CC BY
30Погружение классической пропозициональной логики в паралогики, родственные логике Par1
В.М. Попов
abstract. The work is carried out in the line with a study of connections between classical logic, on one hand, and non-classical logics, on the other hand. In the paper an effectively computable mapping is constructed that embeds classical propositional logic into any paralogic, which includes logic Par from [2] and has the same language with Par.
Keywords: classical propositional logic, paraconsistent logic, paracomplete logic, embedding map
Работа выполнена в русле изучения связей между классическими логиками, с одной стороны, и неклассическими логиками, с другой стороны. В статье построено эффективно вычислимое отображение, погружающее классическую пропозициональную логику в любую паралогику, которая включает логику Par из [2] и имеет с Par один и тот же язык.
Язык L всех рассматриваемых здесь логик есть стандартный пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат все следующие символы и только они: &, V , D (бинарные логические связки языка L), — (унарная логическая связка языка L), ) и ( (технические символы языка L), pi,p2,p3, ■ ■ ■ (пропозициональные переменные языка L). Допускаем применение обычных соглашений об опускании скобок в формулах языка L и используем «формула» вместо «формула языка L».
хРабота выполнена при поддержке РФФИ, грант №13-06-00147а.
Буквами А, В, С, и О обозначаем формулы. Логикой называем непустое множество формул, замкнутое относительно правила подстановки в Ь и правила модус поненс в Ь. Следуя [1] и
[3], определим исчисления Ь4, НРаг, НРСойРСотр, НРСоП и НРСотр гильбертовского типа, которые являются аксиоматизациями интересующих нас логик. Язык всех этих исчислений есть Ь. Множество всех аксиом исчисления есть, согласно [1], множество всех тех и только тех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих десяти видов: (1) А Э (В Э А), (2) (А э (В э С)) Э ((А э В) Э (А э С)), (3) (А&В) Э А,
(4) (А&В) Э В, (5) А Э (В Э (А&В)), (6) А Э (А V В), (7) А Э (В V А), (8) (А э С) Э ((В Э С) Э ((А V В) Э С)), (9) (А Э В) Э ((А Э -В) Э -А), (10) --А Э А.
Множество всех аксиом исчисления НРаг есть, согласно [3], множество всех тех и только тех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих восемнадцати видов: (I) (А э В) Э ((В Э С) Э (А э С)), (II) А Э (А V В), (III) А Э (В V А), (IV) (А э С) Э ((В Э С) Э ((А V В) Э С)), (V) (А&В) Э А, (VI) (А&В) Э В, (VII) (С Э А) Э ((С Э В) Э (С Э (А&В))), (VIII) (А э (В Э С)) Э ((А&В) Э С), (IX) ((А&В) Э С) Э (А э (В Э С)), (X) ((А Э В) Э А) Э А, (XI) -(А V В) Э (-А&-В), (XII) (-А&-В) Э -(А V В), (XIII) -(А&В) Э (-А V -В), (XIV) (-А V -В) Э -(А&В), (XV) -(А Э В) Э (-А&В), (XVI) (-А&В) Э -(А Э В), (XVII) --А Э А, (XVIII) А Э --А. Множество всех аксиом исчисления НРСо^РСотр есть, согласно [3], множество всех тех и только тех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из видов (I) - (XVIII) или имеет вид (А&-А) Э (В V -В). Множество всех аксиом исчисления НРСоП есть, согласно [3], множество всех тех и только тех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из видов (I) - (XVIII) или имеет вид (А V -А). Множество всех аксиом исчисления НРСотр есть, согласно [3], множество всех тех и только тех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из видов (I) - (XVIII) или имеет вид (А&-А) Э В. Каждое из исчислений Ь4, НРаг, НРСо^РСотр, НРСоп^ НРСотр имеет единственное правило вывода — правило модус поненс в Ь. Для всякого исчисления И
из {L4, HPar, HPContPComp, HPCont, HPComp} обычным для исчислений гильбертовского типа образом строятся доказательства в И (И-доказательства) и стандартно определяются длина И-доказательства и доказуемая в И (И-доказуемая) формула. Из [1] известно, что исчисление L4 аксиоматизирует множество всех классических тавтологий в языке L. Условимся обозначать это множество через ClP. Следуя [3], определяем Par как множество всех формул, доказуемых в HPar. Аналогично определяем PContPComp, PCont и PComp. Термины «паранепротиворечи-вая логика» и «параполная логика» далее используем в соответствии с их определениями, данными в [3]. Справедливы (см. [3]) следующие утверждения: (а) Par и PContPComp — различные логики, каждая из которых паранепротиворечива и параполна,
