CC BY
20К вопросу о конечности конечно-порожденных импликативных полуструктур
В.И. Хомич, А.И. Федосеев
abstract. In this paper we study finitely generated implicative semilattices. We obtain the criteria of finiteness for finitely generated implicative semilattices with a least element.
1 Введение
Настоящая статья посвящена изучению конечно-порожденных импликативных полуструктур.
Известно (см., например, [1-6]), что псевдобулевы алгебры, импликатуры, импликативные полуструктуры и импликативные структуры являются моделями для интуиционистской пропозициональной логики и ее фрагментов. Для решения многих задач дедуктивного характера, возникающих при исследовании этой логики, применяются алгебраические методы, использующие результаты, касающиеся упомянутых выше алгебр. В работах [5, 6] эти алгебры называются ^-алгебрами, где v — набор логических пропозициональных знаков, содержащий знак импликации и определяющий вид алгебры. В дальнейшем мы будем пользоваться обоими названиями этих алгебр.
В исследованиях псевдобулевых алгебр, импликатур, импликативных полуструктур и структур значительное место занимает изучение конечных и конечно-порожденных алгебр. Очевидно, что конечная алгебра является конечно-порожденной. Известно [7], что существует бесконечная псевдобулева алгебра с одним образующим элементом. Возникает вопрос: при каких условиях конечно-порожденная алгебра будет конечной?
В работах [8, 9] получены критерии конечности конечно-порожденных псевдобулевых алгебр. Согласно теореме Попеля -
Диего [10, 11] конечно-порожденная v-алгебра, где v не содержит знака дизъюнкции, является конечной. В данной работе получен критерий конечности для конечно-порожденных импли-кативных полуструктур с нулем (т.е. DV-i-алгебр). Для доказательства этого результата получен ряд других результатов, касающихся конечно-порожденных импликативттых полуструктур. Отметим, что некоторые из них представляют и самостоятельный интерес.
2 Предварительные сведения
Напомним необходимые в дальнейшем сведения. Интуиционистское пропозициональное исчисление [4], заданное десятью аксиомами и двумя правилами вывода (подстановка и модус поттепс), будем обозначать через H, а суперинтуиционистское пропозициональное исчисление, получающееся из H путем добавления в список аксиом исчисления H пропозициональной формулы X, называемой его дополнительной аксиомой, — через H+X. Исчисления H+X и H+Y называются равнообъемными, если множество формул, выводимых в H + X, совпадает с множеством формул, выводимых в H+Y. Пропозициональные переменные и формулы будем обозначать строчными и заглавными латинскими буквами (возможно, с индексами) соответственно.
Пусть ß — какой-нибудь набор логических пропозициональных знаков. Пропозициональную формулу назовём ß-формулой, если она тте содержит логических знаков, отличных от знаков набора ß; ß-формула называется ß-выводимой в H, если в H существует ее вывод, каждая формула которого является ß-формулой.
H
по выбрать так, что оно будет отделимым, т.е. будет удовлетворять следующим условиям:
1) каждая его аксиома содержит тте более двух логических знаков, причем если Pix два, то один из них — импликация;
всякая ß-формула, выводи мая в H, будет ß U {^-выводимой в нем.
H
числением.
Запись У\,..., Ут Ь Z (У1,..., Ут \= Z) будет означать, что формула ^ ^^^има в Н из формул У\,..., Ут с помощью обоих правил (с помощью правила модус поненс и выводимых в Н формул), с1 3 ЗЛИСЬ Ь X — что формула X выводим а в Н. Пропозициональную формулу Хп Э (... Э (Х1 Э У)...) условимся записывать в виде {Х1,... Хп} Э У.
Пусть V — набор логических пропозициональных знаков, содержащий знак импликации. Напомним определение v-aлгeбpы,
Н
Операции v-aлгeбp будем обозначать так же, как и соответствующие им (интерпретируемые ими) логические пропозициональные связки. По сути, v-aлгeбpa — это множество, на котором заданы операции псевдобулевой алгебры, определяемые набором V. Точнее говоря, множество 2 назовем v-aлгeбpoй, если в нем указан выделенный элемент, обозначаемый через 1, и заданы соответствующие знакам набора V операции, удовлетворяющие следующим условиям:
1) (усез)(1 э е = 1 ^ е = 1);
2) (уе,п е ш э п = 1 л п э е = 1) ^ е = т
для каждой ^^^гаомы X (т.е. аксиомы, являющейся V-
Н
лучающегося из X путем замены переменных формулы X элементами из Н, а логических знаков — соответствующими им операциями Н, равно выделенному элементу.
Определение v-aлгeбpы можно найти также в работах [12, 13]. Если V содержит все четыре логических пропозициональных знака, то v-aлгeбpa является псевдобулевой алгеброй. В дальнейшем v-aлгeбpы и их элементы будем обозначать заглавными и строчными греческими буквами (возможно, с индексами) соответственно.
