Системы натурального вывода для некоторых логик с истинностными провалами и логик с пресыщенными оценками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Системы натурального вывода для некоторых логик с истинностными провалами и логик с пресыщенными оценками1

В. О. Шлнгин

abstract. In the paper we present Fitch-style natural deduction systems of some logics with truth-value gluts and truth-value gaps. We show that natural deduction systems of the logics in question can be set up with different formulations of either the disjunction elimination rule or the negation introduction rule. We give a constructive proof that for each natural deduction system N of a logic a, a formula A is N-provable iff A is a a-theorem.

Ключевые слова: теория доказательств, натуральный вывод, неклассическая логика, логики с истинностными провалами и с пресыщенными оценками, правило исключения дизъюнкции

Введение

Задается стандартный пропозициональный язык L с алфавитом {p1, q1, r1, p2, ..., (, ), Л, V, D, ->}. Определение формулы языка L обычно. Буквы A, B, C, D, Ai, ... обозначают произвольные формулы языка L. Буквы Г, А, Г1, ... обозначают произвольные конечные множества формул языка L.

В работе используются аксиоматические системы для некоторых логик с истинностными провалами и логик с пресыщенными оценками. Мы используем аксиоматическую систему HPar для логики Par [3], аксиоматическую систему HP^nt для логики PCont [5], аксиоматическую систему HPСomp для логики

Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ («Логики с истинностными провалами и логики с пресыщенными оценками: семантики обобщенных оценок и аксиоматизации посредством исчислений с правилами оперирования комплексами логических связок»), проект № 10-03-00570а.

PComp [1] и аксиоматическую систему HPContPComp для логики PContPComp [4]. Объем статьи не позволяет дать описание данных работ, поэтому их знание предполагается. Некоторые результаты данной работы представлены без доказательств в [6].

Статья структурирована следующим образом. В параграфе 1 задается формулировка системы натурального вывода NPar для логики Par. На основе NPar с использованием различных ограничений для правила введения отрицания задаются формулировки систем натурального вывода NPCont, NPComp и NPContPComp для логик PCont, PComp и PContPComp соответственно. Параграф 2 посвящен метатеоретическим свойствам систем, предложенным в параграфе 1. В параграфе 3 на основе NPar с использованием различных ограничений для правила исключения дизъюнкции задаются формулировки систем натурального вывода NPCont*, NPComp* и NPContPComp* для логик PCont, PComp и PContPComp соответственно. Параграф 4 посвящен метатеоретическим свойствам систем, предложенным в параграфе 3.

1 Система натурального вывода для логики Par и системы натурального вывода с правилом введения отрицания для логик PCont, PComp и PContPComp

Система натурального вывода NPar. Задаются следующие NPar-правила (формула слева от «/» называется посылкой, а формула справа от «/» — заключением)2. Отметим, что, например, правило VH трехпосылочно, а правило Эв однопосылочно. Аих: A Л B / A; Ли2: A Л B / B; Лв: A, B / A Л B; Vn: A V B, [A] C, [B] C / C; V^: A / A V B; V^: B / A V B; Зи: A D B, A / B; Эв: [C] B / C D B; Эр: [A D B] A / A3; -.-■и: --A / A; --в: A / --A; -V^: -(A V B) / -A; -V^: -(A V B) / -B; -A, -B / -(A V B); -Ли: -(A Л B) / -A V -B; -Л^: -A / -(A Л B); -Лв2: -B / -(A Л B); - Эи: -(A D B) / A Л -B; - Зв: A Л -B/ -(A D B).

2Данные правила делятся на правила введения и исключения логической связки или комплекса логических связок.

3Правило Пирса, Эр, ошибочно не добавлено ко всем системам натурального вывода в [6], [7].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Выводом в системе NPar (NPar-выводом) называется непустая конечная последовательность формул, удовлетворяющая следующим условиям: каждая формула есть либо посылка, либо получена из предыдущих по одному из NPar-правил; при применении правила Dв ^р) все формулы, начиная с последней неисключенной посылки C (A D B) и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из дальнейших шагов вывода; при применении правила Vи все формулы, начиная с посылки A и вплоть до формулы C, а также все формулы, начиная с посылки B и вплоть до формулы C, исключаются из дальнейших шагов вывода.

