К проблеме выразимости операций характеристических матриц паранепротиворечивых и параполных логик

Знаменская Наталия Андреевна

Н.А. ЗНАМЕНСКАЯ

abstract. The following expressibilities are constructed: (1) implication of every logical matrix Mpcont, Mpcont(l) and Mpcomp(l) in terms of the operations of the logical matrix Mlpf, (2) implication of every logical matrix Mpcont, Mlpf and Mpcomp(l) in terms of the operations of the logical matrix Mpcont(l), (3) implication of every logical matrix Mpccmt, Mlpf and Mpcont(l) in terms of the operations of the logical matrix Mpcomp(l)- Also it's proven that the implications of the logical matrices Mlpf, Mpcont(l) and Mpcomp(l) are not expressible in terms of the operations of the logical matrix Mpcont-

Keywords: matrix, operation, implication, valuation, expressibilitiy, paraconsistent logic, paracomplete logic

В [1] построена трехзначная характеристическая матрица для паранепротиворечивой логики PCont (обозначаем эту матрицу через Mpccmt), в [2] — трехзначная характеристическая матрица для параполной логики LPF1 (обозначаем эту матрицу через Mlpf), в [3] — трехзначные характеристические матрицы для паранепротиворечивой логики PCont(1) (обозначаем эту матрицу через MPCcmt(i)) и параполной логики PComp(1) (обозначаем эту матрицу через Mpcomp(1))- В предлагаемой работе конструируются тождества, выражающие: 1) импликацию каждой матрицы Mpccmt, Mpcont(i), Mpcomp(i) через операции матрицы Mlpf, 2) импликацию каждой матрицы M.pcont, M.lpf, Mpcmp(i) через операции матрицы Mpcont(1), 3) импликацию каждой матрицы Mpcont, Mlpf, Mpcont(1) через операции матрицы Mpcomp(1)- Кроме того, доказывается, что импликации

ХВ [4] и [5] логика LPF обозначена посредством PComp.

логических матриц ЛЛьре, М.рсот( 1) и Мрсотр(1) не являются выразимыми через операции матрицы Мрстг-

Следуя [1], [2] и [3], воспроизведем (с точностью до обозначения элементов носителей матриц и матричных операций) определения этих логических матриц.

Характеристическая матрица из [1] для РСоП есть логическая матрица

({1, 2, 0}, {1, 2}, {-, V, Эроапь}), где

—1

1 0

1 1

2 2

0 1

& 1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 11 0 2 2 0 0 0 0

V 1 2 0

1 1 2 0 111 1 1 1 1 2 2 1 2 0

ЭрСопЬ 1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 1 2 0 111

Характеристическая матрица из [2] для ЬРР есть логическая матрица ({1,1, 0}, {1}, {—,V, }). Характеристическая

матрица из [3] для РСоп^1) есть логическая матрица ({1, ^, 0}, {1, 2}, {—, V, Эроапь(1)}). Характеристическая матрица из [3] для РСотр(1) есть логическая матрица ({1, 2, 0}, {1}, {—, &, V, ЭрОатр(1)}). Операции ЭьРЕ, ЭрОапЬ(1), ЭрОатр(1) задаются следующими таблицами:

1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 111 111

ЭрСоп±(1) 1 1 2 0

1 1 1 0

1 2 1 1 0

0 1 1 1

Э РСотр(1) 1 1 2 0

1 1 0 0

1 2 1 1 1

0 1 1 1

Существуют различные определения выразимости операций через операции. Здесь мы придерживаемся определений 1-3, предлагаемых В. М. Поповым. Условимся использовать символы Р1,Р2,Рз, ■ ■ ■ в качестве переменных, а символы (,) и , в качестве технических символов. Определения 1 и 2, а также формулируемые далее условия предполагают, что Г1,.. ■, Гк (к — целое положительное число) есть операции на непустом множестве М, а $1, ■ ■ ■ ,вк есть попарно различные символы, каждый из которых отличен от любого из символов (, ),,,Р1,Р2,Р3, ■ ■ ■

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Г1 ...Гк в1... вк-формулы:

(1) для всякого целого положительного числа п рп есть Г ...

