CC BY
23И.А.Карпенко, В.М.Попов
ПОГРУЖЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ RM В ЕГО ПОЗИТИВНЫЙ ФРАГМЕНТ*
Abstract. A translation from the calculus RM [1] to the positive fragment of RM is constructed.
Исчисление RM [1] погружается в его позитивный фрагмент, т.е. во множество всех таких доказуемых в RM формул, ни в одну из которых не входит негация —. Далее позитивный фрагмент исчисления RM обозначается посредством RM+.
Языки LAV3_f и LAV3_ являются стандартно определяемыми пропозициональными языками с алфавитами <P,A,v,3,_,f,),(> и <P,a,v,3,_,),(> соответственно. Здесь P есть множество {рьр2,р3,...} всех пропозициональных переменных языка каждого из этих языков, a,v,3 есть двухместные логические связки каждого из этих языков, — есть одноместная логическая связка каждого из этих языков, f есть нольместная логическая связка языка LAV3_f, а ) и ( есть технические символы (скобки) каждого из этих языков. Формулы языка L (Le {LAV3_f, LAV3_}), называемые L-фор-мулами, строятся обычным образом.
Исчисление RMf есть исчисление гильбертовского типа над LAV3_f, а исчисление RM есть исчисление гильбертовского типа над LAV3_. Для всяких Ц^з_^формул А, В и С аксиомами исчисления RMf являются L^^f-формулы: A1. (АзА), А2. (Аз((АзВ)зВ)), А3. ((АзВ)з((ВзС)з(АзС))), А4. ((Аз(АзВ))з(АзВ), А5. ((аав)за), А6. ((аав)зВ),
А7. (((азв)а(азС))з(аз(ваС))), А8. (Аз^В)), А9. (Вз^В)),
Работа выполнена при поддержке грантов РГНФ № 02-03-18196 и № 01-0300403.
А10. (((a^>c)a(b=>c))=>((avb)=>c)),
А11. ((aa(bvc))^((aab)v(aac))),
А12. (ad(ada)),
А13. ((ad(-b))d(bd(-a))),
А14. ((-(-a))da),
А15. ((_A)=>(A=>f)),
А16. ((A=>f)=<_A)).
Ничто другое аксиомой исчисления RMf не является. Аксиомами исчисления RM являются в точности те Цл^_-формулы, каждая из которых есть аксиома исчисления RMf. Правилами исчисления RMf являются только модус поненс для Цл^_^формул и адьюнкция для Цл^_^формул, т.е. соответственно только правила а,(а^р)/р и а,р/(алр), где а и р есть переменные по LAV3_f-формулам, а правилами исчисления RM являются только модус поненс для Цл^_-формул и адьюнкция для Цл^_-формул, т.е. соответственно только правила а,(а^р)/р и а,р/(алр), где а и р есть переменные по Цл^_-формулам.
Доказательства в исчислениях RMf и RM строятся обычным для исчислений гильбертовского типа способом. Условимся, как это принято, о том, что (а) доказательством в RMf (соответственно в RM) Цл^_^формулы А (соответственно Цл^_-формулы А) является доказательство в RMf (соответственно в RM), последняя Цл^_гформула (соответственно Цл^_-формула) которого есть А, (b) запись "RMf рА" (соответственно "RM рА") используется в качестве сокращения для записи "существует доказательство в RMf L Av^_f-формулы А", (соответственно "существует доказательство в RM Цл^_-формулы А"), (с) синонимом "доказательство в RMf" является "RMf-доказательство", а синонимом "доказательство в RM" является "RM-доказательство".
Определение отображения Сд множества F всех Цл^_^формул
в F:
ад = f,
Сд(рО = р;+1 (где i принадлежит множеству N всех натуральных чисел),
Сд((А^В)) = Сд(А)^Сд(В) (где А и В есть Цл^_гформулы, а • g|avd}),
Сд((_А)) = (_Сд(А)) (где А есть Цл^_гформула).
