CC BY
23
УДК 517.9 ББК 22.161.6 Т 49
Тлячев В.Б.
Доктор физико-матаматических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-3908, e-mail: [email protected] Ушхо А. Д.
- , -
зики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected] Ушхо Д.С.
Кандидат физико-матаматических наук, доцент, зав. кафедрой информатики и вычислительной техники факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-01, e-mail: [email protected]
Об отсутствии изолированных периодических решений у квадратичной системы, имеющей ось симметрии
(Рецензирована)
Аннотация
Рассмотрен пример квадратичной динамической системы, которая имеет инвариантную прямую и хотя бы один предельный цикл при очень близких к нулю положительных значениях параметра. Построены фазовые портреты системы при различных значениях этого параметра в круге Пуанкаре. В результате обобщения доказаны две теоремы. Одна теорема - об отсутствии предельных циклов у квадратичной системы, имеющей четыре особые точки, другая - также об отсутствии предельных циклов у системы, если векторное поле симметрично относительно хотя бы одной оси симметрии.
Ключевые слова: квадратичная система, особая точка, ось симметрии, фокус, предельный цикл, , .
Tlyachev V.B.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected]
Ushkho A.D.
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Theoretical Physics Department of Engineer-ing-Physics Faculty, Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected]
Ushkho D.S.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Informatics and Computer Equipment Department of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, ph. (8772) 5939-01, e-mail: [email protected]
On absence of the isolated periodic solutions for the quadratic system with axis of symmetry
Abstract
This paper considers an example of a quadratic dynamical system, which has an invariant straight line and at least one limit cycle with very close to zero positive different values of the parameter. The phase portraits of the system under different conditions of this parameter in terms of the Poincare circle are constructed. As a result of a generalization two theorems are proved. One theorem is on the absence of limit cycles in the quadratic system with four singular points and the other is also on the absence of limit cycles in the system, if the vector field is symmetric with respect to at least one axis of symmetry.
Keywords: quadratic differential system, singular point, axis of symmetry, focus, limit cycle, phase portrait, bifurcation diagram, invariant straight line.
Введение
В данной работе рассматриваются плоские автономные дифференциальные полиномиальные системы второго порядка
dx
dt
dy
dt
2
Xaijx'y} -P2(xy)’
i + j=0 2
(1)
XbijxiyJ - Q2(x y)’
i+j=0
где atj,bj e R, (P2,Q2) = 1, которые часто встречаются во многих областях прикладной
математики. Несмотря на то, что вопросам, связанным с такими системами, уделяется большое внимание и имеется весьма обширная библиографияих исследования, до сих пор не достигнуто полное понимание всех свойств данной системы. В качестве обзора по этому поводу см., например, работу [1] и монографию [2]. В частности, все еще открыта для таких систем такая классическая проблема, как 16-я проблема Гильберта [Hilbert, 1900, 1902] о максимальном числе и относительном положении предельных циклов системы (1).
Тема, посвященная изучению вопросов, связанных с существованием, единственностью и отсутствием предельных циклов системы дифференциальных уравнений, является практически неисчерпаемой. Особенно много публикаций появилось по этой теме в 70-х годах прошлого столетия, но интерес к ней по-прежнему остается повышенным. Это объясняется той ролью, которую играют квадратичные системы в приложениях. Так, некоторые вопросы химической кинетики, астрофизики, математической биологии и др. приводят к системе (1) следующего специального вида [3]:
dx
— = x(aw x + aoi y + aoo), dt
~~ = y(b10 x + boi y + boo)-dt
(2)
В работах [3] и [4] приводится доказательство отсутствия предельных циклов системы (2). Однако существуют квадратичные системы, имеющие одну инвариантную прямую и предельный цикл. Рассмотрим следующий пример:
dx
— = ( x + Є) y, dt
dy = 4 — 2 x — (2 + є) y — 2 x2 + 2 xy + 3 y dt
( Рє)
где є - параметр такой, что на прямой х + є = 0 данная система не имеет особых точек.
