ПОИСК ЦИКЛОВ В ОДНОЙ n-МЕРНОЙ МОДЕЛИ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕННОЙ СЕТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

ПОИСК ЦИКЛОВ В ОДНОЙ п-МЕРНОЙ МОДЕЛИ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕННОЙ СЕТИ

В, С, Градов

Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск

УДК 514.745.82

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10019

Установлены необходимые и достаточные условия существования периодических траектории у динамической системы, моделирующей функционирование кольцевой генной сети, регулируемой отрицательной обратной связью в случае п > 5. Фазовый портрет системы разбивается на блоки, в каждом из которых система линейна. Дискретизация фазового портрета позволяет локализовать положение периодических траекторий. Ключевые слова: модели генных сетей, блочно-линейные динамические системы, дискретизация фазовых портретов, валентность блока, циклы.

Введение

Генные сети контролируют биохимические процессы, происходящие в живых организмах, см. [1,3,4,8]. В данной работе изучаются генные сети, в которых каждое вещество взаимодействует с предыдущим посредством отрицательной обратной связи, то есть когда скорость концентрации одного вещества монотонно убывает с увеличением концентрации предыдущего вещества в сети. Главной задачей является выявление периодических режимов функционирования таких сетей, поскольку такие режимы играют важную роль в молекулярной биологии.

1 Модель

В качестве математических моделей изучаемых генных сетей рассматриваются п - мерные блочно-линейные динамические системы симметричные относительно циклической перестановки координат:

Х-1 = Ь(Хп) — Х\; Х2 = Ь(Х\) — Х2; ... Хп = Ь(Хп-1) — Хп, (1)

где Ху > 0 являются концентрациями веществ генной сети, вычитаемые описывают процессы их разложения, а ступенчатые функции Ь(т) описывают синтез компонент сети и определяются следующим образом:

Ь('ш) = А > 1 для ад € (0,1); Ь(ш) = 0 для 1 < ад;

В работах [2,4] рассматривались аналогичные системы других размерностей.

2 Дискретизация фазового портрета

Рассмотрим куб Q = [0, А\п С М++ и точку Е = (1,..., 1) в его внутренности. В работах [1,5] было установлено, что область ^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^иантна для системы (1), то есть с течением времени все траектории этой системы попадают в куб Q и дальше не выходят из него.

Доказательства состоит в проверке направления векторного поля на гранях Q, т.е. нужно проверить неравенства: X,- |х30 |х,- 0 см., например, [2,6].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект 18-01-00057)

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

Поиск циклов в одной п-мерной МОДОЛН КОЛЬЦОВОЙ тонной соти

117

Разобьем ф плоскостями х^ = 1 на 2п параллелепипедов. Будем называть их блоками, и пронумеруем бинарными мультииндексами е = {е^... £п}, где е^ = 0 если Х^ < 1, и е^ = 1, если Х^ > 1 — как у вершин п-мерного булева куба. Здесь ] = 1,п.

В работах [1,2] было установлено, что для каждой пары соседних блоков е\ и е2, пересекающихся по (п — 1)-мерной грани, траектории всех точек внутренности этой гран и переходят либо из е^ в е2, либо из е2 и е1. Это позволяет построить граф па булевом кубе и ориентировать его дуги, согласно переходам из блока в блок.

Будем называть валентностью блока е количество его граней, через которые траектории системы выходят из этого блока, то есть валентность блока это количество дуг, исходящих из соответствующей вершины ориентированного графа С.

В случае четного п среди 2" блоков разбиения области ^ есть блоки валентностей 0 2, ..., п, а в случае нечетного п есть блоки валентности ..., п. Блоки с мультииндексами {0 ... 0} и {1... 1} имеют валентность V = п, то есть траектории системы (1) могут только выходить из этих блоков (см. [1,6]).

(1)

единственного устойчивого цикла С1, проходящего через блоки валентности 1. Для таких систем рассмотрим теперь блоки валентности V = п — 2:

Рис. 1: Диаграмма переходов блоков валентности V = п — 2

Индекс каждого блока в-ой строки, в = 1, 2,... ,п — 1, содержит в нулей и п — в единиц. В каждой строке мультииндокс следующего блока отличается от предыдущего смещением всех элементов мультииндокса на один шаг влево.

