Теорема о полноте для семантики пропозицио-нального фрагмента одной системы Аккермана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.П.Скворцов

ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ДЛЯ СЕМАНТИКИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОГО ФРАГМЕНТА ОДНОЙ СИСТЕМЫ АККЕРМАНА1

Abstract. W. Ackermann [1,2] constructed a logical system with unrestricted comprehension principle. Here the propositional fragment of this logical system is considered. This logic is a weakening of the classical logic based on an informal interpretation of the implication as derivability in an unspecified deductive system. A Kripke-style semantics for this propositional logic is proposed and completeness theorem is proved.

В.Аккерман [1, 2] построил непротиворечивую логическую систему с неограниченным принципом свертывания (то есть со схемой аксиом ye x ф( x) о ф(у), где ф( x) - произвольная формула, а X ф( x) - соответствующий ей терм-"абстракт"). Она базируется на определенном ослаблении классической логики, устраняющем известные теоретико-множественные парадоксы. При этом основная специфика аксиом из [1] проявляется уже на уровне пропозиционального фрагмента системы - поэтому именно его рассмотрением (в форме, равносильной исчислению А'' из [3]) мы здесь и ограничимся. Аккерман в [1] поясняет выбор своих аксиом некоторыми интуитивными соображениями, основанными на понимании импликации (ф^у) как выводимости у из ф в некоторой до конца не уточняемой формальной системе. При этом решающим является принципиальное различение формулы ф (понимаемой как "истинность" ф) и Дф = (Т^ф), понимаемой как "доказуемость" ф (то есть выводимость из "истины" Т). Однако, поскольку мотивация в [1] ограничена уровнем "наводящих соображений", возможен вопрос, нельзя ли добавить какие-то новые аксиомы, не нарушая приемлемости с той же эвристической точки зрения.

Не претендуя на то, чтобы ответить здесь на этот вопрос (связанный с возможной трактовкой философских идей и соображений, лежащих в основе построенной Аккерманом системы), предложим некоторую семантику для рассматриваемого пропозиционального фрагмента и установим теорему о полноте. Эта семан-

1 Эта статья была написана почти 20 лет назад, но в силу стечения обстоятельств осталась неопубликованной. Возможно, сейчас публикация ее уместна хотя бы из исторических соображений: как раз исполнилось 50 лет логической системе Аккермана [1,2], которой она посвящена.

тика была приведена в короткой заметке [5], где указана также возможная ее содержательная интерпретация (в стиле Крипке [4]). Тем не менее, чтобы не отсылать читателя к давней и, видимо, труднодоступной публикации, повторим здесь эту мотивировку обсуждаемой семантики. Кроме того, в ходе доказательства полноты будет также построен некоторый секвенциальный вариант (без сечения) рассматриваемой пропозициональной системы.

Отметим, что предлагаемая семантика может быть легко распространена с пропозиционального фрагмента на полную систему Аккермана из [1] с неограниченным принципом свертывания. Необходимые построения приведены в тезисах [6]. К сожалению, осталось неясным, способна ли описанная там конструкция пролить свет на истоки непротиворечивости системы Аккермана: например, само доказательство полноты (в стиле построения канонической модели), намеченное в [6], существенно опирается на непротиворечивость системы, доказанную в [1]. Кстати, в свое время, например, А.Г.Драгалин высказывал предположение, что в системе Аккермана закодирована в замаскированном виде некоторая оставшаяся неясной логическая система без сокращения. Описываемая здесь семантика (и секвенциальная версия пропозиционального фрагмента) оставляет этот аспект в стороне и вряд ли помогает выявить природу этой гипотетической логики, якобы таящейся в недрах непротиворечивой системы из [1].

1. Пропозициональные формулы строятся из переменных p, q, г, ... , константы Т ("истина") и связок &, v, —, —. Сокращения: (фоу) = (ф—у)&(у—ф), Дф = (Т—ф), Д0ф = ф, Дт+1Ф = Д(Дшф) для т > 0 и 1 = —Т.