В ограниченной части фазовой плоскости система (Рє) имеет две особые точки М (1,0) и N (-2,0).
Для установления типа особой точки М (1,0) перенесем начало координат в эту точку:
2
£ = (1+ £) у + ху = Р( х, у), йг
— = -6х -£у - 2х2 + 2ху + 3у2 = Q(х, у). йг
(Р£)
Особая точка (0,0) системы (Р£) при £ = 0 (будем обозначать (Р0)) имеет чисто мнимые корни характеристического уравнения, то есть точка (0,0) - центр или фокус [4]. Так как система (Р£) имеет инвариантную прямую х + £ +1 = 0, то в силу работы [5] данная система не имеет предельных циклов. Для решения проблемы центра-фокуса
вычисляем третью фокусную величину: а3
4п
з46
> 0. Согласно [4] точка (0,0) - слож-
ный неустойчивый однократный фокус.
Применив к системе (РЕ) преобразование Пуанкаре [4] х = 1/ г, у = и / г , получим систему
— — —2 + 2и — 6z + 2и — £uz — (£ + 1)и z, йг
dz , 1Ч 2
— = -т - (£ + 1и . йг
( Р£)
Система (Р£) имеет два простых седла А
V
1+ V5 А
и =-----------, z = 0
2
и
В
и = -
-1 -л/5
2
z = 0
В то же время преобразование Пуанкаре, взятое в виде х = 1/ z, у = и / z , приводит систему (Р£) к виду
йи „
— = -2и + Рз(и, z), йг
йz
= ^ + Qз(u, z),
„ йг
( Р£ )
где Р3(и, z) и Q3(u, z) - многочлены третьей степени, не содержащие линейных и свободных членов.
У системы (Р£) особая точка (0,0) является простым устойчивым узлом.
Таким образом, система (Р£) при £ = 0 имеет на бесконечности устойчивый узел
0(и = z = 0) и простые седла А
V
-1 + л/5 п
и =-------------, z = 0
2
и В
-1 -л/5
2
, z = 0
. Фазовый
портрет системы (Р£) при £ = 0 в круге Пуанкаре изображен на рисунке 1.
При переходе от системы (Р0) к (Р£), где £ - сколь угодно малое положительное число, как следует из вида правых частей уравнений системы (Р£), точка (0,0) превращается в простой устойчивый фокус. Следовательно, согласно теории бифуркаций [4], устойчивый фокус в точке М (1,0) системы (Р£) окружает хотя бы один неустойчивый предельный цикл.
и
Можно показать, что точка N(-2,0) является простым устойчивым фокусом для всех £ € [0,£0). Здесь £0 - достаточно малое положительное число.
Заметим, что особая точка N(-2,0) системы (Р£) перешла в особую точку N (-3,0) системы (Р£).
Рис. 1. Фазовый портрет системы (Р£) при £ = 0 в круге Пуанкаре
Покажем, что при переходе к достаточно малым положительным значениям параметра £ особую точку N(-3,0) не окружают предельные циклы системы (Р£). Для этого воспользуемся результатами работы [6], рассмотрев функцию
Так как особая точка N (-3,0) системы (Р£) расположена левее инвариантной прямой х = -£-1 и при х <-£-1 Л( х, у) > 0, то согласно работе [6] особую точку N (-3,0) не окружают замкнутые траектории.
На рисунке 2 изображен фазовый портрет системы (Р£) при очень близких к нулю положительных значениях параметра £ .
Б
Л(х у) = &(хУ) + &(х~У) = 4(х-£/2)
Р( х, у) Р( х,-у) х + £ + 1
Б
А
Рис. 2. Фазовый портрет системы (Р£) при малых положительных значениях параметра £
Таким образом, существуют значения параметра £, при которых система (Р£)
имеет инвариантную прямую х + £ = 0 и хотя бы один предельный цикл.
В связи с этим примером естественно возникает вопрос о достаточных условиях отсутствия предельных циклов у квадратичной системы, имеющей одну инвариантную прямую.