Часто Э-алгебру называют импликатурой, ЭУ-алгебру — им-пликативной полуструктурой и ЭУ—-алгебру — импликативной полуструктурой с нулем. Операции Э, У и — этих алгебр называют относительным псевдодополнением, объединением и псевдодополнением соответственно.
Элементы £1,... ,£n v-адгебры Е называются ее образующими элементами, если для любого элемента п из Е существует терм T(£1,..., £n), построенный из £1,£n с помощью операций v-алгебры Е и удовлетворяющий в Е равенству п = T(£1,..., £n). Если в v-алгебре Е существует конечное число образующих (не более, чем n образующих) элементов, то Е называется конечно-порожденной (n-порожденной) v-алгеброй.
vX
в v-алгебре е, если значения каждого выражения (терма), получающегося из X путем замены переменных v-формулы X элементами из Е, а логических знаков — соответствующими им операциями v-адгебры Е, равно те выделенному элементу. Если X не является общезначимой в Е, то X называется опровержимой в Е.
Пусть В — какая-л ибо v-адгебра, £,n,Zi, ■ ■ ■ ,Zn — какие-нибудь ее элементы и Ф — ее подмножество. На В можно задать отношение частичного порядка, положив £ ^ п в том и только в том случае, когда £ D п = !■ Элемент а мпожества Ф на-
В
т Е Ф и т ^ а следует, что т = а. Множество всех минимальных элементов множества Ф будем обозначать через М(Ф), терм Zn D (• • • D (Zi D £)...) — через {Zi,..., Cn} D £ и наименьший элемент v-алгебры В (если он имеется) — через 0. Число элементов конечного множества Ф будем обозначать через |Ф|.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться леммой 1 работы [14]. Для удобства чтения данной статьи сформулируем эту лемму.
ЛЕММА 1. (Щ, лемма 1]) Каковы бы ни были v-формулы Q и v-алгебра В, если Ь Q, то Q общезначима в В.
Докажем следующую вспомогательную лемму.
ЛЕММА 2. Пусть p, q, s,t,w1,... ,Wk — пропозициональные переменные. Тогда верны следующие утверждения:
Ь (q V (q D s)) D ((p V (p D q)) D ((p D q) V ((p D q) D s))); 2. Ь (p V (p D s)) D ((q V (q D s)) D ((p V q) V ((p V q) D s)));
Ь (p V-p) D ((q V-q) D ((p D q) V-(p D q)));
Ь (р У —р) Э ((д У —д) Э ((р У д) У —(р У д)));
5. Ь (р У —р) Э (—р У ——р);
6. Ь ——({ш1,... ,Шк }Э р) Э ({——Ш1,..., ——Шк }Э——р); Ь ({——Ш1,..., ——Шк } Э ——р) Э ——({ш1,..., Шк } Э р);
8. Ь ({ш1,.. .,шк }Э д) Э ({ш1,.. .,шк }Э (р Э д));
9. Ь ({ш1,...,шк }Э р) Э ({ш1,...,ши }Э (р У д));
10. Ь ({ш1,.. .,шк} Э р) Э (({ш1,.. .,шк} Э (р Э д)) Э ({ш1,..., шк }Э д));
11. Ь (рэв) э ((рэг) э ((8э (гэд)) э (рэд))).
Доказательство. Докажем утверждение (1). Нетрудно проверить, что д Э в, р, р Э д = в. Тогда д Э в, р = (р Э д) Э в и поэтому имеем д Эв, р = (рЭд) У ((рЭ д) Э в).
Поскольку дЭв, рЭд = рЭд, имеем дЭв, рЭд = (р Э д)У((рЭ д) Э в). Следовательно, д Э в, р У (р Э д) = (р Э д) У ((р Э д) Э в). Значит, д Э в = (р У (р Э д)) Э ((р Э д) У ((р Э д) Э в)).
Легко видеть, что д = (р Э д). Тогда д = (р Э д) У ((р Э д) Э в) и поэтому имеем д = (р У (р Э д)) Э ((р Э д) У ((р Э д) Э в)). Следовательно, д У (д Э в) = (р У (р Э д)) Э ((р Э д) У ((р Э д) Э в)).
В результате получаем, что Ь (д У (д Э в)) Э ((р У (р Э д)) Э ((р Э д) У ((рЭ д) Э в))).
Докажем утверждение (2). Так как р = рУд,тор = (рУд)У((рУ д) Э в) и поэтому имеем р = (д У (д Э в)) Э ((р У д) У ((р У д) Э в)).