Гк 81 ■ ..вк-формула,

(2) если г € {1,...,к} и ранг операции Гг есть 0, то вг есть Гх ...Гк вх... в к-формула,

(3) если г € {1,..., к} и ранг операции Гг отличен от 0 и равен I, а Ах,... ,Лг есть Гх... Гквх... вк-формулы, то вг(Ах,..., А1) есть Гх... Гквх... вк-формула,

(4) ничто другое не есть Гх... Гквх... вк-формула.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Гх... Гк вх... вк-оценки:

Гх... Гквх... вк-оценкой называем отображение множества всех переменных во множество М.

Можно доказать, что существует единственное отображение, обозначим его через Ц^---^81---8к, удовлетворяющее условиям:

(1) | \Р1-Рк31-3к есть отображение в М декартова произведения множества всех Гх... Гквх ... вк-формул на множество всех Гх... Гк вх... вк-оценок,

(2) если п есть целое положительное число и V есть Гх... Гк вх... вк-оценка, то \р,п, VIе1 -Рка1-ак = v(pn),

(3) если г € {1,... ,к}, ранг операции Гг есть 0 и V есть Гх... Гквх... вк-оценка, то \вг, и\Р1 ■■■Рк31---3к = Гг,

(4) если г € {1,...,к}, ранг операции Гг отличен от 0 и равен I, Ах,...,А1 есть Гх ...Гк вх ...вк-формулы и V есть Гх ...Гк вх... вк-оценка, то \вг(Ах,... ,Аг )^\Р1 -Рк31-3к = Гг(\Ах^\Р1-Рк а1-ак , ..., \А1^1Р1-Рка1-ак ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Операция д выразима через операции /х,...,/к (к — целое положительное число), если операции д, /х,..., /к являются операциями на одном и том же непустом множестве, существуют попарно различные символы вх,... ,вк, каждый из которых отличен от любого из символов (,), ,,рх,р2, рз,... и существует такая /х ... /квх... вк-формула Ф, что выполняются следующие условия:

(1) если ранг операции д равен 0, то для всякой /х... /к вх... вк -оценки V д = \Ф^\?1--?к81--8к,

(2) если ранг операции д есть целое положительное число п, то для всякой /1... ¡кв1 ■ ■ ■ вк-оценки V верно, что д(у(р1), ■ ■ ■, Фп)) = |Ф,v|/l•••/fc 51 .

Очевидны следующие утверждения (1)-(4).

(1) Символы —, &, V, Э попарно различны и каждый из них отличен от любого из символов (,), ,,Р1 ,Р2,Рз, ■ ■ ■

(2) Операции —,&, V, Э РОапЬ, ЭЬРЕ, Э РОапЬ(1) , ЭРОатр(1)

являются операциями на одном и том же множестве (на множестве {1,1, 0}).

(3) —Р1 ,Р1 &Р2,Р1 V Р2 и Р1 Э Р2 есть — & V ЭЬРЕ Э-формулы, — &V ЭРОапЬ(1) — & V Э-формулы и — &V ЭРоатр(1) —&V Э-формулы2 (внешние скобки опускаем, как это принято).

(4) Если ¡1,..., /к (к — целое положительное число) суть операции на некотором непустом множестве, то для всякого г (г есть целое положительное число, меньшее или равное к) операция / выразима через операции ¡1, ■■■, /к.

ТЕОРЕМА 1 (о выразимости, операций матриц М-рсапь, Мрсопг(1) и Мрсотр(1) через операции матрицы Мьре).

Всякая операция —, &, V, ЭрОапЬ, ЭрОапЬ(1), ЭРОатр(1) выразима через операции —, &, V, Эьре ■

Доказательство. В свете утверждений (1)-(4) и определения 3 понятно, что для доказательства Теоремы 1 достаточно доказать утверждение (5).

(5) Для всякой — &V Эьре —&V Э-оценки V: v(p1) ЭроспЬ V(Р2) = |(—Р1 Э Р2) Э Р2,v|Г&VDLPFv(pl) ЭрОапЬ(1) V(Р2) = I— ((— Р2 Э —Р1) Э — (Р1 Э Р1

v(Рl) ЭрОатр(1) V(Р2) = | —((Р1 Э Р2) Э — (Р1 Э Р1)),

2Автор надеется, что естественное для данного контекста использование инфиксной, а не префиксной, записи не создаст трудности для читателя.

