Сложность проблемы разрешения базисной и формальной логик Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Н.Рыбаков

СЛОЖНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШЕНИЯ БАЗИСНОЙ И ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИК*

Abstract. The complexity of decision problem for basic proposition logic BPL and formal proposition logic FPL is considered. It is proved that decision problem for positive fragments of both BPL and FPL is PSPACE-complete. The main result is that decision problem for variable-free fragment of BPL and one-variable fragment of FPL is PSPACE-complete.

Базисная пропозициональная логика BPL и формальная пропозициональная логика FPL введены А. Виссером в [12] в виде секвенциальных исчислений. Формулы логик BPL и FPL строятся из (счетного множества) пропозициональных переменных и константы «ложь» с помощью конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Из [12] следует, что логику BPL можно рассматривать как «суперинтуиционистский фрагмент» модальной логики K4, а логику FPL - как «суперинтуиционистский фрагмент» модальной логики GL, где под «суперинтуиционистским фрагментом» модальной логики понимается множество формул этой логики, которые являются результатами следующего T-перевода:

(Таким образом, посредством T-перевода BPL связана с K4, а FPL с GL также же, как интуиционистская логика Int с S4.) В [12] для BPL и FPL строится реляционная семантика, близкая семантике Крипке для Int: разница состоит лишь в том, что при определении шкал и моделей Крипке нет требования рефлексивности миров (о семантике Крипке см., например, [4], [5]). В такой семантике BPL может быть определена как множество формул, истинных во всех шкалах Крипке с транзитивным отношением достижимости, а FPL - как множество формул, истинных во всех конечных шкалах

1. Введение

T(±) T( p)

□ ±; □p ;

T(p) a T(^); T(p) v T(^); □ (T(p) ^ T(^)).

T(^a^) T(^v^) T(p^)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 03-06-80115.

Крипке с иррефлексивным транзитивным отношением достижимости [12].

Мы рассмотрим алгоритмические аспекты базисной и формальной логик. Прежде всего заметим, что обе эти логики разрешимы. Действительно, для того чтобы выяснить, принадлежит ли формула р логике BPL или логике FPL, достаточно проверить, принадлежит ли Т(р) логике K4 или, соответственно, логике GL, а проверка принадлежности логикам K4 и GL может быть осуществлена эффективно в силу их разрешимости, см., например, [5].

Обратим внимание на тот факт, что разрешимость означает лишь принципиальную возможность уметь выяснять по формулам их принадлежность данным логикам, но реальные алгоритмы, решающие этот вопрос, могут оказаться довольно сложными. Так, например, проблема разрешения логик K4 и GL является PSPACE-полной: она решается некоторым алгоритмом, затрачивающим полиномиальный объем памяти от длины тестируемой формулы, и к этой проблеме полиномиально сводится любая проблема из класса PSPACE (что следует, например, из конструкции, описанной в [8]1), то же относится и к Int [10], а PSPACE-полные задачи считаются реально не решаемыми2 (точные определения класса PSPACE, понятия PSPACE-полноты и т.п. можно найти в [6] и [11]).

Наша задача будет состоять как раз в том, чтобы описать сложность алгоритмов, разрешающих BPL и FPL. Мы покажем, что (i) проблема разрешения логик BPL и FPL PSPACE-полна (теорема 2), при этом из доказательства этого факта будет следовать, что (ii) проблема разрешения позитивных фрагментов BPL и FPL PSPACE-полна (теорема 3); затем мы построим погружение позитивного фрагмента логики BPL в ее фрагмент, состоящий из константных формул, и погружение позитивного фрагмента логики FPL в ее фрагмент, состоящий из формул от одной переменной, в результате чего сможем доказать, что (iii) проблема разрешения константного фрагмента BPL и проблема разрешения фрагмента FPL, состоящего из формул от одной переменной, являются PSPACE-полными (теорема 5).

1 В [8] рассматриваются логики К, Т и 84, но доказательство PSPACE-полноты проблемы разрешения этих логик легко переносится на случай К4 и СЬ.

2 На данный момент известны только так называемые переборные алгоритмы, решающие PSPACE-полные задачи, время работы которых не ограничено ни одним полиномом от длины тестируемой формулы, при этом вопрос о существовании (даже недетерминированных!) алгоритмов, решающих PSPACE-пол-ные задачи за полиномиальное время, открыт.