Основной результат
В работах [7, 8] построена теория осей симметрии S - и N -типов полиномиальных векторных полей, которая позволяет провести доказательство отсутствия предельных циклов у квадратичной системы, имеющей ось симметрии. Заметим при этом, что ось симметрии S -типа является инвариантной прямой системы [7].
Напомним некоторые результаты, касающиеся вопросов существования, единственности и отсутствия предельных циклов системы (1). На наш взгляд, они являются важными для теории дифференциальных систем вида (1) и последующих в данной работе рассуждений.
В работе [9] приводится доказательство, принадлежащее китайскому математику Цинь Юань-сюнь, следующей теоремы: если дифференциальное уравнение траекторий системы (1) имеет в качестве предельного цикла алгебраическую кривую второго порядка, то других предельных циклов это уравнение не имеет. Авторы работы [10] установили достаточные признаки отсутствия и единственности предельных циклов дифференциального уравнения
ёи = - х + ах2 + (Ъх + с)и + ёи2 (3)
ёх (х + 1)ы
В работе [11] доказано, что дифференциальное уравнение
2
(Ъ10х + у)ёу = X ацх1у3ёх не может иметь более одного предельного цикла, и если есть
г + ]=1
предельный цикл, то он грубый. Достаточные условия единственности и отсутствия
ёу = - х + ах2 + Ъху + су2 + ау ёх у + у2
дены в статье [12]. Согласно результатам заметки [13] дифференциальное уравнение (3) имеет не более одного предельного цикла. В работе [14] найдены достаточные условия отсутствия предельных циклов, а также существования вокруг фокуса системы дифференциальных уравнений
ёх 2
— = -ту + у , ёг
ёу , 2 , 2
— = ах + Ъу + сх + аху + еу
ёг
хотя бы одного предельного цикла и петли сепаратрисы седла.
Докажем, что система (1) не имеет предельных циклов, если она обладает осью симметрии S -типа или N -типа.
Напомним некоторые сведения об осях симметрии S -типа [7].
Определение. Пусть преобразование х = х + ку, у = -кх + у переводит систему дифференциальных уравнений
л л сгу а, I et л т ил, у \ и у i клу w
предельных циклов дифференциального уравнения — =----------------------^--------- наи-
где ац, Ъц є Я, (Рп, йп) = 1, п > 2, в систему
(5)
Прямую у = кх называют осью симметрии S -типа поля направлений системы (4),
если Рп(х,-у) = Рп(х,у), йп(х,у) = уйп_х(х,у), Оп_і(х,-у) = йп_1_(х,у), где Qi(х,у) -
многочлен степени 1(1 = п, п - 1) , Рп (х, у) - многочлен степени п .
Система (4) может иметь не более п +1 осей симметрии S -типа, а при п = 2т, те N эта система не может иметь четного числа осей симметрии. Следовательно, система (1) может иметь либо одну, либо три оси симметрии S -типа.
Справедливо также утверждение [7] о том, что если система (4) имеет п2 особых точек в ограниченной части фазовой плоскости и п +1 осей симметрии S-типа при отсутствии осей симметрии N -типа (по терминологии [8]), то все особые точки расположены на осях симметрии, причем начало координат является особой точкой этой системы.
Из данного утверждения и того факта, что любая ось симметрии S -типа системы (4) является ее инвариантной прямой [7], следует, что система (1), имеющая три оси симметрии S -типа, ациклична при наличии у нее четырех особых точек. Система (1), имеющая ось симметрии S -типа и одну особую точку, также является ацикличной, так как ее единственная особая точка расположена на оси симметрии S -типа.
Поэтому мы рассмотрим систему (1), имеющую одну ось симметрии S -типа и не менее двух особых точек.
Согласно [7] ось абсцисс является осью симметрии S -типа системы (1) тогда и только тогда, когда она имеет вид:
Так как систему (1), имеющую одну ось симметрии S -типа у = кх, можно привести к виду (6) совмещением прямой у = кх с осью абсцисс, то, не уменьшая общности, будем рассматривать вопрос о предельных циклах системы (6).
