CC BY
26n-значные матрицы для классической логики высказываний
Л. К). Девяткин
abstract. This paper is devoted to the mutiple-valued logical matrices in which the class of tautologies is one of a classical prepositional logic. A class of such matrices with a classical consequence relation is described. Moreover several classes of multiple-valued matrices of the type in question with a non-classical consequence relation are considered.
Ключевые слова: многозначные логики, классическая логика высказываний, логические матрицы, отношение логического следования.
Существует множество примеров логических матриц с трехэлементным множеством-носителем, являющихся характеристическими для классической логики [2, 4|. Более того, матрицы для многих известных многозначных логик содержат такие матрицы в качестве фрагментов. Особый интерес представляет тот факт, что существуют многозначные логики, равные классической по классу тавтологий, по с ттеклассическим отношением логического следования [3]. В настоящей работе будут описаны несколько обширных классов матриц, обладающих интересующими пас свойствами.
При формулировке pi доказательстве теорем мы использовали пропозициональный язык
Алфавит языка содержит в точности следующие символы i
• Пропозициональные переменные: р, q, г, s, р1; q1; ri, Si, ■ ■ ■ j Pn Чш rn sn
• пропозициональные связки: Определение ¿^-.-формулы:
• Если А есть пропозициональная переменная, то А есть !о-гформула;
• если А и В есть ¿^-формулы, то (А Э В) и (—А) есть ¿э--формулы;
• ничто иное не есть ¿^-формула.
Мы будем рассматривать матрицы вида М =< и, Э*, —* ,0 >, где и - непустое множество истинностных значений, Э* - бинарная операция на II, —* - унарная операция па II, Б - множество значений, выделенных в М, причем Б С и и {0} € Б.
В такой формулировке матрица для классической логики будет иметь следующий вид: М2 =< {1, 0}, Э2, —2, {1} >, где функ-2 2
ции Э и — - классические импликация и отрицание.
Оценку в матрице М определим как отображение множества пропозициональных переменных языка в и.
Значение ¿^-формулы в матрице М при оценке V определяется индукцией по построению ¿^-формулы:
• \р\М = Чр); если р есть пропозициональная переменная;
• если В и С есть ¿э--формулы, то \(В Э С)\м = \В\М Э*
\С\М,
• если В есть ¿э--формула, то \(—В)\м = —*\Т$\М.
Если существует оценка V в М такая, что \А\М € Д будем говорить, что А выполнима в М.
Формула А называется общезначимой в М, е.т.е при всякой оценке V в М А принимает выделенное значение.
Классическое отношение логического следования определим следующим образом: в М из множества формул Г логически следует формула В (Г 1= В), е.т.е не существует такой оценки V в М, что каждая формула А из Г принимает выделенное значение и В не принимает выделенное значение. Будем говорить, что отношение логического следования в некоторой матрице является классическим, когда в этой матрице заключение логически следует из посылок в том и только том случае, когда оно логически следует из посылок в матрице для классической логики.
Под многозначным нзоморфом классической пропозициональной логики будем понимать такую матрицу M' =< U, С', —', D >, что U' содержит не менее трех элементов и класс формул, общезначимых в M', равен классу формул, общезначимых в M2. M'
M'
вается С-расширяющим, если операции С' и —' совпадают с D2 и —2 соответственно на множестве {1, 0}.
При формулировке условий, которым должна отвечать матрица, чтобы являться изоморфом классической логики высказываний, PI Pix доказательстве широко использовался подход, предложенный В.М. Поповым [1]. В его основе лежат понятая замещения оценки PI отображения мпогоэлемептпого мпожества-по-
M
M2
Для всякого отображения v множества всех пропозициональных переменных языка L^ в многоэлементное множество-носитель U некоторой матрицы M' =< U, С', —', D > назовем ¿-замещением отображения v такое отображение w множества всех пропозициональных переменных в {0, 1}, что для всякой пропо-зрщргопалыгой переменной р
| 1, еслии(р) Е D; Цр) = <
I 0 еслиг/(р) Е D.
Можно доказать, что для всякого отображения множества всех пропозициональных переменных в U существует единственное ¿-замещение этого отображения. Обозначим через v к-заие-щетше отображения v.
Определим <k как отображение множества U на множество {0, 1} такое, что <k(x) = 1, если х Е D и <k(x) = 0, если х Е D.
ЛЕММА 1. Пусть Mm =< U, D > - п-элементная мат-
рица с т выделенных значений, а Dn и —n отвечают условиям:
• x Dn y Е D, е.т.е x Е D или y Е D;
• —nx Е D, e.m.e x Е D.
Тогда УАУу: если А естъ L^-формула и v - оценка в Mn1, то
<k\ A\Mm = \ A\M2.
