Погружение классической пропозициональной логики в некоторые паралогики Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.А.Карпенко

ПОГРУЖЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКИ В НЕКОТОРЫЕ ПАРАЛОГИКИ

Abstract. The classic prepositional calculus PC is embedded into several paralogies by different embedding operations, which are constructed.

Посредством описываемых ниже операций классическое пропозициональное исчисление из [1, с.49], обозначаемое PC, погружается в исчисления I0, I1; I2, I3 из [2], MAP из [3] и LAP из [4]. При этом погружение исчисления РС в исчисления I0, Ib I2 и I3 осуществляется посредством двух различных операций.

Язык L этих исчислений есть стандартно определяемый пропозициональный язык c алфавитом <S, &, v, з, ), (>, где S есть множество (sb s2, s3, ...} всех пропозициональных переменных языка X, з, л, v есть бинарные логические связки, — есть унарная логическая связка, ) и ( есть технические символы (скобки). При записи формул в языке L принимаются обычные соглашения об опускании скобок, вместо "формула в языке L" будем писать "формула". Далее буквы А, В, С и D используются для обозначения формул.

Все упомянутые выше исчисления являются исчислениями гильбертовского типа со стандартно определяемым понятием доказательства. Множеству всех правил вывода каждого из этих исчислениий принадлежит только одно правило: А, АзВ/В. Поэтому для задания любого из этих исчислений достаточно определить множество всех его аксиом.

Исчисление PC. Множество всех аксиом исчисления PC есть множество всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов:

1. Аз(ВзА),

2. (Аз(ВзС))з((АзВ)з(АзС)),

3. (АлВ)зА,

4. (АлВ)зВ,

5. Аз(Вз(АлВ)),

6. Аз^В),

7. Вз^В),

8. (AzC)z((BzC)z((AvB)zC)),

9. (А^В)^((А^(—В))^(—A)),

10. (—(—A))zA.

Исчисления I0, Ii, I2 и I3. Множество всех аксиом исчисления I0 есть объединение множества всех акисом исчисления PC, не содержащих —, с множеством всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов:

1'. (—(DzD))^,

2'. (Аз(—(ВзВ)))з(—А),

3'. (АзВ)з((Вз(—А))з(—А)),

4 . Аз((—А)з(—(ВзВ))),

5'. ((ВзА)зА)з((—А)зВ), где А не является пропозициональной переменной.

Множество всех аксиом исчисления I1 получаем из множества всех аксиом исчисления I0 за счет замены схем 2' и 3' на схемы

2''. фз(—(В=>В)))=>(—D) и

3''. D))z(—D)) соответственно.

Множество всех аксиом исчисления I2 получаем из множества всех аксиом исчисления I0 за счет замены схем 4' и 5' на схемы

4''. Dz>((—D^—^z®))) и

5''. ((В^0)^0)^((—D)z8)) соответственно.

Множество всех аксиом исчисления I3 есть объеденение множества всех аксиом исчисления I0 с множеством всех формул вида:

6'. Аз((—А)з((Бз(—В))з(—В))).

Исчисление MAP. Множество всех аксиом исчисления MAP есть объединение множества всех акисом исчисления PC, не содержащих —, с множеством всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов:

M1. (—(ЛзА))=>В, M2. (Аз(—(В=>В)))=>(—А), M3. (АзВ)з((Вз(—А))з(—А)), M4. Аз((—А)з(—(ВзВ))), M5. ((В^А)^А)^((—А)^В);

M6. (—(—A))zA, M7.Az(—(—A)), при этом в схемах M4 и M5 А не является квазиэлементарной формулой1.

1 Квазиэлементарной формулой называется формула, которая не имеет вхождений ни одной из логических связок A,v,z.

Исчисление LAP. Множество всех аксиом исчисления MAP есть объединение множества всех акисом исчисления PC, не содержащих —, с множеством всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов: L1. (—(AoA^B, L2. (Аз(—(ВзВ)))з(—А), L3. (АзВ)з((Вз(—А))з(—А)), L4. Аз((—А)з(—(ВзВ))), L5. ((ВзА)зА)з((—А)зВ);

L6. (—(—A)^A, M7.Aз(—(—A)), при этом в схемах M2 и M3 А не является квазиэлементарной формулой.