(к)

Для фиксированного к = 1,... ,п — 2 последовательность блоков со стрелками 1\ назовем Диаграммой уровня к, где з = 0,..., 2п — 1.

2.1 Вспомогательные алгебраические утверждения

Пусть А > 1. Рассмотрим последовательности многочленов:

Рг(х) = х + — , Р2(х) = х2 + — х + 1,

А2

Рп(х) = хп +1 —

О — &)

хп-1 + хп-2 + ... + X +1, п> 1.

Так же рассмотрим ещё одну последовательность многочленов:

Ql(x) = х — (А — 1), Q2(x) = х2 — (А — 1)(х + 1), дп(х) = хп — (А — 1)(хп-1 + хп-2 + ... + X + 1), п> 1. При п > 2 верны рекуррентные соотношения (из которых вытекают следующие леммы):

(2)

(3)

Рп(х) = хРп-1(х) + 1, Qn(x) = xQn-l(x) — (А — 1).

(4)

Лемма 1. 1) Если п > 2 нечетное, то Рп(х) = Р1(х), при х = , А. Если п четное, то при

-1 А

1, А-1,

х

2) Если п — к, где 2 < к < п, нечетное, то Рп(х) = Рк(х) при х = 0, , А. Если п — к четное, то при х = —1, 0, , А.

Лемма 1.1) Многочлен Р2 (х) имеет единственный корень на интервале (0,1) тогда и только тогда, когда А > 1.

2) Многочлен Р3(х) имеет единственный корень на интервале (0,1) тогда и только тогда, когда А > 1, А=2

3) Многочлен Рп(х) при п > 4 имеет единственный корень на интервале (0,1) тогда и только тогда, когда А > (п +1)(А — 1).

Из предыдущих лемм следует, что для п > 2 выполняются неравенства

Рп(0) = 1 > 0, Рп(А) = — ^ < 0, Рп(А—1)= —(А — 1) < 0-

Следовательно Рп(х) имеет два положительных корпя, причем один из корней больше единицы, так как А > 1 и > 1 при а > 1. Если -Рп(1) = п +1 — —^ < 0 т0 на интервале (0,1) этот многочлен имеет единственный корень. Если Рп(1) > 0 т0 °ба ег0 положительных корня лежат в интервал ах (1, А) и (А,х2), где Ж2 > А — корень многочлена Р2(х). Так как Рп(1) > 0 Рп(А) < 0 Рп < 0 и Рп(х2) > 0, то оба

интервала (1, А) и (А, Х2) содержат корни многочлена Рп(х).

Лемма 3. Пусть п > 1 и х(п),х(п+1) € (0,1) — корни многочленов Рп(х) и Рп+1(х) соответственно, тогда х(п+1) > х(п\

Лемма 4. Пусть п > 2. Есл и у(п), у(п+1) — корн и <^п(х) и <^п+1(х) соответственно, то у(п+1) > у(п\ Лемма 5. Пусть п > 4, г € (0,1) — корень Рп(х). Тогда 1) <^п-1(г) < 0 для любо го А> 1,

2) Яп-2(г) > 0, если 2 < 2А < п + 1 — ^(п + 1)2 — 4(п + 1),

3) Яп-2(г) < 0, если 2А> п + 1 + ^(п + 1)2 — 4(п + 1).

3 Описание циклов системы (1)

Рассмотрим Диаграмму на рисунке 1 и введем обозначения:

р[к] = В0к п в\к] Р[к] = В[к] П В12к] ^ = В12к] П в\к] В10к] = {Ь^Л0.^.0}, в[к] = {Ь^Л 0.^0},

п-к к п-к-1 к+1

в2к] = 1}, Взк] = 1}.