NPar-выводом формулы B из непустого множества посылок Г (сокращенно Г \~NPar B) называется NPar-вывод, в котором множество неисключенных посылок есть Г и последняя формула есть формула В. NPar-доказательством формулы В называется NPar-вывод формулы В из пустого множества неисключенных посылок. NPar-теоремой называется формула B, для которой имеется NPar-доказательство.

Рассмотрим двухпосылочное правило введения отрицания -в: [C] D, -D / -C. Добавление правила — в к множеству NPar-правил вместе с требованием, что формула C — это последняя неисключенная посылка в выводе, дает систему натурального вывода для классической логики высказываний адекватную системе NP, предложенной в [2]. С другой стороны, мы рассмотрим три правила введения отрицания (PCont—в, PComp—в и PContPComp

'в), которые получаются введением различных ограничений на вид формулы С в правиле —в. Мы покажем, что добавление правила PCont—в (PComp—в / PContPComp—в) к множеству NPar-правил вместе с требованием, что формула С — это последняя неисключенная посылка в выводе, дает систему натурального вывода NPCont (NPComp / NPContPComp) для неклассической пропозициональной логики PCont (PComp / PContPComp). Данный подход аналогичен [3], где различные ограничения на вид основной секвенции дают секвенциальные исчисления GK2, GPar, GPCont для классической логики высказываний и неклассических пропозициональных логик Par и PCont.

Система натурального вывода NPCont (NPComp / NPContPComp). Добавляем к множеству NPar-правил правило

PCont-B (PComp-B / PContPComp-B): [C] D, -D / -C, где

C имеет вид A V-A (-A D (A D B) / (A Л-A) D (B V -B)).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Выводом в системе NPCont (NPComp / NPContPComp) называется непустая конечная последовательность формул, удовлетворяющая условиям определения 1, а также следующему условию: при применении PCont-в (PComp-в / PContPComp-в) все формулы, начиная с последней неисклю-ченной посылки С и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из дальнейших шагов вывода.

NPCont (NPComp / NPContPComp)-выводом формулы B из непустого множества посылок Г (сокращенно

Г PC ont(N PC omp/N PContPComp) B) называется NPCont

(NPComp / NPContPComp)-вывод, в котором множество неис-ключенных посылок есть Г и последняя формула есть формула B. NPCont (NPComp / NPContPComp)-доказательством формулы В называется NPCont (NPComp / NPContPComp)-вывод формулы В из пустого множества неисключенных посылок. NPCont (NPComp / NPContPComp)-теоремой называется формула B, для которой имеется NPCont (NPComp/NPContPComp)-доказательство.

2 Метатеоретические свойства NPar, NPCont, NPComp и NPContPComp

Для исследования метатеоретических свойств NPar, NPCont, NPComp и NPContPComp мы используем аксиоматические системы HPar, HPCont, HPComp и HPContPComp для логик Par, PCont, PComp и PContPComp [3, 5, 1, 4]. Отметим, что в любой из данных аксиоматических систем доказуемы формулы ((A Л B) D C) D (A D (B D C)), (A D (B D C)) D ((A Л B) D C) и имеется теорема дедукции.

ТЕОРЕМА 1. Г hNPar A & Г hHPar A.