Поскольку р Э в, д = р У д, имеем р Э в, д = (р У д) У ((р У д) Э в). Так какр Э в, д Э в, р = вир Э в, д Э в, д = в, тор Э в, д Э в, рУд = в и поэтому имеем р Э в, д Э в = (р У д) Э в. Значит, р Э д, д Э в = (р У д) У ((р У д) Э в). Тогда р Э в, д У (д Э в) = (р У д) У ((р У д) Э в) и поэтому имеем р Э в = (д У (д Э в)) Э ((р У д) У ((р У д) Э в)). Следовательно, р У (р Э в) = (д У (д Э в)) Э ((р У д) У ((р У д) Э в)). В результате получаем, что Ь (р У (р Э в)) Э ((д У (д Э в)) Э
((р У д) У ((р У д) Эв))).
Докажем утверждение (3). Так как д = р Э д, то д = (р Э д) У —(р Э д) и поэтому им еем р У —р, д = (р Э д) У —(р Э д). Поскольку
p, —q, p D q = q и p, -q, p D q = —q, имеем p, —q = -(p D q). Значит, p, -q = (p D q) V -(p D q). Так как -p, -q, p = q, то -p, -q = p D q и поэтому имеем -p, -q = (p D q) V -(p D q). Тогдa p V -p, -q = (pDq) V-(pDq). Следовательно, pV-p, qV-q = (pDq) V-(pD q).
В результате получаем, что Ь (p V -p) D ((q V -q) D ((p D q) V-(pDq))).
Докажем утверждение (4). Так как p = pVq, то p = (pVq)V-(pV q) и поэтому имеем p, q V -q = (p V q) V-(p V q). Так как q = p V q, то q = (p V q) V-(p V q) и поэтому им еем -p, q = (p V q) V-(p V q). Поскольку -p, -q, p = -(p V q) и -p, -q, q = -(p V q), имеем -p, -q, (pVq) = -(pVq). Тогда -p, -q = -(pVq) и поэтому имеем -p, -q = (p V q) V -(p V q). Зпачит, -p, q V -q = (p V q) V -(p V q). Следовательно, p V -p, q V -q = (p V q) V -(p V q). В результате получаем, что Ь (p V -p) D ((q V -q) D ((p V q) V -(p V q))).
Докажем утверждение (5). Так как p = -p V --p и -p = -p V -- p, то p V-p = -p V-- p и поэтому им еем Ь (p V-p) D (-p V--p).
Из выводимости 60i теоремы 7 монографии [4] с помощью теоремы 6 из [4] получаем верность выводимостей 6 и 7.
{w1, . . . ,
wk} D q, w1, ..., wk = q. Тогда {w^_,..., wk} D q, w1, ..., wk = p D q и поэтому им еем Ь ({w1,... ,wk }D q) D ({w1,... ,wk }D (p D q)).
{w1, . . . ,
wk }D p, w1, ...,wk = p. Тогда {wb ... ,wfc }D p, wb ..., wk = pVq и поэтому имеем Ь ({w1,..., wk} Dp) D ({w1,..., wk}D (p V q)).
{w1, . . . ,
wk} D p, {w1,.. .,wk} D (p D q),w1, ...,wk = p и {w1,... ,wk} D p, {w1,...,wk }D (p D q), w1, ...,wk = p D q. Тогд a {w1 ,...,wk }D p, {w1,... ,wk} D (p D q), w1, ..., wk = q и поэтому имеем Ь ({w1,...,wk }D p) D (({w1,...,wk }D (p D q)) D ({wu...,wk }D
q)).
p D s, p D
t, s D (t D q), p = q. Поэтому им еем Ь (p D s) D ((p D t) D ((s D (t D q)) D (p D q))). Q.E.D.
Следующие две леммы содержат равенства, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
DV В £ п
и р верны равенства (п V (п D р)) D ((£ V (£ D п)) D ((£ D п) V ((£ D
п) э р))) = 1 и (е у (е э р)) э ((п у (п э р)) э ((е у п) у ((е у п) э р))) = 1.
Доказательство. Пусть ЭУ-алгебра в и те элементы е,
п и р. Согласно пунктам (1) и (2) леммы 2 имеем Ь (д У (д Э в)) э ((р У (р э д)) э ((р э д) У ((р э д) э в))) и Ь (р у (р э в)) э ((д У (д Э в)) Э ((р У д) У ((р У д) Э в))), где р,д и в — пропозицио-
ЭУ
в р, д в е
п и р соответственно, получим, что (п У (п Э р)) Э ((е У (С Э п)) Э
((е э п) у ((е э п) э р))) = 1 и (е у (е э р)) э ((п у (п э р)) э ((е у п) у ((е у п) э р))) = 1. д.к.п.
в ЭУ— е, п,
р1 , . . . , рк в
следующие равенства:
1. (е у —е) э ((п у —п) э ((е э п) у —(е э п))) = 1
2. (е у —е) э ((п у —п) э ((е у п) у —(е у п))) = 1 5. (еу—е)э(—еу——е) = 1
4. ——(е у —е) = 1;
5. (еу—е)э(——еэе) = 1
б- ——({р1,...,рк }э е) = {——р1,..., ——рк }э——е.
