Геометрия и топология фазовых портретов интегрируемых блочно-линейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Геометрия и топологияфазовыхпортретов интегрируемых блочн о-линейных динамических систем*

В.П. ГолубятникоеМ^,В.С. брадов2

'Институтмалемазиим имыЫ.Л. Соболеиа СОРАб(Новосибибск, Россия) 2Новосибирский государственный университет (Новосибирск, Россия) 3Новосибирский военный институт войск национальной гвардии (Новосибирск, Россия)

G eometryandTopofoHy of PhasePor traits of Integrable Block-Linear Dynamical Systems

V.P.Golubyatniko^brV.S. Gradov2

'Sobtik in^t:itr^te rflV^c^then^r^t^i^c^sof tire Siverlsn Branch ofiheRussirnAcademy

of Sciences (Novosibirsk, Russia)

Novosibirsk State University (Novosibirsk, Russia)

3NovooiCirsk Mil--cryCnslitute of NationalGuard Troojps(Nc^i^oiib^]rsk, Russia)

Рассматриваютсмкрекмеимыеблочно-линейные ди-намеч^с^к^ие с^мкллмы-о^^^е^:и]^;^щ1^^амараасоа кооамы-вых г^ячб^^к; сетыы. Геинаге сеты пеавото дкссса регулируются яемыве отрицааельнымиаб^ткымиамязчмо, втбраро — овлько положоаек ьнымч. иыявл ениемрт-о щтов фуяыциаичртвания тасих орт(^И-ллквс^мяе т умрм-лятобиодигзшческимиыртщссзми вравоа орт снизмаи. Юэм^натортая омр^тураомзд еви^емык генным с p^^e^ii э томуртс сматв^вал^еечеляы^]4,к^ыг1^а^ (^ь^а-

висмо монотонноаа юшцемсртции «рфедищузцегом вещраоаа.Длои-рвози мы этивклассов модеме0.^--новлены.осаагочные усмоворс^ествомсиыииедасн-ственности цикла. Этидамлмическиесмстемыин-теа.и.уемы.м дляжаждойизмчх можою ралоpабоы интeгкaкоыoемuoгooбpaзид,еoдepжРIуee цикл.Волу-чае,кзгда виквк созеема лиымесртиисстноситсльно ци-nepeoaaiioBiManoppMiHKoi^nouyrepicycooo^ разртнмыгосаи p3jpmhou задами c^Hi^p^^a

пзрамет расеыоемы пpибевеозpзuмяpo рмациио перти одееицыаааа. Дфядинамииеакрм смесем мторогокласом доиозсномиеу-стиии .икла.симметричлкгоаекдзы-тельноцыим ичеекой плбсcтмнpбкиикар0иыат:

.mm««].-- олова: боаыве-линейвеы динамические синтемьробратныесвяыо, фазовыепортреты,циклы, инвариантныеобласеи.интегрнльныге мноаорТразия, гентыесети, етзбражбРбеПуатоаре.

DOI 10.14258/izvasu(2019)1-11

WefonclderCtdiif^ansionalblock-vimar dv^r^^m^i^i^C ^b^s^V^mf^r modds of iwacluss eic^ra^ircal acasuau^atwc^^]«. Thegenc c^bSwo^irt vrtWefirftciasv aru reec^t^tca bynu^Mve fecdbrakobnly. Nctwar^ ofthe benind vlacr are tegulet:ddby pssitiwe feeukbvf^c. Investigation ^:fkuit^cit^les eb functtoning ofthese grne ne^orfes aUfws to sonfrol Modcerrnca^rocessec mh^f^ orgrrnsms. Cbmbmatodiel stvssture ccf theeodsidbred genenetworkc .ssdrcutar one, ^ivf:ivecstuay Ле case when the rate ^bhan^ offanceen.ration ef anycubrtance mthegena vdwoekdepsnds antheaohceotcat:юk oSgSso «prefiousc subvtaucemonotvy1rellyobfaicienr condMonr of sxisteabv г^цпЦьгш afavyde aredanaratsc1ler• the fiast clasc sfrhess^nanrical syct:emt.Thosr syftoms eremtsgrabk, dnd wbconsteuit fareadc ofthemanlvtrgral шгь^оЫ sclla^ng a v^le.hi сдe basv <cf thecystomrcymmetoir wrthrevpsct: to cycHe pvrmutatisns ee Aswemblei1 we find ssolution ci anrnveibe ргоЫ em of^ramdor Menttficativn whensomemformiton aboutaperiob cyd e iyknowrL For аюЛег dif s g^trularbloclii lineardunamica1ryst:oGr, weshowt0enonlrkisttkae af r eb^.;ce c^h.o. cs s^yonmrtric totba. ^vmuto.ion vc tfievae.eHes.