Теорема 1. Если система (6) имеет четыре особые точки, то у нее отсутствуют предельные циклы.
Доказательство. Система (6) имеет четыре особые точки в двух случаях:
<1х 2 2
, = а00 + а10 х + а20 х + а02 у , аг
(6)
а10 - 4а00а20 > 0, - — є (-<*>, х) и (х2,+<^), а20а02 < 0,
(8)
'10
где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена а00 + а10х + а20х , причем х1 < х2.
Пусть выполняется (8). Воспользуемся критерием Дюлака [4], взяв в качестве функции Дюлака Э( х, у) = 1/ у:
а02 У +
а00 аю х а20 х
У
2
0^0 2а20 х
У
(9)
Из (9) следует, что любая замкнутая траектория системы (6), если она существует,
непременно пересекает прямую х = -
йх
йг
а10
2а
. Найдем
20
- (аю - 4а00а20) + а у 2 а02у *
2а21
4а
(10)
20
х = —
В силу условий (8) выражение (10) знакопостоянно, следовательно, прямую а'10 не может пересекать замкнутая траектория системы (6). Тем самым доказано
2а.
20
отсутствие не только предельных циклов, но и любых замкнутых контуров, образованных траекториями системы (6) при выполнении (8). Впрочем, отсюда также следует, что система (6) в рассматриваемом случае не имеет особых точек типа «центр».
Пусть далее выполняется условия (7). Так как ось симметрии Б -типа - у = 0 является инвариантной прямой системы (6), то, очевидно, предельные циклы системы (6), если они имеются, расположены в полуплоскостях у > 0 и у < 0 .
Для краткости введем обозначения: а = —00, в
'10
а20 (а - х )(а - х2)
. В этих
02
обозначениях особыми точками типа «фокус» могут быть точки М(а,в), N(а,-в). Так как точки М и N симметричны относительно прямой у = 0 , то нет необходимости в доказательстве отсутствия предельных циклов в отдельности вокруг каждой из этих точек. Поэтому докажем отсутствие предельных циклов, окружающих точку М .
В результате переноса начала координат в точку М система (6) примет вид:
йх
— = (а10 + 2а20а) х + 2а02ву + а20 х2 + а02 у2 = Г (х, у), йг
= г10 х(в+ у) = С( х, у).
„ йг
Здесь мы оставили обозначения фазовых переменных х и у неизменными. Рассмотрим функцию
(11)
х Ф 0.
(12)
0(х, у) 0(-х, у) гт(в + У)
Так как прямую у + в = 0 не пересекают замкнутые траектории системы (12), то выражение (12) знакопостоянно при у + в Ф 0 и а10 + 2а20а Ф 0 . Поэтому согласно работе [4] не существует замкнутых траекторий, окружающих особую точку М . Если
х
а
х=
а10 + 2а20а = 0, то М и N - центры, разумеется, при условии 2а02г10в2 < 0. Теорема доказана.
Как известно [15], особую точку типа «узел» квадратичной системы (1) не окружают замкнутые траектории. Поэтому в случае трех особых точек системы (6) мы будем рассматривать только те условия, при которых эта система имеет два простых фокуса, расположенных по одному в полуплоскостях у > 0 и у < 0.
Прямыми вычислениями можно убедиться в том, что система (6) имеет:
а) простое седло А(а,0) и простые фокусы Б(@,у) и С (в,-у), если выполняется одна из серий условий:
а20 = 0 , Г00а10 — а00Г10 < 0 , а10Г10 > 0 , а10а02 < 0, (13)
а20 = 0 , Г00а10 — а00Г10 < 0 , а10Г10 < 0, а10а02 > 0 , (14)
и кроме этого, а120 + 8(а10г00 — а00г10) < 0;
б) седлоузел К(¿,0) и два простых фокуса W(в,П) и Н (в,—П), если выполняются условия а120 — 4а00а20 = 0, а20а02 < 0, и кроме этого, п > 0, ш2 — 4п < 0.
Здесь
а = —а°°, в = ——, у.