Доказательство. Пусть
ЭУ— в
С, п и р1,..., рк- Пусть р, д и Ш1,... ,Шк — пропозициональные переменные. Согласно пунктам (3), (4) и (о) леммы 2 имеем, Ь (р У—р) э ((д У—д) Э ((р Э д) У—(р э д))), Ь (р У—р) э ((д У—д) Э ((р У д) У —(р У д))) и Ь (р У —р) Э (—р У ——р). Согласно пунктам
Ь ——(р У —р) (р У —р) Э ( —— р Э р) ЭУ—
в в Подставив в них вместо р, д элементы С, п соответственно, получим равенства (1)-(о).
Из выводимостей (6) и (7) леммы 2 аналогичными рассуждениями получаем, что ——({р1,..., рк} Э С) Э ({——р1,..., ——рк} Э
-■-■О = 1й ({——рг,...,——рк}э——Э——({рг,...,рк}эО = 1. Тогда ——({рг ,...,рк} Э ^ {——рг,..., ——рк} Э и
{——рг,..., ——рк} Э ^ ——({рг,..., рк} Э {), а поэтому равенство (6) имеет место. д.Е.О.
3 Конечно-порожденные импликативные полуструктуры
В этом параграфе докажем теорему дающую критерий конечности для конечно-порожденных импликативттых полуструктур с нулем (т.е. ЭУ—■-алгебр). Этот критерий является аналогом критерия конечности, полученного в работах [8, 9] для коттечпо-по-рождеттпых псевдобулевых алгебр. При получении критерия из [8, 9] важную роль играло наличие в псевдобулевых алгебрах операции пересечения. Так как в ЭУ—■-алгебрах нет операции пересечения, то его нельзя автоматически перенести па конечно-порожденные ЭУ—■-алгебры. Поэтому критерий конечности конечно-порожденных ЭУ—-алгебр получим другими методами.
Докажем следующую лемму.
ЛЕММА о. В любой конечно-порожденной импликативной полуструктуре (т.е. ЭУ-алгебре) в для любых ее образующих элементов £г,верно соотнош ение М(в) С {£г,... ,£п}.
Доказательство. Пусть заданы ЭУ-алгебра в и ее образующие элементы £г,..., £п. Пусть п € М(в). Тогда существует терм X, построенный из элементов £г,..., с помощью операций ЭУ-алгебры в и удовлетворяющий в в равенству X = п- Пусть X = У о Z, где У и Z — термы, построенные из элементов ... с помощью операций ЭУ-алгебры в, а о — один из знаков Э или У. Поскольку Z ^ У о Z = X = п и п € Ш(в), имеем Z = п- Так как Z является собственным подтермом терма X, то, повторив такое рассуждение конечное число раз, получим, что п = для некоторого г (1 ^ г ^ и). Тогда имеем п € {&г,..., £п}. Следовательно, М(в) С {&г,... ,£п}. Q.E.D.
Пусть в — ЭУ—-алгебра, а ..., — ее образующие элементы. Тогда в в верны соотношения М(в) = {0} и —(&г Э = 0, где 1 ^ г ^ и и 0 — ее наименьший элемент. Поэтому если и> 1, то элементы множества {&г,..., &п}\{0} будут образующи-ЭУ— в
ЭУ—
ЭУ— ЭУ
алгебру, то для ттее лемма о верна и поэтому ее наименьший эле-
ЭУ
Пусть в — конечно-порожденная ЭУ-алгебра, а е1,...,Сп — ее образующие элементы. Положим 3© = й У (Сг Э еj)|1 ^ 2 ^ и, 1 ^ ] ^ и}, а Е© = {С|3© Э С = 1}- Нетрудно проверить, что
3© с е©.
Пусть Ф — конечно-порожденная ЭУ—-алгебра, а Съ ...,Сп — те образующие. Положим 3ф = {Сг У —Сг|1 ^ ^ ^ п}, а Еф = {СЭ С = !}■ Нетрудно проверить, что 3ф С Еф. Докажем следующую лемму.
ЛЕММА 6. Пусть V — один из наборов логических знаков ЭУ или ЭУ—, а в — конечно-порожденная V-алгебра. Тогда, имеют место следующие утверждения:
подмножество Е© ЭУ-алгебры в вместе с ее операциями Э и У является ЭУ-подалгеброй ^^^^^бры в;
если а € Е©, т € в и а Эт € Е©, то т € Е©;
если а € Е©, т € в и а ^ т, то т € Е©.