Определение отображения Sp1/f множества F в F:
Spiff) = f, Spi/f(pi) = f,
Spl/f(p1) = Р! (где 1еК, и 1^1),
8р1/1<(А^В)) = (Spl/f(A)•Spl/f(B) (где А и В есть Ьлуз—-формулы, а •е(л^)),
Spl/f((—A)) = (-^1/^)) (где А есть Цл^—^формула). Определение отображения Sf/p1 множества Б в Б:
Sf/pl(f) = Рl, Sf/pl(Рl) = Рl (где 1еК),
Sf/pl((A•B)) = (Sf/pl(A)•Sf/pl(B)) (где А и В есть Цл^—^формулы, а • е^з}),
Sf/pl((-A)) = (—Sf/pl(A)) (где А есть Цл^—гформула). Определение отображения Sp1/— множества Б' в Б': Spl/—(Рl) = Рl (где 1еК),
8ц/—((А*В)) = (Spl/—(А^у—(В)) (где А и В есть Цлуз—--формулы, а *е{лv}),
Spl/—((АЗР1)) = (—Spl/—(А)) (где А есть Цл^—-формула), Spl/—((АзВ)) = ^1/—(А)^^/—(В)) (где А и В есть Цл^—-формулы, а В не есть Р1),
Spl/—((—А)) = (—Spl/—(А)) (где А есть Ц^з—-формула).
Определение отображения S—/Р1 множества Б' всех -фор-
мул в Б':
S—/р 1 (Р1)=((Р1^Р 1 )зр 1) (где 1еК),
S-фl((А•B)) = ((^—^(А)^—^(В))^)^) (где А и В есть Цлю—-формулы, а • е{лvз}),
S—/Р1((—А)) = ((^—^(А)^)^)^) (где А есть Ц^з—-фор-мула).
Лемма 1: пусть Аь...,Ап, где пеК, есть ^формулы и упорядоченная п-ка <Аь...,Ап> есть RMf-доказательство. Тогда S—/pl(Sf/pl(Сд(Аl)))еRM+.
Лемма 1 доказана возвратной индукцией по п. Следствие леммы 1: для всякой Цлю—^формулы А верно, что если RMf |-А, то S—/pl(Sf/pl(Сд(А)))еRM+. Лемма 2: пусть А есть Цлю—f-формула. Тогда
a) RMf | (Сд(А)^1/^—/Р1^1(Сд(А))))) и
b) RMf | ^1/^—/Р1^1(Сд(А))))з(Сд(А)).
Лемма 2 доказана индукцией по построению Цлю—гформулы А. Следствие леммы 2: пусть А есть ^формула. Если
RMf ^Р^—Р^^едА)))), то RMf | Сд(А).
Нижеследующие леммы 3 и 4 явялются следствиями того, что множество всех ЬЛУз-,^формул, доказуемых в КМ^ замкнуто относительно подстановки Ь^^^формулы вместо пропозициональной переменной в Ь^^^формулу.
Лемма 3: для всякой ЬЛуз—-формулы А верно, что если КМ{-р А, то КМ^ 8р1/^А).
Лемма4: для всякой LЛVз—^формулы А верно, что если Сд(А), то А.
Лемма 5: для всякой Ь^^^формулы А верно, что если 8-/р1^/р1(Сд(А)))еКМ+, то RMf [■ А. Доказательство:
Пусть (1) А есть Ьл^—-формула и (2) 8-/р1(8ер1(Сд(А))) принадлежит позитивному фрагменту исчисчления КМ. Из (2) по определению позитивного фрагмента исчисления КМ получаем, что
(3) КМ Р 8 -/р1^/р1(Сд(А))). Из (3) по определению RMf получаем, что (4) КМ^ 8-/р1(8^р1(Сд(А))). Используя (4) и лемму 3, получаем (5) КМ^ 8р1л{8—/р1(8рр1(Сд(А)))). Из (1), (5) и следствия леммы 2 вытекает (6) КМ^ Сд(А). Из (1) и (6) по лемме 4 получаем, что р А.
Лемма 5 доказана. Лемма 6: для всякой Ь^^^формулы А верно, что р А т.т.т. 8-/р^/р1(Сд(А)))еКМ+.
