Погружение интуиционистской логики в ее фрагмент от двух переменных и сложность этого фрагмента Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Н.Рыбаков

ПОГРУЖЕНИЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ В ЕЕ ФРАГМЕНТ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И СЛОЖНОСТЬ ЭТОГО ФРАГМЕНТА*

Abstract. An embedding of intuitionistic prepositional logic into its two-variable fragment is constructed. Using this embedding, we prove that the decision problem for two-variable fragment of intuitionistic propositional logic is PSPACE-complete.

1. Введение

Как следует из названия, речь пойдет, в частности, о построении погружения интуиционистской пропозициональной логики Int в ее фрагмент от двух переменных. Здесь под погружением множества формул A во множество формул B мы понимаем полиномиально (по затратам времени) вычислимую функцию (алгоритм, эффективную процедуру) f такую, что для всякой формулы р имеет место эквивалентность

ре A « fp) е B.

Погружение, которое будет построено, на самом деле обладает и некоторыми дополнительными «хорошими» свойствами, например, оно в определенном смысле сохраняет структуру исходной интуиционистской формулы.

Сразу заметим, что это погружение (или существование такого погружения) навряд ли представляет большой интерес само по себе; оно в первую очередь является лишь средством для решения других задач. Более того, оно и возникло при решении автором вопроса, не связанного напрямую с погружениями, а именно вопроса о сложности проблемы разрешения некоторых фрагментов интуиционистской логики. И хотя в названии работы погружение поставлено на первое место, мы, тем не менее, ставим целью не столько построить его, сколько получить с его помощью некоторые новые факты об Int, в частности, касающиеся алгоритмических аспектов этой логики и некоторых ее расширений.

Опишем ситуацию с проблемой разрешения интуиционистской логики подробнее.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 03-06-80115.

2. Сложность разрешения Int

Хорошо известно, что интуиционистская логика Int, как и многие другие «естественные» пропозициональные логики, является разрешимой. Это означает, что существует алгоритм (эффективная процедура), который по всякой формуле дает ответ на вопрос о том, принадлежит эта формула интуиционистской логике или нет. Заметим, что существование такого алгоритма говорит лишь о принципиальной разрешимости интуиционистской логики, поскольку алгоритмы, разрешающие Int, могут оказаться довольно сложными, например, все они могут требовать для своей работы слишком больших временных ресурсов, что сильно затруднит их применение на практике.

В некотором смысле дело именно так и обстоит. В [9] доказано, что проблема разрешения интуиционистской логики является PSPACE-полной (доказательство этого факта можно найти также в [4]). Напомним, что проблема называется PSPACE-полной, если

• она находится в классе PSPACE, т.е. может быть решена некоторым алгоритмом с полиномиальными затратами памяти от длины входных данных;

• она PSPACE-трудна, т.е. всякая проблема из класса PSPACE полиномиально (по времени) сводится к данной проблеме

(о классах сложности см. [5, 10]). Проблемы, являющиеся PSPACE-полными, на данный момент считаются реально не решаемыми - из известных алгоритмов, решающих такие проблемы, самые быстрые требуют для своей работы экспоненту времени (при этом неизвестно, существуют ли более эффективные алгоритмы, решающие такого рода проблемы). Таким образом, хотя интуиционистская логика и разрешима, вряд ли удастся решать на практике проблему принадлежности формул логике Int с использованием существующей сегодня вычислительной техники.

Тем не менее, хотя и имеются определенные трудности с разрешением логики Int, быть может, некоторые достаточно выразительные фрагменты этой логики удастся разрешать за «реальное время».

Одним из таких фрагментов является позитивный фрагмент логики Int, обозначим его через Int+. Заметим, что, отказываясь от использования отрицания, мы практически не теряем выразительности языка: логика Int погружается в Int+, см., например, [1]. Но и PSPACE-полноту мы тоже не теряем: на самом деле в [9] для обоснования PSPACE-трудности проблемы разрешения Int использовались формулы, которые в качестве связок содержали

лишь конъюнкцию и импликацию. Более того, как показано в [3], уже импликативный фрагмент Int обладает PSPACE-полной проблемой разрешения. Поскольку безымпликативные интуиционистские фрагменты не столь интересны, то на пути уменьшения набора связок (с сохранением импликации1) нельзя получить фрагменты интуиционистской логики, которые были бы разрешимы за «реальное время».