Доказательство. Пусть задана конечно-порожденная V-алгебра в. Пусть С1,... ,еп — ее образующие элементы. Положим к = |3©|- Докажем утверждение (1). Для этого достаточно показать, что подмножество Е© замкнуто в ^^^гебре в относительно ее ЭУ
Пусть р,п € Е©. Покажем, что р Э п € Е©и р У п € Е©. Согласно пунктам (8) и (9) леммы 2, имеем Ь ({ш1,... ,Шк }Э д) Э ({ш1,...,шк }Э (р Э д)) и Ь ({ш1,...,шк }Э р) Э ({ш1,...,шк }Э (р У д)), где р,д,Ш1,... ,Шк — пропозициональные переменные. Тогда в силу леммы 1 эти ЭУ-формулы общезначимы в v-aлгeбpe в. Подставив в них в место р, д, Ш1,..., Шк соответственно р, п и элементы множества 3© получим, что (3© Э п) Э (3© Э (р Э п)) = 1 и (3© Э р) Э (3© Э (р У п)) = 1. Поскольку р,п € Е©, имеем 3© Э р = 1 и 3© Э п = 1- Значит, 3© Э (р Э п) = 1 и 3© Э (р У п) = 1- Следовательно, р Э п € Е©и р У п € Е©.
Докажем утверждение (2). Пусть a Е £©, т Е ви a D т Е Е©. Согласно пункту (10) леммы 2 имеем Ь ({w\,... ,Wk} D p) D (({wi,.. .,Wk }D (p D q)) D ({wi,.. .,Wk }D q)),rnep,q,wi, ...,wk —
пропозициональные переменные. Тогда в силу леммы 1 эти DV-формулы общезначимы в ^-алгебре в. Подставив в нее вместо p, q, wi,..., wk соответственно a, т и элементы множества F©, получим, что
(F© D a) D ((F© D (a D т)) D (F© D т)) = 1.
Поскольку a Е E© и a D т Е E©, имеем F© D a = 1 и F© D (a D
т) = 1. Тогдa F© D т = 1 и, следовательно, т Е Е©.
Докажем утверждение (3). Пусть a Е Е©, т Е в и a ^ т. Тогда a D т = 1. Поэтому в силу пункта (1) этой леммы верно соотношение a D т Е Е©. А тогда, согласно пункту (2) этой леммы, имеем т Е Е©. Q.E.D.
Из доказательства пункта (1) леммы 6 видно, что р D п Е E©, если п Е Е©и р Е в, аРVП Е Е© если р Е E© и п Е ^и р Е в и п Е E©.
Докажем следующую лемму.
ЛЕММА 7. В любой конечно-порожденной DV-алгебре Ф для любых ее элементов п и у имеет место соотношение п V (п D у) Е Еф.
DV
гебра Ф Пусть ..., — те образующие элементы. Пусть п,ф Е Ф Тогда существуют термы T и U, построенные из элементов £i,..., с помощью операций DV-алгебры Ф и удовлетворяющие в Ф равенствам T = п и U = у. Докажем, что п V (п D у) Е Еф. Доказательство будем вести индукцией по построению термов T и U. Пусть T = £k и U = где 1 ^ к ^ пи 1 ^ l ^ п. Тогда п V (п D у) Е F*- Поскольку Fф ^ Е^, шеем п V (п D у) Е Еф.
Пусть T = £k и U = Xо Y, где 1 ^ к ^ п, о — один из знаков D или V а X и Y — термы, построенные из элементов ... ,£n с
DV Ф Ф
элементы р и т, что X = р и Y = т. Поэтому у = р о т. По индуктивному предположению имеем V (£k D т) Е Еф. Так как т ^ р о т = у, то D т ^ D у и поэтому имеем
У (&к Э Т) < У (&к э ф).
Тогда, согласно пункту (3) леммы 6, имеем У (&к Э ф) € Еф. Следовательно, п У (п Э ф) € Еф.
Пусть теперь Т = Ш о Z, где о — один из знаков Э или У, а Ш и Z — термы, построенные из элементов ,... с помощью операций ЭУ-адгебры Ф. Тогда в Ф существуют такие элементы и и а, что Ш = и и Z = а. Поэтому п = и о а. По индуктивному предположению имеем и У (и Э а) € Еф, и У (и Э ф) € Еф и а У (а Э ф) € Еф. В силу леммы 3 в Ф верпы соотношения (а У (а Э ф)) Э ((и У (и Э а)) Э ((и Э а) У ((и Э а) Э ф))) = 1 и (и У (и Э ф)) Э ((а У (а Э ф)) Э ((и У а) У ((и У а) Э ф))) = 1. Тогда, согласно лемме 6, имеем (и о а) У ((и о а) Э ф) € Еф. Следовательно, п У (п Э ф) € Еф. С}.е.Б.
ЭУ— Ф
любого ее элемента п имеет место соотношение п У —п € Еф.
Доказательство. Пусть задана конечно-порожденная DV->-алгебра Ф. Пусть ..., — те образующие элементы. Пусть п £ Ф. Тогда существует терм Т, построенный из элементов ... ,£n с помощью операций DV—-алгебры Ф и удовлетворяющий в Ф равенству Т = п-
Докажем, что nV—n £ Еф. Доказательство будем вести индукцией по построению терма Т. Пусть Т = где 1 ^ m ^ п. Тогда П V —п £ £ф. Поскольку, Зф ^ Еф, шеем п V —п £ Еф.