Рассмотрим исчисление А со следующими аксиомами и правилами вывода (сравн. А'' в [3]):

А1: Дф — (у — ф & у); A2: Д(фvу) — Дф v Ду;

A3: ф & у — ф; ф & у— у; A4: ф — фvу; у — фvу; A5: ф&(у^) — уv(ф&n); A6: (ф—у) & (у—п) — (ф—Л); A7: (ф—у) & (ф—п)—(ф—у&п);

A8: (ф—п) & (у—Л) — ^у—п); A9: ф&—ф — у;

A10: —(ф&у) о —фv—у; —(фvу) о —ф&—у;

A11: —(ф—у) о (T—^ф) & (у——T); A12: —I—ф ^^ ф;

A0: Дф — ф;

modus ponens: ( ф , ф—у / у ); Д-правило: ( ф / Дф ). Пусть А- есть результат отбрасывания аксиомы А0. Будем писать А в утверждениях, справедливых для обеих систем: А и А-.

Формулу назовем приведенной, если она содержит —I только в составе подформул вида —р и ± = —Т (на "атомах"). По всякой формуле ф легко, пользуясь аксиомами А10-12, построить такую приведенную ф', что А- |- (ф о ф') (так наз. приведенная форма для ф). Для приведенных формул (точнее, для приведенной п) имеет место принцип замены эквивалентности в форме:

А(-) |- (ф о у) ^ А(-) |- ( п[ф] о п[у] ), где п[у] получена из п[ф] заменой произвольного фиксированного вхождения, не находящегося под — (сравн. [3])2.

Назовем А--шкалой частично упорядоченное множество (Б, <) с унарной операцией А на F, где:

(а) и < V ^ А(и) < А(у); (Ь) Уи Зу (А(у) < и); это есть А-шкала, если (с) Уи (АА(и) < А(и)).

Модель Ф на А--шкале есть функция, сопоставляющая каждой переменной р пару непересекающихся множеств Ф± (р) с F, замкнутых вверх по < (то есть УиеФ+(р) Уу > и [уеФ+(р)] ). При этом каждой формуле п и каждому и из F сопоставим истинностное значение и = п ("вынуждение" в модели Ф) так: и |=р ^ (иеФ+(р)); и |=—р ^ (иеФ _(р)); и |=——ф ^ и |=ф; и |=(ф&у) ^ (и |= ф) & (и |= у); и |=^у) ^ (и |=ф) V (и |=у); и |=—(ф&у)^(и |=—ф^(и |=—у); и |=—(фvу)^(u |=—ф)&(и |=—у); и |= (ф^у) Уу > и (А(у) | = ф ^ А(у) |= у); и |= —(ф^у) (А(и) |= ф) & Уу > и (А(у) у); и |=Т; и

Формула п истинна в модели Ф (Ф |=п), если УиеБ (и |= п), и А ^-ист инна, если истинна во всех моделях на А(-)-шкалах.

Лемма 1 (коррект ност ь). А(-) |- п ^ п является А(-)-истинной.

Доказательство проводится несложной индукцией по выводу, с использованием следующих свойств вынуждения:

(1) и |= Аф ^ А(и) |= ф; (2) и < V, и |= п ^ V |= п;

(3) и |= —п ^ и п (индукция по п).

Дальнейшее содержание работы состоит в доказательстве обратного утверждения, то есть т еоремы о полнот е для исчислений А и А-. Однако прежде, чем перейти к этому доказательству, приведем некоторую содержательную трактовку введенных определений, описанную в [5].

Подобно [4], точки и шкалы F понимаются как возможные миры (или, если угодно, моменты ветвящегося времени), а модель Ф задает распределение истинности формул в возможных мирах

2

Для неприведенной п этот принцип, вообще говоря, неверен: известно (см. [1]), что А |- (ф о у) не влечет А — (—ф о —у).