Доказательство. Доказательство Достаточно показать, что все HPar-правила выводимы в NPar. Рассмотрим правила (A D C) D ((B D C) D ((A V B) D C)) и ((A D B) D A) D A. Остальные случаи аналогичны.

hNPar (A D C) D ((B D C) D ((A V B) D C))

1. А Э С — посылка

2. В Э С — посылка

3. А V В — посылка

4. А — посылка

5. С — Эи 1, 4

6. В — посылка

7. С — Эи: 2, 6

8. С — Vи: 3, 5, 7 [4-5], [6-7]

9. (А V В) Э С — Эв: 8 [3-8]

10. (В Э С) Э ((А V В) Э С) — Эв: 9 [2-9]

11. (А Э С) Э ((В Э С) Э ((А V В) Э С)) — Эв: 10 [1-10]

Ьмрат ((А Э В) Э А) Э А

1. ( А Э В ) Э А — посылка

2. А Э В — посылка

3. А — Эи: 1, 2

4. А — Эр: 3 [2-3]

5. ((А Э В) Э А) Э А — Эв: 4 [1-4]

Доказательство Покажем сначала лемму 1.

ЛЕММА 1. Г Ьмрат А ^ Ьнрат (гл) Э А, где (Гл) - это А-образ множества формул Г, заданный следующим образом:

Если Г пусто, то (Гл) Э А есть А;

Если Г = {В1,В2,..., Вт}, т > 1, то (Гл) Э А есть (В1А (В2 А ... А Вт)...) Э А.

Доказательство. Доказательство ведется методом двойной математической индукции по длине п и числу применений в КРаг-правил в Г Ьмрат А.

Базис: в = 0. Тогда А € Г.

Этому выводу соответствует НРаг-доказательство формулы (Гл) Э А:

1. (Гл) Э А — НРаг-аксиома4

Итак, мы доказали лемму для всех КРаг-выводов, в которых нет ни одного применения КРаг-правил.

Теперь предположим (1Н): лемма верна для всех КРаг-выводов с числом с! применений КРаг-правил, й < в. Покажем, что лемма верна для всех КРаг-выводов с числом в + 1 применений КРаг-правил.

Число рассматриваемых случаев зависит от числа КРаг-правил5.

Случай 1. Формула А имеет вид ——В и получена по ——в из Вг, 1 < г <п + 1.

Тогда Г Ьмраг А принимает следующий вид:

Г

1. В

п+1. ——В — ——в: 1

Этому выводу соответствует НРаг-доказательство формулы (Гл) Э ——В:

1'. (Гл) Э В — НРаг-теорема (1Н) 1'+1. В Э ——В — НРаг-аксиома

4Без потери общности, данная формула является частным случаем HPar-аксиомы (А Л В) Э В, если п > 2. Если п = 1, то данная формула является HPar-аксиомой А Э А.

5Аналогичные случаи мы пропустим.

1'+2. ((ГЛ) Э В) Э ((В Э --В) Э ((гл) Э --В)) — НРаг-аксиома

1'+3. (Гл) Э --В — Эи: 1', 1'+1, 1'+2 (2 раза)

Случай 2. Формула А имеет вид В^ Э В^ и получена по Эв из В, 1 < ] <п + 1, 1 < к < п + 1.

Тогда Г ЬмРаг А принимает следующий вид:

Г

к. С — посылка В

п+1. С Э В — Эв: ] [к-п]

Этому выводу соответствует НРаг-доказательство формулы (ГЛ) Э (С Э В):

.]'. ((Гл) Л С) Э В — НРаг-теорема (1Н) ^+1. (((Гл) Л С) Э В) Э ((Гл) Э (С Э В)) — НРаг-теорема ]'+2. (Гл) Э (С Э В) — Эи:]',т

д.е.б.

Теорема 1 следует из леммы 1 и Г Ьнраг А & Ьнраг (Гл) Э А.

Q.Е.D.

ТЕОРЕМА 2. Г Ьмроаш А & Г ЬиросШ (Гл) Э А

Доказательство. Доказательство Достаточно дополнить случай <= теоремы 1 NPCont-доказательством А V -А.

1. -(А V -А) — посылка

2. А — ^1: 1

3. —А — ^2: 1

4. ——(А V —А) — РСоп—в: 2, 3 [1-3]

5. А V —А — —и: 4

Доказательство Покажем сначала лемму 2. ЛЕММА 2. Г Ьмроспг А ^ Ьирсп (Гл) Э А.

Доказательство. К рассмотренным в лемме 1 случаям добавляется следующий.