Мы рассмотрим ситуацию, когда язык интуиционистской логики содержит лишь конечное число переменных. Такое ограничение на язык, с одной стороны, вполне оправдано: в реально возникающих формулах (множествах формул) обычно имеется лишь конечное число переменных, причем это число зачастую невелико (например, чтобы аксиоматизировать Int, вполне достаточно формул от трех переменных). С другой стороны, известно, что для некоторых логик с достаточно сложной проблемой разрешения в полном языке удается доказать, что проблема разрешения в языке с конечным числом переменных решается с полиномиальными затратами времени. Например, так обстоит дело с проблемой выполнимости булевых формул - она является NP-полной -и с проблемой выполнимости булевых формул с кванторами - эта проблема PSPACE-полна. Если рассматривать булевы формулы (или булевы формулы с кванторами) только от n переменных (число n фиксировано), то соответствующие проблемы решаются с полиномиальными затратами времени, поскольку в этом случае для решения указанных проблем достаточно обозревать таблицы истинности с заранее ограниченным некоторой константой числом наборов возможных значений переменных (например, для булевых формул от n переменных в качестве такой константы можно взять 2n).

Для удобства дальнейшего изложения введем следующее обозначение. Пусть L - некоторая пропозициональная логика (в языке с бесконечным числом переменных); через L(n) будем обозначать фрагмент логики L, состоящий из формул от не более чем n переменных.

Из сказанного выше следует, что фрагмент Cl(n) полиномиально разрешим для любого n. Может, и с Int(n) дело обстоит примерно так же?

Известно, что фрагмент Int(0) является полиномиально разрешимым. Действительно, любая константная формула эквивалентна в Int либо формуле _L, либо формуле Т, а из того, что Int содер-

1 Например, проблема разрешения некоторых безымпликативных фрагментов Int находится в классе NP.

жится в классической пропозициональной логике Cl, получаем, что Int(0) = Cl(0), т.е. для выяснения принадлежности константной формулы интуиционистской логике достаточно выяснить, является ли эта формула тождественно истинной, а последний вопрос решается для константных формул с квадратичными затратами времени от длины тестируемой формулы: соответствующий алгоритм состоит в нахождении истинностного значения формулы с использованием таблиц истинности для булевых связок. Более того, полиномиально разрешимым является фрагмент Int(1), что следует из конструкции Нишимуры [7]: каждая формула от одной переменной, которая не принадлежит Int, опровергается в одном из миров «лестницы» Нишимуры. Остается заметить, что для выяснения опровержимости формулы от одной переменной на «лестнице» Нишимуры достаточно проверить, истинна ли эта формула в верхних2 мирах «лестницы», число которых не превышает длины тестируемой формулы.

Что можно сказать о сложности Int(n) для n > 2?

Некоторое время назад А.В. Чагровым была высказана гипотеза о том, что для всякого натурального n фрагмент Int(n) полиномиально разрешим. Эта гипотеза отчасти подкреплялась тем, что в доказательстве PSPACE-трудности проблемы разрешения Int в [9] (как, впрочем, и в других, более поздних, доказательствах) существенно использовался тот факт, что язык интуиционистской логики содержит бесконечно много переменных. Однако в середине 90-х годов XX века было доказано, что для обоснования PSPACE-полноты проблемы разрешения некоторых модальных пропозициональных логик достаточно, чтобы в языке была лишь одна переменная [6, 8], а чуть позже было установлено, что в ряде случаев достаточно и константных формул [2]. Возникло предположение, что аналогичный результат (только с двумя или более переменными в языке) может быть справедлив и для Int. Построив погружение, о котором говорилось во введении, мы докажем, что дело именно так и обстоит: уже фрагмент Int(2) обладает PSPACE-полной проблемой разрешения.