(б) PCont есть паранепротиворечивая, но не параполная логика,
(в) PComp есть параполная, но не паранепротиворечивая логика, (г) ClP есть логика, не являющаяся ни паранепротиворечи-вой логикой, ни параполной логикой, при этом всякая логика из {Par, PContPComp, PCont, PComp} включается в ClP. Множество ClP принято называть классической пропозициональной логикой в языке L. Таким образом, L4 аксиоматизирует классическую пропозициональную логику в языке L. В свете утверждений (а), (б), (в) и (г) ясно, что Par, PContPComp, PCont и PComp являются паралогиками, а ClP не является (паралогикой называется логика, которая паранепротиворечива или парапол-на). Очевидно также, что все упомянутые паралогики включают Par. Но тогда, принимая во внимание, что логический интервал между Par и множеством всех формул равен (см. [3]) множеству {PContPComp, PCont, PComp, ClP}, получаем, что Par, PContPComp, PCont и PComp — это все паралогики, язык каждой из которых есть L и каждая из которых включает логику Par. Следует заметить, что логика PCont исследовалась Д. Ба-тенсом в [7] и Л.И. Розоноэром в [4] и [5], а логика PComp (логика LPF по терминологии, используемой в [6]) исследовалась А. Авроном в [6].
Можно доказать, что существует единственное отображение f множества всех формул в себя, удовлетворяющее следующим условиям: (a) для всякой пропозициональной переменной q язы-
ка Ь / (д) = (д Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг), (Ь) для всяких формул ¥1 и ¥2 и всякой бинарной логической связки * языка Ь /¥ * ¥2) = ((/¥) * /(¥2)) Э -(рг Э рг)) Э -(р1 Э Рг), (с) для всякой формулы ¥ /(-¥) = /(¥) Э -(р1 Э рг). Обозначаем это отображение через Ф.
Очевидна следующая лемма 1.
Лемма 1. Для всякой формулы ¥ существует такая формула Q, 'что Ф(¥) есть Q Э -(рг Э рг).
Лемма 2. В исчислении НРаг доказуема всякая формула, имеющая хотя бы один из следующих одиннадцати видов:
В1 ((А Э (((В Э А) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В2 (((((А Э (((В Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((А Э В) Э Б) Э Б) Э (((А Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В3 ((((((А Э Б)&В) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б,
В4 (((((А&(В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (В Э Б)) Э Б) Э Б,
В5 ((А Э (((В Э (((А&В) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В6 ((А Э (((А V В) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В7 ((В Э (((А V В) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В8 (((((А Э (С Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((В Э (С Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((А V В) Э Б) Э Б) Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В9 (((((А Э В) Э Б) Э Б) Э ((((((А Э (В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б,
В10 (((((А Э Б) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б,
В11 (((А Э (В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (А Э (В Э Б)).
Трудоемкое, но рутинное доказательство леммы 2 здесь не приводим.
Лемма 3. Если Г есть аксиома исчисления Ь4, то Ф(Г) есть НРат-доказуемая формула.
Докажем лемму 3.
В свете определения исчисления ясно, что для доказательства леммы 3 достаточно доказать следующие утверждения (Л3.1) - (Л3.10).
Л3.1 Для всяких формул Г и Г2 Ф(Г\ Э (Г2 Э Г\)) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.2 Для всяких формул Г, Г2 и Г3 Ф((Г\ Э (Г2 Э Г3)) Э ((Г Э Г2) Э (Г1 Э Гз))) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.3 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф((Г1&Г2) Э Г1) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.4 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф((Г1&Г2) Э Г2) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.5 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф(Г1 Э (Г2 Э (Г1&Г2))) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.6 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф(Г1 Э (Г1 V Г2)) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.7 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф(Г1 Э (Г2 V Г1)) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.8 Для всяких формул Г1, Г2 и Г3 Ф((Г1 Э Г3) Э ((Г2 Э Гз) Э ((Г1 V Г2) Э Г3))) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.9 Для всяких формул Г и Г Ф((Г Э Г2) Э ((Г Э -Гг) Э -Г\)) есть НРаг-доказуемая формула.
