CC BY
26В.М.Попов
ПОГРУЖЕНИЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОГО ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЕГО ПОЗИТИВНЫЙ ФРАГМЕНТ*
Abstract. A translation from the calculus Int which is axiomatisation of the intuitionistic propositional logic to the calculus Int+ which is axiomatisation of the positive fragment of Int is constructed.
Языки L и L+ - пропозициональные языки над алфавитом Pu{&, v, з, f, ), ( } и алфавитом Pu{&, v, з, ), ( } , соответственно. Здесь P есть счетно-бесконечное множество {рьр2,р3,...} всех пропозициональных переменных языков L и L+, &, v, з, -двухместные логические связки языков L и L+, f - нольместная логическая связка языка L, ), и ( - технические символы ( скобки) языков L и L+. Формулы языка L (L-формулы ) и формулы языка L+ (L-формулы) строятся стандартно, принимается соглашение об опускании внешних скобок в L-формулах и в L-формулах. Очевидно, что всякая L-формула является L-формулой, а всякая L-формула, не содержащая вхождений f, является L+^ормулой.
Исчисления Int и Int+ - исчисления гильбертовского типа над языками L и L+, соответственно. Для всяких L-формул А, В и С нижеследующие L-формулы a) - l) являются аксиомами исчисления Int:
a) Аз(ВзА)
b) (Аз(ВзС))з((АзВ)з(АзС))
c) Аз(ВзА&В))
d) (А&В)зА
e) (А&В)зВ
f) (AзC)з((BзC)з((AvB)зC))
g) Aз(AvB)
k) Вз^В)
l) f з A.
Никакие другие L-формулы не являются аксиомами исчисления Int.
*
Работа выполнена при поддержке грантов РГНФ № 99-03-19706 и РФФИ № 0006-80037.
Все аксиомы исчисления Int, ни одна из которых не содержит вхождений f, являются аксиомами исчисления Int+. Никакие другие Int-формулы не являются аксиомами исчисления Int+. Правило а, a^ß / ß, где а и ß - переменные по L-формулам (соответственно, переменные по L-формулам) есть единственное правило исчисления Int (соответственно, исчисления Int ) и называется правилом отделения исчисления Int (соответственно, правилом отделения исчисления Int). Доказательство в исчислении Int (Int-доказательства) и доказательства в исчислении Int+ (Int-доказа-тельства) строятся стандартно, длина Int-доказательства и длина Int-доказательства определяются обычно (наименьшая длина этих доказательств равна 1). Для всякой L-формулы ^-формулы) А запись Int |— A (соответственно , - Int+ |— A) означает, что существует Int-доказательство (соответственно, Int-доказательство) L-формулы (соответственно, L-формулы) А.
Определим сдвиг Сд как такое отображение множества всех L-формул в это множество, что выполняются следующие условия:
Сд(Э = f,
СфО = pi+i (где ie{1, 2, 3,...}), Сд(А^Б) = Сд(А)^Сд(Б), Сд(А&В) = Сд(А)&Сд(Б), Сд(AvБ) = Сд(A)vСд(Б).
Для всякой L-формулы А посредством Prop(A) обозначим множество всех входящих в А пропозициональных переменных языка L. Определим отображение & множества всех непустых подмножеств множества всех пропозициональных переменных языка L+ во множество всех L+^ормул следующим образом:
1) &({A}) = A, если А есть пропозициональная переменная языка L+,
2) &(K) = (&(K-{pj })&p,) если K есть более чем одноэлемент-
т +
ное множество пропозициональных переменных языка L , PjSK и j>i для всякой пропозициональной переменной pi языка L+, принадлежащей множеству K-{p,}
Посредством <Б/С>^], где А, и С - L-формулы, а В есть пропозициональная переменная языка L или f, обозначим результат подстановки С вместо В в А. Ясно, что если А, В и С - L-формулы, то <Б/С>[А] есть L-формула, а если А - L-формула и С - L-формула, то <f/C>[A] есть L-формула.
Теорема 1 (о погружении исчисления Int в исчисление Int).
Для всякой L - формулы А верно следующее: Int|— A тогда и только тогда, когда Int+|— <f/&(Prop (Сд (А))^^ })> [Сд (А)]
В доказательстве этой теоремы использованы следующие четыре леммы.
Лемма 1. Для всяких Ь-формул А и В и всякой пропозициональной переменной р; языка Ь верно следующее: если 1п1;|— А, то М|— <р, /В> [А].
Лемма 1 доказана возвратной индукцией по длине 1п1>доказа-тельства Ь-формулы А.
Лемма 2. Для всякой Ь-формулы А верно следующее: 1п1;|— А тогда и только тогда, когда 1п1;|— Сд(А).
