Погружение импликативного фрагмента классической логики в импликативный фрагмент интуиционистской Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Попов В.М.

ПОГРУЖЕНИЕ ИМПЛИКАТИВНОГО ФРАГМЕНТА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ В ИМПЛИКАТИВНЫЙ ФРАГМЕНТ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ1

Abstract. A translation from the calculus С1з which is a formalization of the implicative fragment of classical logic to the calculus Шз> which is a formalization of the implicative fragment of intuitionistic logic is constructed. This translation is such that for all formulas A the following condition is satisfied: a formula A is deducible in Cl^iff the translation of A is deducible in Шз>.

Исчисление Оз (одна из формализаций импликативного фрагмента классической логики) погружается в исчисление Into (одну из формализаций импликативного фрагмента интуиционистской логики) посредством конструируемой ниже операции. Исчисления Оз и Into являются пропозициональными исчислениями гильбертовского типа. Алфавиту языка L этих исчислений принадлежат только следующие символы: 1) пропозициональные переменные p1, p2, ..., pn, ...; 2) бинарная логическая связка з (импликация); 3) скобки ),(. Формулы в L (далее просто формулы) определяются обычно, внешние скобки опускаются. Буквы А, В и С (с индексами или без них) используются как переменные для формул. Аксиомы исчисления Into есть в точности те формулы, каждая из которых имеет вид А з (В з А) или (А з В) з ((А з (В з С)) з (А з С)). Аксиомы исчисления Оз есть в точности те формулы, каждая из которых есть аксиома исчисления Into или имеет вид ((А з В) з А) з А. Единственным правилом вывода этих исчислений является modus ponens А з В, А / В. Доказательства в этих исчислениях строятся стандартно. На множестве всех формул следующим образом определяются две унарные операции Сд и Т:

СдЫ = pt+1, Сд(А з В) = Сд(А) з Сд(В);

T(pi ) = (pi з pO з pb T(A з B) = T(A) з T(B).

Композиция Сд * Т есть погружающая операция исчисления Оз в исчисление Into, т.е. имеет место следующая теорема: фор-

1 Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 98-03-04220.

мула А доказуема в исчислении С1з т .т .т. формула Т(Сд(А)) доказуема в 1п1з. Для доказательства этой теоремы достаточно доказать следующие утверждения У1 и У2.

У1: если формула А доказуема в С1з, т о формула Т(Сд(А)) доказуема в1п1з.

У2: если формула Т(Сд(А)) доказуема в 1п1з, т о формула А доказуема в С1з.

Для доказательства У1 достаточно доказать: (1) в 1п1з доказуем Сд*Т-образ любой аксиомы исчисления С1з, (2) для любых формул А и В верно следующее: если Т(Сд(А)) и Т(Сд(А з В)) доказуемы в Мз, то формула Т(Сд(В)) доказуема в 1п1з. Доказательство пункта (2) легко получить, заметив, что для любых формул А и В Т(Сд(А з В)) есть Т(Сд(А)) з Т(Сд(В)).

Доказательство пункта (1). Для любых формул А и В формула Т(Сд(А)) з (Т(Сд(В)) з Т(Сд(А))) доказуема в 1п1з, т.к. является аксиомой этого исчисления. В силу определений операций Сд и Т эта формула есть формула Т(Сд(А з (В з А))). Поэтому для любых формул А и В формула Т(Сд(А з (В з А))) доказуема в 1п1з. Аналогично доказывается, что для любых формул А, В и С в 1п1з доказуема формула Т(Сд((А з В) з ((А з (В з С)) з (А з С)))). Доказательству того, что Сд*Т-образ всякой формулы, имеющей вид ((А з В) з А) з А, доказуем в 1п1з, предпосылаются следующие лемма 1 и лемма 2. Лемма 1. Для всякой формулы А существует такое целое положит ельное число ! и существует такое целое неотрицательное число п, что Т(Сд(А)) есть А1 з (...з (Ап з ((р; з р^ з р^)...). Лемма 2. Для всяких целых положительных чисел! и j и всяких целых неот рицат ельных чисел п и т в исчислении 1п1з доказуема любая формула (((А 1 з (... з (Ап з((р! з р1) з р1))...)) з(В1 з (...з (Вт з ((р з рО з рО)...))) з (А1 з(... з (Ап з ((р, з рО з р1))...))) з (А 1 з (...з (Ап з ((р, з рО з р1))...)).