Key words: block-linear dynamical systems, feedbacks, phaseportraits,cycles, invarientdomains,integrsl mafi-folde, gene cntworks, Poincare map.

Введение. OopM]KoeM.oo:o. o6p3ooM4 иым-деа у оеыыоа леям одызнзео. ноо ieopoco. мдые-

* Работа поддержана грантом 18-01-00057 РФФИ и программой фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.5., проект № 0314-2018-0011.

ыеымм мoыиеыоpкиuб мюИооо ыемелорк ыоыоооыыо уИмыкео л уреминеыиеы мoыиеыоpкибб ppeflMflyMe-оо. к peoyMupoPKcue роможиоемыымыи oИpкоымыб ирудуыи. ыкoИopoо, ыoдембpyеолу ыоыоооыыо ыод-pклокюмбЫб фуымиимыи (лы. [1-3]).

Математическая постановка

В качестве моделей генных сетей рассмотрим блочно-линейные динамические системы одного из типов:

Хi = Li(xi-1) _ кгхг; (1)

xi Гi(xi —1) kixi, (2)

где х° = хм и % = 1,^. Переменные х^ — это концентрации веществ в генной сети, ступенчатые функции Li и Г описывают скорости их синтеза, вычитаемые — скорости их разложений.

Функции Li монотонно убывают, функции Г монотонно возрастают и определяются так:

Li(w) =

Aiкi,

w е (0, а^),

w е (а—1, ж);

А^^, w е (а—1, ж);

(3)

(4)

10, IV е (0,0^-1).

Здесь и в дальнейшем 0 < а < А.1, а° = аN, к > 0, % = 1,^. Система (1) описывает генную сеть, регулируемую отрицательными обратными связями, а система (2) — сеть с положительными обратными связями. Пусть X = Ф(Х) — бескоординатная форма записи динамической системы (1) или (2), задаваемая векторным полем Ф(Х) в положительном октанте [х.1 ^ 0}.

В работах [4] - [8] рассматривались вопросы существования циклов для систем, у которых поле Ф(Х) определялось ступенчатыми функциями обоих типов — и L, и Г (соответственно, для систем с гладким полем Ф(Х)).

В данной работе мы ищем достаточные условия существования и устойчивости циклов у таких трехмерных систем в случае к1 = к2 = к3 = к.

Построение фазового портрета

В положительном октанте [х.1 ^ 0} построим область

Q = [0,А1] х [0, А2] х [0,Аз].

Лемма 1. Параллелепипед Q инвариантен для систем (1) и (2).

Доказательство: Опишем направление векторного поля Ф(Х) на гранях этого многогранника.

Рассмотрим систему (1) и пару параллельных граней х1 = 0 и х1 = А1 параллелепипеда Q.

Х1 = Ll(xз) > 0,

ж1=0

х 1 = L1(x3) — кА1 ^ 0.

Х1=А1

Ма участке грани, где х3 < а3, поле Ф(Х) направлено внутрь области Q, а там, где х3 > а3, первая компонента Ф(Х) нулевая, а траектории через этот участок из этой области также не выходят.

Направления поля Ф(Х) на других гранях параллелепипеда Q описываются аналогично, те же рассуждения проводятся и для системы (2). □ Для системы (1) с гладкими функциями Li эта лемма была установлена в [9]. Следуя [3,10], разобьем параллелепипед Q плоскостями хi = а^ % = 1, 2, 3, на 8 блоков. Занумеруем каждый такой блок бинарным мультииндексом |е1,е2,е3}, где = 0, если хi < а^ и = 1, если хi > аi.

Лемма 2. В каждом блоке {в1,£2,£3} траектории систем (1), (2) прямолинейны и описываются гомотетиями с центрами в вершинах Q.

