Субструктурный вариант импликативно-негативного фрагмента модальной системы S5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

П.И.Быстров

СУБСТРУКТУРНЫЙ ВАРИАНТ ИМПЛИКАТИВНО-НЕГАТИВНОГО ФРАГМЕНТА МОДАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ S5*

Abstract. Substructural version of the implicative-negative part of proposi-tional modal system S5 is considered. It is represented in the form of analytic tableaux as certain modification of analytic tableaux elaborated by Beth, Hintikka, Smullyan and Fitting and in the form of Gentzen-style sequent calculus with "global" rule of inference for modal operator.

Обычно модальные системы строятся путем добавления специальных аксиом для модальных операторов к системе аксиом классической или интуиционистской логики. В методологическом и прикладном аспектах интересно построение модальных систем как расширений так называемых субструктурных логик, в которых отсутствуют те или иные структурные правила вывода (в секвенциальных вариантах) или аксиомы, соответствующие таким правилам. Для иллюстрации этой идеи в данной статье предлагается вариант импликативно-негативного фрагмента известной системы S5, построенный на базе пропозициональной логики с релевантной импликацией в форме системы табличного вывода и секвенциального исчисления генценовского типа.

В дальнейшем при построении аналитических таблиц без пояснений используются стандартные язык пропозициональной логики, определения формулы и подформулы, а также исходные понятия, введенные в главах I-II работы [1], за исключением тех случаев, когда требуются специальные определения.

Пусть ^ означает релевантную импликацию (поскольку ^ применяется для записи секвенций), а □ - модальный оператор необходимости. Элементарной формулой (подформулой) называется формула (подформула), не содержащая логических знаков, т.е. пропозициональная переменная. Используя обычные понятия положительной и отрицательной подформулы импликативной формулы, применим следующий способ последовательной индексации отрицательных вхождений элементарных подформул в импликативную формулу а. Всем отрицательным вхождениям любой элементарной подформулы A в а приписывается нижний

*

Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 01-03-00403.

индекс в виде целого положительного числа 1, 2, ... Индексация производится слева направо. Первому (слева) вхождению А в а не приписывается никакого индекса, второму вхождению А в а приписывается индекс 1, третьему вхождению А в а приписывается индекс 2 и т. д. формула называется индексированной, если все отрицательные вхождения ее элементарных подформул индексированы. Далее речь пойдет только об индексированных формулах, которые будут обозначаться буквами а, р,... Очевидно, что индексы в явном виде появляются в формуле тогда и только тогда, когда в ней имеется п отрицательных вхождений (п>1) какой-либо элементарной подформулы.

Кроме того, мы будем оперировать только означенными формулами, т. е. индексированными формулами, которым приписан префикс Т или Семантический смысл этих префиксов в данном случае не уточняется (можно считать, например, что Т(а) означает "а выполнимо", а Да)- "а невыполнимо".

Система строится с помощью следующих правил

вывода и определений. Принимаются следующие схемы правил построения аналитических таблиц для означенных формул:

Т(а^Р) Да^Р) Т1 - И

Да) | Т(Р) Т(а)

ДР)

Т(—а) Д—а)

та- ш-

Да) Т(а)

БДПа) ^ДЛа)

ТЛ--БЛ*-■

5,Т(а) 5,(^а)

где S - множество формул, содержащееся в выводе, заканчивающемся посылками двух последних модальных правил, и правило БЛ* применимо, если и только если S содержит по крайней мере одну формулу с префиксом ТЛ или ^Л.

Определение 1. Аналитическая таблица для означенной формулы а - это упорядоченное диадическое дерево, точками которого являются формулы (вхождения формул). Построение дерева начинается с формулы а. Далее предполагается, что Т - уже построенная для а таблица, а Р - ее конечная точка. Тогда можно расши-

рить Т , применяя к в одно из правил вывода. Точка дерева, идентичная а, называется начальной точкой, или началом, данного дерева. Точки, которыми завершаются ветви дерева, называются конечными точками данного дерева (соответственно и его ветвей).

Кроме того, построение таблицы выполняется строго систематически, т.е. правило сначала применяется к неэлементарной точке, которая непосредственно следует за начальной точкой, затем к следующей неэлементарной точке и т.д. Определение 2. Ветвь в таблицы Т завершена, если ни к одной ее точке не применимо ни одно из правил построения таблиц. Ветвь в таблицы Т, начинающейся формулой а, считается замкнутой по элементарной формуле рг- (по вхождению элементарной формулы Рг), если и только если в в входят элементарные формулы ТРг и (где 1 - индекс или пустой знак), являющиеся подформулами а.

Поскольку любая формула а имеет конечное число подформул, очевидно, что каждая ветвь таблицы, начинающейся с Да), может быть завершена и при этом может оказаться замкнутой или незамкнутой по какому-то вхождению элементарной подформулы формулы а. Если все ветви таблицы завершены, будем говорить, что данная таблица завершена. Понятно, что конечными точками завершенной таблицы Т для формулы а являются вхождения элементарных подформул формулы а.