Доказательство. Докажем Лемму индукцией по построению формулы.
Базис. Пусть А - пропозициональная переменная.
Неверно, что VAVv: если А есть ¿^-.-формула и V - оценка
М т М
в МП™, то ук\А|.у п = \АМ 2 (допущение).
М т
2. ЗА^:Аесть ¿э--формула и V - оценка в МЩ и ук\А\а п =
\ММ2 (из (1)).
М т
3. Пусть А* есть ¿^-формулап^* -оценкавМЩи ук\А*\м*п = \А*\М2 (из (2), исключение кванторов).
4. ук\А*\Мт = \А*\М2 (из (3)).
5. ук\А*\Мп =1* \А*\М2 = 0 или ук\А*\Мп = 0и \А*\М2 = 1 (из (4), в силу определений у к и V*
\v '
6. ук\А*\Г€*п = 0 и \А*\М2 = 1 (допущение).
7. ук\А*\Мп =0 (из (6)).
М т
8. \А€ О (из (7), по определению ук).
9. \А*\М'2 = 0 (из (8), того факта, что А есть пропозициональная переменная языка Ьэ- и определения V)).
10. \А*\М2 = 0 (из (6)).
11. Неверно, что (6) (из (9), (10)).
12. ук\А*М = 1 и \А*М = 0 (из (5), (11)).
13. \А*\М2 =0 (из (12)).
М т
14. \А♦п € О (из (13), того факта, что А есть пропозициональная переменная языка Ьэ- и определения V).
15. ук\А*\Мп = 0 (из (14), по определению ук)-
16. ук\А*Ст = 1 (из (12)).
17. Неверно, что (1) (из (15), (16)).
Базис индукции доказан.
Пусть У к|А| м п — |А|м 2 имеет место для формул, которые содержат менее, чем п связок. Тогда достаточно доказать, что утверждение Леммы верно, если ¿^-формула А содержит в точности п вхождений связок и графически совпадает с формулой (—С) либо (Ю Э Е).
Случай 1. Пусть .¿э--формула А содержит в точности п вхождений связок и графически совпадает с формулой (—С).
Неверно, что С)Ут если (—С) есть ¿э--формула пи— |(—с )|Г2
оценка в МП™, то У к|(—С)|г, п — |(—С)| - 2 (допущение).
2. 3(—С(—С) есть ¿э--формула и V - оценка в МП1 и Ук|(—С^ — |(—С)|М2 (из (1)).
Пусть (—С*) есть .¿э--формула и V* - оценка в М^ и Ук|(—С*)|М" — |(—С*)|М2 (из (2), исключение кванторов).
Ук|(—с*—|(—с*)|М2 (из (з))-
Ук |(—С * )|М" — ^ |(—С * )|М2 — 0 «ЛИ Ук |(—С *)С" — 0 И
ч * ) I М2 _
^ *
|(—С*)|м2 — 1 (из (4), в силу определений Ук и V*).
6. у к |(—С * )|М" — 0 и |(—С *)|М2 — 1 (допущение).
7. |(—С*)|М2 — —2|С*М*2 (по определению значения ¿э--фор-мулы).
8. —2|с * М2 1 1V * —1
9. 1^-1* 1М2 _ | ^ * 0 (из (8), по определению — 2)-
10. Ук |с * — |С *\M2 (в силу индуктивного допущения)
И. Ук |С *м —0
12. |С*мт £ О (из (11), по определению Ук)-
13. ЫС *Мт £ О (из (12), по определению —п).
п-значные матрицы для классической логики высказываний 99
14. —п|С*Мт = |(—с*)Мт ' (по определению значения Ьэ-
формулы)).
15. |(—С*)Сп е Б (из (13), (14)).
16. №|(—С*= 1 (из (15), по определению ^и)-
17. Ы|(—С*= 0 (из (6)).
18. Неверно, что (6) (из (16), (17)).
19. ^ к-с * = 1И |(—с *; ИМ2 = 0 (из (5), (18)).
20. |(—С*)№ = 0 (из (19)).
21. ^М? = —21С * М (по определению значения -фор-
мулы).
22. —2|С * М2 = 1 1V* 0
23. |С *М2 = 1 ( 1 IV * из (22), по определению — 2)-
24. ч>к |С * М = : |С*\MM2 (в силу индуктивного допущения).
25. ч>к |С * М = 1
26. |С*Мт е Б (из (25), по определению ^и)-
27. ыс *| еБ (из (26), по определению —п).
28. _, \г*\мт - = |(—С*)|Mn (по определению значения Ь
формулы)).
29. |(—С*)\Мп (/ Б (из (27), (28)).
М т
30. |(—С*)^*п = 0 (из (29), то определению
31. щ|(—С*)\Мп = 1 (из (19)).
32. Неверно, что (1) (из (30), (31)).