Используя тот факт, что все рассматриваемые здесь логики2, соответствующие исчислениям I0, Ib I2, I3, MAP и LAP, являются конечнозначными, нетрудно доказать, что они являются паралоги-ками в том смысле, что каждая из них паранепротиворечива3 или параполна4. Например, подробное доказательство того, что логика I2 является параполной, дано в [5, с.61-62]. Можно доказать, что логика I0 является паранепротиворечивой и параполной; логика I1 является паранепротиворечивой, не не является параполной; логика I2 является параполной, но не является паранепротиворечи-вой; логика I3 является паранепротиворечивой и параполной; логика MAP является паранепротиворечивой, но не является пара-полной; логика LAP является параполной, не не является паране-противоречивой.

Определим унарные операции Ьф (см. [3, с.496]), у и х на множестве всех формул.

Определение операции Ьф:

Пусть ф - эффективное отображение множества всех пропозициональных переменных во множество всех формул, удовлетворяющее следующим условиям:

(1) ф^) не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной s;,

(2) для всякой пропозициональной переменной s; формулы s1зф(s1) и ф(s1)зs1 принадлежат логике PC.

2 Логикой, соответствующей данному исчислению, называется множество всех теорем этого исчисления.

3 Логика Ь называется паранепротиворечивой, если существует противоречивая Ь-теория, которая не равна множеству всех формул.

4 Логика Ь называется параполной, если существует такая Ь-теория Т, что Т не является полной Ь-теорией и всякая полная теория, включающая Т, равна множеству всех формул.

Тогда

hT(s1)=9(s1) для всякой пропозициональной переменной s;, Ьф(А^В)=Ьф(А)^Ьф(В), где • е {&, v, z}, а А и В произвольные формулы,

Ьф(—А)=—ЬФ(А), где А произвольная формула.

Определение операции у:

y(s;) = —s; для всякой пропозициональной переменной s;, у(А^В) = у(А)^у(В), где ^е{А, v, z}, а А и В произвольные формулы,

у(—А) = —у(А), где А произвольная формула.

Определение операции х:

X(s;) = s; для всякой пропозициональной переменной s;, Х(А^В) = х(А)^х(В), где ^е{А, v, z}, а А и В произвольные формулы,

Х(—А) = ^.^z^s^s^), где А произвольная формула. Теорема 1 (о погружении исчисления PC в исчисления I0, I1, I2, I3, MAP и LAP): для всякого исчисления E из {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции Ьф, верно, что PC |- а т.т.т. E |- Ьф(а).

Теорема 2 (о погружении исчисления PC в исчисление I; (1 е {0,1,2,3}): для всякого 1 из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что PC |-' а т.т.т. I; |- у(а).

Теорема 3 (о погружении исчисления PC в исчисления I0, I1, I2, I3, MAP и LAP): для всякого исчисления E из {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP} и всякой формулы а верно, что PC |- а т.т.т. E |- х(а).

Для доказательства теоремы 1 достаточно доказать следующие утверждение 1 и утверждение 2.

Утверждение 1: для всякого исчисления E из {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения

2) из определения операции

Утверждение 2: для всякого исчисления E из {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции Ьф, верно, что если E |- Ьф(а), то PC |- а.

Доказательство утверждения 1 проводится возвратной индукцией по длине PC-доказательства формулы а.

Доказательству утверждения 2 предпосылается следующая лемма 1.

Лемма 1: для всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции Ьф, верно, что РС |- азЬф(а) и РС | Ьф(а)за.

Доказательство проводится индукцией по построению формулы а.

Докажем утверждение 2.

(1) Е | Ьф(а) (условие),

(2) РС |- Ьф(а) (из (1) по лемме 1),

(3) РС | а (из (2) и леммы 1 по определению доказательства в РС). Утверждение 2 доказано.

Из утверждений 1 и 2 получаем теорему 1. Таким образом теорема 1 доказана.

Для доказательства теоремы 2 достаточно доказать следующие утверждение 3 и утверждение 4.

Утверждение 3: для всякого 1 из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что если РС|- а, то I | у(а).