п-к-1 к п-к-2 к+1

Пусть X = (ХиХ2, ... ,Хп )■ Тогда ее ли X € Р0к], то:

Х1 > 1, ... , Хп-к-1 > 1, Хп-к = 1, Хп-к+1 < 1, ... , Хп < 1. (5)

Если X € Р[к], то:

Если X € ^ то:

Х1 > 1, ... , Хп-к-1 > 1,Хп-к < 1, ... ,Хп-1 < 1,Хп = 1. (6)

Х1 > 1, ... , Хп-к-2 > 1, Хп-к-1 = 1, Хп-к < 1, ... , Хп-1 < 1, Хп > 1. (7)

Теорема 1. Пусть п ^ 5. Тогда

1) Система (1) имеет единственный цикл С^-2, симметричный относительно циклической перестановки координат оп: Х1 ^ Х2 ^ ... ^ Хп ^ Х1 в блоках Диаграммы уровня к = 1 тогда и только тогда, когда

А > п+\/п2-4п

2) Система (1) имеет единственный цикл С^^Т^К симметричный относительно ап в блоках Диаграммы уровня к = п — 2 тогда и только тогда, когда 1 < А <

Поиск циклов в одной п-мерной модели кольцевой генной сети

119

3) Для любого А> 1 система (1) не имеет циклов, симметричных относительно ап в блоках Диаграмм уровней к = 2,... ,п — 3.

Доказательство. Рассмотрим уровень к. В дальнейшем будем использовать следующие индексы: г = 1,... ,п — к — 2, ] = 1,... ,п — к — 1, т = п — к + 1,... ,п, Н = 2,... ,п — к — 2. Пусть траектория системы берет начало в блоке В(й) та грани Р(к) в точке

Решение системы в этом блоке выглядит следующим образом:

= А — е~\А — Х?\ Х+ = Х+е-\ Хт = А — е~\А — Х^).

Найдем время за которое точка X(0) € переходит в X(1) € и выпишем координаты точки

X (1):

(к)

Х,(1) = А-

А- 1

(А — Х,(0)), х+ = х+

(1)

(0)

А-Х,

(0)

А- 1

А-Х,

(0)

Х^ = А — (А — Х^), е~* = А — 1

(8)

А-Хк0)

А-Хк0у

Аналогично найдем время ¿2, за которое точка X(1) € переходит в точку X(2) € ^2(й) и выпишем

координаты точки

X (2):

Л X (0)

х(2) = А — Хп

(А — 1)Х^_к_ 1

А-

(А — 1) (А — X(0))

А-Х.

(0)

X (0) х(2) = ХН

X (2) =

Лп-к =

(0)

■,-к-1

х!2) = А-

А-Х,

(0)

X,

X,

(0)

■,-к-1

е-42 =

А-Х,

К

(0)

(0)

■,-к-1

(а — 1)40Л-1'

(9)

Для существования цикла, симметричного относительно циклической перестановки координат, нужно

потребовать, чтобы X,

(2)

X,

(0) ¿+1'

% = 1,п — 1 х^2)

х10). Тогда соотношения выше запишутся в виде:

X.

(0)

А — Хк0) (А — 1)Х1\_ 1

А-

(А — 1) (А — х(0))

(0)

Х;

X,

(0) = 1 п-к+1 у(0)

Лп-к-1

А-Х.

х (0) = л Лт+1 = л —

(0) Н+1

А — Х{т]

X,

(0)

•,-к-1

X

(0)

(0) ,-к-1

X,

Пусть = у. Тогда можем переписать подученные соотношения в терминах у.

*20) = (А — (А — 1)У),

X;

(0) Н+1

(0) ,Н-1

^2 У

X,

(0)

п-к+1

(0)

•,-к-1

X,

х!0+1 = А — (А — у)ут-п+\ Х^+1 = Х1

%-п+к у(0) _ ^(0)

(10) (11) (12)

Проверим выполнение условий (5). Положим Н = п — к — 2 и из (11) получим, что х20) = у2+к п. Подставим в (10) и получим следующее уравнение относительно у.

уп —

А2 Д2

Л ;Уп-1 + 2 — 1 = 0.

А - 1'

А- 1'

Разделив обе части на (у — 1), получим уравнение Рп- 1(у) = 0, которое по лемме 2 имеет единственный корень 2 € (0,1) тогда и только тогда, когда А > 1 и А2 > п(А — 1). Эти неравенства выполняются при:

Ле 1,

- — %/ п2 — 4п

)( п + \/п2 — 4п \

и , ») .

(13)

1

1

У

2

Далее полагаем, что выполняется условие (13). Очевидно, что X^ = г2+к п > 1, откуда следует, что Х1(+1 > 1. Проверка условий на координаты Х((0+1 заключается в проверке неравенств:

А - (А - ф1 < 1, А - (А - х)хк > 1, I = 1,к - 1,

которые сводятся к неравенствам (^¡(г) > 0 <^к(г) < 0.

