О несуществовании конечной характеристической матрицы для одной паранормальной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.В. Баташев

О НЕСУЩЕСТВОВАНИИ КОНЕЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ ОДНОЙ ПАРАНОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

Abstract. In this paper a proof of a theorem of nonexistence offinite characteristic matrix for paranormal logic VVP is presented.

Цель работы - доказать, что для предложенной в [1] пропозициональной логики VVP, являющейся вариантом паранормальной логики, не существует конечной характеристической матрицы. Логика VVP аксиоматизирована в [1] посредством исчисления HVVP, описание которого воспроизводится ниже. Алфавит пропозиционального языка £ есть множество {&, V, D, —, ), (, p1, p2, p3, ...} символов, элементы которого имеют предполагаемые названия. Индуктивное определение £-формулы (формулы в языке £) стандартно:

(1) всякая пропозициональная переменная языка £ есть £-формула,

(2) если A и B есть £-формулы, то (A & B), (A V B), (A D B), (— A) есть £-формулы.

Следуя [1], (а) условимся, что для всякого целого неотрицательного числа k и всякой пропозициональной переменной р языка £

Г p, если k = 0, —(k)p = \

У ( —( —(k-1)p)), если k > 0, и (б) определим квазиэлементарную £-формулу как — p, где k есть целое неотрицательное число и p есть пропозициональная переменная языка £.

Исчисление HVVP является стандартно определяемым исчислением гильбертовского типа, язык исчисления HVVP есть £. Аксиомами исчисления HVVP являются в точности все формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов:

(1) ((A D B) D ((B D C) D (A D C))), где A, B и C - £-формулы,

(2) (A D (A V B)), где A и B - £-формулы,

(3) (B D (A V B)), где A и B - £-формулы,

(4) ((A D С) D ((B D C) D ((A V B) D C))), где A, B и C - £-фор-

мулы,

(5) ((A & B) D A), где A и B - £-формулы,

(6) ((A & B) D B), где A и B - Х-формулы,

(7) ((С D A) D ((C D B) D (C D (A & B)))), где A, B и C - Х-фор-

мулы,

(8) ((A D (B D C)) D ((A & B) D С)), где A, B и С - Х-формулы,

(9) (((A & B) D C)) D ((A D (B D C)), где A, B и C - Х-формулы,

(10) (((A D B) D A) D A), где A и B - Х-формулы,

(11) ((— D) D (D D A)), где A - Х-формула, а D - Х-формула, не являющаяся квазиэлементарной Х-формулой,

(12) ((D D (— (A D A))) D (— D)), где A - Х-формула, а D - Х-фор-мула, не являющаяся квазиэлементарной Х-формулой.

Правило modus ponens в Х является единственным правилом вывода исчисления HVVP. Доказательства в HVVP строятся обычным образом. Исчисление HVVP аксиоматизирует логику VVP, т.е. множество всех формул, доказуемых в HVVP, равно VVP.

Лемма 1. Пусть K есть n-элементное (n-целое положительное число) множество, f есть отображение множества K в себя, * есть операция композиции отображений множества K в себя, и для всякого целого неотрицательного числа i Г f если i = 0,

f(i) = V

[ f * f(b1), если i > 0. Тогда 3k 3l: f(k) = f(l)

k, l есть целые неотрицательные числа, k ф l

Доказательство Очевидно, что Vk: f(k) есть отображение множества K в себя.

k есть целое неотрицательное число Отсюда получаем, что множество {/o:i, fr>, f2), ... } является подмножеством множества всех отображений множества K в себя. Но множество всех отображений множества K в себя конечно, так как K есть конечное множество (известно, что число всех отображений конечного множества в себя равно mm, где m-число элементов данного конечного множества). Поэтому множество {/o:i,f(1),f2), ...} конечно. Значит, f0^ f(1), _/2), ... не являются попарно различными отображениями. Но тогда существуют такие целые неотрицательные числа k и l, что k Ф l и f ® = f®.

Лемма 1 доказана. Лемма 2. Если некоторая матрица, носитель которой есть n-эле-ментное (n есть целое положительное число) множество, является характеристической матрицей для VVP, то существуют такие целые неотрицательные числа k и l, что k Ф l и Х-формула ( —(k)pi з —(l)pi) принадлежит множеству VVP.

Доказательство

(1) существует матрица, носитель которой есть «-элементное (п есть целое неотрицательное число) множество, являющаяся характеристической матрицей для УУР (допущение).

Пусть (2) Ш есть матрица, носитель которой есть «-элементное («-целое положительное число) множество, являющаяся характеристической матрицей для УУР.

Не ограничивая общности рассуждений, положим: (3) Ш = М N {&', V', 3', —'», &', V', 3' есть бинарные, а - ' есть унарная операции на М.