2. Сложность проблемы разрешения BPL и FPL

Мы будем пользоваться тем фактом, что проблема выполнимости булевых формул с кванторами является PSPACE-полной, при этом без ограничений общности можем рассматривать только формулы вида

m / n+1 n+1 >

р = QxP1...QnPn Л ( v Pi v V -Pi), (*)

где Qu ... , Qn e (V, 3}, Ik, Jk e{1, ... , n}, Ikn J = 0, см. [6], [11]. Опишем, как булевой формуле с кванторами р сопоставить формулу р*, которая эффективно строится по р за время, ограниченное некоторым полиномом от длины р, и такую, что

р истинна ^ р* £ BPL ^ р* £ FPL.

Формула р* в определенном смысле будет описывать условие истинности формулы р.

Начнем построение р* с того, что опишем «раскрытие» кванторов; для этого нам понадобятся формулы

где Т = p ^p для некоторой фиксированной переменной p. Каждую переменную pi мы промоделируем с помощью двух формул: ti = qi ^ ri и fi = ri ^ qi. Подразумеваемое значение этих формул следующее: если переменная qi истинна, а ri опровергается, то переменная pi принимает значение «истина», а если наоборот, то pi принимает значение «ложь».

Предположим теперь, что формула A(ti, fi, ti+1,f+1, у) опровергается в некотором мире a модели Крипке логики BPL или логики FPL. Тогда из a должен быть достижим мир b, из которого должен быть достижим мир с, в котором опровергается s, при этом в мире b должны быть истинны формулы (ti ^ s) и f ^ s). Следовательно, из с должны быть достижимы два (различных!) мира, скажем, d1 и d2, в первом из которых истинна переменная qi и опровергается переменная ri, а во втором - истинна ri и опровергается qi, что, согласно подразумеваемому смыслу формул ti и fi, вынуждает нас рассматривать обе возможные оценки для переменной pi. При этом первый и второй конъюнктивные члены формулы A(ti, fi, ti+1,f+1, s) обеспечивают сохранение оценки qi и ri в мирах,

3 Идея построения р* взята из [5].

достижимых из di и d2. Если же в некотором мире a опровергается формула E(ti, fi, ti+i, f+i, s), то возникает аналогичная ситуация с той разницей, что вместо миров di и d2 должен существовать некоторый мир d, в котором либо qi истинно и ri опровергается, либо ri истинно и qi опровергается.

Каждой кванторной приставке Qipi... Qkpk сопоставим формулу щ следующим образом (ниже s - некоторая пропозициональная переменная, отличная от qi и гг);

если Qi = V, то щ = A(tb fi, t2, f2, s); если Qi = 3, то щ = E(ti,fi, t2,f2, s); если Qk = V, то

W = [A(tk, fk, tk+i, fk+i, tk-i) ^ (T ^ tk_i)] л

л [A(tk, fk, tk+i, fk+i,fk-i) ^ (t ^fk-i)] ^ щк-i; если Qk = 3, то

W = [E(tk, fk, tk+i, fk+i, tk-i) ^ (T ^ tk-i)] л

л [E(tk, fk, tk+i, fk+i, fk-i) ^ (T ^fk-i)] ^ Wk-i. Теперь положим

Нетрудно видеть, что длина формулы р* может быть ограничена линейной функцией от длины формулы р, а поэтому и на выписывание формулы р* по формуле р потребуется время, ограниченное полиномом от длины р, кроме того, опровержимость формулы р* в некотором мире некоторой модели логики BPL или логики FPL означает следующее: если последовательно «раскрыть» кванторы формулы р, то выражение, стоящее в р за кван-торной приставкой, истинно. Более точно, верно следующее утверждение.

Лемма 1. Для всякой булевой формулы с кванторами р вида (*) имеют место следующие эквивалентности:

при этом формула р* эффективно строится по р за полиномиальное время от длины р.

Теорема 2. Проблема разрешения логик BPL и FPL является PSPACE-полной.

Доказательство. Проблема разрешения логик BPL и FPL находится в классе PSPACE, поскольку с помощью T-перевода она полиномиально сводится к проблеме разрешения логик K4 и GL соответственно, а как отмечалось выше, проблема разрешения K4

р истинна ^ р* £ BPL ^ р* £ FPL ,

и СЬ является Р8РАСЕ-полной, в частности, находится в классе Р8РАСЕ. Кроме того, любая проблема из класса Р8РАСЕ полиномиально сводима к проблеме выполнимости булевых формул с кванторами (в силу Р8РАСЕ-полноты последней), а проблема выполнимости булевых формул с кванторами в силу леммы 1 полиномиально сводима к проблеме разрешения ВРЬ и ЕРЬ, что и завершает доказательство.