("состояние дел" в мире u). Отношение (u< v) означает "достижимость" v из u (отвечающую тому, что все факты, верные в мире u, остаются верны при переходе в мир v). Наконец, мир A(u) понимаем как "совокупность сведений, известных (установленных, доказанных) в мире u". При этом никакой связи A(u) с реальным состоянием дел в мире u не предполагаем — за исключением того, что в случае A-шкал (шкал для логики А) для миров вида u=A(v) ("миров наших знаний") постулируется A(u)<u (то есть все, известное в таких "правильных" мирах, в действительности имеет место). Условие (a) в определении А--шкалы означает "сохранение знаний со временем" (то есть при переходе вверх по отношению достижимости), а условие (b) — что реальный смысл имеют только миры вида A(v) ("миры знаний") и их возможные расширения. Теперь определение истинности для & и v подобно [4] (то есть по существу классично), а истинность (ф^у) в мире u понимается как утверждение, что в любом расширении v > u "доказуемость" ф влечет "доказуемость" у (в соответствии с тем, что v |= Аф ^ A(v) |= ф). Таким образом, импликация понимается скорее не как "выводимость" у из ф, а как допустимость правила вывода (ф / у). Самостоятельное определение истинности —p, не сводимое к истинности p, отвечает тому, что —ф в [1] понимается как "ложность" ф, в отличие от "недоказуемости" или "противоречивости" ф (в соответствии с чем формулы вроде —p о (p^l) и подобные явные определения —p через p в А оказываются неверны). Тем самым отрицание в системе Аккермана напоминает скорее сильное отрицание в конструктивной логике (в смысле Нельсона—Воробьева [7]).

2. Таблица т = (р;с) есть пара конечных множеств приведенных формул. Таблица прот иворечива, если

(рос Ф 0) v Зр (рер, —рер) v (1ер) v (Тес). Таблица А--полна, если:

(a) (Am^&y)ep) ^ ((A»ep) & ((Amy)ep);

(Am^&y)ec) ^ ((A»ec) v ((Amy)ec);

(b) (A>vy)ep) ^ ((A»ep) v ((Amy)ep);

(Am^vy)ec) ^ ((A»ec) & ((Amy)ec);

(c) (Am^y)ep) ^ ((Am+4)ec) v ((Am+1y)ep)

(здесь и далее: m — произвольное натуральное число, m > 0), и А-полна, если кроме того: d) (^ф)ер) ^ (фер).

Таблица т'=(р';с') есть расширение для т=(р;с) (обозначаем: тст'), если (рер') & (ссс'). Для всякой таблицы т существует конечное число минимальных А(-)-полных расширений, называемых А1 ^-пополнениямит. Введем также предупорядочение таблиц: (р;с)<(р';с'), если (рср'). A-образ для таблицы т=(р;с) есть

Д(т)=({ф| (Дф)ер};{у| (Ду)ес}). Ясно, что операция А сохраняет А -полноту, а для А-полной т имеем: А(т)<т.

Пусть J — конечное поддерево универсального потока, то есть множество кортежей натуральных чисел, где х<уе1 ^ хе1 (здесь (х<у) ^ (3z)(x*z=y), а * — операция сочленения кортежей); положим X = {хе11 Зy#:x(x<yeJ)} (множество неконцевых элементов J). Альт ернанс (альтернативное множество таблиц, сравн. [4]) X на J есть функция, сопоставляющая каждому х из J таблицу Хх=(рх;сх), причем (х<у ^ Xх < Ху). Альтернанс Х прот иворечив, если содержит противоречивую таблицу. Альтернанс X А -предполон, если все его таблицы А -полны, и А^-полон, если:

(1) все Xх для хеХ А(-)-полны;

(2) Xх для хё X удовлетворяют условиям (а), (Ь), (с) для т=0;

(3) если (ф^-у) е ах для хеJ, где ф^Т,

то (рхи{Дф};{Ду}) с Ху для некоторого у > х.

По всякому А(-)-предполному альтернансу X0 на J0 легко построить такой А(-)-полный X на J (вообще говоря, не один), что Х=10 и Хх= Х0х для хе10 (так наз. А^-продолж ение для Х0): достаточно заметить, что для А(-)-полной (р;с) расширение (ри{Дф};{Ду}) по условию (с) с т=0 добавляет только формулы вида Дп, то есть не нарушает условия (3).