3. Построение погружения

Считаем, что интуиционистские формулы строятся из переменных p0,p1,p2, ... и константы _L с помощью Л, V и —. Отрицание вводим как обычное сокращение: — у/= — При записи формул будем опускать некоторые скобки, считая самой сильной

2 Имеются в виду, конечно, не самые верхние миры «лестницы» (т.е. из которых достижимы только они сами), а верхняя часть «лестницы».

связкой —, затем Л, V и —. В рассуждениях будет использоваться семантика Крипке; мы будем придерживаться обозначений [4].

Поскольку имеется погружение Int в Int+ [1], нам достаточно построить погружение Int+ в Int(2).

Пусть р и q - две (различные) пропозициональные переменные. Определим следующие формулы:

А0 = — ^q); a2 = — (—pЛq); B? = — (рЛ—q); В2 = — (—рЛ—q);

,|1 лО . iO n0 n0 n1 ,0 „0 ,0 n0

A1 = АкЛА2 — BkVB2; Bk = А2ЛВ1 — A1VB2;

,|1 n0 j0 y>0 n1 ,0 „0 ,0 n0

A2 = А1ЛВ1 — A2VB2; B2 = А2ЛВ2 — A1VB1;

,|1 ¿0 , r,0 r,1 n0 . n0 -0

A3 = A1ЛB2 — A1VB1; B3 = B1ЛB2 — AkvA2. Пусть определены формулы A+ ... и В1+ ... , B^, где k > 1. Определим формулы А1 , ... , An и BT ,... , b„ 1, где n = (m - 1)2:

ik+1 Ai ik+1 А2 4+1 k = A 1 k = A 1 k = A 1 — B\VA2VBk2; — b!^a2vb3; — b1va2vb4; B1+1 B2+1 bT = Bk1 = Bk1 = Bk1 — AklVAk2VBk2; — a1va2vb3; — Ak1 V Ak2V Bk4;

.+1 k = A 1 — Bk1VAklVBkf; = Bk1 — AlvAkvBk;

Ak+ n k = Ak1 — BklVAkmVBkm; B+1 Bn = Bk1 — AkiVAkmvBkm.

Формулы А\ и Б] будем называть формулами уровня к. Обозначим через N число формул А{ уровня к (ясно, что N будет также и числом формул Б^ уровня к). Нетрудно видеть, что

N° = 2, N1 = 3, N+2 = (N+1 - 1)2. Через | А | обозначим длину формулы А. Пусть

/ = тах{| А0 | + | Б0 |}.

Считая отрицание за один символ, получаем, что / = 15. Понятно, что

А | < 5-/ и | Б, | < 5 ■/ (этот факт легко обосновывается индукцией по к). Кроме того, нетрудно видеть, что существует к0 такое, что для всякого к > к0 имеет место отношение 5 ■/ < N. Легко убедиться, что в качестве к0 можно взять любое целое число, большее пяти; пусть для определенности к0 = 6.

Теперь построим модель, в которой будут опровергаться все определенные выше формулы, при этом для каждой формулы будет существовать единственный максимальный мир, в котором она опровергается. Положим

Ж = {а0, 6° : к > 0, 1 < I < Щ.

Элементы а и Ьк будем называть мирами уровня к. На множестве Ж определим отношение достижимости Я. Положим

я? = {(а!, 6?), (а!, 62), (а?, а0), (а2, 62), <4, а0), (аз, 6?)}; Л? = {(6?, а1?), (6!, 62), <62, а?>, (62, 60), (6?, а?), (Ь\, а?)}; Я? = Я? и Я?.

Для всякого к > 1 положим

Як+1 = {(ат , 6?), (а„ ,

_ ^ / 7 к+1 к\ /7 к+1

Як+1 = { (6т , а1Л (6т ,

Я;+1 = Лк+1 и Як+1. Теперь положим

к\ аг), к\ аг),

/ к+1 7 к\ (ат ,6)

6+?, У;)

к+2 к Ат = А -к+2 к Вт =

£?УАку£к};

аЗуа^};

Я' = 0я;

к=2

и в качестве отношения достижимости Я возьмем рефлексивно -транзитивное замыкание отношения Я'.