Л3.10 Для всяких формул Г1 и Г2 Ф(——Г1 Э Г1) есть НРаг-доказуемая формула.
Начнем с доказательства утверждения Л3.1. Допустим, что (Л3.1.1) Г1 и Г2 являются формулами. Очевидно, что верны утверждения (Л3.1.2), (Л3.1.3) и (Л3.1.4). (Л3.1.2) Ф((Г1 ) Э
¥') есть формула. (Л3.1.3) Ф(¥[), Ф(¥2) и -(рг Э рг) являются формулами. (Л3.1.4) Ф((¥'г&¥2) Э ¥) есть (Ф(¥'г) Э (((Ф(¥2) Э Ф(¥1)) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг). Из утверждений (Л3.1.2), (Л3.1.3) и (Л3.1.4) вытекает утверждение (Л3.1.5). (Л3.1.5) Ф((¥г&¥2) Э ¥г) есть формула, имеющая вид (В1) ((А Э (((В Э А) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б. Из утверждения (Л3.1.5) и леммы 2 вытекает, что Ф((¥1&¥2) Э ¥г) есть НРаг-доказуемая формула. Снимая допущение (Л3.1.1) и обобщая, получаем, что для всяких формул ¥г и ¥2 Ф((¥г&¥2) Э ¥г) есть НРаг-доказуемая формула.
Утверждение (Л3.1) доказано.
Аналогично доказываются утверждения (Л3.5), (Л3.6), (Л3.7) и (Л3.9) (при доказательстве утверждения (Л3.5) опираемся на то, что Ф((¥г&¥2) Э ¥г), где ¥г и ¥2 — формулы, является формулой вида (В5) ((А Э (((В Э (((А&В) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б; при доказательстве утверждения (Л3.6) опираемся на то, что Ф(¥г Э (¥г V ¥2)), где ¥г и ¥2 — формулы, является формулой вида (В6) ((А Э (((А VВ) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б; при доказательстве утверждения (Л3.7) опираемся на то, что Ф(¥г Э (¥2 V ¥г)), где ¥г и ¥2 — формулы, является формулой вида (В7) ((В Э (((А V В) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б; при доказательстве утверждения (Л3.9) опираемся на то, что Ф((¥'г Э ¥2) Э (¥ Э -К2) Э -¥'г)), где ¥'г и ¥'2 — формулы, является формулой вида (В9) (((((А Э В) Э Б) Э Б) Э ((((((А Э (В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б).
Докажем утверждение (Л3.2).
Допустим, что (Л3.2.1) ¥г, ¥2 и ¥3 являются формулами. Очевидно, что верны утверждения (Л3.2.2), (Л3.2.3) и (Л3.2.4). (Л3.2.2) Ф((¥1 Э (¥2 Э ¥3)) Э (¥ Э ¥2) Э ¥ Э ¥3))) есть формула. (Л3.2.3) Ф(¥'г), Ф(¥2) и Ф(Р') и -(рг Э рг) являются формулами. (Л3.2.4) Ф((¥'г Э (¥2 Э ^)) Э ((¥'г Э ¥2) Э ¥ Э ¥3))) есть (((((Ф(¥1 ) Э ((Ф(¥2) Э ¥)) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг))) Э -(рг Э рг)) Э -р Э рг)) Э ((((((фФ(¥1) Э Ф(¥2)) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг)) Э (((Ф^) Э Ф(¥3)) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг))) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг))) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг). Из утверждения (Л3.2.1) и леммы 1 вытекает утверждение (Л3.2.5). (Л3.2.5) Существует та-
кая формула Q, что Ф(Г) есть Q Э —(р1 Э р1). Пусть (Л3.2.6) Q есть формула и Ф(Г3) есть Q Э —(р1 Э р1). Из утверждений (Л3.2.4) и (Л3.2.6) вытекает утверждение (Л3.2.7). (Л3.2.7) Ф((Г1 Э (Г2 Э Г3)) Э ((Г1 Э Г2) Э (Г1 Э Г3))) есть (((((Ф(Г1) Э ((Ф(Г2) Э (Q, Э -(Р1 Э Р1))) Э -(Р1 Э Р1)) Э —Р Э Р1))) Э -(Р1 Э Р1)) Э —р Э Р1)) Э ((((((Ф(Г1) Э Ф(Г)) Э -(Р1 Э Р1)) Э -(Р1 Э Р1)) Э (((Ф(Г1) Э (Q, Э —(Р1 Э Р1))) Э —р Э Р1)) Э —р Э Р1))) Э (Р1 Э Р1)) Э —(р1 Э Р1))) Э —(р1 Э Р1)) Э —(р1 Э Р1). Следствием утверждений (Л3.2.2), (Л3.2.3), (Л3.2.6) и (Л3.2.7) является утверждение (Л3.2.8). (Л3.2.8) Ф((Г1 Э (Г Э Г)) Э ((Г Э Г) Э (Г Э Г))) есть формула, имеющая вид (В2) (((((А Э (((В Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((А Э В) Э Б) Э Б) Э (((А Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б. Из утверждения (Л3.2.8) и леммы 2 вытекает, что Ф((Г1 Э (Г Э Г'3)) Э ((Г1 Э Г2) Э (Г1 Э Г3))) есть НРаг-доказуемая формула. Снимая допущение (Л3.2.1) и обобщая, получаем, что для всяких формул Г1, Г и Г3 Ф((Г1 Э (Гг Э Г3)) Э ((Г Э Гг) Э (Г Э Г3))) есть НРаг-доказуемая формула.