Доказательство: Рассмотрим систему (1) и блок {001}, где ее решение для произвольных начальных данных (х°, х2,х3) принимает вид

(5)

и задает луч в К3. При t ^ ж траектории в блоке {001} описываются гомотетией с центром в вершине (0, А2, А3) е Q, причем центр гомотетии является аттрактором. Для всех остальных блоков и для системы (2) рассуждения аналогичны. □

Назовем валентностью блока е число V(е), равное количеству граней блока, через которые траектории системы могут выходить из него (см. [7]).

У системы (1) блоки {000} и {111} имеют валентность V =3, траектории выходят из этих блоков в соседние через все три грани, лежащие внутри Q, и обратно не возвращаются. Значит, циклы системы (1) не проходят по этим двум блокам. Для оставшихся блоков V =1, причем для всех точек таких блоков их траектории будут переходить из блока в блок согласно диаграмме (см. [10]):

х1 = х°в- ы

х2 = А2 — в- -Ы(А2 — х2)

х3 = А3 — в- ы(Аз — х3)

{001}

{101}

{011}

-> {010}

(6)

{100} ^

{110}

Пусть Ш — объединение перечисленных здесь блоков. Аз доказательства Леммы 1 следует, что область Ш инвариантна для системы (1).

Для общих граней соседних блоков, перечисленных в диаграмме (6), введем обозначения:

F0 = {001} П {011}, ¥1 = {011} П {010};

F2 = {010} П {110}, F3 = {110} П {100};

F4 = {100} П {101}, F5 = {101} П {001}.

Ма плоскостях хц = ai, % = 1, 2, 3, ступенчатые функции (3) и (4) имеют разрывы и не определены, но решения систем (1) и (2) на этих плоскостях можно доопределить по непрерывности, как это делается в теории биллиардов (см. [11]).

0

У системы (2) блоки с индексами {000}, {111} имеют валентность V = 0, т. е., попадая в эти блоки, траектории уже не выходят оттуда. Рассмотрим, например, блок {000}. Решение системы (2) при произвольных начальных данных (х1,х2,х0) из этого блока имеет вид

XI = х0е ы

х2 = х^е ы, х3 = х^е ы

Точка (0,0,0) е {000} — аттрактор. Другой аттрактор (Л1,Л2,Л3) системы (2) находится в блоке {111}. У ее оставшихся блоков V = 2, а фазовый портрет описывается диаграммой

{000} I

{001} I

{101} I

{111}

{111} I

{011}

-> {100} I

{000}

{000} I

- {010} I

{110} I

{111}

(7)

с начальной точкой X0

(х°,х°,х°) е F0 с

{001}, где х0 = а, х2 < а, х! ^ а. Решение системы в {001} описывается уравнениями (5). За время tl траектория точки X0 попадет на грань Fl блока {011} в точку X1 с координатами

1 а(Л — а) 1

х1 = (Л — х0) ' Х2 = а,

1 Л(а — х0) + х0(Л — а)

21 = —хо •

Так же находится и время за которое траектория точки X1 переходит с грани F1 в точку X2 е F2 с координатами:

2_ а2 (Л — а) 2 _

Л(а — х0) + х3 (Л — а)'

=Л

а(Л — а)(Л — х2) Л(а — х2) + х3(Л — а) •

Проведем в кубе Q диагональ х1 = х2 = х3 и повернем Q вокруг этой диагонали на угол в = 120°. При этом точка X0 = (а,х0,х£) е F0 перейдет в точку X2 = (х°, х0, а) е F2.

Найдем такую точку X0, чтобы после сдвига вдоль траектории она перешла в точку

X2 = в^0). Если такая точка существует, то ее траектория замкнута, и при сдвигах вдоль нее координаты точки X0 переставляются по циклу X0 ^ X2 ^ X4(х°, а, х2) ^ X0.

Отсюда получаем систему уравнений

0 а2 (Л — а)

Л( а —

=Л

+ х°(Л — а)' а(Л — а)(Л — х2) Л(а — х2) + х3(Л — а) •

(8)

Существование циклов

Рассмотрим симметричный случай систем (1), (2), когда ЛI = Л, а = а, ^ = k при i =1, 2, 3.

Теорема 1. Если Л > а, то у симметричной системы (1) существует единственный цикл С в области W, симметричный относительно перестановки координат а : х1 ^ х2 ^ х3 ^ х1.