Положим У = (Ж, Я), М = (У, V), где оценка V определена следующим образом:

(М,^) и <

(М,^) и д ^^ ^ = а? или ^ = 6?. Для наглядности модель М изображена на рис. 1.

00 w = а? или w = 6?;

Рис. 1: Модель :м

Лемма 1. Пусть w - мир модели М. Тогда

(М^) £ а:

(M,w) £ Вкп

wЯa¡k1;

wЯЬm„.

Доказательство проведем индукцией по к. Пусть к = 0. Имеется всего четыре формулы нулевого уровня: Аь А2, В? и В2.

Поскольку (М, а?) и рЛд, то (М, а°) £ А?, а следовательно, для всякого мира w такого, что wЯa1, имеет место отношение (М, w) £ А?. Пусть теперь для некоторого w е Ж выполнено отношение (М, w) £ А?. Тогда существует мир w', достижимый из w, такой, что (М, w') и рЛд. Но единственным миром модели М, в котором истинны обе переменные р и д, является мир а°. Следовательно, w' = аь и значит, wЯa1.

Поскольку (М, а2) и —рЛд, то (М? а2) £ А2, а следовательно, для всякого мира w такого, что wЯa2, имеет место отношение (М, w) £ А2. Пусть теперь для некоторого w е Ж выполнено отношение (М, w) £ А2. Тогда существует мир w', достижимый из w, такой, что (М, w) и —рЛд. Но единственным миром модели М, в котором истинна только переменная д, является мир а2. Следовательно, w' = а?, и значит, wЯa2.

Поскольку (М, 6°) ирЛ—д, то (М? 6?) £ Вь а следовательно, для всякого мира w такого, что wЯЬ ?, имеет место отношение (М, w) £ В?. Пусть теперь для некоторого w е Ж выполнено отношение (М, w) £ В?. Тогда существует мир w', достижимый из w, такой, что (М, w) и рЛ—д. Но единственным миром модели М, в котором истинна только переменная р, является мир 6?. Следовательно, w' = 6ь, и значит, wЯa2.

Поскольку (М, 62) и —рЛ—д, то (М, Ь2) £ В?, а следовательно, для всякого мира w такого, что wЯЬ2, имеет место отношение (М, w) £ В2. Пусть теперь для некоторого w е Ж выполнено отношение (М, w) £ В?. Тогда существует мир w', достижимый из w, такой, что (М, w) и —рЛ—д. Предположим, что w' Ф 62. Заметим, что w' в этом случае не может быть миром нулевого у?ровня, поскольку в каждом мире нулевого уровня, отличном от 62, истинна хотя одна из переменных р и д. Значит, w' является миром уровня к для некоторого к > С. Нетрудно видеть, что в этом случае из w' достижимы как минимум два различных мира уровня ?; хотя бы в одном из них истинна хотя бы одна из переменных р и д, а последнее противоречит спр?аведливости от?ноше-ния (М, w) и — рЛ— д. Следовательно, w' = 62, и значит, wЯЬ2.

Пусть для всякого мира w модели М и всякого 5 < Лк имеют место следующие эквивалентности:

(М, w) £ Ак wЯak; (М, w) £ Вк wЯЬks.

Пусть Ат+? = А? — В? УА^Ву и «!+? = В? — А?УАкУВкк для некоторых г,] е {2, ... , Лк}. Покажем, что

(М, w) Ф Лк+1 « wRam+l;

(м, w) ф вк:х « wRbk:l.

-п- к+1 к к+1 ^ к к+1 к

Поскольку ак Rb ь ак Rai, ак Rb^■, то по индукционному предположению (ММ, ак! ) ф В1УЛ/УВ]-, а поскольку неверно, что

1+1 ^ к / т л к+1ч , .к

ак Rа1, то по индукционному предположению (М, ак ) И Л1. Следовательно, для всякого w такого, что wRam , имеет место отношение (М, w) ф Лк .