Утверждение 4: для всякого 1 из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что если I | у(а), то РС | а.

Доказательство утверждения 3 проводится возвратной индукцией по длине РС-доказательства формулы а.

Доказательству утверждения 4 предпосылаются лемма 2, лемма 3 и лемма 4.

Лемма 2: для всякого 1 из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что

Доказательство леммы 2 проводится возвратной индукцией по длине доказательства в исчислении I! (1 е {0,1,2,3}) формулы а.

Доказательство нижеследующей леммы 3 имеет семантический характер, поэтому нам потребуются определения некоторых семантических понятий. Оценкой назовем любое отображение множества {81, 82, б3, ...} всех пропозициональных переменных в {0, 1}. Оценку V4 назовем обратной к оценке V, если для всякой пропозициональной переменной 8! верно, что

Означиванием при оценке V назовем отображение | IV множества всех формул в {0, 1}, удовлетворяющее следующим условиям для всякой пропозициональной переменной 81 и всяких формул А и В:

1, если v(s1) = 0,

1) |Ф=Ч8,),

2) |АзВ^ = 1 т.т.т. = 0 или |В^ = 1,

3) |АлВ^ = 1 т.т.т. = 1 и |B|v = 1,

4) АvB|v = 1 т.т.т. = 1 или |B|v = 1,

5) —А^ = 1 т.т.т. |А|v = 0.

Лемма 3: для всякой оценки V и всякой формулы а верно, что |а^ = |у(а)К.

Доказательство леммы 3 проводится индукцией по построению формулы а.

Лемма 4: для всякой формулы а верно, что если РС | у(а), то РС | а.

Доказательство легко проводится методом от противного:

(1) РС - у(а) (условие),

(2) РС - а (допущение),

(3) |а^ = 0 (из (2) по теореме о полноте для РС),

(4) |у(а)|^ = 0 (из (3) по лемме 3),

(5) РС - у(а) (из (4) по теореме о непротиворечивости РС),

(6) РС - а (противоречие (1) и (5)).

Лемма 4 доказана. Докажем утверждение 4.

(1) ^ | у(а) (условие),

(2) РС - у(а) (из (1) и леммы 2),

(3) РС - а (из (2) и леммы 4).

Утверждение 4 доказано. Из утверждений 3 и 4 получаем теорему 2. Таким образом, теорема 2 доказана.

Для доказательства теоремы 3 достаточно доказать следующие утверждение 5 и утверждение 6.

Утверждение 5: для всякого исчисления Е из {10, 1Ь 12, 13, МАР и ЬАР} и всякой формулы а верно, что если РС | а, то Е | х(а).

Утверждение 6: для всякого исчисления Е из {10, 1Ь 12, 13, МАР и ЬАР} и всякой формулы а верно, что если Е | х(а), то РС | а.

Доказательство утверждения 5 проводится возвратной индукцией по длине РС-доказательства формулы а.

Доказательству утверждения 6 предпосылаются леммы 5 и 6.

Лемма 5: для всякого исчисления Е из {10, Ь, 12, 13, МАР и ЬАР} и для всякой формулы а верно, что если Е| а, то РС | а.

Доказательство леммы 5 проводится возвратной индукцией по длине доказательства в исчислении Е (Е е {10, 1ь 12, 13, МАР и ЬАР}) формулы а.

Лемма 6: для всякой формулы а верно, что РС | аз^(а) и РС | х(а)=>а.

Доказательство проводится возвратной индукцией по построению формулы а.

Но основе леммы 5 и леммы 6 доказывается утверждение 6:

(1) E|- х(а) (условие),

(2) PC - х(а) (из (1) по лемме 5),

(3) PC - а (из (2) и леммы 6 по определению доказательства в PC). Утверждение 6 доказано.

Из утверждений 5 и 6 получаем теорему 3. Таким образом, теорема 3 доказана.

Посредством описываемых ниже операций классическая пропозициональная логика высказываний погружается в коньюнк-тивно-негативный, дизьюнктивно-негативный и импликативно-негативный фрагменты рассмотренных выше паралогик.

