Комбинаторная структура моделей кольцевых генных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

КОМБИНАТОРНАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ КОЛЬЦЕВЫХ ГЕННЫХ СЕТЕЙ

Н, Е, Кириллова1

1 Институт, математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, Новосибирск

УДК 514.745.82

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10037

Разработан алгоритм построения инвариантных областей в фазовых портретах нелинейных динамических систем, моделирующих функционирование кольцевых генных сетей. Актуальность этих построений связана с тем, что поиск периодических траекторий таких динамических систем можно сузить до рассмотрения указанных инвариантных областей.

Ключевые слова: кольцевые генные сети, существование циклов, стационарная точка, инвариантная область, фазовое пространство.

Введение

В недавних публикациях [1,4,6,8] рассматривались вопросы существования периодических траекторий нелинейных динамических систем, моделирующих функционирование широкого класса генных сетей. Принципы построения таких математических моделей описаны в [9]. В настоящей работе проведена дискретизация фазовых портретов указанных динамических систем, с помощью которой удается исследовать периодические траектории этих систем. Наличие таких осциллирующих режимов функционирования генных сетей является важной характеристикой происходящих в них биохимических процессов.

1 Модель

Мы рассматриваем модель генной сети в виде динамической системы размерности п:

^- = Ь(Щ-1) - Ьщ, г = 1,п. (1)

Здесь функции /¿(ж^-1) — гладкие функции положительного аргумента, которые либо строго монотонно убывают (и моделируют отрицательные обратные связи), либо строго монотонно возрастают (и моделируют

тах Мх{-1)

положительные обратные связи). Пусть А^ =---.

Рассмотрим случай, когда количество убывающих функций в правых частях уравнений системы (1) нечётно. В дальнейшем будем обозначать через Ь^ убывающие функции /¿, а монотонно возрастающие функции ^ — терез Гг. Построим в положительном октанте М++ параллелепипед Qn следующим образом:

г=п

Qn :=П[0,^].

г=1

Следующие две леммы для ряда систем вида (1) были установлены в [1,6]. Лемма 1. Оп является инвариантной областью системы (1). Лемма 2. Система (1) имеет единственную стационарную точку Бо-

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-01-00057).

ISBN 978-5-901548-42-4

Для описания поведения траекторий системы (1) разобьем инвариантный параллелепипед Qn гиперплоскостями, проходящими через точку йо, на 2" более мелких параллелепипедов, которые мы будем называть блоками и нумеровать бинарными мультииндексами:

где X = (ж1,..., хп), £!,...,£„ € {0,1}, и отношения порядка задаются следующим образом: символ ^о означает <, а символ означает >.

Мы говорим, что валентность блока £ = {е1; ..., £„} равна I, если число его соседних блоков в которые переходят траектории точек £, равн о I

Построим диаграмму переходов траектории системы (1) по блокам валентности 1.

Для начала нужно построить блок валентности 1. Это означает, что из него переход будет осуществляться только в один соседний блок, при таком переходе в наборе его бинарных индексов изменится всего один индекс.

1 шаг. Пусть первый индекс начального блока равен нулю, то есть набор его индексов выглядит следующим образом: £1 = {0 £2 .. .£«,}• Чтобы соблюсти условие одновалентности, построим начальный блок так, чтобы изменилась, например, только первая пара индексов {0 £2}, а остальные индексы остались неизменными. Для этого и для всех последующих рассуждений воспользуемся леммой:

Лемма 3 (Казанцев [7]). Возможные переходы, из блока в блок для систем, описываемых схемой (1),

{00} {01}

а пара {11} переходит в {10},- для возрастающих функции наоборот — {01} ^ {00}, {10} ^ {11}

2 шаг. Далее возможны две ситуации:

а) если второе уравнение системы (1) содержит убывающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов поменялась, нужно, чтобы £2 = 0;

б) если второе уравнение системы (1) содержит возрастающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов поменялась, нужно, чтобы £2 = 1.

3 шаг. Чтобы блок оставался одновалентным, то есть чтобы из него больше не было никаких переходов, нужно заполнить оставшиеся индексы таким образом, чтобы ни один из них при переходе в следующий блок не изменился.

Если на втором шаге срабатывает условие а) и мы получаем, что индекс £2 равен 0, тогда:

а) если третье уравнение системы (1) содержит убывающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов не менялась, нужно, чтобы £3 = 1;

б) если третье уравнение системы (1) содержит возрастающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов не менялась, нужно, чтобы £3 = 0.

В случае, если при выполнении второго шага выполнился пункт б) и £2 = 1, то:

а) если третье уравнение системы (1) содержит убывающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов не менялась, нужно, чтобы £3 = 0;

б) если третье уравнение системы (1) содержит возрастающую функцию, то для того, чтобы первая пара индексов не менялась, нужно, чтобы £3 = 1.

Итак, рассмотрим все возможные варианты построения блоков для первых четырех шагов алгоритма.

1 шаг. Задаем £1 = {0 £2 ...}.