Аналогично обосновывается, что для всякого w такого, что wRbm , имеет место отношение (М, w) ф Вк .

Пусть (М, w) ф Лк для некоторого мира w модели М. Тогда существует достижимый из w мир w' такой, что (ММ, w') И Л1 и

(М, w') ф В^Лг-УВ,-. По индукционному предположению, из w'

ккк

должны быть достижимы миры Ь1, а,, bj, и должен быть недостижим мир а1. Поскольку различные миры одного и того же уровня друг из друга не достижимы, а миры более высокого уровня не достижимы из миров более низкого уровня, то w' является миром уровня не ниже, чем к + 1. С другой стороны, для всякого мира w'' более высокого уровня, чем к + 1, имеет место отношение w''Ra1, и значит, (М, w") Ф Л1. Следовательно, w' является миром уровня не выше, чем к + 1. Итак, w' - мир уровня к + 1, из которого достижимы миры Ь1, аь Ь1 и не достижим мир а1. По определению

/Т1 г к+1

шкалы ^ это возможно только в том случае, когда w = а5 , где 5 таково, что Л1 = Л1 — В1УЛ/ УВ,. Ясно, что в нашем случае 5 = т,

, к+1 ^ у» к+1

т.е. w = ат . Следовательно, wRam .

Аналогично доказывается, что если (М, w) ф Вт , то wRb т .

Пусть ф - некоторая интуиционистская формула, не содержащая отрицания,р1, ... ,рп - все ее переменные. Обозначим через к наименьшее натуральное число, удовлетворяющее отношению | ф | < 5к • 15. Заметим, что

N/+6 > 5к+6 • 15 > 56 • 15 • | ф| > | ф| > п,

поэтому следующее определение корректно: для всякого 1 е {1, ... , п} определим формулу аположив

л к+6, , ,-,1+6

а = Л, У В, .

Обозначим через фа формулу, которая получается из ф подстановкой формул а1, ... , ап вместо переменных р1, ... ,рп соответственно.

Лемма 2. Для некоторого натурального числа с имеет место отношение | фа | < с • | ф |2.

Доказательство. Пусть к - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее отношению | ф| < 5к • 15. Тогда 5к-1 • 15 < | ф|, и следовательно,

5k+6 ■ 15 < 5' ■ | р|. Поскольку | ЛГ | < 5*™ ■ 15 и | B+6 | < 5k+6 ■ 15, то

Следовательно,

| а, | < 2 ■ 5k+6 ■ 15 < 2 ■ 57 ■ | р|.

| ра | < | р | ■ max | а, | < 2 ■ 57 ■ | р |2

т.е. в качестве c можно взять число 2 ■ 57.

Лемма 3. Для всякой интуиционистской формулы р, не содержащей отрицания, имеет место следующая эквивалентность:

р е Int ^^ ра е Int. Доказательство. Если р е Int, то ра е Int, поскольку ра является подстановочным примером формулы р.

Пусть р- интуиционистская формула, не содержащая отрицания, и пусть ра $ Int. Тогда существует интуиционистская модель Мр = (F р ур), определенная на шкале Fр = (W^ Яр), такая, что для некоторого w0 е W4> имеет место отношение (Мр, w0) £ р.

Построим интуиционистскую модель, в некотором мире которой будет опровергаться формула ра. Без ограничений общности можем считать, что W П Жр = 0. Положим W* = W U Жр. На множестве W* рассмотрим следующее отношение R':

р (Мр,

R' = {(w, a+6), (w, bf6) : w е Wр, (Мр, w) £p,, 1 < i < n} U

и аП+1), бП+6> : ^ е Жр].

Пусть Я* - рефлексивно-транзитивное замыкание отношения Я и Яр и Я' и пусть У* = (Ж*, Я*). На шкале У* определим модель М* = (У*, V*), положив для всякого ^ е Ж* (М*^0 1= р ^^ ^ = а0 или ^ = (М*,^) = д ^^ ^ = а0 или ^ = 60.