Здесь и далее при п = 0 формула А1 з (... з (Ап з((р! з р1) з р1))...) есть просто формула (р! з р1) з р1, аналогично для формулы В1 з (...з (Вт з (^ з рО з р1))...).

Доказательство леммы 1 проводится индукцией по числу вхождений импликации в формулу А.

Поскольку для 1п1з известны разрешающие процедуры (например, разрешающая процедура Генцена, опирающаяся на построение соответствующего секвенциального исчисления), доказательство леммы 2 сводится к упражнению в применении такой процедуры.

Покажем теперь, что для всяких формул А и В в Ш;з доказуема формула Т(Сд(((А з В) з А) з А)).

В силу определений операций Сд и Т для всяких формул А и В формула Т(Сд(((А з В) з А) з А)) есть формула ((Т(Сд(А)) з Т(Сд(В))) з Т(Сд(А))) з Т(Сд(А)). По лемме 1 Т(Сд(А)) есть А1 з (... з (Ап з((pi з Pl) з Pl))...) и Т(Сд(В)) есть В1 з (...з (В,* з (^ з p1) з p1))...) для некоторых целых положительных чисел i и j и некоторых целых неотрицательных чисел п и m. Но тогда формула Т(Сд(((А з В) з А) з А)) есть формула (((А1 з (... з (ап з(^ з Pl) з pl))...)) з(В1 з (...з (В,» з ((д з pl) з pl))...))) з (А1 з(... з (Ап з ((pi з Pl) з Pl))...))) з (А1 з (...з (Ап з ((pi з Pl) з Pl))...)) для некоторых целых положительных чисел i и j и некоторых целых неотрицательных чисел п и m. По лемме 2 последняя формула доказуема в Щ;з. Следовательно, в Щ;з доказуема формула Т(Сд(((А з В) з А) з А)). Утверждение У1 доказано.

Доказательству утверждения У2 предпосылается следующая лемма 3.

Лемма 3. Если p1 не входит в формулу А и формула T(A) доказуема в ¡й;з, то А доказуема в Оз.

Доказательство.

1) Переменная p1 не входит в формулу А (условие).

2) Формула доказуема в Щ;з (условие).

3) Формула T(A) доказуема в Оз (из пункта 2 и того, что множество всех формул, доказуемых в Ш;з , включается во множество всех формул, доказуемых в Оз).

4) Формула T(A) есть классическая тавтология в языке L (из пункта 3 и того известного факта, что для всякой формулы А имеет место следующее: А доказуема в Оз т.т.т. А есть классическая тавтология).

5) Значение формулы T(A) есть И при всякой оценке языка L в матрице Мз = < {И, Л}, {И}, з >, где операция з определяется таблицей для классической импликации (из пункта 4).

6) Значение формулы Т(А) есть И при всякой такой оценке языка L в Мз, при которой значение переменной p1 есть Л (из пункта 5).

7) Для всякой формулы В: если p1 не входит в формулу В, то значение формул Т(В) з В и В з Т(В) есть И при всякой такой оценке языка L в Мз, при которой значение переменной p1 есть Л (доказывается индукцией по числу вхождений импликации в В).

8) Значение формулы Т(А) з А есть И при всякой такой оценке языка Ь в Мз, при которой значение переменной р1 есть Л (из пунктов 1 и 7).

9) Если при всякой оценке языка Ь в Мз, при которой значение переменной р1 есть Л, значение формулы Т(А) есть И, то при всякой такой оценке языка Ь в Мз значение формулы А есть И (из пункта 8 и табличного определения импликации).

10) При всякой оценке языка Ь в Мз, при которой значение переменной р1 есть Л, значение формулы А есть И (из пунктов 6 и 9).

11) При всякой оценке языка Ь в Мз значение формулы А есть И (из пунктов 10 и 1).

12) Формула А есть классическая тавтология (из пункта 11).

13) Формула А доказуема в С1з (из пункта 11 и известного факта, упоминавшегося в пункте 4).

Лемма 3 доказана. Доказательство утверждения У2.

1) Формула Т(Сд(А)) доказуема в 1п1з (условие).

2) Переменная р1 не входит в Сд(А) (из определения операции Сд).

3) Формула Сд(А) доказуема в С1з (из пунктов 1, 2 и леммы 3).

4) Для всякой формулы В справедливо: формула В доказуема в С1з т.т.т. формула Сд(В) доказуема в С1з (из того известного факта, что множество всех формул, доказуемых в С1з, замкнуто относительно подстановки).

5) Формула А доказуема в С1з (из пунктов 3 и 4). Утверждение У2 доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов В.А Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.