1) Рассмотрим случай к = 1. Пользуясь леммой 2 нетрудно показать, что при А > п+п2-Ап выполнено неравенство Ql(z) < 0. Так же пользуясь (8) можно показать, что выполнене неравенств (6) сводится к проверке неравенства Ql(z) < 0. Следовательно, при А > п+^п2-4— существует единственный цикл сП-2 > симметричный относительно ап в диаграмме уровня к = 1. Таким образом доказана достаточность.

Пусть у системы (1) существует единственный цикл, симметричный относительно ап, и проходящий по блокам уровня к = 1. Тогда выполнены условия (5) - (7), из которых следует, что А > _ Так же

выполнено условие х\2 = Х(°1, г = 1,п - 1,хПП2 = Х(0), что влечет собой (10)—(12). А значит Рп-1(Х) имеет

(0, 1)

одновременно при А > п+^п2-4п. Таким образом доказана необходимость.

2) Рассмотрим случай к = п - 2. Из лемм 4, 5 следует, что при 1 < А < п^г^-4п выполняются неравенства (г) > 0 Qп-2(z) < 0 I = 1,п - 3. Так же пользуясь (8) несложно увидеть, что для любого А > 1 выполняются неравенства (6). Следовательно, при 1 < А < П1-^^-4— существует единственный цикл

СП"122], симметричный относительно ап в диаграмме ур овня к = п-2. Таким образом доказана достаточность. Необходимость доказывается аналогично предыдущему пункту.

3) Рассмотрим случай к = 2,...,п - 3. Если А € п-^п2-4п^; т0 п0 леммам 4, 5 для любого I =

1,... ,п - 3 выполнено > 0. Значит те возможно выполнение неравенства ^к(%) < 0.

Если А > п+^п^-4п. > 2, то не будет выполнено перавенство (^^г) = г - (А - 1) > 0, так как г € (0,1). Следовательно у системы (1) не существует циклов, симметричных относительно циклической перестановки координат в диаграммах уровней к = 2,... ,п - 3. □

Заключение

В работе [5] было показано, что для существования единственного устойчивого цикла С1 системы (1) в блоках валентности 1 необходимо и достаточно, чтобы А > 1. Результаты данной работы показывают, что

М1] п\п-2]

перечисленные циклы сП_2-, ^П-2 содержатся в инвариантных кусочно-линеиных двумерных поверхностях, симметричных относительно ап и имеющих одну общую вершину — точку Е. В случае нечетного ^и А > 1 динамическая система (1) имеет по крайней мере два цикла, которые проходят по блокам валентностей 1 и п - 2, соответственно.

Авторы выражают искреннюю признательность П.Б. Аюповой за полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Акинынин А. А., Голубятников В. П. Циклы в симметричных динамических системах // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2012. Т. 12, №2. С. 3-12.

[2] Аюпова П. В., Голубятников В. П. О единственности цикла в несимметричной трехмерной модели молекулярного репрессилятора // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 1. С. 3-7.

[3] Elowitz M. В., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature. 2000. V. 403. P. 335-338.

[4] Glass L., Pasternack J. S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems // Journal of Mathematical Biology. 1978. V.6. P. 207-223.

[5] Голубятников В. П., Иванов В. В. Циклы в нечетномерных моделях кольцевых генных сетей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2018. Т. 21, N 4. С. 28-38.

[6] Казанцев М. В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем // Сибирский журнал индустриальной математики. 2015. Т. 18, № 4. С. 42-49.

Поиск циклов в одной n-мерной модели кольцевой генной сети

121

[7] Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых генных сетях // Известия РАН, серия математическая. 2016. Т. 80, N. 3. С. 67-94.

[8] Likhoshvai V. A., Fadeev S. I., Kogai V. V., Khlebodarova T. M. On the chaos in gene networks // Journal of Bioinformatics and Computational Biology. 2013. V 11, N 1. P. 1340009-1 — 1340009-25.

Градов Вячеслав Сергеевич — магистрант ММФ Новосибирского государственного университета;

e-mail: [email protected]. Дата поступления — 30 апреля 2019 г.