Случай 2. Пусть ¿^-.-формула А содержит в точности п вхождений связок и графически совпадает с формулой (О Э Е).
Неверно, что Э Е)Vv: если (Ю Э Е) есть ¿э--формула и V - оценка в М^ то Ук|(Б Э Е)|Мт — |(Б Э Е)|М2
(допущение).
2. 3(Ю Э Е)3^ (Ю Э Е) есть ¿э--формула иг;- оценка в мт И Ук|(Б ЭЩ^ — |(Б Э Е)|М (ИЗ (1)).
т
п
Пусть (О* Э Е*) есть £э--формула и V* - оценка в М, и Ук|(Б* Э Е*)Мт — |(В* Э Е*)|М (из (2), исключение кванторов).
Ук|(Б* Э Е*)С*т — |(Б* Э Е*)|М2 (из (3)).
Ук|(Б* Э Е*)Ст — 1 и |(Б* Э Е*)|Мг — 0 или Ук|(Б* Э
М т М
Е*)^ *п — 0 и |(Ю* Э Е*)|М 2 — 1 (из (4), в силу определений Ук и V*).
6. Ук|(Б* Э Е*)М*т — 0 и |(В* Э Е*)|М — 1 (допущение).
Л/Т771
7. Ук|(Б* ЭЕ*)М — 0(из(6)).
М т
8. |(Ю* Э Е*)|v*п £ О (из (7), то определению Ук)
9. |(Ю* Э Е*)|Mrí — *|Mrí Эп |Е*|Mrí (по определению значения ¿э--формулы).
10. |Б*Ст Эп |Е*Ст £ о (из (8), (9)).
М т М т
11. |Ю*|v*п £ О и |Е*|v *п £ О (из (10), по определению Эп).
М т
12. Ук*|v*п — 1 (из (11), по определению Ук)-
13. |Ю*|MI2 — 1 (из (12), в силу индуктивного допущения).
М т
14. Ук|Е*|v *п — 0 (из (11), по определению Ук)-
15. |Е*\Mt2 — 0 (из (14), в силу индуктивного допущения).
16. |Б*\M2 Э2 |Е*|Mt2 — 0 (из (13), (15), по определению Э2).
17. |Ю*|M*2 Э2 |Е*|Mt2 — |(Ю* Э Е*)|М2 (в силу определения значения ¿э--формулы).
18. |(Б* ЭЕ=0 (из (16), (17)).
19. |(Б* ЭЕ*)1М = 1(из(6)).
20. Неверно, что (6) (из (18), (19)).
21. ук|(Б* Э Е*)\Мт = 1 и |(Б* Э Е*)\М2 = 0 (из (5), (20)).
22. |(Б* ЭЕ*)|М2 =0 (из (21)).
23. |(Б* Э Е*)|М2 = |Е*|^2 Э2 |Е*|М2 (по определению значения ¿^-формулы).
24. |БЭ2 |Е*М2 = 0 (из (22), (23)).
25. |Ю*|M2 = 1м |Е*|M2 = 0 (из (24), по определению Э2).
26. у к |0 *|1Mn = 1 (из (25), в силу индуктивного допущения).
М т
27. » п € Б (из (26), то определению у к).
М т
28. ук|Е= 0 (из (25), в силу индуктивного допущения).
М т
29. |Е*п € Б (из (28), то определению ук)-
М т М т
30. |Б*п Эп |Е*п € Б (из {21), (29), по определению Эп).
31. |Ю*|1M^n Эп |Е*|1M^n = |(Ю* Э Е*)|1M^n (по определению значения ¿^-формулы).
i ! П
32. |(Б* Э Е*)№ € Б (из (30), (31)).
М т
33. ук |(0 * Э Е *)\v *п = 0 (из (32), по определению у к).
Л/Т771
34. ук|(Б* ЭЕ*)М =1 (из (21)).
35. Неверно, что (1).
Таким образом, УАУу: если А есть ¿^-формула и V - оценка в М™, то ук|А|Мт = |А|М2. <з.елэ.
ЛЕММА 2. Чу: если V - оценка в М2, то V = V.
Доказательство.
В силу определения V есть отображение множества пропозициональных переменных па множество {1, 0}. По определению
М2
{0} никогда не принадлежит Б. Следовательно, по определению ¿-замещения V(p) — 1 если v(p) — 1, и й(р) — 0, если v(p) — 0.
ТЕОРЕМА 3. Пусть Мт —< и, Эп, —п,Б > - п-элементная матрица с т выделенных значений и Эп, и —п отвечают условиям:
• х Эп у £ Б, е.т.е х £ Б или у £ Б;
• —пх £ Б, е.т.е х £ Б.
Тогда отношение логического следования в Мт является классическим.