А(-)-цпь альтернансов есть последовательность (Хп : п>0), где Хп есть А(-)-полный альтернанс на J п, причем Х0 = {Л} (где Л — пустой кортеж) и Уп>0 [ (Хп = Xn+l)&УxеJn(Д(X пх) с Хп+1 х) ], а в А-случае кроме того:

Хп+1х < Xпх при х е Хп . (и)

Скажем, что цепь прот иворечива, если она содержит противоречивый альтернанс X п .

3. Лемма 2. Если (Xп : п>0) — непротиворечивая А(-)-цепь альтернансов, то таблица X0Л = (р;с) имеет контрмодель на некоторой Д(-)-шкале F (то есть такую модель Ф на F, что ЗиеБ [ Уфер (Д(и) |= ф) & Ууес (Д(и) у) ] ) .

Доказательство наметим сперва для А--случая. Положим

Б = {а,Ь} и {(n,x) | п>0, xе 1п}, где

(и<у) ^ (и=а & у^а) V 3п>0 (u=(n,x), у=(п,у), x<y, x^y),

Д(а)=а, Д(Ь)=(0,Л), Д(n,x)=(n+1,x) для хе 1п=Хп+1. Легко проверить, что это есть Д--шкала.

Положим Ф+(р) = {(п^) | pерnx}, Ф-(р) = {(n,x) | (-р)ерп1}. Докажем (индукцией по п), что в полученной модели выполнено: Перп1 ^ (n,x) |= п; пе^ ^ (n,x) п. (*)

Случаи п = Р, —Р, Т, обеспечены по построению (ввиду непротиворечивости X п), а случаи п = (ф&у), (фvу) — ввиду (а),

(Ь) с т=0. Пусть п = (ф—у) е рпх и х<уе.Тп, т.е. Хпх<Хпу, и значит, перпу. Тогда, ввиду А--полноты X п, по условию (с) (с т=0) имеем: ((Ау)ерпу) V ((Аф)еспу), т.е. (уерп+1У) V (феСп+1У), и по предположению индукции, выполнено: А(п,у)=(п+1,у) |= ф ^ А(п,у) |=у, ч.т.д. Пусть п = (ф—^у) еспх, где ф^Т. Ввиду условия (3) А--полноты Xп имеем ((Аф)ерпу) & ((Ау)еспу) для некоторого у>х, т.е. А(п,у)=(п+1,у) |= ф и А(п,у) у, а значит, (п,х)|^п. Наконец, если ф=Т, т.е. п = Ау е спх, то уесп+1х, т.е. А(п,х) = (п+1,х) у, и (п,х) п, ч.т.д.

В А-случае в качестве (и<у) следует взять наименьшее отношение частичного порядка на F, удовлетворяющее условиям:

1) а — наименьший элемент F; Ь — максимальный элемент F, не сравнимый ни с одним элементом вида (п,х); й) если х < у, то (п,х) < (п,у); iii) если х е 1п, то (п+1,х) < (п,х).

При этом F превращается в А-шкалу, поскольку имеем: АА(а) = А(а) = а, АА(Ь) = (1,Л) < (0,Л) = А(Ь) (ввиду iii, так как Ле !о ) и АА(п,х) = (п+2,х) < (п+1,х) = А(п,х) (так как J п = 1п+1).

Теперь условие (ю) обеспечивает, что Xпх < Хту при (п,х) < (т,у), ввиду чего доказательство (*) сохраняется дословно, и в качестве искомого и в определении контрмодели полагаем и = Ь е Б.

4. Секвенцией (Г ^ ©) (где Г — антецедент, © — сукцедент секвенции) назовем упорядоченную пару конечных множеств формул3. Запись Г,ф обозначает множество Ги{ф} (то есть в частности: Г,ф равно Г, если феГ).