Пусть Т = W о Z, где о — один из знаков ^и V, a W и Z — термы, построенные из элементов £i,... ,£n с помощью операций DV—-алгебры Ф. Тогда в Ф существуют такие элементы и и а, что W = и и Z = а. Поэтому п = и ◦ а. По индуктивному предположению имеем и V —и £ Еф и а V —а £ Еф. В силу пунктов (1) и (2) леммы 4 в Ф верно соотношение (и V —и) D ((а V —а) D ((а о и) V —(а о и))) = 1. Тогда, согласно лемме 6, имеем (а о и) V —(а о и) £ Еф Следовательно, п V —п £ Еф.
Пусть Т = —W, где W — терм, построенный из элементов £i,..., с помощью операций DV—-алгебры Ф. Тогда в Ф суще-
и W = и п = —и
дуктивному предположению имеем и V —и £ Еф. В силу пункта
(3) леммы 4 в Ф верно соотношение (и У —и) Э (—и У ——и) = 1. Тогда, согласно лемме 6, имеем —и У ——и € Еф. Следовательно, п У —п € Еф. С}.Е.Б.
Двухэлементную булеву алгебру, задающую классическую пропозициональную логику [4] и являющуюся также псевдобулевой алгеброй, обозначим через Л2, а трехэлементную линейно упорядочению псевдобулеву алгебру (см., например, [15, 16]) — через Л3.
Пусть V — один из наборов логических знаков ЭУ или ЭУ—. Построим ^формулу ^^^ ^^дажив ^^ ^^^^^^ формуле р У (р Э д) р У —р р д
зависимости от того, равен V набору ЭУ или набору ЭУ—.
ЛЕММА 9. Пусть V — один из наборов логическ их знаков ЭУ или ЭУ—, а Ф — п-порожденная V-алгебра. Тогда если v-фopмyлa Qv общезначим а в Ф, т о |Ф| ^ 22".
Доказательство. Пусть задана п-порожденная ^адгебра Ф. е1 , . . . еп
рить, что формула Qv общезначима в псевдобулевой алгебре Л2 и опровержима в псевдобулевой алгебре Л3. По теореме 1 из [16] исчисление Н + Qv равнообъемно классическому пропозициональному исчислению [4], задающему классическую пропозициональную логику. Так как ^формула Qv общезначима в V-алгебре в, то в в общезначима каждая v-фopмyлa, выводимая в Н + Qv.
Пусть п € Ф. Тогда существует терм Т, построенный из элементов 6,..., Сп с помощью опер ацпй ^^^гебр ы Ф и удовлетворяющий в Ф равенству Т = п. Пусть д1,... ,дп — различные пропозициональные переменные. Построим ^^^^^улу Xзаменив
Т е1 , . . . , еп д1 , . . . , дп
а операции ^^^^гебры Ф — соответствующими им логическими знаками. Формула Xц задает булеву (т.е. истинностную) функцию / от и переменных [4].
пФ
ответствие булева функция /п от и переменных. Покажем, что различным элементам сопоставляются различные функции. р, т € Ф р = т
р Э т = 1 или т Э р = 1. Пусть р Э т = 1. Тогда v-фopмyлa
Xp Э Xт опровержим а в Ф при оценке д(дг) = где 1 ^ г ^ и. Поэтому ^формула Xp Э Xт не выводима в исчислении Н+Qv и тем самым опровержима в Л^. Пусть Н — опровержение формулы Xp Э Xт в Л2. Тогда Ь^р) = Ь^т) и поэтому имеем !р(Н(цг),..., Ь^п)) = /т (Няг),..., Ь^п)). Следовател ьно, /р = ¡т. Если т Э р = 1, то аналогичными рассуждениями получаем, что ¡р = ¡т- Так как число различных булевых функций от и аргу-
г>2п I т I
ментов равно 2 , то |Ф| ^2 . (З.Е.Б.
Пусть V — один из наборов логических знаков ЭУ или ЭУ—, а в — конечно-иорожденная v-aлгeбpa. Согласно пункту (1) леммы 6 подмножество Е© является ЭУ-подалгеброй ^^^гебры в. На ^^^^гебре в зададим бинарное отношение Пусть &,п € в. Отношение & ~ п верно на в, если С Э п € Е© и п Э С € Е©. Нетрудно проверить, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивтто
в
отношение задает конечно-порожденную ^алгебру классов эквивалентности [3], которую обозначим через в/Е©. Докажем, что ^^^гебра в/Е© имеет конечное число классов эквивалент-поста, т.е. конечное число элементов.
ТЕОРЕМА 10. Пусть V — один из наборов логических знаков ЭУ или ЭУ—, а в — конечно-порожденная v-aлгeбpa. Тогда конечно-порожденная V-алгебра в/Е© конечна.