Оценка языка £ в Ш определяется стандартно (как отображение множества всех пропозициональных переменных языка £ в М), обычным образом определяется (индукцией по построению £-формулы) значение £-формулы в Ш при заданной оценке языка £ в Ш (значение £-формулы ^ в Ш при оценке V языка £ в Ш обозначаем через \Р\ГШ):

(1) \р\УШ = v(p) для всякой пропозициональной переменной р языка £,

(и) \(А & Б)1Ш = \А\Ш & ' \Б\УШ для всяких £-формул А и В, (ш) \(А V Б)\УШ = \А\„Ш V' \Б\УШ для всяких £-формул А и В, (гу) \(А 3 Б)\УШ = \А\Ш 3' \Б\УШ для всяких £-формул А и В, (у) \(- А)\„Ш = - ' \А\„Ш для всякой £-формулы А. Покажем теперь, что (4) Ух: х 3' х е N

х е М

Пусть а Е М и Va есть оценка языка £ в Ш такая, что Va(р) = а для всякой пропозициональной переменной р языка £. Тогда \(Р1 3 = \р1^аШ 3' ^l\vаШ = Va(рl) 3' Va(рl) = а 3' а. Но для

всякой оценки V языка £ в Ш \(р1 3 р1)\VШ е N (из (2), (3) и того, что £-формула (р1 3 р1) доказуема в НУУР). Поэтому а 3' а е N. Отсюда, поскольку а есть произвольный элемент множества М, получаем, что Ух: х 3' х е N. х е М

Условимся, что (5) для всякого целого неотрицательного числа т Г — ', если т = 0,

- '(т) = \

I — ' *—'(т-1), если т > 0 (здесь * есть операция композиции отображений множества М в себя). Тогда по лемме 1 получаем, что (6) Зк 3/: — ' (к) = — ' (/).

к, / есть целые неотрицательные числа, к Ф /

Пусть (7) к0 и /0 есть целые неотрицательные числа, такие, что

ко Ф /0 и — ' (к0) = — ' (/0). Тогда (8) Ух: — ' (к0) (х) = — ' (/0) (х). х е М

Используя определение значения Х-формулы в Ш при оценке языка Х в Ш и договорённости об обозначениях, легко получить, что

(9) Уу: |(— (ко)рх 3 - ('о)Р1>|^Ш = (—' (ко) ФО) 3' (—' ('о) фО).

V есть оценка языка Х в Ш

(10) У у: (—' (к0) фО) 3' (—' ('о) Ф0) = (—' (ко) фО) 3' (—' (ко) фО)

у есть оценка языка Х в Ш

(из (8) и того, что Уу: фО е М)

у есть оценка языка Х в Ш

(11) Уу: (—' (ко) фО) 3' (—' (ко) фО) е N (из (5) и того, что

у есть оценка языка Х в Ш

У у: —' (ко) фО е М)

у есть оценка языка Х в Ш

(12) У у: |(— (ко) р1 3 - (1о) р1)|уШ е N (из (9), (10) и (11))

у есть оценка языка Х в Ш

(13) (— (ко) р1 3 - (1о) Р1) е УУР (из (12) и того, что Ш есть характеристическая матрица для УУР (см. (2)) и N есть выделенное множество матрицы Ш (см. (3)), по определению характеристической матрицы для УУР).

Устраняя допущение (1), получаем, что верна лемма 2. Лемма 2 доказана. Лемма 3. Для всяких целых неотрицательных чисел к и I, таких, что к Ф I, Х-формула (— (к) р1 3 — ® р1) не принадлежит множеству УУР.

При доказательстве леммы 3 будем использовать построенную в [1] семантику исчисления НУУР, базирующуюся на понятии квазиописания описания состояния. Квазиописанием описанием состояния (кс) называется отображение множества всех квазиэлементарных формул в {о,1}. Можно доказать, что для каждого кс а существует единственное отображение | |а множества всех Х-фор-мул в {о,1}, удовлетворяющее следующим условиям:

(a) для всякой квазиэлементарной Х-формулы е: |е|а = а(е),

(b) для всякой Х-формулы А, не являющейся квазиэлементарной Х-формулой: |(— Л)|а = 1 т.т.т. |Л|а = о,

(c) для всяких Х-формул А и В: |(Л & Я)|а = 1 т.т.т. |Л|а = 1 и |В|а = 1, (ё) для всяких Х-формул А и В: |(Л V Я)|а = 1 т.т.т. |Л|а = 1 или

|Я|а = 1,

(е) для всяких Х-формул А и В: |(Л 3 Я)|а = 1 т.т.т. |Л|а = о или |Я|а = 1.

Теорема об адекватности логики УУР рассмотренной семантике, сформулированная в [1], гласит: Х-формула Л доказуема в НУУР т.т.т. Х-формула Л такова, что Уа: |А|а = 1.

а есть кс

В силу этой теоремы для доказательства леммы 3 достаточно доказать, что

(+) для всяких неотрицательных чисел к и /, таких, что к Ф /, существует кс а такое, что \(— (к)р1 3 — (/)р1)\а Ф 1.

Пусть к0 и /0 есть произвольные целые неотрицательные числа, такие, что к0 Ф /0. Пусть а0 есть {{е, 0) \ е есть квазиэлементарная £-формула и е Ф — (к0) р,} и {{— (к0) рь 1)}. Ясно, что а0 есть кс такое, что \— (к0) р1\„0 = 1 и \— (/0) р1 \а0 = 0. Очевидно, что \(— (к0) р1 3 — (/0) рг)\а0 Ф 1. Итак, существует кс а такое, что

\(— (к°)р! 3 — (/0)р])\а Ф 1. Но тогда, поскольку к0 и /0 есть произвольные целые неотрицательные числа, такие, что к0 Ф /0, получаем, что для всяких целых неотрицательных чисел к и /, таких, что к Ф /, существует кс а такое, что \(— (к)р1 3 — (/)р1)\а Ф 1. Утверждение (+) доказано. Лемма 3 доказана.

Следствием леммы 2 и леммы 3 является следующая теорема: не существует конечной характеристической матрицы для логики УУР.

Автор выражает благодарность В.М.Попову за помощь, оказанную при написании этой статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов В.М. Паралогики: секвенциальные формулировки и семантика // Доклад, прочитанный 16.03.04 на заседании Объединенного семинара кафедры логики философского факультета МГУ и сектора логики Института философии РАН.