Рассмотрим исчисление секвенций С- с аксиомами вида (Г,р ^ ©,р), (Г,—р ^ ©,—р), (Г,Атр,Ат—р ^ ©), (Г ^ ©,Т), (Г,Ат± ^ ©) и следующими правилами вывода (везде т > 0):

(&1): (Г,Атф,Ату ^ ©) (&2): (Г ^ ©,Атф); (Г ^ ©,Ату)

(Г,Ат(ф&у) ^ ©) ; (Г ^ ©,Ат(ф&у)) ;

(—&!): (Г,Ат—ф ^ ©);(Г,Ат—у ^ ©) (—&2):(Г ^ ©,Ат—ф,Ат—у) (Г, Ат—(ф&у) ^ ©) ; (Г ^ ©,Ат—(ф&у)) ;

(V:): (Г,Атф ^ ©); (Г,Ату ^ ©) (v2): (Г ^ ©,Атф,Ату)

(Г,Аm(фvу) ^ ©) ; (Г ^ ©,Аm(фvу)) ;

3 Переход от конечных множеств к упорядоченным наборам (как это обычно принято для секвенций) легко обеспечить добавлением структурных правил типа перестановки и сокращения, однако нам это не потребуется и вдаваться в подобные детали не будем.

(—V1): (Г,Ат—ф,Ат—у ^ ©) (^2): (Г ^ ©,Ат—ф);(Г ^ ©,Ат—у) (Г,Ат—(фvу) ^ ©) ; (Г ^ ©,Ат—(фvу)) ;

(— 1): (Г,Ат(ф—у) ^ ©,Ат±1ф); (Г,Ат±1у ^ ©) 4 (Г, Ат(ф—у) ^ ©) ;

(—2): ({ф._: 1еЕ},ф ^ {у^ёЕ^у) : по всем Е с {1-.....т}

(Г, (у1—ф 1),^,(у т ^фт ) ^ ©, (ф—у) ) ;

(——1): (Г,Ат±1ф,Ат(у—1) ^ ©) (——!): (Г,Атф ^ ©)

(Г,Ат—(ф—у) ^ ©) ; (Г,Ат——ф ^ ©) ;

(——2): (Г ^ ©,А~ф);(Г ^ ©,Ат(у—Р) (——2): (Г ^ ©,Атф) (Г ^ ©,Ат—(ф—у)) ; (Г ^ ©,Ат——ф);

а также С = С- + (Т): ( Г, Аф, ф ^ © )

( Г, Аф ^ © ) .

Ясно, что если С(-) |- (Г ^ ©), то С(-) |- (ГиГ' ^ ©и©') (ослабление). Легко показать, что С- |- (Г,п ^ ©,п) для всякой формулы п (индукцией по п: шаг для п=(ф—у) обеспечен правилом (—2): (ф ^ ф,у); (у,ф ^ у)

(Г,(ф—у) ^ ©,(ф—у)) ).

Далее, если С(-) |- (Г ^ ©), то С(-) |- (А(Г) ^ А(©)), где А(Г)={Аф | феГ}, А(©)={Ау|уе©}.

Действительно, (Аф1 ,..., Афт ^ Ау) вытекает из (ф1 ,..., фт ^ у) по правилу (—2) (все посылки правила с Е ф {1 ,..., т} являются аксиомами вида (Г' ^ ©',Т) ). Теперь общий случай доказывается индукцией по выводу: все правила вывода, кроме (—2), выдерживают "навешивание А", а (—2) имеет по существу единственную формулу в сукцеденте, то есть обеспечивается предыдущим рассуждением.

Наконец, заметив, что любая таблица (в смысле п.2) является по существу частным случаем секвенции (а именно, секвенцией, состоящей из приведенных формул), докажем следующую лемму: Лемма 3. Если все А(-)-пополнения таблицы х=(р;с) доказуемы в исчислении С(-), то и сама т доказуема в С(-).

Для доказательства достаточно убедиться, что таблицу можно пополнить согласно условиям (а), (Ь), (с), из п.2 с сохранением недоказуемости в С(-). Эти условия в точности соответствуют правилам вывода (&1), (&2), ^2), (—1) и (Т) системы С(-), так что если одно или оба возможных пополнения дока-

4 В правиле (—1) достаточно предполагать, что ф ф Т, так как иначе Ат(ф—у) = Ат+1у.