Доказательство. Чтобы доказать Теорему 3, необходимо и достаточно доказать, что для всякого множества ¿э--формул Г и для всякой ¿э--формулы В, верны следующие утверждения:
• У1. Если Г 1=м2 В, то Г =Мт В;
• У2. Если Г =Мт В, то Г =М2 В.
Докажем У1.
1. Неверно, что У1 (допущение).
М2
если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то В принимает выделенное значение при этой оценке (из (1)).
Найдется такая оценка в Мт, множество посылок Г и заключение В, что все формулы из Г примут выделенное значение и В примет невыделенное значение при этой оценке (из (1)).
Пусть V* такая оценка в Мт, а Г* и В* такие множество посылок и заключение, что все формулы из Г* принимают выделенное значение и В* принимает невыделенное значе-
ние при V*.
5. УА: если А £ Г*, то |А|;;п £ Б (из (4)).
М т
6. УА: если А £ Г*, то ук|А|^ — 1 (из (4), по определению Ук)■
7. УА: если А £ Г*, то |А|М2 — 1 (из (5), по Лемме 1).
8. |В*М2 — 1 (из (2), (6)). |В*М £ Б (из (4)).
М т
10. ук|В*п — 0 (из (9), по определению ук)-
11. |В*М2 — 0 (из (10), по Лемме 1).
12. Неверно, что (1) (из (8), (11)).
У1 доказано. Докажем У2.
1. Неверно, что У2 (допущение).
Для каждой оценки в Мт, для каждых Г и В верно, что если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то В принимает выделенное значение при этой оценке (из (1)).
Найдется такая оценка в М2, множество посылок Г и заключение В, что все формулы из Г примут выделенное значение и В примет невыделенное значение при этой оценке (из (1)).
Пусть V* такая оценк а в М2, а Г и В* такие множество посылок и заключение, что все формулы из Г* принимают выделенное значение и В* принимает невыделенное значение при V*.
5. УА: если А £ Г*, то |А|М2 — 1 (из (4)).
6. УА: если |А|^2 = 1, то |А*\М2 = 1 (по Лемме 2).
7. УА: если А е Г*, то |А|М2 = 1 (из (5), (6)).
М т
8. УА: если А е Гто фк|А|^*п = 1 (из (7), по Лемме 1).
М т
9. УА: если А е Г*, то |А|,„ " е Б (из (8), по определению
Ы-
10. |В^М^ е Б (из (2), (9)).
11. фк|В*\M*n = 1 (из (Ю), п0 определению фк)-
12. |В^^ = 1 (из (И), по Лемме 1).
13. |В*С2 = 1 (из (12), по Лемме 2).
14. |В*С2 =0 (из (4)).
15. Неверно, что (1) (из (13), (14)). Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ 4. Существуют многозначные изоморфы классической пропозициональной логики, не являющиеся С-расши-ряющими.
СЛЕДСТВИЕ 5. Можно вычислить количество матриц, отвечающих условию Теоремы, 3 для каждых т и п при помощи следующей формулы:
тп2-(т+1)х(п-т) х (п _ т)тх(и-т+1)
Метод, использованный выше, также позволяет доказать несколько теорем, описывающих классы логических матриц, с классическим классом тавтологий и ттеклассическим отношением логического следования.
ТЕОРЕМА 6. Если матрица Мт - С-расширяющая и является для характеристической для классической логики при т = 1, то Мт совпадает по классу тавтологий с матрицей для классической логики (М2).
ТЕОРЕМА 7. Если М^ отвечает следующим условиям:
• формулы, не являющиеся элементарными, принимают в Mm только значения из {1, 0};
• существует матрица, Mk , отличная от Mm лишь классом выделенных значений, и отношение логического следования в Mk является классическим,
то Mm совпадает по классу таетологий с M2.
Mnm
• Mnm
• если x Dn y = 1, mo x = 0 или y = 1; если x Dn y = 0, то x = 1 и y = 0; —nx = 1 e.m.e. x = 0; —nx = 0 e.m.e. x = 1,
верно следующее: матрица M/ri , отличная от Mn лишь классом выделенных значений, совпадает по классу тавтологий с M2.
Литература
[1] Девяткин Л. Ю., Карпенки А. С., Попив В. М. Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып XV!!!. М.: ИФ РАН, 2007. С. 50-62.
[2] Epstein, R. L. The semantic foundations of logic. Vol. 1: Propositional logic. Dordrecht, 1990. P. 263-287.
[3] Mulinowskd G. On Many-Valuedness, Sentential Identity, Interference and Lukasiewicz Modalities // Logica Trianguli. Lodz, Nantes, Santiago de Compostella, 1997. Vol. 1. P. 61-71.
[1] Rescher N. Many-valued logic. N. Y., 1969. P 31-33.