Формула А имеет вид ——(С V —С) и получена по РСоп —в из Вк и Вн, 1 < к < п+1, 1 < Ь < п+1, т < п+1. Тогда Г Ьмроопг А принимает следующий вид:

Г

т. —(С V —С) — посылка к. В Ь. -.В

п+1. ——(С V —С) — —в: к, Ь [т-п]

Этому выводу соответствует НРСоп^доказательство формулы (Гл) Э ——(С V—C):

к'. ((Гл) Э —(С V —С)) Э Вк — НРСоп^теорема (1Н) к'+1. ((Гл) Э —(С V —С)) Э —Вк — НРСоп^теорема (1Н) к'+2. С V —С — HPCont-аксиома к'+3. (С V —С) Э ——(С V —С) — НРСоп^аксиома

к'+4. --(С V -С) — Эи: к'+2, к'+3

к'+5. --(СV-C) Э ((Гл) Э --(СV-C)) — НРСо^-аксиома к'+6. (Гл) Э --(С V -С) — Эи: к'+4, к'+5

д.Е.Б.

Теорема 2 следует из леммы 2 и Г Ьнрстг А & Ьнрсапг (Гл) Э А.

д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 3. Г Ьмрсотр А & Г Ьнрстр (Гл) Э А

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

д.Е.Б.

ТЕ0РЕМА 4. Г ЬNрСстЬрСстр А & Г ЬНрСоагрСстр (Гл) Э А

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2. д.Е.Б.

3 Системы натурального вывода с правилом исключения дизъюнкции для логик РСоп1, РСотр и РСоп1РСотр

В данном параграфе мы зададим альтернативные формулировки систем натурального вывода NPCont*, NPComp* и NPContPComp* для логик РСой, РСотр и РСо^РСотр. В отличие от формулировок систем натурального вывода из параграфа 2, где главную роль играет правило введения отрицания, в данных формулировках главную роль играет правило исключения дизъюнкции.

Рассмотрим следующие двухпосылочные правила исключения дизъюнкции: РСоп^и: [А] С, [-А] С / С; PCompVи: А V В, -А / В и PContPCompVи: А V (В V -В), -А / В V -В. Покажем, что добавление правила РСоп^и (РСотрVи / PContPCompVи) к множеству NPar-правил дает систему натурального вывода NPCont* ^РСотр* / NPContPComp*) для логики РСоП (PComp / PContPComp).

Система натурального вывода МРСоЫ* (ЫРСошр* / МРСоЫРСошр*). Добавляем к множеству КРаг-правил правило РСопМи (PCompVи / PContPCompVи).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Выводом в системе КРСотр* (КРСоп^ РСотр*) называется непустая конечная последовательность формул, удовлетворяющая условиям определения 1. Выводом в системе КРСоп^ называется непустая конечная последовательность формул, удовлетворяющая условиям определения 1, а также следующему условию: при применении правила РСопМи и все формулы, начиная с посылки А и вплоть до формулы С, а также все формулы, начиная с посылки —А и вплоть до формулы С, исключаются из дальнейших шагов вывода.

№Соп^ (КРСотр* / КРСо^РСотр*)-выводом формулы В из непустого множества посылок Г (сокращенно Г N рСопЬ*(И рСотр*/И рСопЬрСопЬ*) В) называется NpCont*

(КРСотр* / КРСо^РСотр*)-вывод, в котором множество неис-ключенных посылок есть Г и последняя формула есть формула В. №Соп^ (КРСотр* / КРСо^РСотр*)-доказательством формулы В называется NPCont* (КРСотр* / NPContPComp*)-вывод формулы В из пустого множества неисключенных посылок. NPCont* (КРСотр* / NPContPComp*)-теоремой называется формула В, для которой имеется КРСоп^ (КРСотр* / NPContPComp*)-доказательство.

4 Метатеоретические свойства NPCont*, NPComp* и NPContPComp*

Аналогично параграфу 2, для исследования метатеоретических свойств NPCont*, КРСотр* и NPContPComp* используем аксиоматические системы НРСой, НРСотр и HPContPComp [3,

5, 1, 4].