зуемы в G( ^ то по соответствующему правилу доказуема и исходная секвенция.

5. Лемма 4. Если таблица т0 недоказуема в G(-), то существует непротиворечивая А(-)-цепь альтернансов (Хn : n>0), для которой т0 с Х0 .

Доказательство. Будем строить искомую цепь (Хn : n>0) индукцией по n, причем так, чтобы все таблицы X nx при хе Jn были недоказуемы в G(-), а при хе! \ Jn) были недоказуемы таблицы A(XnX).

Основание индукции: n=0. В качестве X0X для х=Л возьмем (по лемме 3) недоказуемое А(-)-пополнение т=(р;с) для т 0, и займемся обеспечением условия (3) из п.2. Пусть (ф^у)ес, где фФТ, и пусть (у 1 ^ф1), ..., (ут^фт) есть список всех импликаций, входящих в р. Поскольку G(-) |-/- т, ввиду правила (^2) имеем такое E={ii,.,ik}cEm={1 ,..., m}, что

G(-) |-/- ({фi : ieE},ф ^ {у : j^E},y) . (**)

Включим в (J 0 \ J0 ) кортеж y>x и положим

X0y = (pu{Aфi : ieE}u{Aф}; {Ay : jgE}u{Ay}).

Из А(-)-полноты X 0X вытекает, что X0y удовлетворяет условиям (a), (b), (c) из п.2 с m=0. Теперь убедимся, что A(X0y)=(^ : ieE}u{ф}; {yj : jgE}u{y}) (и значит, недоказуема). Действительно, если (An) ер, то An=(yi^ф i) для некоторого ieEm , и если бы ie(Em \ E), то yi=T входила бы в сукцедент недоказуемой секвенции (**), что невозможно.

Индукционныйшагк (n+1). При хе Jn положим таблицу Xn+1X = A(XnX) (ее недоказуемость вытекает из недоказуемости Xnx, см. в п.4). А при хe(Jn \ Jn) в качестве Xn+1X возьмем (по лемме 3) недоказуемое А(-)-пополнение таблицы A(XnX) (которая недоказуема по предположению индукции). При этом мы получаем А(-)-предполный альтернанс Xn+1 на J n (условие X n+1X < Xn+1y при X < y оказывается выполнено, поскольку для y > х е Jn имеем: Xn+1y^A(Xny)>A(XnX)=Xn+1X). В А-случае обеспечено также условие (ю) из п.2, поскольку Xn+1X=A(XnX)<XnX для хе!,,. Теперь продолжение Xn+1 до А(-)-полного альтернанса Xn+1 на Jn+1 (с Jn+1=Jn) строится подобно уже рассмотренному при n=0.

Наконец, убедимся, что все таблицы XnX полученной цепи непротиворечивы. При хе Jn это выполнено, поскольку противоречивые таблицы доказуемы в G-. Пусть теперь хе! \ Jn), то есть, по построению,

XnX =(ри^ : ieE}u{Aф}; {Ayj : jgE}u{Ay}), где (р;с) и A(XnX) обе непротиворечивы (так как недоказуемы), откуда следует непротиворечивость XnX. Лемма доказана.

Замечание. Поскольку максимум логических длин формул, входящих в таблицу А(т), меньше, чем в т, а А(-)-пополнение не увеличивает этого максимума, то в описанном построении длины формул, входящих в X п, строго убывают с ростом п. Отсюда следует, что все таблицы Xnx, начиная с некоторого п0, оказываются пустыми. Если теперь к полученной цепи (Xп : п>0) применить конструкцию из доказательства леммы 2, то шкала F может быть выбрана конечной: достаточно отбросить все точки вида (п,х) при п>п0 и положить А(п0 ,х) = (п 0,х) (поскольку проверка условия (*) при п=п0 уже вырождается в тривиальность).