Доказательство: Рассмотрим траекторию

Если (8) имеет единственное решение в области {(х2,х3) е М2 : х0 е (0, а),х! е (а, Л)}, то в фазовом портрете системы (1) существует единственный цикл С, симметричный относительно а. Период этого цикла равен т = 3(^ +

Уравнения системы (8) описывают гиперболы Н1 и Н2 в плоскости координат х2, х0. Обе гиперболы проходят через точку х0 = а, х0 = а. Значит, поиск циклов системы (1) сведен к задаче нахождения остальных точек пересечения этих гипербол. Аналогичные рассуждения использованы в [5,6] для других типов динамических систем.

Первая координата точки пересечения Н1 и Н2 находится из уравнения относительно х02

0

(Л — а)(х0)2 — (Л2 — Ла + а2)х2 + (Л — а)а2 = 0,

которое имеет единственный корень х2 на интер-

а

вале (0, а). При х2 е (0,-т(Л — а)) и (а, ж) из

Л

уравнения (8) следует, что х* > а, и, поскольку х* е (0, А (Л — а)), гиперболы Н1 и Н2 имеют единственную общую точку X* = (х*,х**) е F0. Значит, в инвариантной области W существует единственный цикл С, симметричный относительно а. Его период равен т, а натянутая на С шестигранная поверхность с вершиной в точке (а, а, а) является интегральным многообразием для системы (1). □

Теорема 2. Если Л > а, то у системы (2) не существует цикла, симметричного относительно перестановки а.

Доказательство: Пусть х^ = а (XI + 1),

i = 1,2,3. Следуя схеме доказательства теоремы 1 и изменив диаграмму (6) на диаграмму (7), рассмотрим траекторию точки X0 е F4 блока {110}; здесь X0 > 0, X0 = 0, X0 < 0. После такой замены координат система (2) будет иметь тот же вид, но функции Г преобразуются в функции Г:

ГН =

Bk, IV > 0. —k, V < 0,

в = л — 1•

а

Решая систему (2) в блоке {110}, найдем время t1 перехода этой траектории с грани F4 на грань F3 в точку X1 е F3 с {010}:

X11 = 0,

X21 =

BX10

2 X,0 + 1'

X! =

BX10 + X0 X00 + 1 •

2

0

х

3

1

3

2

х

2

И далее аналогично находим X2 е F2 С {011}:

X3

X2

BX0 + X0 B-X0 ;

Xi = Ai - (Ai - X°)e-

-kt

где \ — Li(w) для любого V е е. Следуя доказательству теоремы 1 (см. также [2], где изучались системы других типов), можно описать переходы вдоль траекторий с грани на грань:

Л : Fi ^ Fi+1, i — 075, F6 = Fo. Все отображения ^ дробно-линейны:

fi(X) =

M,-X

1 + (<Ä ,X)

(9)

переходит в точку (X^, 0, Xi) е Fi с координатами

X i = а i X20

Xi = B2 — X i ,

X2 = 0;

у 2 = В(В + 1)Х° + А2 = В - X0 .

Если найдется такая точка (X0, 0, X?) е F4, которая после сдвига вдоль траектории перейдет в точку (Х°,Х°, 0) е F2, то ее траектория будет циклом, симметричным относительно а. Отсюда получаем: (Х-0)2 + ВХ? - (В - 1)Х| = 0, Х^Хз0 + В2Х0 + X? = 0; пусть ^ := X?, тогда + (В + 2)(В2 - В + + В2 - В + 1 = 0. Корни этого уравнения отрицательны, на грани F4 имеем Х° > 0, поэтому цикла, симметричного относительно а, у системы (2) нет. □

Итак, для симметричной интегрируемой системы (1) явным образом построен цикл, симметричный относительно а. Рассмотрим теперь несимметричный случай системы (1), в котором функции Li различны.

Теорема 3. Если А

> 014, к — к, i — 1,2,3, то в области W все траектории динамической системы (1) асимптотически приближаются к единственному устойчивому предельному циклу.

Доказательство: Пусть ^ — Xi + а^,

i — 1, 2, 3, тогда функции Li(w) преобразуются в Li(w):

Т< \ ^Bik, 0

Li(w) — < ; Bi — Ai - аi.

I -к, V > 0

В каждом блоке е диаграммы (6) решение системы (1) принимает вид

Xi =

—B3X2 + B2 Xi B2 - X0

Полученные преобразования записаны в базисах (е2,е3) и (е 1,е3) граней F0 и Fl соответственно. Здесь е^ i — 1, 2, 3 — стандартные базисные векторы в пространстве К3. Введем на грани F0 базис (-е2,е3) и на грани F1 — базис (е3, -е 1), в которых матрица М1 и вектор принимают вид

Mi

Bi/B2 1 ai/B2 0

Ч> i

1/Bi,0 .