Докажем утверждение (5).

(5.1) v0 есть -1&У !ьре -&У Э-оценка (допущение). Используя утверждение (5.1) и определение отображения , получаем, что (5.2) \(-рх Э р2) Э р2, V0|-&VDьFF-&VD = (-V0(рх) ЭЬРЕ V0 (Р2)) !ЬРЕ Vo(p2), \-((-Р2 Э -рх) Э -(рх Э рх))^оГ&УЭьрр= -((-Vо(Р2) !ЬРЕ -Vо(рх)) !ЬРЕ -(Vо(Рх) !ЬРЕ Vo(pх))), |—((рх Э Р2) Э -(рх Э рх))^оГ&УЭьрр= -(Ырх) !ьре г^о('р2) !ЬРЕ -(Vо(рх) !ЬРЕ Vo(pх))).

Опираясь на табличные определения операций Iрсопь, IрсапЬ(1), 1рсотр{1), - и !ьре, получаем, что

(5.3) Vo(pх) IРСопЬ Vo(p2) = (-Vо(рх) !ьре Vo(p2)) !ьре Vo(P2), Vo(Pх) !рСопЬ(1) Vo(p2) = -((-Vор) 1ЬРЕ -Vо(рХ)) 1ьРЕ -(Vор) 1ьРЕ Vо(pх))), (рх) I РСотр(1) = -(^о(рх) 1ЬРЕ

г^о(,р2) !ьре -^о(рх) !ьре Vо(pх))).

(5.4) vо(pх) !рсоп± Vо(p2) = \(-рх Э р2) Э р2, Vо|Г&VDLPF ио(рх) IРС опЬ(1) ^^р) = \-((-р2 Э -рх) Э -(рх Э рх)),

ЬРР^фх) IРСотр(1) ^Ы = \-((рх Э р2) Э -(рх Э рх))^оГ^Эьрр(из (5.2) и (5.3)).

Снимая допущение (5.1) и обобщая, получаем, что верно утверждение (5). д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 2 (о выразимости операций матриц М.рсапь, М.ьрр и Мрсатр(х) через операции матрицы Мрсапь(х)).

Всякая операция -,&, V, Iрсопь, !ьре, IРСотр(1) выразима через операции —, &, V, Iрсоп±(1) ■

Доказательство. В свете утверждений (1)—(4) и определения 3 понятно, что для доказательства Теоремы 2 достаточно доказать утверждение (6).

(6) Для всякой IРСот±(1) Э-оценки V: v(pх) IРСопЬ

V(P2) = \(рх Э -((р2 Э рх) Э рх)) V v(pх) !ьре V(P2) = \(рх Э -рх) V v(pх) IРС отр(1) ^Кр2) = \-р2 Э

Докажем утверждение (6).

(6.1) v0 есть — &V Iрсоп±(1) -&У Э-оценка (допущение).

Используя утверждение (6.1) и определение отображения ц^уЭрсопН1-)-^^, получаем, что (6.2) |(р1 Э —((р2 Э Р1) Э Р1)) V Р2^оГ&УЭрс™*(1) = (Vo(pl) ЭрОапЬ(1) — (ЫР2)

ЭрОапЬ(1) Vo(Рl)) ЭрОапЬ(1) Vo(Рl))) V здСрг), |(Р1 Э — Р1) V Р2,VoГ^ЭрСоп*(1)-&^ = ^о(Тл) ЭрОапЬ(1) — Vo(Рl)) V ^Ы, |—Р2 Э —Рl,Vo|Г&VDpCont(1)-&VD = —Vo(p2) ЭрОапЬ(1) — Vo(Рl).