Для всякого исчисления E из {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP} обозначим посредством ЕА— коньюнктивно-негативный фрагмент исчисления Е, посредством Ev— - дизьюнктивно-негативный фрагмент исчисления Е, посредством Ez— - импликативно-негативный. Таким образом, Еа— является множеством всех таких формул, каждая из которых доказуема в Е (Ee {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}) и ни одна из которых не содержит вхождений логических связок v и z, Ev— является множеством всех таких формул, каждая из которых доказуема в Е (Ee {I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}) и ни одна из которых не содержит вхождений логических связок а и z, а Е3— является множеством всех таких формул, каждая из которых доказуема в Е (Ee{I0, I1, I2, I3, MAP и LAP}) и ни одна из которых не содержит вхождений логических связок а и v.

Определение операции сф:

Пусть ф - эффективное отображение множества всех пропозициональных переменных во множество всех формул, удовлетворяющее следующим условиям:

(3) не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной s1,

(4) для всякой пропозициональной переменной s1 формулы s1zф(s1) и ф(s1)zs1 принадлежат логике PC.

Тогда

сф^)=ф^) для всякой пропозициональной переменной s1, сф(АаВ)=сф(А)асф(В), где А и В произвольные формулы, cф(АvВ)=—((—сф(А))а(—сф(В))), где А и В произвольные формулы,

cф(АzВ)=—(сф(А)а(—сф(В))), где А и В произвольные формулы, сф(—А)=—сф(А), где А произвольная формула.

Определение операции d(p:

Пусть ф - эффективное отображение множества всех пропозициональных переменных во множество всех формул, удовлетворяющее следующим условиям:

(5) ф^) не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной 8;,

(6) для всякой пропозициональной переменной формулы 81зф(81) и ф^)^ принадлежат логике РС.

Тогда

^^^ф^) для всякой пропозициональной переменной 8;, ^(АлВ)=—((—ёф(А)^(—^(В))), где А и В произвольные формулы,

dф(АvВ)=dф(А)vdф(В), где А и В произвольные формулы, dф(АзВ)=(—dф(А))vdф(В), где А и В произвольные формулы, dф(—А)=—dф(А), где А произвольная формула.

Определение операции ¡ф:

Пусть ф - эффективное отображение множества всех пропозициональных переменных во множество всех формул, удовлетворяющее следующим условиям:

(7) ф^) не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной 81,

(8) для всякой пропозициональной переменной 8! формулы 81зф(81) и ф^)^ принадлежат логике РС.

Тогда

1ф(81)=ф(81) для всякой пропозициональной переменной 81, 1ф(АлВ)=—(ц(А)з(—1ф(В))), где А и В произвольные формулы, iф(АvВ)=(-liф(А))z>iф(В), где А и В произвольные формулы, 1ф(АзВ)=1ф(А)з1ф(В), где А и В произвольные формулы, 1ф(—А)=—1ф(А), где А произвольная формула.

Теорема 4: для всякого исчисления Ел- из {10л-, 11Л-, 12л-, 13л-, МАРЛ- и ЬАРл-}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции сф, верно, что РС | а т.т.т. сф(а)еЕл-.

Теорема 5: для всякого исчисления Е^ из {I0v-, IlV-, I2V-, I3v-, MAPv- и ЬАР^}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции dф, верно, что РС | а т.т.т. dф(а)еЕv-.

Теорема 6: для всякого исчисления Е3- из ^^ Ь^, Ь^,

МАР3- и ЬАР3-}, всякой формулы а и всякого эффективного отображения ф, удовлетворяющего условиям (1) и (2) из определения операции 1ф, верно, что РС | а т.т.т. 1ф(а)еЕ3-.

Теоремы 4, 5 и 6 легко получить из теоремы 1, используя

известные бинарные тождества классической логики, позволяющие взаимовыражать связки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976.

2. Popov V.M. On the Logics Related to A.Arruda's System V1 // Logic and Logical Philosophy. 1999. Vol.7. P. 87-90.

3. Попов В.М. Об одной трехзначной паранепротиворечивой логике // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 2002.

4. Попов В.М. Об одной трехзначной параполной логике // Логические исследования. Вып.9. М.: Наука, 2002.

5. Попов В.М. Об одной параполной логике // Смирновские чтения. 3 международная конференция. М.: ИФРАН, 2001.