ТЕОРЕМА 5. Г hNPCont* А ^ Г ^прсШ-

Доказательство. Доказательство Достаточно дополнить случай <= теоремы 1 КРСоп^-доказательством А V —А.

1. А — посылка

2. А V —А — Vв1: 1

3. -А — посылка

4. А V-А — Vв2: 3

5. А V-А — рсоп^и: 2, 4 [1-2], [3-4]

Доказательство Покажем сначала лемму 3. ЛЕММА 3. Г Ьмрсопи А ^ ^нрсп (Гл) Э А.

Доказательство. К рассмотренным в лемме 1 случаям добавляется следующий: формула А имеет вид С и получена по РСопМи из Вк и Вь, т < п + 1, в < п + 1, 1 < к < п + 1, 1 < Н <п + 1. Тогда Г ^мрсопи А принимает следующий вид:

Г

m. В — посылка к. С

8. -В — посылка Ь. С

п+1. С — PContVи: к, Ь [m-k], [8-Ь]

Этому выводу соответствует НРСо^-доказательство формулы (Гл) Э С:

к'. ((Гл) Л В) Э С — НРСо^-теорема (1Н) к'+1. ((Гл) Л-В) Э С — НРСо^-теорема (1Н)

к'+2. (((Гл) Л В) э С) э ((Гл) э (В э С)) — НРСоп^ теорема

к'+3. (((Гл) Л —В) э С) э ((Гл) э (—В э С)) — НРСоп^ теорема

к'+4. (Гл) э (В э С) — эи: к', к'+2 к'+5. (Гл) э (—В э С) — эи: к+1', к'+3 к'+6. (Гл) — посылка к'+7. В э С — эи: к'+4, к'+6 к'+8. —В э С — эи: к'+5, к'+6 к'+9. В V —В — НРСоп^аксиома

к' + 10. (В э С) э ((—В э С) э ((В V —В) э С)) — НРСоп^ аксиома

к'+11. С — эи: к'+7, к'+8, к'+9, к'+10 (3 раза) к'+12. (Гл) э С — теорема дедукции: к'+11

д.Е.Б.

Теорема 5 следует из леммы 3 и Г Ьнрсп А & Ьнрсп (Гл) э А. д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 6. Г hNPComp* А & Г ЬнрСотр А.

Доказательство. Доказательство -4=. Достаточно дополнить случай ^ теоремы 1 КРСотр*-доказательством —А э (А э В).

1. — А — посылка

2. А — посылка

3. А V В — Vв1: 2

4. В — PCompVи: 1, 3

5. А э В — эв: 4 [2-4]

6. —А э (А э В) — эв: 5 [1-5]

Доказательство Покажем сначала лемму 4. ЛЕММА 4. Г ЬNPComp* А ^ Ьнрсотр (Гл) э А.

Доказательство. К рассмотренным в лемме 1 случаям добавляется следующий: формула А имеет вид С и получена по PCompVи из Вк и Вн, 1 < к < п + 1, 1 < Н <п + 1. Тогда Г Ьмрсотр* А принимает следующий вид:

Г

к. А V С

Ь. -А

п+1. С — PCompVи: к, Ь

Этому выводу соответствует HPComp-доказательство формулы (Гл) Э С:

к'. (Гл) Э А V С — HPComp-теорема (1Н)

к'+1. (Гл) Э -А — HPComp-теорема (1Н)

к'+2. -А Э (А Э С) — HPComp-аксиома

к'+3. ((Гл) э -А) э ((-А э (А э С)) э ((Гл) э (А э С))) — HPComp-аксиома

к'+4. (Гл) Э (А Э С) — Эи: к'+1, к'+2, к'+3 (2 раза)

к'+5. С Э С — HPComp-аксиома

к'+6. (А э С) Э ((С Э С) Э ((А V С) Э С)) — HPComp-аксиома

к'+7. (Гл) — посылка

к'+8. А V С — Эи: к', к'+7

к'+9. А Э С — Эи: к'+4, к'+7

к'+10. С — Эи: к'+5, к'+6, к'+8, к'+9 (3 раза)

к'+11. (Гл) Э С — теорема дедукции: к'+10

д.е.б.