Утверждение (Л3.2) доказано.
Аналогично доказываются утверждения (Л3.3), (Л3.4), (Л3.8) и (Л3.10) (при доказательстве утверждения (Л3.3) опираемся на то, что Ф((Г1&Г2) Э Г1), где Г1 и Г2 — формулы, является формулой вида (В3) ((((((А Э Б)&В) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б (используем то, что Ф(Г1) есть Q Э —(р1 Э р1) для некоторой формулы Q); при доказательстве утверждения (Л3.4) опираемся на то, что Ф((Г1&Г2) Э Г2), где Г1 и Г2 — формулы, является формулой вида (В4) (((((А&(В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (В Э Б)) Э Б) Э Б (используем то, что Ф(К2) есть Q Э — (р1 Э р1) для некоторой формулы Q); при доказательстве утверждения (Л3.8) опираемся на то, что Ф((Г\ Э Г3) Э ((Г Э Г3) Э ((Г1 V Р2) Э Г3))), где Г, Г:' и Г — формулы, является формулой вида (В8) (((((А Э (С Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((В Э (С Э Б)) Э Б) Э Б) Э ((((((А V В) Э Б) Э Б) Э (С Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б)) Э Б) Э Б (используем то, что Ф(Г3) есть Q Э — (р1 Э р1) для некоторой формулы Q); при доказательстве утверждения (Л3.10) опираемся на
то, что Э ¥г), где ¥г — формула, является формулой
вида (В10) (((((А Э Б) Э Б) Э Б) Э (А Э Б)) Э Б) Э Б (используем то, что (¥г) есть Q Э -(рг Э рг) для некоторой формулы Q)).
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для
всяких формул ¥ и и: если ¥ и ¥ Э и являются Ь4-доказуемыми формулами, то и есть Ь4-доказуемая формула.
Лемма 5. Для
всяких формул ¥ и и: если ¥ и ¥ Э и являются НРаг-доказуемыми формулами, то и есть НРаг-доказуемая формула.
Стереотипные доказательства лемм 4 и 5 здесь не приводим. Лемма 6. Для
всяких формул ¥ и и: если Ф(¥) и Ф(¥ Э и) являются НРаг-доказуемыми формулами, то Ф(и) есть НРаг-доказуемая формула.
Докажем лемму 6.