Доказательство. Пусть задана конечно-порожденная V-алгебра в. Как и выше, положим Qv равной формуле рУ(р Э д) или рУ —р, где р и д — пропозициональные переменные, в зависимости от того, равен V набору ЭУ или набору ЭУ—. Так как в — конечно-порожденная ^адгебра, то и ^^^гебра в/Е© будет конечно-порожденной. Согласно леммам 7 и 8 и определению V-алгебры в/Е©, ^формула Qv общезначима в ^^^^гебре в/Е©. Тогда по лемме 9 ^^^гебра в/Е© конечна, т.е. имеет конечное число классов эквивалентности. д.Е.О.
Докажем следующую лемму.
Ф ЭУ—
~ — отношение эквивалентности на Ф, определенное выше. Тогда имеют место следующие утверждения:
если п € Еф, то ——п = 1;
2) если р € Ф, то Э р = ——р;
3) если р,т € Ф и р ~ т, то ——р = ——т.
ЭУ—
Ф е1 , . . . , еп
утверждение (1). Пусть п € Еф. Тогда 3ф Эп = 1- Следовательно, ——(3ф Э п) = ——1 = 1- Согласно построению множества имеем = {Сг У —Сг|1 ^ г ^ и}. Тогда с помощью леммы 4 получаем, ЧТО 1 = ——(§ф Э п) = {——(Сг У —Сг)|1 ^ 2 ^ п}Э ——п = 1 Э ——п = ——п.
р € Ф
соотношение р У —р € Еф, а в силу пункта (5) леммы 4 верно неравенство (р У —р) ^ (——р Э р). Тогда согласно пункту (3) леммы 6 ——р Э р € Еф и поэтому имеем Э (——р Э р) = 1. Значит, ——р Э (3ф Э р) = 1. Следовательно, ——р ^ Э р.
Согласно пункту теоремы 7 из [4], имеем Ь (р Э ——д) Э (——р Э ——д) Ь (——р Э ——д) Э (р Э ——д) р д
ЭУ—
ЭУ— Ф
сто р и д соответственно 3ф Э р и р, получим, что ((3ф Э р) Э ——р) Э (——(3ф Э р) Э ——р) = 1 и (——(3ф Э р) Э ——р) Э ((3ф Э р) Э ——р) = 1. Поэтому имеем (3ф Э р) Э ——р ^ ——(3ф Э р) Э ——р и ——(3ф Э р) Э——р < (3ф Э р) Э ——р. Следовательно, (3ф Э р) Э ——р = ——(3ф Э р) Э ——р.
Согласно построению множества имеем 3ф = {Сг У —Сг |1 ^ г ^ п}. Тогда с помощью леммы 4 получаем, что (3ф Э р) Э ——р = ——(3ф Э р) Э ——р = ({——(Сг У —Сг) 11 < г < п} Э ——р) Э ——р = (1 Э ——р) Э ——р = ——р Э ——р = 1. Значит, 3ф Э р ^ ——р-Поскольку ——р ^ 3ф Э р, имеем 3ф Э р = ——р-
Докажем утверждение (3). Пусть р,т € Ф и р ~ т. Тогда р Э т € Еф и т Э р € Еф, а поэтому имеем Э (р Э т) = 1и 3ф Э (т Э р) = 1. Положим к = |3ф|- Согласно пункту (10) леммы 2, имеем Ь ({ш1,.. .,Шк} Э р) Э (({Ш1,.. .,Шк} Э (р Э д)) Э ({Ш1,.. .,Шк} Э д)), где р,д,Ш1,... ,Шк — пропозициональные формулы. Тогда в ЭУ— ЭУ— Ф
Подствив в нее вместо р,д,Ш1,... ,Шк первый раз соответственно
р, т и элементы множества Зф, а второй раз соответственно т, р и элементы множества Зф, получим, что (Зф Э р) Э ((Зф Э (р Э т)) э (Зф э т)) = 1 и (Зф э т) Э ((Зф э (т Э р)) Э (Зф э р)) = 1. Поскольку Зф Э (р Э т) = 1 и Зф Э (т Э р) = 1, имеем (Зф Э р) Э (Зф э т) = 1 и (Зф э т) Э (Зф э р) = 1. Зпачит, Зф э р ^ Зф э т и Зф Э т ^ Зф Э р. Следовательно, Зф Э р = Зф Э т. Тогда, согласно пункту (2) этой леммы, имеем ——р = ——т. Q.E.D.
Докажем теорему, дающую критерий конечности для коттеч-но-порожденных ЭУ—-алгебр.
ТЕОРЕМА 12. Конечно-порожденная ЭУ—-алгебра Ф конечна в том и только том случае, когда конечна ее ЭУ-подалгебра Еф.
Доказательство. Пусть задана конечно-порожденная ЭУ—-алгебра Ф. Если Ф — конечна, то конечна и ее ЭУ—-подалгебра Еф.