а10 Г1
10
а02Г10
(а10Г10 2а20Г00)
------- I / I Г --------------------------------
4а20Г10а02
ш = Г10а10 2а20Г00 п = (а10Г10 2а20Г00) £ = а10
Г10 2а20Г10 2а20
Если выполняется одна из серий условий (13) и (14), то
У у
_ а10
(15)
Ух У
(см. также (9)).
Так как а10 Ф 0, то правая часть (15) знакопостоянна в полуплоскостях у > 0 и у < 0 . Это означает, что особые точки В и С не окружают не только предельные циклы, но и любые замкнутые контуры, образованные траекториями системы (6).
В случае б), когда (6) имеет седлоузел К и два простых фокуса W и Н, применяется критерий Дюлака [4]. Тогда из равенства (9) следует, что предельные циклы, если они существуют, пересекают прямую х = д. Но в силу равенства а120 - 4а00а20 = 0 и
неравенства а20а02 < 0 правая часть равенства (10) есть выражение а02 у2, которое знакопостоянно при у = 0 . Тем самым доказано отсутствие у системы (6), имеющей три особые точки, предельных циклов.
Если система (6) имеет в ограниченной части фазовой плоскости только две особые точки, то они могут быть фокусами лишь при выполнении условий а120 - 4а00а20 < 0, а20а02 < 0. В этом случае рассмотрим функцию
Д(х, у) = 2(аШ + 2а2в) (16)
Г10(П + у)
после переноса начала координат системы (6) в точку W (в,П).
Прямую у + п = 0 не могут пересекать замкнутые траектории системы, поэтому, если числитель дроби (16) отличен от нуля, то согласно [6] особые точки W и Н не окружают предельные циклы. Если а10 + 2а20в = 0, то W и Н - центры.
Тем самым доказано, что система (6) не имеет предельных циклов, а следовательно и квадратичная дифференциальная система (1) не имеет изолированных периодических решений, то есть предельных циклов при наличии у нее оси симметрии Б -типа.
Если система (1) имеет одну ось симметрии N -типа, то ее можно привести к виду [8]:
Шх
-Т = У(Г00 + Г10
ш (17)
^ = Ь00 + Ь10Х + Ь20х 2 + Ь02 У2.
Любая особая точка системы (17) расположена на инвариантной прямой (:: г00 + г10х = 0 или на оси симметрии N -типа у = 0 . Следовательно, система (17) не имеет изолированных периодических решений, то есть предельных циклов.
Тем самым доказана
Теорема 2. Квадратичная дифференциальная система (1) не имеет предельных циклов, если ее векторное поле симметрично относительно хотя бы одной оси симметрии (безразлично N - или Б -типа).
Примечания:
1. Artes J., Llibre J. The geometry of quadratic polynomial differential systems with a weak focus and an invariant straight line // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. No. 11. P. 3627-3662.
2. Dumortier F., Llibre J., Artes J. Qualitative Theory of Planar Differential Systems, (Uni-versitex) Berlin: Springer, 2006. P. 303.
3. . . -
циальные уравнения с алгебраическими интегралами. Методическое пособие. Часть / . . . : Изд-во Нижегородского университета,
2005. 37 с.
4. Баутин Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонто-вич. М.: Наука, 1976. 496 с.
5. . .
циклов одного уравнения, имеющего не// -
нения, 1970. Т. 6. № 5. С. 779-783.
6. . . -
ствования и отсутствия замкнутых траек-
торий одной системы дифференциальных // -
References:
1. Artes J., Llibre J. The geometry of quadratic polynomial differential systems with a weak focus and an invariant straight line // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. No. 11. P. 3627-3662.
2. Dumortier F., Llibre J., Artes J. Qualitative Theory of Planar Differential Systems, (Uni-versitex) Berlin: Springer, 2006. P. 303.
3. Druzhkova T.A. The algebraic differential equations with algebraic integrals. A manual. Part one / T.A. Druzhkova. Nizhny Novgorod: Publishing house of the Nizhny Novgorod university, 2005. 37 pp.