Допустим, что (6.1) ¥ и и являются формулами. Допустим также, что (6.2) Ф(¥ ) и Ф(¥ Э и ) являются НРаг-доказуемыми формулами. Из (6.1) и леммы 1 вытекает, что (6.3) существует такая формула Q, что Ф(и ) есть Q Э -(рг Э рг). Пусть (6.4) Q есть формула и Ф(и ) есть Q Э -(р1 Э рг). Ясно, что (6.5) Ф(¥' Э и') есть ((Ф(¥') Э (и')) Э -(рг Э рг)) Э -(р1 Э рг). Из (6.4) и (6.5) вытекает, что (6.6) Ф(¥ Э и ) есть ((Ф(¥') Э (^ Э -(рг Э рг))) Э -р Э рг)) Э -р Э рг). Из (6.2) и (6.5) вытекает, что (6.7) Ф(¥') и ((Ф(¥') Э (^ Э -р Э р1))) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг) являются НРаг-доказуемыми формулами. Очевидно, что (6.8) (((Ф(¥ ) Э ^ Э -(рг Э рг))) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг)) Э (Ф(¥) Э ($ Э -р Э рг))) есть формула вида (В11) (((А Э (В Э Б)) Э Б) Э Б) Э (А Э (В Э Б)). Из (6.8) и леммы 2 вытекает, что (6.9) (((Ф(¥') Э (^ Э -(рг Э рг))) Э -(рг Э рг)) Э -(рг Э рг)) Э (Ф(¥') Э (^ Э -(р1 Э р1))) есть НРаг-доказуемая формула. Используя (6.7), (6.9) и лемму 5, получаем, что (6.10) Q Э -(р1 Э рг) есть НРаг-доказуемая формула. Из (6.4) и (6.10) вытекает, что (6.11) Ф(и ) есть НРаг-доказуемая формула. Снимая допущения (6.1) и (6.2)
и обобщая, получаем, что для всяких формул F и U: если ) и ^(F D U) являются HPar-доказуемыми формулами, то Ф(и) есть HPar-доказуемая формула. Лемма 6 доказана.
Лемма 7. Для всякой Ь4-доказуемой формулы F Ф^) есть HPar-доказуемая формула.
Простое доказательство леммы 7, опирающееся на леммы 3 и 6, здесь не приводим.
Лемма 8. Для всякого исчисления И из {HPar, HPContPComp, HPCont, HPComp} и для всякой Ь4-доказуемой формулы F Ф^) есть И-доказуемая формула.
Лемма 8 следует из леммы 7 и того, что для всякого И из {HPar, HPContPComp, HPCont, HPComp} всякая HPar-доказуемая формула есть И-доказуемая формула.
Лемма 9. Для всякой формулы F: F D Ф^) и Ф^) D F являются Ь4-доказуемыми формулами.
Стереотипное индуктивное (индукцией по построению формулы) доказательство леммы 9 здесь не приводим.
Следствием того, что всякая логика Par, PContPComp, PCont и PComp включается в ClP, определений рассматриваемых логик и лемм 4, 8 и 9 является нижеследующая теорема о погружении.
Теорема. Для всякой логики Л из {Par, PContPComp, PCont, PComp} и для всякой формулы F: F € ClP тогда и только тогда, когда Ф^) € Л.
Итак, Ф является отображением, погружающим классическую пропозициональную логику в каждую паралогику, язык которой есть L и в которую включается логика Par.
Литература
[1] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Наука, М.: 1971.
[2] Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечи-вых логических систем //Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука. 1989. С. 285-289.
[3] Попов В.М. Между Par и множеством всех формул // Шестые смирновские чтения по логике. Материалы международной научной конференции 17-19 июня 2009 г., Москва. М., 2009. С. 93-95.
[4] Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I // Автоматика и телемеханика. №6. 1983. С. 113-124.
[5] Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. II // Автоматика и телемеханика. №7. 1983. С. 97-104.
[6] Avron A. Natural 3-valued Logics: Characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic, Vol. 56, 1991. P. 276-294.
[7] Batens D. Paraconsistent extensional propositional logic // Logique et Analyse, Vol. 23, 1980. P. 127-139.
References (transliteration)
[1] Mendelson E. Vvedenie v matematicheskuju logiku. Nauka, M.: 1971.
[2] Popov V.M. Sekvencial'nye formulirovki paraneprotivorechivyh logicheskih sistem //Sintaksicheskie i semanticheskie issledovanija nejekstensional'nyh logik. M.: Nauka. 1989. P. 285-289.
[3] Popov V.M. Mezhdu Par i mnozhestvom vseh formul // Shestye smirnovskie chtenija po logike. Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii 17-19 ijunja 2009 g., Moskva. M., 2009. P. 93-95.
[4] Rosonoer L.I. O vyjavlenii protivorechij v formal'nyh teorijah. I // Avtomatika i telemehanika. № 6. 1983. P. 113-124.
[5] Rosonoer L.I. O vyjavlenii protivorechij v formal'nyh teorijah. II // Avtomatika i telemehanika. № 7. 1983. P. 97-104.
[6] Avron A. Natural 3-valued Logics: Characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic, Vol. 56, 1991. P. 276-294.
[7] Batens D. Paraconsistent extensional propositional logic // Logique et Analyse, Vol. 23, 1980. P. 127-139.