Теорема 6 следует из леммы 4 и Г Ьнрсотр А & Ьнрсотр (Гл) э А. д.Е.Б.

ТЕОрЕМА 7. Г Ь N рС опЬрС отр* А & Г Ь НрС опЬрС отр А.

Доказательство. Доказательство <=. Достаточно дополнить случай <= теоремы 1 NPContPComp*-доказательством (А Л—А) э (В V—B).

1. А Л — А — посылка

2. А — Ли1 : 1

3. —А — Ли2: 1

4. А V (В V—B) — Vв1: 2

5. В V—B — PContPCompVи: 3, 4

6. (А Л —А) э (В V —В) — эв: 5 [1-5] Доказательство Покажем сначала лемму 5.

ЛЕММА 5. Г N рС опЬрС отр* А ^ Ь Н рС опЬрС отр (Гл) э А.

Доказательство. К рассмотренным в лемме 1 случаям добавляется следующий: формула А имеет вид С V —С и получена по PContPCompVи из Вк и Вн, 1 < к <п + 1, 1 < Н<п + 1. Тогда Г ЬNрсопьрсотр* А принимает следующий вид:

Г

к. А V (С V—C) И. -.А

п+1. С V—C — PContPCompVи: к, И

Этому выводу соответствует HPContPComp-вывод формулы (Гл) Э (С V-С):

к'. (Гл) э (А V (С V -С)) — HPContPComp-теорема (1Н)

к'+1. (Гл) э -А — HPContPComp-теорема (1Н)

к'+2. (Гл) — посылка

к'+3. А V (С V-C) — Эи: к', к'+2

к'+4. -А — Эи: к'+1, к'+2

к'+5. А — посылка

к'+6. А Л-А — Лв : к'+4, к'+5

к'+7. (А Л -А) э (С V -С) — HPContPComp-аксиома

к'+8. С V-C — Эи: к'+6, к'+7

к'+9. А Э (С V -С) — теорема дедукции: к'+8

к'+10. (С V -С) Э (С V -С) — HPContPComp-аксиома

к'+11. (А э (С V-C)) э (((С V-C) э (С V-C)) э ((А V (С V -С)) Э (С V -С))) — HPContPComp-аксиома

к'+12. С V-C — Эи: к'+3, к'+9, к'+10, к'+11 (3 раза)

к'+13. (Гл) Э (С V -С) — теорема дедукции: к'+12

д.е.б.

Теорема 7 следует из леммы 5 и Г Ьнрс0пгрс0тр А ^ Ьнрсопгрсотр (гл) э А. д.е.б.

Литература

[1] Avron A. Natural 3-valued logics: characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56. №1. P. 276-294.

[2] Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. М.: ИД «Форум»: ИНФРА-М, 2008.

[3] Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечивых логических систем // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик (под ред. Смирнова В.А.). М.: Наука, 1989. С. 285-289.

[4] Попов В.М. Между Par и множеством всех формул // Материалы VI Международной конференции «Смирновские чтения» (отв. ред. Маркин В.И.). М.: Современные тетради, 2009. С. 93-95.

[5] Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I // Автоматика и телемеханика, №6. М.: Наука, 1983. С. 113-124.

[6] Шангин В.О. Системы натурального вывода для логик Par, PCont, PComp и PContPComp // Материалы Научной конференции «Логика, методология, науковедение: актуальные проблемы и перспективы». Ростов-на-Дону, 2010.

[7] Шангин В.О. Системы натурального вывода для паранепротиворечивых логик, родственных логике, индуцированной исчислением V1 А. Арруда // Материалы Международной конференции «„Воображаемая логика" Н.А. Васильева и современные неклассические логики». Казань, 2010. С. 106-108.