2 шаг. {0 £2 ...}, меняем индекс в первой паре:

4 шаг. {0 01 £4 ...}, те меняем индекс в третьей паре: {00 0 £4 ...}, не меняем индекс в третьей паре:

£ = {£1 .. . £п} = {X € | Ж1 ж?; Ж2 ...; хп х°п } ,

(2)

2 Алгоритм построения блоков диаграммы

{/1 ¿2 ¿3 ¿4 ...}^{0010 £5 ...}; {/1 ¿2 ¿3 Г 4 ...}^{0011 £5 ...};

{/1 ¿2 Г3 ^4 ...} ^ {0001 £5 ...}; {/1 ¿2 Г3 Г 4 ...}^{0000 £5 ...};

Комбинаторная структура моделей кольцевых генных сетей

231

{/1 Г2 Ь3 Г 4 ...}^{0110 £5 ...}; {/1 Г2 Гз Г 4 ...}^{0111 £5 ...}.

Дальнейшие шаги выполняем аналогично предыдущим до тех пор, пока не будет найден последний блок, из которого возможен переход только в блок Е1, и система не замкнется.

3 Пример построения диаграмм для систем вида (1)

В работе [6] рассматривалась десятимерная модель кольцевой генной сети, у которой правые части уравнений задаются функциями: = Ь2^-1, = Г2j= 1,10.

С помощью описанного выше алгоритма строится диаграмма

{1100110011} -> {0100110011} -> {0000110011} -> {0010110011}

{1100110010}

{1100110000}

{1100110100}

{1100111100}

{1100101100}

{1100001100}

{0011110011}

{0011010011}

{0011000011}

{0011001011}

{0011001111}

{0011001101}

{1101001100} ^

{1111001100} ^

{1011001100} ^

- {0011001100}

переходов траекторий этой системы по блокам валентности 1. Пользуясь леммой 3, заметим, что переход из блока <?1 = {1100110011} можно осуществить только один, по первой паре индексов: пара мультпиндексов {11} {01}

что траектории точек блока £1 переходит в блок £2 = {0100110011}, из которого, согласно лемме 3, можно совершить только один переход, по второй паре индексов: {10} переходит в {00}, соответственно, третий блок £3 будет состоять го следующего набора мультииндексов: {0000110011}. И так далее, продолжая аналогичные рассуждения, мы замыкаем цепочку блоков последним блоком {1100110010}, откуда траектории переходят в блок £1.

В работе [6] подобные построения были проведены и для восемнадцатимерной системы вида (1), для которой с помощью дискретизации (2) фазового портрета была установлена неединственность цикла. Аналогичная диаграмма для несимметричной динамической системы

<1x1 , / \ <1x2 , Лхз

——= -К1Х1 + л(жд); —— = ^2x1 - К2Х2; —— = ^3x2 - К3Х3; аъ аъ аъ

¿Х4 ¿Х5 ¿х6

—— = ^4X3 - к4Х4; —— = -К5Х5 + ]5(Х4); —тт = М6X5 - к6х6; оЛ, оЛ, <ж

<1x7 йхд

—— = р7X6 - к7х7; —— = -к8х8 + /в(жг); —— = ^дх8 - кдхд; оЛ, оЛ, <ж

была построена в [4]. Во всех случаях построение диаграмм из блоков валентности один проводилось с помощью описанного выше алгоритма. Подобные динамические системы рассмотрены и в [2,3].

Замечание. При переходе траекторий согласно стрелкам построенных диаграмм валентности блоков не увеличиваются, и поэтому для каждой системы вида (1) объединение блоков валентности один является инвариантной областью этой системы.

Заключение

Разработанный алгоритм построения диаграмм переходов траекторий систем по блокам валентности один применялся и при описании комбинаторных структур фазовых портретов более сложных динамических систем, см. [5].

Список литературы

[1] Акинынин A.A., Голубятников В.П. Геометрические характеристики циклов в некоторых симметричп-ных динамических системах // Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2012. Т. 12, № 12, С. 3-12.

[2] Аюпова Н.Б., Голубятников В.П., Казанцев М.В. О существовании цикла в одной несимметричной модели молекулярного репрессилятора // Сибирский журнал вычислительной математики. 2017. Т. 20, № 2, С. 121-129.

[3] Banks Н.Т., Mahaffy J.M. Stability of cyclic gene models for systems involving repression //J. theor. Biol. 1978. V 74, P. 323-334.

[4] Bukharina T.A., Golubyatnikov V.P., Kirillova N.E., et al. Mathematical and numerical models of two asymmetric gene networks // SEMR. 2018. V. 15, P. 1271-1283.

[5] Голубятников В.П., Иванов B.B. Циклы в нечетномерных моделях кольцевых генных сетей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2018. Т. 21, № 4, С. 28-38.

[6] Голубятников В.П., Кириллова Н.Е. О циклах в моделях функционирования кольцевых генных сетей // Сиб. Жур. Чистой и Прикл. Математики. 2018. Т. 18, № 1, С. 54-63.

[7] Казанцев М.В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем // Сибирский журнал индустриальной математики. 2015. Т. 18, № 4, С. 42-49.

[8] Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В. А. Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых генных сетях // Известия РАН, серия математическая. 2016. Т. 80, № 3. С. 67 - 94.

[9] Murray J.D. Mathematical biology: I. An introduction, third edition. Springer, 2007.

Кириллова Наталья Евгеньевна — аспирантка Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН;

e-mail: kneQmath.nsc.ru.

Дата поступления — 30 апреля 2019 г.