Докажем обратное утверждение. Пусть ЭУ-подадгебра Еф ЭУ—- алгебр ы Ф конечна. По теоре ме 10 ЭУ—- алгебр а Ф/Еф — конечна, т.е. имеет конечное число классов эквивалентности. Поэтому для доказательства конечности ЭУ—-адгебры Ф достаточно показать, что конечен каждый класс эквивалентности.
Пусть £ Е Ф, а [£] — класс эквивалентности, порожденный элементом £. Пусть Z Е [£]. Согласно лемме 8, имеем ZУ—Z Е Еф. Элементу Z из [£] поставим в соответствие элемент Z У —Z из Еф Покажем, что если р,п Е [£] и р = п, то р У —р = п У —п-Предположим, что р У —р = п У —П- Нетрудно проверить, что р Э (р У —р) = 1, р Э ——р = 1, п Э (п У —п) = 1 и п Э ——п = 1-Согласно пункту (5) леммы 4, имеем (р У —р) Э (——р Э р) = 1 и (п У —п) Э (——п Э п) = 1- Так как р,п Е [£], то р ~ £ и п ~ £, а следовательно, р ~ п- Тогда в силу пункта (3) леммы 11
——р = ——п р У —р = п У —п
пЭ(рУ —р) = 1, пЭ——р = 1 и (рУ —р)Э(——рЭп) = 1-
Согласно пункту (11) леммы 2, имеем Ь (p Э s) Э ((p Э t) Э ((s Э (t Э q)) Э (p Э q))), где p,q,s и t — пропозициональные переменные. Тогда в силу леммы 1 эта ЭУ—-формула общезначима в ЭУ—- алгебр е Ф. Подставив в нее в место p,q,s и t первый раз
р, п, р У ——р ——р п, р, р У ——р и ——р, получим, что (рЭ (р У ——р)) Э ((рЭ——р) Э (((р У ——р) Э (——р Э п)) Э (р Э п))) = 1* (п Э (п У ——р)) Э ((п Э
——p) D (((pV——p) D (——pD p)) D (n D p))) = l. Отсюда с помощью доказанных выше равенств получим, что p D n = 1и n D p = l. Тогда p ^ n и n ^ p, a поэтому имеем p = n■ Противоречие. Следовательно, p V —p = n V —n.
Таким образом, мы доказали, что если p,n G [e] и p = n, то p V —p = n V —n, p V —p G ЕФ и n V —n G ЕФ. Так как DV-подалгебра Еф DV—-алгебры Ф конечна, то конечен и класс [e]. Ф
Литература
[1] виркгоф г. Теория структур. М.: Иностранная литература, 1952.
[2] kappa x.b. Основы математической логики. М.: Мир, 1969.
[3] расква е., сикорский р. Математика метаматематики. М.: ТТаука, 1972.
[1] к лини с.к. Введение в метаматематику. М.: Иностранная литература, 1957.
[5] пот a. The separation theorem of intuitionist propositional calculus // Journal of Symbolic Logic. 1962. V. 27. № 1. P. 391-399.
[6] химич в.и. Об отделимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислениях и о конъюнктивно неразложимых элементах в импликативньтх полуструктурах // Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1986. Bd. 32. № 2. S. 1 19-180.
[7] nishimuru i. On formulas of one veriable in intuitionistic propositional calculus // Journal of Symbolic Logic. I960. V. 25. № 1. P. 327-331.
[8] кузнецов a.b. О конечно-порожденных псевдобулевых алгебрах и финитно аппроксимируемых многообразиях // ХТТ Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Тезисы сообщений. Свердловск, 1973. С. 255-256.
[9] циткин а.и. Структурально полные суперинтуиционистские логики и примитивные многообразия псевдобулевых алгебр // Математические исследования. ТТеклассические логики. 1987. Вып. 98. С. 131-151.
[10] diego a. Sur les algebres de Hilbert // Trand. de léspangnol. Paris, 1966.
[11] янков в.a. Конъюнктивно неразложимые формулы в пропозициональных исчислениях // Известия АТТ СССР. Серия математическая. 1969. Т. 33. № 1. С. 18-38.
[12] химич в.и. О свойствах суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31. № 6. С. 158-175.
[13] химич в.и. О вложимости некоторых обобщений псевдобулевых алгебр // Доклады РАТТ. 1996. Т. 350. № 2. С. 171-177.
[11] химич в.и. О свойстве суперинтуиционистских пропозициональных исчислений, связанном с отделимостью этих исчислений // Математические вопросы кибернетики. 1998. № 7. С. 227-212.
[15] янков в.а. о некоторых суперконструктивных исчислениях высказываний // Доклады АТТ СССР. 1963. Т. 151. № 1. С. 796-798.
[16] янков в. а. о расширении интуиционистского пропозиционального исчисления до классического и минимального — до интуиционистского // Известия АТТ СССР. Серия математическая. 1968. Т. 32. № 1. С. 208-211.