Лемма 6 вытекает из леммы 5 и следствия леммы 1. Определение р1-регулярной LЛVз—-формулы: LЛVз—-формула А называется р1-регулярной LЛVз—-формулой, если А не есть р1 и не существует такой LЛVз—-формулы В, что хотя бы одна из Lлvз—-формул (р^Б), (р1ЛВ), (ВЛр1), (plvB), (Bvpl), (-рО есть LЛVз—-подформула LЛVз—-формулы А.
Лемма 7: пусть А есть LЛVз—-формула. Тогда 8-/р1(Сд(А)) есть р1-регулярная LЛVз—-формула.
Лемма 7 доказана индукцией по построению LЛVз-f-формулы А.
Лемма 8: пусть А есть р1-регулярная Цл^^--формула и
тр а.
Тогда КМР 8р1/—(А).
Лемма 8 доказана с использованием матриц Сугихары [2]. Лемма 9: пусть А есть LЛVз—-формула. Тогда (а)КМ р (8р1/—(8—/р1(Сд(А)))зСд(А)) и (Ь) КМ р (Сд(А)^1/—(8—/р1(Сд(А)))).
Лемма 9 доказана индукцией по построению LЛVo—-формулы А. Лемма 10: для всякой ^^^-формулы А верно, что если
КМ р
Сд(А), то КМ р А.
Лемма 10 есть следствие того, что множество всех -формул, доказуемых в RM, замкнуто относительно подстановки Ц^^-формулы вместо пропозициональной переменной в Цл^0—--формулу.
Лемма 11: пусть А есть -формула. Тогда верно следующее: RMf | А т.т.т. RM | А.
Доказательство:
(1) А есть -формула (условие).
Очевидно, что для доказательства леммы 11 достаточно доказать следующие два утверждения У1 и У2. У1: если т | А, то RMf | А. У2: если RMf | А, то т | А.
Утверждение У1 легко доказывается индукцией по длине RM-доказательства -формулы А. Докажем У2.
Допустим, что (2) RMf | А.
(3) А есть ^формула (из (1) и того, что всякая -формула есть ^формула).
(4) S—/pl(Sf/pl(Сд(А)))еRM+ (из (2) и (3) по лемме 6).
(5) Sf/p1(Сд(А)) = Сд(А) (легко доказывается индукцией по построению -формулы А).
(6) S—/pl(Сд(А))еRM+ (из (4) и (5)).
(7) RM | S—/Р1(Сд(А)) (из (6) по определению RM+).
(8) S—/Р1(Сд(А)) есть Р1-регулярная -формула (из (1) по лемме 7).
(9) RM | вц/—Р1(Сд(А))) (из (7) и (8) по лемме 8).
(10) RM | Сд(А) (из (9) и (1) по лемме 9 (пункт (а))).
(11) RM| А (из (10) и (1) по лемме 10). Утверждение У2 доказано.
Лемма 11 доказана.
Теорема: для всякой -формулы А верно следующее: т|- а т.т.т. S—/pl(Сд(А))еRM+. Доказательство:
Пусть (1) А есть -формула.
(2) RMf | А т.т.т. RM | А (из (1) по лемме 11).
(3) А есть ^формула (из (1) и того, что всякая -формула есть ^формула).
(4) RMf | А т.т.т. S—/pl(Sf/pl(Сд(А)))еRM+.
(5) RM | А т.т.т. S—/pl(Sf/pl(Сд(А)))еRM+.
(6) Sf/p1(Сд(А)) = Сд(А) (см. анализ пятого шага в доказательстве утверждения У 2 в рамках леммы 11).
(7) RM |- А т.т.т. S-/pi (Сд(А)) e RM+. Теорема доказана.
Таким образом, композиция Q^S_/p1 отображений Сд и S_/p1 есть операция, погружающая исчисление RM в его позитивный фрагмент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anderson A. R., Belnap N. D., jr. Entailment: The Logic of Relevance and Necessity. Vol. 1. Princeton, 1975. P. 339-341.
2. Sugihara T. Strict implication free from implicational paradoxes // Memoirs of the Faculty of Liberal Arts. Fukui University. Series I, 1955. P. 55-59.