Определение 3. Множество всех элементарных отрицательных подформул S формулы а исчерпано, если по каждому существенному элементу S замкнута хотя бы одна из завершенных ветвей таблицы Т, начинающейся с а.

Определение 4. Таблица Т, начинающаяся формулой а, замкнута, если и только если (а) замкнута каждая завершенная ветвь этой таблицы; (Ь) множество элементарных отрицательных подформул формулы а исчерпано.

Формула а называется выводимой в ТЯ853-, если в данной системе для нее можно построить замкнутую таблицу Т, начинающуюся с Да). Если каждая ветвь таблицы Т, начинающейся с Да), завершена, но Т содержит по крайней мере одну незамкнутую ветвь, формула а не выводима в ТЯ853-.

Ясно, что это пропозициональное исчисление разрешимо. Для проверки формулы а на выводимость достаточно построить завершенную таблицу, начинающуюся с Да). Любую построенную в рассматриваемом языке формулу можно эффективно проверить на выводимость в исчислении ТЯ853-.

Секвенциальное исчисление SRS53- формулируется с помощью основной секвенции

а— а,

где а - элементарная формула, следующего множества схем правил заключения и стандартного определения секвенциального вывода

Г— а а, А— ©

- cut.

Г, А — ©

Схемы правил заключения для логических связок: а, Г— р Г— а в, А — ©

Г— аз в

— з;

з —;

аз в, Г, А — ©

а, Г— ©

—

Г—^ ©, —а

Г— ©, а —а, Г— ©

а, Г— ©

□ — ;

□а, Г— ©

Г— ©, а

Г— ©, Па

— □;

Схемы структурных правил заключения

Г— а, а

—C;

Г— а

а, а, Г— ©

а, Г— ©

C—.

Г— в, а Г— а, в

— P;

А, а, в, Г— © А, в, а, Г— ©

P—.

Во всех схемах © - формула или пустая последовательность формул, и правило ^ □ применимо, если и только если формула является 85-ограниченной. (Точное определение 8 5-ограниченной формулы см. в работе [2].)

Для этого исчисления верна теорема об устранении сечения. Ее можно доказать, в частности, методом, предложенным в [2]. Предполагается также, что формулу, являющуюся членом любой секвенции, можно проиндексировать упомянутым ранее способом.

Можно показать, что формула а доказуема в ТК85^_„ если и только если секвенция — а доказуема в исчислении 8К85э_,. Для этого достаточно использовать предложенные Р.Смаллианом модифицированные аналитические таблицы (см. [1]), позволяющие элементарным образом преобразовывать выводы в генценовских исчислениях в замкнутые табличные конструкции и обратно. В общем случае верно, что любой (свободный от сечения) секвенциальный вывод в 8К85^_, можно преобразовать в замкнутую модифицированную аналитическую таблицу в системе ТК85^_, (учитывая пункт (Ь) определения 4); и обратно, любую замкнутую модифицированную аналитическую таблицу, построенную в системе ТЯ85^-, можно преобразовать в секвенциальный вывод в 8Я85^-. Точнее говоря, верно следующее утверждение. Секвенция —а доказуема в исчислении если и только

если в ТН85=— можно построить замкнутую модифицированную аналитическую таблицу, начинающуюся с ^{а}.

Это значит, что системы 8Я853- и ТК85з_, дедуктивно эквивалентны.

Далее, можно доказать дедуктивную эквивалентность исчисления 8Я85^- и аксиоматической системы МЯ^-,, которая получается добавлением модальных аксиом системы 85 к импликативно-негативному фрагменту релевантной системы Я. (Для этого достаточно показать, что формула а доказуема в МЯ^-,, если и только если секвенция —а доказуема в 8К85^_,. Подробное доказательство этого утверждения выходит за рамки данной статьи.) Таким образом доказывается, что системы ТК85з_, и МЯ^ дедуктивно эквивалентны, откуда следует, что система разрешима.

Решение вопроса о выводимости любой формулы а в МЯ^ сводится к механическому построению завершенной таблицы для ВД в ТЯ85^.

Такой способ обоснования разрешимости МЯ^-, является косвенным в том смысле, что в нем используется секвенциальное исчисление 8Я853-. Существует "прямой" путь получения такого же результата: нужно непосредственно доказать, что формула а выводима в МЯ^, если и только если в ТЯ85^- можно построить замкнутую таблицу, начинающуюся с ^(а). Несложно доказать, что если формула а выводима в МЯ^, то в ТК85э_, можно построить замкнутую таблицу, начинающуюся с ^(а). Однако в

силу специфики правил построения и замыкания аналитических таблиц в TRS5^_, общий прямой метод их преобразования в выводы в системе гильбертовского типа требует применения новых технических средств. Такая ситуация, на мой взгляд, иллюстрирует случай, в котором "прямое" доказательство эквивалентности логических исчислений не оправдывает себя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Smullyan R.M.. First-Order Logic. Dover Publications, Inc., New York, 1995.

2. Bystrov P.I. Non-Standard Sequent Calculi for Modal and Relevant Logics / Philosophical Logic and Logical Philosophy. Peter I. Bystrov and Vadim N. Sadovsky (eds.). Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 135-155.