Для всякой подформулы у формулы р через уа обозначим формулу, получающуюся из у подстановкой формул а, ... , ап вместо переменныхрь ... ,рп соответственно. Индукцией по построению у докажем, что для всякого w е Жр

(М*^) = Ца « (Mр,w) = Ц.

Пусть у=рт. Если (Mр,w) £ рт, то в модели М* из мира w

¿+6 7 £+6 т т / ,-ж л ¿+64 , . 1 ¿+6 / ,-ж л 7 £+6ч , . Т-. ¿+6

достижимы миры ат и 6т . Но (М, ат ) £ Ат , (М, 6т ) £ Вт . Понятно^ что в этом случае ¿также имеют место отношения (М*, ат ) £Ат , (М*, Ьт ) £ Вт , а следовательно, (М*, w) £ ат, т.е. (М*, w) £ у,.

Пусть теперь (М*, w) £ ат для некоторого мира w е Жр пусть

лк+6 ак+5 -пК+5, , лк+5, , г.к+5 „к+ё г.к+5 г лк+5^, Ak+$,,Jг,k+5

при этом Ат = А! — Бг УА, УВу , Вт = Бг — А! УА, УВу .

Тогда в модели М* существуют миры м' и м" такие, что мЯ*м', мЯ*м", и при этом

(М*, м) = а1+5, (М*, ф в1+5, (М*, м) ф Ак+5, (М*, ф вк+5; (М*, м") = Я+5, (М*, м") ф А1+5, (М*, м") ф А*+5, (М*, м") Ф$+5.

Заметим, что м', м" $ Жд. Действительно, для всякого и е Жд имеют место отношения иЯ*а„+1 и иЯ*)^, но (М*, а„+1) ф В, и (М*, ъП+1) ф А1+5, поэтом у (М*, и) ф А, и (М*, и) ф Я, и поскольку (М*, м) = А1+5 и (М*, м") = В1+5, то м', м" $ Жд.

Так как миры м' и м'' достижимы по Я* из некоторого мира множества то они не могут быть мирами более высокого уровня, чем к + 6. С другой стороны, (М*, м1) Ф Ат и (М*, м") ф Вт , поэтому м' и м" не могут быть мирами уровня ниже, чем к + 6. Таким образом, м' и м" - миры уровня к + 6. Но

среди миров уровня к + 6 формула Ат опровергается только в

к+6 л ^к+6 7 к+6 мире а+т , а формула Вт - только в мире Ьт , следовательно,

м' = ат+ , а м" =)+ .

Итак, мЯ*а к . Это означает, что при построении шкалы мы положили иЯ'ат для некоторого и е Ждтакого, что мЯди. Но если при построении шкалы мы положили иЯ'а т , то мы также должны были положить иЯ'Ът , и сделать это мы могли только в том случае, когда (Мд и) Ф рт. Поскольку мЯди, то получаем, что (Мд м) ф рт, и тем самым базис индукции обоснован.

Пусть теперь у/ и у/' - подформулы формулы д такие, что для всякого мира м е Жд

(М*, м) = у/а « (Мд,м) = У; (М*, м) = у « (Мдм) = у".

Пусть у = у/Л у". Тогда для всякого м е Жд

(м*, м) = у« « (м*, м) = у и (м*, м) = уа

« (Мд, м) = у" и (Мд, м) = у" (Мд, м) = у

Пусть у= уУ у". Тогда для всякого м е Жд

(М*, м) = у« « (М*, м) = уа или (М*, м) = у (Мд, м) = у/ или (Мд, м) = у/' (Мд, м) = у

Пусть у= у/^- у". Если (Мд м) ф у то в модели Мд существует мир м', достижимый из м, такой, что (Мд м') = у/ и (Мд, м') Ф у"; но тогда (М*, м) = у/'а и (М*, м) ф у/«, а следовательно, (М*, м) ф у«.