Опираясь на табличные определения операций Эроспь,Эьре, Эроатр(1), —, V и ЭроапЬ(1), получаем, что

(6.3) Vo(pl) ЭрОапЬ Vo (Р2) = (Vo(Рl) ЭрОапЬ(1) — ((Vo(Р2) ЭрОапЬ(1) Vo(pl)) ЭРОапЬ(1) Vo(pl))) V Vo(p2), Vo(pl) ЭЬРЕ Vo(Р2) = (Vo(Рl) ЭрОапЬ(1) —ЗД^)) V Vo(p2), Vo(pl) ЭрОатр(1) Vo(Р2) = —V0(Р2) ЭрОапЬ(1) ^Р).

(6.4) Vo(pl) ЭрОапЬ Vo(p2) = |(Р1 Э —((Р2 Э Р1) Э Р1)) V Р2,V0 ^З™™«1^^, Vo(pl) ЭЬРЕ Vo(p2) = |(Р1 Э —Р1) V Р2,V0 р&^ж™«1-^, Vo(Рl) Э РО атр(1) Vo(Р2) = |— Р2 Э —Р1, v0|г&VDpcont(l)-&V^ (из (6.2) и (6.3)).

Снимая допущение (6.1) и обобщая, получаем, что верно утверждение (6).

д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 3 (о выразимости операций матриц М-рсапь, М.ьре и Мрсопь(1) через операции матрицы Мрсотр(1)).

Всякая операция —, &, V, ЭРОапь, Эьре, ЭРОапь(1) выразима через операции —, &, V, ЭРОатр(1) ■

Доказательство. В свете утверждений (1)-(4) и определения 3 понятно, что для доказательства Теоремы 3 достаточно доказать утверждение (7).

(7) Для всякой —&VЭрoаmp(l) Э-оценки V: v(pl) ЭрОапЬ v(p2) = |((р2 Э Р1) Э —Р1) V Р.¿^^^Р^трЫ^^, v(pl) ЭЬРЕ V(Р2) = |(Р1 Э Р2) V Р2, РСотР(1)—&^~',

v(Рl) ЭрОапЬ(1) V(Р2) = |—Р2 Э —Р1, иГ&^^^РЫ-^.

Докажем утверждение (7).

(7.1) v0 есть — &V ЭрОатр(1) —&V Э-оценка (допущение).

Используя утверждение (7.1) и определение отображения ц^^Эр^тр^^э, получаем, что (7.2) |((р2 Э р1) Э —р1) V Р2, Vo ^^г^ра-^ = (^0(Р2) ЭрОатр(1) Vo(Рl)) ЭрОатр(1)

—Vo(pl)) V здЫ, |(Р1 Э Р2) Vр2,и0Г^ЭрС°тР(1)-&^ = (vo(pl)

ЭрОатр(1) Vo(Р2)) V Vo(p2), |—Р2 Э —р1, Vo|-&VЭPComP(1)-&VD =

—V0(Р2) ЭРОатр(1) —ЫрО.

Опираясь на табличные определения операций ЭрОапЬ,Эьре,

Э РОапЬ (1) , V и ЭРОатр(1) , полУчаем, что

(7.3) Vo(pl) ЭРОапЬ Vo(p2) = ((vo(p2) ЭрОатр(1) Vo(pl)) Э РОатр(1) ^0 (Р1)) V Vo(p2), Vo(pl) ЭьРЕ Vo(p2) = (Vo(Рl) ЭРОатр(1) Vo(р2)) V Vo(p2), Vo(pl) ЭрОапЬ(1) Vo(p2) = —Vo(p2) Э РОатр(1) —"0(Р1).

Снимая допущение (7.1) и обобщая, получаем, что верно утверждение (7).

д.Е.Б.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЛЕММА. Пусть $1, $2, $з и $4 есть попарно различные символы, каждый из которых отличен от любого из символов (,), ,,Р1,Р2, Рз, ■ ■., а V есть такая — &V ЭрОапЬ в1в2в3в4-оценка, что v(pi) = 1 для всякого целого положительного числа г.

Для всякой —&VЭрoаnЬ $1 в2в3в4-формулы А верно, что

1 2.

А v|-&VЭрC0ntSlS2S3 54 = 1

Лемма доказывается индукцией по построению — &V ЭРОстЬ в1в2в3в4-формулы.

ТЕОРЕМА 4 (о невыразимости ЭьРЕ, ЭрОапЬ(1) и ЭрОатр(1) через операции матрицы МрсопЬ).