Лемма 2 доказана на основе леммы 1.
Лемма 3. Для всякой Ь-формулы А и всякого конечного множества М пропозициональных переменных языка Ь верно следующее: если 1пг|— А, то Ы+|— <£/&(Ргор(А)и{р1 }иЫ)> [А].
Лемма 3 доказана возвратной индукцией по длине 1п1>доказа-тельства Ь-формулы А, при этом использована следующая под-лемма.
Подлемма. Для всякой Ь -формулы А и всякого конечного множества М пропозициональных переменных языка Ь+ верно следующее: 1п1;+|— &(Ргор(А)иМ)зА.
Эта подлемма доказана возвратной индукцией по построению Ь+-формулы А.
Лемма 4. Для всякой Ь-формулы А и всякого конечного множества М пропозициональных переменных языка Ь верно следующее:
М|— <р1 /£> [<£/&(Ргор(Сд(А))и{р1 }иМ> [Сд (А)]]=>Сд(А) и
1п1|— Сд(А)з <р1 Я> [<£/&(Ргор(Сд(А))и{р1}иМ> [Сд (А)]] .
Лемма 4 доказана возвратной индукцией по построению Ь -формулы А.
Для доказательства теоремы 1 достаточно доказать следующие утверждения У1 и У2.
У1. Для всякой Ь - формулы А верно следующее: если 1п1;|—А, то |— <£/&(Ргор(Сд(А))и{р1 })> [Сд(А)].
У2. Для всякой Ь - формулы А верно следующее: если 1п1+|—<<£/&(Ргор(Сд(А)Мр1})> [Сд(А)], то 1п1|—А.
Доказательство утверждения У1.
Допустим, что (1) 1п1;|—А . Тогда, используя лемму 1, получаем, что (2) 1п1;|—Сд(А). Из (2) и леммы 3 (полагая, что М пусто) получаем, что 1Ш+|—•<#&(Ргор(Сд(А))и{р1})> [Сд(А)].
Утверждение У1 доказано.
Доказательство утверждения У2.
Допустим, что (1) Int+|—<Ё/&(Ргор(Сд(А))о'{р1 })> [Сд(А)].
Из (1) согласно данным выше определениям исчислений Int и Int+ получаем, что (2) Int—^/^Prop^^u^}^ [Сд(А)].
Из (2) и леммы 1 получаем, что (3) Int|— <p1 /f> [<f/&(Prop(Сд(А))u{pl}uM> [Сд (A)]] .
Из (3) и леммы 4 (полагая, что M пусто) по определению Int-доказательства получаем, что (4) Int |—Сд(А). Из (4) и леммы 2 получаем, что Int |—А.
Утверждение У2 доказано.
Теорема 1 доказана.
Используя теорему 1, легко доказать, что исчисление Int+ является позитивным фрагментом исчисления Int в смысле следующей теоремы.
Теорема 2. Для всякой Ь+-формулы А верно следующее: Int |—A тогда и только тогда, когда Int|—A.
Для доказательства этой теоремы достаточно доказать следующие утверждения У3 и У4.
У3. Для всякой Ь+-формулы А верно следующее: если Int|—A, то Int|—A.
У4. Для всякой Ь+-формулы А верно следующее: если Int|—A, то Int+|—A.
Справедливость утверждения У3 очевидна в силу определений исчислений Int и Int+.
Доказательство утверждения У4 предваряют леммы 5 и 6.
Лемма 5. Для всяких L-формул А и В и всякой пропозициональной переменной pj языка L+ верно следующее: если Int|—A, то Int+|— <p,/B>[A].
Лемма 5 доказана возвратной индукцией по длине Int -доказательства L-формулы А..
Лемма 6. Для всякой L+-формулы А верно следующее: Int|—A тогда и только тогда, когда Int|—C4(A).
Лемма 6 доказана на основе леммы 5.
Доказательство утверждения У4.
Допустим, что (1) А есть L+^ормула и (2) Int|—A. Из (2) и теоремы 1 получаем, что (3) Int+|— <f/&(Prop(Сд(А))u{p1})> [Сд(А)].
Из (1) получаем, что (4) f не входит в А. Из (4) по определению оператора Сд получаем, что (5) f не входит в Сд(А). Из (5) по определению оператора < > получаем, что (6)
<£/&(Ргор(Сд(А))и{р1})> [Сд(А)] есть Сд(А). Из (3) и (6) получаем, что (7) 1п1;+|—Сд(А). Из (7) и леммы 6 получаем, что 1п1;+|—А. Утверждение У4 доказано. Теорема 2 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Драгалин АГ. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М., 1979.