Пусть для некоторого w е Wр имеет место отношение (М*, w) £ у/а. Тогда существует w' е W* такой, что wR*w', (М*, w') И у/«, и (^W*, w*) £ у«. Заметим, что во всяком мире u е W уровня не выше k + 6 формулы а1, ... , ап истинны. Следовательно, во всяком таком мире будут истинны и все формулы, построенные из ai, ... , ап с помощью конъюнкции, дизъюнкции и импликации, в частности, во всяком таком мире должна быть истинной формула у«. Поскольку (М*, w1) £ у/'', то w' не может быть миром из множества W, и следовательно, w' е Wq>. Тогда, применяя индукционное предположение, получаем, что (Мр, w) 1= у' и (Мр, w) £ у«, и значит, (Мр, w ) £ у Поскольку (Мр, wo) £ р, то (М*, wo) £ р«, т.е. ра $ Int. Определим функцию f положив для всякой интуиционистской формулы р

Ар) = р«.

Следующая теорема является следствием лемм 2 и 3. Теорема 1. Функция f является погружением Int+ в Int(2).

Ввиду того, что Int погружается в Int+ [1], то из теоремы 1 следует

Теорема 2. Существует погружение Int в Int(2).

4. Некоторые следствия

Имея погружение Int в Int(2), получаем оценку сложности проблемы разрешения для Int(2).

Теорема 3. Проблема разрешения Int(2) является PSPACE-полной.

Доказательство. Тот факт, что эта проблема находится в классе PSPACE, следует из того, что в классе PSPACE находится проблема разрешения Int, а PSPACE-трудность проблемы разрешения Int(2) - из того, что к этой проблеме полиномиально сводится PSPACE-полная проблема, именно проблема разрешения Int+.

Описанную выше конструкцию можно модифицировать и построить погружение, аналогичное f, для некоторых суперинтуиционистских логик, отличных от Int. Мы покажем, как это сделать в случае логики слабого закона исключенного третьего KC = Int + —p V — —p. Положим

Co = —(pAq); A = p — qVCo;

A = q -pVCo; A3 = D1VD2 -pVqVCo;

Л1 = D2 ■-D1VD3; bo = D1—D2VD3;

Ao = D3-D1VD2; b2 = Ao^AoABo-D1 VD2VD3;

.<1 >^ . >0 п^п0 П1 ,0 . п0 ,(0, ,г>0

А1 = А,ЛА2 - В,УВ2; В, = А2ЛВ1 - А,УВ2;

.<1 .<0 . п0 л0< ,т,0 П1 л0 . т,0 л0< ,т,0

А2 = А1ЛВ1 - А2УВ2; В2 = А2ЛВ2 - А^Вь

А3 = а0лв0 - А?УВ?; в1 = в0лв2 - а0уа2.

Если формулыА , ... , и В1к+ ... , Вт^где к > 1, уже определены, то формулы А1+ , ... , А^ и В1+ , ... , ВП , где п = (т - 1) , определяются аналогично тому, как это описано выше:

Акг1 = Ак1 - Вк1УАк1УВк]; Вкг1 = Я - а1 УАк УВ/, где т,] е {2, ... , т}. Пусть

Ж+ = Ж и {с0, ¿ь ¿2, ё3},

а Я+ - рефлексивно-транзитивное замыкание следующего отношения Я':

Я' = Я и {(¿1, С0>, (й2, С0>, (^з, С0>, (а0, ¿1>, <а°°, ¿1>, (Ъ0, ¿1>,

<а2, ¿2>, (Ъ?, ¿2>, (Ъ°, ¿2>, (а0, ¿з), (Ъ0, ¿з), (Ъ0, ¿з)}. Положим = (Ж+, Я+>, М+ = у+>, где оценка V определена следующим образом:

(М+м) = р ^^ м = с0 или м = ¿1; (М+м) = q ^^ м = с0 или м = ¿2.

Для наглядности модель изображена на рис. 2.

Нетрудно убедиться, что имеют место следующие утверждения.