4. Bautin N.N. Methods and techniques of high-quality research of dynamic systems on plane / N.N. Bautin, E.A. Leontovich / M.: Nauka, 1976. 496 pp.
5. Cherkas L.A. On the lack of limit cycles of one equation having non-rough focus // Differential equations, 1970. Vol. 6. No. 5. P. 779-783.
6. Avdonin N.I. Some signs of existence and absence of the closed trajectories of one system of differential equations // Differential equations, 1968. Vol. 4. No. 4. P. 639-645.
7. Ушхо АД. Исследование полиномиальных
дифференциальных систем на плоскости, имеющих оси симметрии 5 -типа // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-
математические и технические науки. 2010. Вып. 3 (67). С. 15-26. ШЬ:
http://vestnik.adygnet.ru
8. Тлячев В.Б. Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоско/ . . , . . , . . //
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2010. С. 41-49.
9. . . -
циальные уравнения с алгебраическими интегралами. Учебное пособие. Часть вто/ . . . : Изд-во Нижегородского госуниверситета,
2009. 30 с.
10. . . -
ствия и единственности предельных цик/ . . , . . // -
, 1970. . 6.
№ 7. С. 1171-1178.
11. . . -
дельных циклов уравнения
2
(Ь10х + у)йу = X а{.х'у]йх // Дифферен-
;+;=1
циальные уравнения, 1970. Т. 6. № 12. С. 2193-2199.
12. Жилевич ЛИ. К вопросу о сепаратрисах и предельных циклах одного дифференци-
//
уравнения, 1971. Т. 7. № 8. С. 1525-1527.
13. . .
и( х + 1)йи = (-х + ах2 + Ьхи + си + йи 2)йх // , 1972.
Т. 8. № 12. С. 2257-2259.
14. . . -
ратрисах одной квадратичной системы / . . , . . // -альные уравнения, 1995. Т. 31. № 6. С. 1096-1097.
15. . .
системах второго порядка / В.В. Амелькин, НА. Лукашевич, АЛ. Садовский. Минск: Изд-во БГУ, 1982. 208 с.
7. Ushkho A.D. Plane polynomial differential systems with the S -type symmetry axis // The Bulletin of the Adyghe State University. Series Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2010. Iss. 3 (67). P. 15-26. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Tlyachev V.B. Axes of symmetry of polynomial differential systems on plane / V.B. Tly-achev, A.D. Ushkho, D.S. Ushkho // News of the Saratov university. New series. Series «Mathematics. Mechanics. Informatics».
2010. P. 41-49.
9. Druzhkova T.A. The algebraic differential equations with algebraic integrals. A manual. Part two / T.A. Druzhkova. Nizhny Novgorod: Publishing house of the Nizhny Novgorod university, 2009. 30 pp.
10. Cherkas L.A. Some signs of absence and uniqueness of limit cycles / L.A. Cherkas, L.I. Zhilevich // Differential equations, 1970. Vol. 6. № 7. P. 1171-1178.
11. Rychkov I.G. Complete research of limit
cycles of the equation
2
(b10x + y)dy = X a^x y1dx // Differential
i+1=1
equations, 1970. Vol. 6. No. 12. P. 21932199.
12. Zhilevich L.I. On the problem of separa-trixes and limit cycles of one differential equation // Differential equations, 1971. Vol. 7. No. 8. P. 1525-1527.
13. Rychkov I.G. On limit cycles of the equation u( x + 1)du = (-x + ax2 + bxu + cu + du 2)dx
// Differential equations, 1972. Vol. 8. No. 12. P. 2257-2259.
14. Teshev R.M. On limit cycles and separa-trixes of one square-law system / R.M. Teshev, D.S. Ushkho // Differential equations, 1995. Vol. 31. No. 6. P. 1096-1097.
15. Amelkin V.V. Nonlinear vibrations in the systems of the second order / V.V. Amelkin, N.A. Lukashevich, A.P. Sadovskiy. Minsk: BGU publishing house, 1982. 208 pp.