Обозначим через ВРЬ+ и ЕРЬ+ позитивные фрагменты логик ВРЬ и ЕРЬ соответственно, т.е. множества формул этих логик, построенных без использования константы «ложь». Поскольку при выписывании формулы р* константа «ложь» не использовалась, то мы на самом деле доказали более сильное утверждение, чем теорема 2.

Теорема 3. Проблема разрешения фрагментов ВРЬ+ и ЕРЬ+ является PSPACE-полной.

Теперь обратимся к вопросу о сложности разрешения фрагментов ВРЬ и ЕРЬ, состоящим из формул, построенных в языке с конечным числом переменных. В [1] была высказана гипотеза о том, что проблема разрешения фрагмента ВРЬ является Р8РАСЕ-полной уже в том случае, когда в языке имеются всего две пропозициональные переменные. Как было сказано во введении, мы докажем даже более сильное утверждение. Но для этого нам потребуется некоторый технический факт, который, кстати, представляется интересным сам по себе.

Введем следующее обозначение. Для всякого множества формул L через L(n) обозначим множество тех формул из L, в построении которых помимо связок участвуют только константа «ложь» и переменныеp1, ... ,pn.

3. Погружение ВРЬ+ в ВРЬ(0) и ЕРЬ+ в ЕРЬ(1)

Идея погружения, которое будет описано ниже, взята из [7] и уже использовалась автором в совместных работах с А.В. Чаг-ровым при доказательстве близких результатов для модальных логик: см. [1], [2], [3]. При получении аналогичных результатов для ВРЬ и ЕРЬ придется, конечно, учитывать специфику «интуи-

4

ционистского» случая.

Идея, собственно, состоит в том, чтобы заменить все переменные в рассматриваемой формуле формулами (константными в

4 С одной стороны, семантика рассматриваемых логик близка к семантике Int, но с другой стороны, логика FPL не является ни подлогикой, ни расширением Int (хотя BPL как множество формул включается в Int).

случае BPL и зависящими от одной переменной в случае FPL), которые могут рассматриваться как переменные: каждую из них можно, определенным образом изменив модель, опровергнуть или сделать истинной в рассматриваемом мире независимо от истинности в этом мире остальных построенных формул.

Введем следующее сокращение. Для всякой формулы у обозначим через ? у формулу Т ^ у Для всякого n > 1 положим

а„

= (?n+2^ ^ ?n+1±) ^ (?n+1± ^ ?n±) v ?n+2±;

в = ?2р ^ (?и+1± ^ ?"± V р).

Пусть р - произвольная формула, не содержащая константы «ложь», и пусть р1, ... ,рп - все переменные, входящие в р. Обозначим через ра формулу, получающуюся из р заменой каждого вхождения переменной р, на а, а через рр - формулу, получающуюся из (заменой каждого вхождения переменнойр, на Д.

т+ 1 i

> F

1 УП

Рис. 1

Рис. 2

Заметим, что для того чтобы в некотором мире опровергалась формула ат, достаточно, чтобы из него была достижима шкала ¥т (т.е. нижний мир ^т), изображенная на рис. 1, а для того чтобы в некотором мире опровергалась формула Дт, достаточно, чтобы из него была достижима модель Мт, изображенная на рис. 2 (черные кружки соответствуют иррефлексивным мирам, а светлые - рефлексивным). При этом несложно убедиться, что истинность формул ак и Дк, где к Ф т, не зависит от того, достижимы ли из данного мира модели указанного вида, опровергающие ат и Дт соот-

ветственно. Это наблюдение позволяет обосновать следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть р - формула, не содержащая константы «ложь». Тогда имеют место следующие эквивалентности:

р е BPL+ » ра е BPL(0);

ре FPL+ » pß е FPL(1).