Лемма 4. Пусть м - мир модели М+. Тогда

(М+м) ф С0 мЯс0;

(М+м) ф Д мЯ<4 1 < Т < 3.

Используя лемму 4, несложно доказать следующее утверждение; доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1, и мы его опускаем.

Лемма 5. Пусть м - мир модели М+. Тогда

(М+,м) ф Ат « мЯакт;

(М+,м) ф вт « мЯЪтт.

Обозначим через КС+ позитивный фрагмент логики КС. Заменяя в рассуждениях выше формулы Ат и Вт их новыми вариантами, а вместо модели М рассматривая модель М+, с помощью леммы 5 несложно доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Существует погружение КС+ в КС(2).

Поскольку проблема разрешения KC+ является PSPACE-пол-ной (доказательство аналогично доказательству P SPACE-полноты проблемы разрешения Int+, см. [9]), то в качестве следствия получаем, что имеет место

Теорема 5. Проблема разрешения KC(2) является PSPACE-полной.

со Р, q

Рис. 2: Модель М+

Заметим, что новые формулы A^ и B^ можно бы было использовать и для построения погружения Int+ в Int(2), поэтому на самом деле мы доказали более сильное утверждение. Для супер-инуиционистской логики L обозначим через L+ ее позитивный фрагмент. Тогда имеет место

Теорема 6. Пусть L е [Int, KC]. Тогда существует погружение L+ в L(2).

В качестве следствия теоремы 6 получаем следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть L е [Int, KC]. Тогда проблема разрешения для L(2) является PSPACE-трудной.

В заключение скажем несколько слов о функции сложности М.В. Захарьящева для L(2), где L е [Int, KC]. Пусть L - некоторая логика (множество формул); функция сложности fL(n) определяется следующим образом (см. [4]):

f,(n) = max min | F |,

| VI < n F n L cpt L f * V

где | F I - число миров шкалы F.

Функция сложности М.В. Захарьящева - это, в некотором роде, еще одна мера сложности проблемы разрешения логики L. Имеется некоторая связь между функцией сложности и сложностью вычислений в смысле оценки затрат памяти и времени. Так, в известных случаях, когда логика L обладает PSPACE-полной проблемой разрешения, fL(n) тоже оказывается довольно «сложной», например, экспоненциальной в смысле оценки по порядку.

Используя формулы [9] и приведенную выше конструкцию, несложно показать, что справедлива

Теорема 8. Пусть L 6 [Int, KC]. Тогда функция fL(2)(n) не может быть ограничена сверху никаким полиномом от п.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов В.М. Погружение интуиционистского пропозиционального исчисления в его позитивный фрагмент // Логические исследования. Вып.8. М.: Наука, 2003. С. 150-154.

2. Рыбаков М.Н., Чагров А.В. Константные формулы в модальных логиках: проблема разрешения // Логические исследования. Вып.9. М.: Наука, 2003. С. 202-220.

3. Чагров А.В. О сложности пропозициональных логик // Сложностные проблемы математической логики. Калинин, 1985. С. 80-90.

4. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.

5. Garey M.R., Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness. San Francisco, 1979. (Русский перевод: Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982).

6. Halpern J. Y. The Effect of Bounding the Number of Primitive Propositions and the Depth of Nesting on the Complexity of Modal Logic // Artificial Intelligence. Vol. 75. 1995. P. 361-372.

7. Nishimura I. On formulas of the one variable in intuitionistic propositional calculus // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 25. N. 1. 1960. P. 327331.

8. Spaan E. Complexity of Modal Logics // PhD thesis. Department of Mathematics and Computer Science, University of Amsterdam, 1993.

9. Statman R. Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete // Theoret. Comput. Sci. Vol. 9. N. 1. 1979. P. 67-72.

10. Stockmeyer L. Classifying the Computational complexity of Problems // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 52. N.1. 1987. P. 1-43. (Русский перевод: Стокмейер Л. Классификация вычислительной сложности проблем // Кибернетический сборник, вып. 26. М.: Мир, 1989. С. 20-83.)