6. Лемма 5. Если С(-) |- (Г ^ 9), то А(-) |- (Г ^ 9)*, где формульный образ секвенции есть

(ф1,...,фп ^ у 1,. • • ,у т)* = (ф1&.&фп — у^-^т)

(как обычно, пустая конъюнкция — Т, а пустая дизъюнкция - 1).

Доказательство: индукция по выводу в С(-). Рассмотрение всех аксиом и правил, кроме (—1) и (—2), достаточно тривиально (в А- выводимы формулы ф—ф, ф&ф-О-ф, фVф■0■ф, ф—Т, 1—ф, Ат(ф&у) ^ (Атф)&(Ату), Ат^у) ^ (Аmф)v(Аmу), Ат1 ^ 1, правила у , ф—у и т.п.). ф—у Атф—Ату

Для (—1) достаточно убедиться в выводимости правила

п & Ат(ф—у) — С V Ат(Аф); п & Ат(Ау) — С п & Ат(ф—у) — С .

Из левой посылки по дистрибутивности вытекает

п&Ат(ф—у) — С V [п & Ат(Т—ф) & Ат(ф—у)], где Ат(Т—ф) & Ат(ф—у) влечет Ат(Т—у), а правая посылка обеспечивает [ п&Ат(ф—у) — ], что и требовалось.

Наконец, рассмотрим правило (—2) при Г = © = 0 (общий случай немедленно следует из этого). Примем посылки ^ Е = [ ф & & ф1 — у V V у ] для всех Е с Ет = {1 ,..., т} 1еЕ и обозначим

п = & пЕ, где пЕ = [ ф & & ф. — у V V фJ ]. ЕсЕт 1еЕ jgE

Так как ^Е влечет [ &(у.—ф.)—пЕ ], ввиду выводимости правила 1

_ю—(в—5уу;)_

ю&(у1—ф1)—(8—5vф1) , то достаточно доказать в А- формулу [ п — (ф—у) ]. Для этого положим = [ у V V ( ф & & ф1 )] , к = 0,1,...,т.

| Е | = к 1еЕ

Легко убедиться в выводимости [n ^ (^k ^ ^k+i)] при всех k<m. Поэтому из доказуемой [n ^ = [n ^ (ф^^(ф&Т))]

выводим формулу

[ n ^ (ф ^ ^ш) ] = [ П ^ (ф ^ ^(ф& & ф,)) ].

i

Теперь, заметив, что Пеш = (ф & & ф, ^ у), получим

i

[n ^ (ф ^ ^(ф& & ф, )) & (^(ф& & ф, ) ^ у)], i i после чего транзитивность импликации (аксиома А6) завершает доказательство.

Следствие. Если А(-) |-/- n, то G(-) |-/- ( ^ n).

Действительно, формульный образ ( ^ n)* = (T^n) влечет n по modus ponens, поскольку А(-) |- Т.

7. Теорема 1 (о полноте). А(-) |- n ^ n является А(-)-истинной.

Доказательство. Пусть А(-) |-/- n, где формулу n (ввиду п.1) достаточно считать приведенной. По следствию из леммы 5, таблица (секвенция) (0;{n}) недоказуема в G(-), то есть (ввиду лемм 4 и 2) имеет контрмодель Ф на Д(-)-шкале F, и значит, формула n не является А(-)-истинной. Обратная импликация обеспечена леммой i.

Замечание. Ввиду замечания к лемме 4, шкала F может быть выбрана конечной, то есть всякая формула, недоказуемая в А(-), отвергается на конечной Д(-)-шкале. Это обеспечивает разрешимость5 исчислений А и А- — а точнее, даже примитивно рекурсивную разрешимость (поскольку фигурирующее в замечании число n0 здесь не превосходит логической длины формулы n, а ветвления в деревьях J n оцениваются сверху числом подформул в n).

Теорема 2 (о равносильност и). G(-) |- (Г ^ ©) А(-) |- (Г ^ ©)*.