Следовательно, f0 представимо в виде (9). Аналогично рассматриваются и остальные отображения fi сдвигов вдоль траекторий с грани на грань.

Композиция h — f5f4f3f2f1f0 является отображением последования Пуанкаре; оно тоже пред-ставимо в виде (9) как композиция дробно-линейных отображений. Можно проверить, что у матрицы М этого отображения все элементы строго положительны, а определитель равен единице.

Неподвижные точки отображения Пуанкаре являются точками пересечения цикла с гранью F0. В нашем случае нужно показать, что для любой точки XX е F0 выполняется соотношение

lim hn(X) = X*

(10)

где точка X* определена ниже.

Согласно теореме Фробениуса-Перрона наибольшее по модулю собственное значение р матрицы М строго положительно и имеет кратность один, а соответствующий ему собственный вектор V имеет строго положительные координаты. Отметим, что из det(M) — 1 следует, что р > 1.

п— 1

Пусть и =57 MkX, тогда

k=o

hn(X) =

MnX

p-nMnX

1 + (?,й) p-n(1 + (^,M))'

(11)

Здесь Mi — матрицы 2 х 2 с неотрицательными элементами; ^ — векторы с неотрицательными координатами; XX — вектор координат точек грани; (•, •) — скалярное произведение.

Рассмотрим, например, отображение ^ и покажем, что его можно представить в виде (9). Можно проверить, что точка (0,X2,X3) е F0 при ^

Так как все элементы матрицы M строго положительны, то p-lM подобна некоторой стохастической матрице P, т. е. M = pVPV-i. Здесь V = diag{vi,v2}, где vi,v2 — компоненты собственного вектора v. Собственное значение p имеет кратность один, значит, существует матрица M* = lim p-nMn, которая состоит из столбцов

скаляр, i = 1, 2. Пусть

lim p

ßiV, где ßi —

SnX = p

RnX = ^ pn-k Mk x.

k=o

n

Так как lim (SnX — RnX) = 0 для любой точки XX G F0, из вида RnX получаем равенство lim SnX = (р — 1)-1M*X.

Перейдем к пределу в (10), (11):

lim

n

PnX

р-п (р—1)

- (p,SnX)

l*X _ (р — 1)v

(р, M*X)

(p,v)

X *

Это выполняется для любой точки X 6 F0,и потому полученная неподвижная точка X* единственная. Следовательно, и цикл у системы (1) единственный и устойчивый. □

Обратная задача

Пусть у системы (1) L1 = L2 = L3 = L, ^ = ^ = kз = k, и существует единственный цикл С. И пусть известен один из временных параметров цикла, например, период т > 0 или одно из времен t1, t2. Введем обозначения: Т = в-кт/3, Т1 = в-Ы1, Т2 = в-Ы2. Заметим, что 0 < Т < Т1 < 1 и 0 < Т < Т2 < 1. Будем предполагать, что известно А = L(0), но параметр а при этом неизвестен. Можно ли при таких условиях найти значение параметра а 6 (0, А)?

Теорема 4. Пусть у системы (1) существует единственный цикл С в инвариантной области Q, и известны параметры А > 0, Т 6 (0,1). Тогда обратная задача идентификации параметра а 6 (0, А) имеет два решения при Т 6 (0,

и единственное решение при T

3-V5

Доказательство: Достаточно рассмотреть решение этой симметричной системы в блоках {001} и {011} с начальными данными на гранях F0 и F1 и воспользоваться условиями замкнутости и симметричности периодической траектории. Соответствующая система уравнений

а = x3T2, сводится к системе

аТ1, а = A — T1(A — x2); xlT2, x° = A — T2(A — а);

= A — T1(A — x3)

(12)

а = T2(A — T (A — а)), T

а = A — — (A — аТ), T2

(13)

откуда путем исключения Т2 получается

а2(1 - Т3) - Аа(1 - Т3) + А2Т(1 - Т) = 0.

