/ N е . . . е А( / N = А / N (2)

- главный ряд полиадического мультикольца А / N. Применяя теорему 4 получим, что ВN / N есть Е? -подалгебра в А / N. В силу индуктивных соображений получим следующее равенство:

| ВN / N | =

= | А / N / А _1/ N | х . . . х | А / N / А, _ / N |, где А / N / А ,/ N, . . . , Аг / N / А. ,/ N -

г1 г1_1 7 7 гг Г _1

все факторы из ряда (2), которые подалгебра ВN / N покрывает. По теореме 4 получаем, что подалгебра В покрывает факторы

А/ а_1,..., А / а _1 и изолирует остальные главные факторы ряда (1), за исключением, может быть, фактора N /{в}. Если N/{в} е Е, то В П N = {е} и в этом случае имеем следующие равенства:

| В | = | В/В п N | =

= |ВN/N| = \А^/Аг1_11х . . . х| а,г /Ат_,|. Пусть теперь N / {в} не принадлежит Е. Тогда N с В + {в} = В и получим следующие равенства:

| B | = | BN/N| X | N| =

=1N x | a / A_i | x ... X|AV / a _i|.

Полученное противоречие с допущением завершает доказательство теоремы 6.

Из теоремы 6 следует:

Следствие. Пусть 2 - множество главных факторов конечного полиадического мультикольца А, содержащее вместе с каждым фактором и все ему проективные. Тогда все CAP 2 -подалгебры полиадического мультикольца А изоордны.

При определенных условиях ^-нормализаторы [16], ^-профратгиниевы и Q-профрат-тиниевы подалгебры [11, 16] являются САР 2 -подгруппами при соответствующем выборе 2. Поэтому из результатов данной работы следуют как частные случаи соответствующие результаты для вышеуказанных подалгебр. Более того, в ряде случаев понятия ^-профратганиевых подалгебр и САР 2 -подалгебр совпадают. Однако, в общем случае это неверно - САР Е -под-алгебры составляют более широкое, чем ^-профрат-тиниевы подалгебры, множество [15].

Список литературы

1. Gaschutz W. Praefrattinigruppen // Arch. Math. 1962 B.13, № 3. S. 418-426.

2. Hawkes T.O. Analogues of Prefrattini subgroups // Proc. Internat. Conf. Theory of Groups. Canberra, 1965; N.Y., 1967. P. 145-150.

3. Gillam J.D. Cover-Avoid Subgroups in Finite Solvable Groups // J. Algebra. 1974. V. 29, № 2. P. 324-329.

4. Chambers G.A. On ^-prefrattini subgroups // Canad. Math. Bull. 1975. V. 15, № 3. P. 345-348.

5. Гойко В.И. Построение ^-профраттиниевых подгрупп в произвольных конечных группах // Докл. АН БССР. 1978. Т. 22, №2. С. 687-689.

6. Гойко В.И. ^-квазифраттиниевы подгруппы конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины, 1996. № 10. С. 33-46.

7. Nakazato H. Remarks on Prefrattini subgroups of a finite solvable group // Bull. Sci. and Eng. Div.: Univ. Rynkyns (Math. And Nat. Sci). 1977. № 4. Р.17-20.

8. Forster P. Prefrattini groups // J. Austral. Math. Soc. 1983. V. 34 (series A). P. 234-247.

9. Гойко В.И., Скиба А.Н. О ^-профраттиние-вых подгруппах конечных групп // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Минск: Наука и техника, 1984. С. 53-58.

10. Гойко В.И., Скиба А.Н. О ^-профраттиние-вых подалгебрах алгебр Ли конечной длины // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во «Университетское», 1987. № 3. С. 78-86.

11. Новиков С.П. О О -профраттиниевых подалгебрах мультиколец // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во «Университетское», 1992. № 6. С. 7-12.

12. Гойко В.И., Новиков С.П. САР Е -подгруппы конечных групп // Международная математическая конференция, посвященная 100-летию начала работы Д.А. Граве: Тезисы докладов. Киев, 2002. С.43-47.

13. Новиков С.П. Связь ^-профраттиниевых подалгебр и ^-нормализаторов мультиколец // Вестник БГУ. Серия 1. 1996. № 1. С. 46-48.

14. Novikov S.P. САР S -subalgebras of multirings // 4-th International Algebraic Conference in Ukraine. Lviv. 2003. Р. 1б1-1б2.

15. Новиков С.П. Н-профраттиниевы подалгебры конечных мультиколец // Известия Гомельского гос. ун-та. 2006. 5(38). С. 45-48.

16. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. 253 с.

17. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

18. Русаков С.А. Алгебраические «-арные системы. М.: Наука и техника, 1992. 264 с.

SUBALGEBRAS OF POLYADIC MULTIRINGS WITH THE PROPERTY OF COVER-AVOIDANCE

V.I. Goyko, S. P. Novikov

W. Gaschutz has constructed pre-Frattini subgroups in finite solvable groups. Such subgroups have an important property to cover or avoid any chief factor of the group. In this paper, some properties of subalgebras of polyadic multirings are investigated: their connection with the co-radical and hypercentre, one-to-one correspondence between the composition factors of two subalgebras, invariance under homomorphisms.