4. Сложность разрешения BPL(m) и FPL(m)

Заметим, что длина формул ak и ßk, где k > n, ограничена некоторой линейной функцией от n, а n в свою очередь не превосходит длины р. Следовательно, длина формул ра и pß может быть ограничена квадратичным полиномом от длины р, из чего легко заключить, что ра и pß эффективно строятся по р с помощью алгоритма, время работы которого ограничено некоторым полиномом от длины р. Таким образом, проблема разрешения BPL+ и FPL+ полиномиально сводится к проблеме разрешения BPL(0) и FPL(1) соответственно, и тем самым нами доказана

Теорема 5. Для всякого m > 0 проблема разрешения BPL(m) и FPL(m + 1) является PSPACE-полной.

Остается вопрос о сложности проблемы разрешения FPL(0), но ответ на него почти очевиден. В [1] доказано, что фрагмент GL(0) разрешим полиномиально по времени, а FPL(0) погружается в GL(0) с помощью T-перевода, причем Т(р) вычисляется по р за полиномиальное время от длины р. Поэтому имеет место

Теорема 6. Фрагмент FPL(0) разрешим с помощью алгоритма, время работы которого ограничено полиномом от длины проверяемой формулы.

5. Сложность разрешения Int(m)

Получив оценки сложности проблемы разрешения BPL(m) и FPL(m), трудно ничего не сказать о сложности проблемы разрешения Int(m). Как уже было сказано выше, проблема разрешения Int является PSPACE-полной [10]. Тем не менее, имеется алгоритм, основанный на «лестнице» И. Нишимуры [9], разрешающий Int(1) за полиномиальное время. Что касается Int(m) для m > 1, то имеют место следующие факты.

Лемма 7. Для всякой булевой формулы с кванторами р вида (*) имеют место следующие эквивалентности:

р истинна » р* £ Int.

Обозначим через Int+ позитивный фрагмент логики Int. Из леммы 7 вытекает

Теорема 8 [10]. Проблема разрешения Int+ является PSPACE-полной.

Лемма 9. Существует погружение Int+ в Int(2), которое вычислимо с помощью некоторого алгоритма, время работы которого ограничено полиномом от длины подаваемой на вход формулы.

Построение такого погружения Int+ в Int(2) основано на той же идее, что и построение погружения BPL+ в BPL(0), а также FPL+ в FPL(1), но требует значительно больше технических выкладок, что, к сожалению, не позволяет привести его в рамках данной работы.

Из леммы 9 и PSPACE-полноты проблемы разрешимости Int и Int+ вытекает

Теорема 10. Для всякого m > 2 проблема разрешения Int(m) является PSPACE-полной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыбаков М.Н., Чагров А.В. Константные формулы в модальных логиках: проблема разрешения // Логические исследования. Вып.9. М.: Наука, 2003.

2. Рыбаков М.Н., Чагров А.В. Модальные формулы без переменных и PSPACE-полнота // Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VII Международной научной конференции. СПб: Издательство Санкт-Петербургского университета. 2002. С. 498-500.

3. Рыбаков М.Н., Чагров А.В. О сложности модальных логик, имеющих доказуемостную интерпретацию, с ограничениями на число переменных // Колмогоров и современная математика. Международная конференция. М.: Издательство МГУ, 2003. С. 707-708.

4. Семантика модальных и интенсиональных логик // Пер. с англ., сост., общ. ред. и вступит. статья В.А. Смирнова. М.: Прогресс, 1981.

5. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.

6. Garey M.R.., Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness. San Francisco, 1979. (Русский перевод: Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982).

7. Halpern J.Y. The Effect of Bounding the Number of Primitive Propositions and the Depth of Nesting on the Complexity of Modal Logic // Artificial Intelligence. Vol. 75. 1995. P. 361-372.

8. Ladner R.E. The computational complexity of provability in systems of modal logic // SIAM Journal on Computing. Vol. 6. 1977. P. 467-480.

9. Nishimura I. On formulas of the one variable in intuitionistic prepositional calculus // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 25. N. 1. 1960. P. 327331.

10. Statman R.. Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete // Theoret. Comput. Sci. Vol. 9. N. 1. 1979. P. 67-72.

11. Stockmeyer L. Classifying the Computational complexity of Problems // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 52. N.1. 1987. P. 1-43. (Русский перевод: Стокмейер Л. Классификация вычислительной сложности проблем // Кибернетический сборник, вып. 26. М.: Мир, 1989. С. 20-83.)

12. Visser A. A Propositional Logic with Explicit Fixed Points // Studia Logica. Vol. 40. 1981. P. 155-175.