При Т 6 (0, дискриминант этого уравне-

ния неотрицателен, и в таком случае оба корня квадратного уравнения меньше А. □

В дополнение к условиям теоремы 4 предположим, что кроме этих параметров А и Т известен и один из параметров Т1 или Т2. Для такой обратной задачи имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть у динамической системы (1) существует единственный цикл С в области Q, известны параметры Т1,Т 6 (0,1), Т1 > Т и параметр А > 0. Тогда обратная задача идентификации параметра а 6 (0, А) имеет единственное решение в двух случаях:

1) если Т1 является корнем уравнения

х2 + (Т3 - 2Т2 - 1)х + Т = 0 при Т 6 (0, ;

2) если Т является корнем уравнения

Т1х3 - 2Т1х2 + х + Т1(Т1 - 1) = 0.

В других случаях задача решений не имеет.

Доказательство: В условиях теоремы 5 система (12) становится линейной, так как дополнительно известен параметр Т1 , но при этом она оказывается переопределенной. Воспользуемся теоремой Кронекера — Капелли. Вычислим ранг матрицы системы (12) и ранг соответствующей расширенной матрицы. Если определитель расширенной матрицы отличен от нуля, то обратная задача решения не имеет. Если же этот определитель равен нулю, то ранги совпадут, что эквивалентно условию

A(T12 + (Т3 — 2Т2 — 1)Т1 + Т)

T1

0,

которое выполняется в двух случаях:

1) если Т1 является корнем уравнения х2 + (Т3 - 2Т2 - 1)х + Т = 0;

2) если Т является корнем уравнения Т1х3 - 2Т1х2 + х + Т1(Т1 - 1) = 0.

В обоих случаях нужно проверить, удовлетворяют ли корни уравнений тем свойствам, которым должны удовлетворять Т1 и Т. В первом случае корни уравнения х2 + (Т3 - 2Т2 - 1)х+Т = 0 лежат

в интервале (Т, 1) при Т 6 (0, .

Во втором случае корни уравнения Т1 х3 -2Т1х2 + х + Т1(Т1 - 1) = 0 лежат в интервале (0,Т1), если Т1 6 (0,1), и для нахождения параметра а достаточно воспользоваться любой из формул (13). □

Заключение. В теоремах 1-3 рассмотрены вопросы существования циклов в моделях кольцевых генных сетей. Цель теорем 4 и 5 состоит в определении характеристик генной сети «неин-вазивными» методами — по косвенным наблюдениям, например, по периодам циклов и другим временньш параметрам.

Авторы искренне благодарны Н.Б.Аюповой за полезные обсуждения и А.А.Акиньшину за стимулирующие численные эксперименты.

1

x

1

0

x

2

Библиографический список

1. Elowitz M.B., Leibler S. A Synthetic Oscillatory Network of Transcriptional Regulators Nature. 2000. V. 403.

2. Glass L., Pasternack J.S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems // Journal of Mathematical Biology. 1978. V. 6.

3. Hastings S., Tyson J.J., Webster D. Existence of periodic solutions for negative feedbacks cellular control systems // Journal of Differential Equations. 1977. V. 25.

4. Ткиньшин Т.К., Голубятников В.П., Голубятников А.В. О некоторых многомерных моделях функционирования генных сетей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. Я. 16, № 1.

5. Кюпова Н.Б., Голубятников В.П. О двух классах нелинейных динамических систем. Четырехмерный случай // Сибирский математический журнал. 2015. Я. 56, № 2.

6. Голубятников В.П., Калёных Т.Э. О строении фазовых портретов некоторых нелинейных динамических систем // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2015. Я. 15, № 1.

7. Ткиньшин Т.К., Голубятников В.П. Циклы в симметричных динамических системах // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2012. Я. 12, № 2.

8. Gaidov Yu.A., Golubyatnikov V.P., Kleshchev A.G., Lashina E.A., Likhoshvai V.F. Regular and chaotic dynamics in the gene network modeling // Proceedings of 8-th International conference "Human&Computers", Japan, Aizu-Wakamatsu, 2005.

9. Гайдов Ю.Т., Голубятников В.П. О некоторых нелинейных динамических системах, моделирующих несимметричные генные сети //Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2007. Я. 7, № 2.

10. Gaidov Yu.A., Golubyatnikov V.P., Kleshchev A.G., Volokitin E.P. Modeling of asymmetric gene networks functioning with different types of regulation. Biophysics. 2006. V. 51, suppl. 1.

11. Табачников С. Геометрия и биллиарды. Москва ; Ижевск, 2011.