Доказательство в одну сторону содержится в лемме 5, в обратную сторону для таблиц (секвенций из приведенных формул) вытекает из лемм 4 и 2, поскольку в контрмодели Ф для (Г; ©) отвергается формула (Г ^ ©)*. Общий случай обеспечивается следующей леммой:

Лемма 6. 1) G(-) |- (Г,п' ^ ©) ^ G(-) |- (Г,п ^ ©),

2) G(-) |- (Г ^ ©,n') ^ G(-) |- (Г ^ ©,n),

5 Надежда на разрешимость пропозиционального исчисления А'' (совпадающего с нашим А) была выражена (без доказательства) в [3].

где n' — приведенная форма для п (см. п.1).

Доказательство (индукция по сложности п). "Атомарный" случай п = Дшф, где ф = Т, p, —p, тривиален (при этом )'=)). При п = Дш(ф^у), )' = Дш(ф'^у') (где ф и ф' отличны от Т) применяем индукцию по выводу: во всех случаях замена )' на ) (или ф' на ф и у' на у) возможна в посылках за счет сокращения вывода или сложности заменяемой формулы. Случаи ) = Дш(ф&у) и Г = Д^^у) (то есть )' = Дш(ф'&у'), Дш(ф'vу') ) разбираются аналогично; необходимо только учесть, что при m>0 формула )' может быть введена не только по соответствующему правилу (&0 или (v О, но и по правилу (^ 2). При ) = Дш—(ф&у), Дш—(фvу), Дш— (ф^у), когда п' = Дш((—ф)'v(—у)'), Дш((—ф)'&(—у)'), Дш(Дф'&(у'^^) ), применяем, опять-таки, индукцию по выводу. Если при этом формула )' введена правилом (v О или (&0, то ) вводится правилом (—&j), (—vj), соответственно. Наконец,

при п = Дш—I—|ф, )' = Дшф', работает предположение индукции (для Дшф) и правило (——j).

Замечание. Вместо доказательства леммы 6 можно естественным образом обобщить табличную конструкцию из п.2 так, чтобы распространить леммы 2 и 4 на случай произвольных секвенций, содержащих неприведенные формулы. Такая модификация не требует сколько-нибудь существенного изменения рассуждений, и обеспечивает иное, более прямое доказательство теоремы 2.

Из теоремы 2 вытекает:

Следствие 1. А(-) |- п ^ G(-) |- ( ^ п)

(сравн. со следствием леммы 5).

Следствие 2. В системе G(-) допустимо правило сечения:

(Г ^ ©, ф); (Г, ф ^ ©) (Г ^ ©) .

Доказательство при переходе к формульным образам тривиально; прямое доказательство допустимости сечения, не опирающееся на табличную конструкцию из п.2, автору неизвестно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ackermann W. Wiederspruchsfreier Aufbau der Logik, I. Typenfreies Sys-tern ohne tertiurn non datur // Journ. Syrnb. Logic. 1950. V. 15. № 1. P. 33-57.

2. Ackermann W. Wiederspruchsfreier Aufbau einer typenfreien Logik (erweitertes Systern) // Math.Zeitschr. 1952. Bd. 55. H.3. S. 364-384.

3. Harrop R. An investigation of the propositional calculus used in particular system of logic // Proc. Cambridge Philos. Society. 1954. V. 50. № 4. P. 495-512.

4. Kripke S.A. Semantical analysis of intuitionistic logic, I // Formal Systems and Recursive Functions. Proc. 8th logic colloq., Oxford, July 1963. Amsterdam, 1965. P. 92-130.

5. СкворцовДП. О семантике пропозиционального фрагмента системы Аккермана // Автоматы, алгорифмы, языки. Калинин, 1982. С.130-132.

6. Skvortsov D.P. A semantics for a consistent type-free system of Ackermann // In: Logic, methodology and philosophy of science (abstracts of papers of soviet scientists submitted to the Soviet National Organization Comittee for the VII International Congress of logic, methodology and philosophy of science. Austria, Salzburg, 11-16 July 1983. Moscow, 1983. P. 38-41.

7. Воробьев Н.Н. Конструктивное исчисление высказываний с сильным отрицанием // ДАН СССР. 1952. Т. 85. № 3. С. 465-468.