Операции Эьре, ЭрОапЬ(1) и ЭрОатр(1) не являются выразимыми через операции —, &, V, Э РОапЬ ■

Доказательство. Доказажем, что Эьре не является выразимой через операции —, &, V, Э РОапЬ.

Доказательство проводим от противного.

(1) Эьре выразима через —, &, V, ЭрОапЬ (допущение).

(2) Существуют попарно различные символы $1, $2, $з, $4, каждый из которых отличен от любого из символов (,), ,,р1,р2,рз, ■ ■ ■ и существует такая — &V ЭрОапЬ в1в2в3в4-формула Ф, что для

всякой — &V !рсопЬ вхв2в3в4-оценки V верно, что v(pх) !ьре v(p2) = \Ф,иГ&^ро°п*31323334 (из (1), по определению 3).

Пусть (3)в'х, в^, в'з, в4 есть попарно различные символы, каждый из которых отличен от любого из символов (,), ,,рх,р2, р3,..., а Ф' есть такая — &V !рсопь в'^в'^-формула, что для всякой — &V !рсопь в^в'зв^оценки V верно, что v(pх) !ьре

"^(р2) = |Ф' ^^^^РСоп*3!3'?. 3334 .

Очевидно, что (4) существует такая — &V !рсопь в'хв'2в'3в'4-оценка V, что v(pi) = 2 для всякого целого положительного числа г.

Пусть (5) V есть такая — &V Iрсопь в^вЗв^оценка, что V(рг) = х для всякого целого положительного числа г.

(6) \Ф'V= х (из (3) и (5), по Лемме).

(7) V'(рх) !ьре V'р) = |Ф'У Г&чэрсош3!3'3'^ (из (3) и (5)).

Опираясь на утверждения (6) и (7), получаем, что

(8) V(рх) !ьре V(р2) = 1.

(9) V(рх) !ьре V(р2) = 1 (из того, что V(рх) = Vр) = х, по определению !ьре).

Утверждение (9) противоречит утверждению (8). Следовательно, неверно допущение (1). Но тогда !ьре не является выразимой через —, &, V, I Рсоп±.

Доказательство того, что Iрсоп^ь(1) не является выразимой через операции —, &, V, !рсоп±, и доказательство того, что !рсотр(1) не является выразимой через операции —, &, V, !рсоп±, аналогичны данному выше доказательству того, что !ьре не является выразимой через операции —, &, V, !рсопь.

д.Е.Б.

Автор выражает благодарность В. М. Попову за постановку проблемы и сделанные им исправления в черновом варианте статьи и А. С. Карпенко, прорецензировавшему статью и сообщившему, что уже в работе [6] приведены те же, что и в настоящей статье, тождества, выражающие импликацию Iрсопь(1) через операции матрицы Мрсотр(х) и импликацию !рсотр(1) через операции матрицы Мрст^) (в целях сохранения целостности изложения мы не стали опускать здесь обоснование указанных тождеств).

Литература

[1] Розоноэр Л. И. О выявлении противоречий в формальных теориях. 1 // Автоматика и телемеханика, № 6, 1983. С. 113—124.

[2] Avron A. Natural 3-valued Logics: Characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic. Vol. 56. 1991. P. 276-294

[3] Попов В. М. Между Par(1) и множеством всех формул // Объединенный научный журнал. № 7-8 (254-255). М., 2011. С. 35-39.

[4] Попов В. М. Между Par и множеством всех формул // Материалы 6 конференции «Смирновские чтения по логике 2009». С. 93-95.

[5] Знаменская Н. А., Попов В. М. Паранормальная логика PContPComp как пересечение паранепротиворечивой логики PCont и параполной логики PComp // Материалы 6 конференции «Смирновские чтения по логике 2009». С.63-65.

[6] Томова Н. Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. Вып. 16. М.-СПб., 2010. С.63-65.

К проблеме выразимости операций характеристических матриц паранепротиворечивых и параполных логик Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Знаменская Наталия Андреевна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Знаменская Наталия Андреевна

Текст научной работы на тему «К проблеме выразимости операций характеристических матриц паранепротиворечивых и параполных логик»