Научная статья на тему 'Подобие однородно разложимых групп'

Подобие однородно разложимых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
104
32
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гриншпон Ирина Эдуардовна

В работе вводится понятие подобия однородно разложимых групп и исследуется, в каких случаях почти изоморфные группы являются подобными.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In the paper the concept of the similarity of homogeneously decomposable groups is introduced. One investigates the cases in which almost isomorphic groups are similar.

Текст научной работы на тему «Подобие однородно разложимых групп»

И.Э. Гриншпон ПОДОБИЕ ОДНОРОДНО РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП

В работе вводится понятие подобия однородно разложимых групп и исследуется, в каких случаях почти изоморфные группы являются подобными.

Приведем основные обозначения и термины, используемые в работе.

Пусть X - множество всех последовательностей вида V = (у(1),у(2),...у(п),...), где у(г) - целое неотрицательное число или символ ж (/' е N). Такие последовательности будем называть характеристиками.

В множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно, V < V тогда и только

тогда, когда для каждого I е N v(г) < м!() . Относительно этого частичного порядка X является полной решеткой. Пусть П= {р1,р2,...,рп,...}- множество всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания. Если А - абелева группа без кручения, а е А , то характеристика % А (а) элемента а в группе А - это такая характеристика V = ^(1)^(2),..У-п),...), в которой каждое v(г) есть рг- -высота ^ (а) элемента а в группе А (согласно определению, характеристика нулевого элемента есть последовательность (ж, ж,..., ж,...)) [1. С. 129].

Напомним, что две характеристики V и V считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда множество {п е N | ^п) Ф ^(п)} конечно, причем, если

v(n) Ф ^(п), то v(n) Ф ж и ^(п) Ф ж .

Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если характеристика элемента а абелевой группы без кручения А принадлежит типу t, то говорят, что элемент а имеет тип , (что записывается следующим образом: t(а) = t, или

tA (а) = t). Абелева группа без кручения, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип ,, называется однородной [1. С. 130-131]. Чтобы подчеркнуть, что все ненулевые элементы однородной группы А имеют фиксированный тип ,, будем говорить, что А - однородная группа типа t, и записывать это так: t(А) = t.

Множество типов будем рассматривать как частично упорядоченное множество относительно естественного отношения порядка (то есть Ь < t2 тогда и только тогда, когда существуют характеристики

Х1 е ^ и Х2 е ^, чго Х1 < Х2).

Тип t будем называть рк -делимым (рк е П), если

для всякой характеристики V е t имеем ^к) =ж .

Для всякого типа t обозначим через P(t) следующее множество: Р(,) = {рк еП | тип t рк - делим}.

Другими словами, рк е Р(,) в том и только в том случае, когда для всякой характеристики V е t имеем v(k) =ж.

Однородно разложимыми группами называются абелевы группы без кручения, являющиеся прямыми суммами однородных групп, то есть группы вида А = © О,, где О, -однородные группы [1, С. 211].

Собирая вместе слагаемые О, одного и того же типа t

и взяв их прямую сумму, мы получим каноническое (наименьшее однородное) разложение А = © А,.

геТ

Пусть А = © а, , В = © В, - однородно разложи-

íеT ?еТ[

мые группы, где Т и Т1 - некоторые множества типов, а, и в, - однородные компоненты типа t групп А и В соответственно. Группы А и В назовем подобными, если Т = Т и для всякого типа , е Т ранг г (А,) группы А, равен рангу г (В,) группы В,. Однородно разложимая группа А = © А, называется

геТ

вполне транзитивно разложимой, если семейство групп {А, },еТ вполне транзитивно, то есть для любых двух групп А1 и А,2 (,1 может совпадать с ,2), принадлежащих этому семейству, из того, что Xа4 (а) < Ха,2 (Ь), где а е А^ , Ь е А,2, следует существование гомоморфизма пеИош(А,, А,2), такого, что

П(а) = Ь . Все вполне разложимые группы абелевы -группы без кручения и все прямые суммы однородных сепарабельных или однородных алгебраически компактных групп без кручения содержатся в классе вполне транзитивно разложимых групп. Абелева группа без кручения А называется вполне транзитивной, если семейство {А} вполне транзитивно. Пусть

А = © А, (1)

,еТ

- однородно разложимая группа, £ - ее вполне характеристическая подгруппа. Тогда

£ = © £ , (2)

,еТ

где £\ = £ п А,. Заметим, что если А = © В( - другое

íеT

каноническое разложение группы А и £ = © £’/, где

íеT

£" = £ п В(, то £" = £[. Действительно, так как любые два канонических разложения группы А изоморфны, то существует автоморфизм ф группы А, такой, что

фА, = В,. Тогда ф£ с £ и ф£ с В(, откуда ф£ с £ п В( = £”. Аналогично, ф-1£/ с £ и, значит, £” с ф£ . Следовательно, ф£ = £”, то есть £ = £”. Поэтому ,(£ ) - тип группы £, если £ - однородная группа, и г(£[) - ранг £[ не зависят от канонического разложения группы А.

В [2] показано, что всякая вполне характеристическая подгруппа однородной вполне транзитивной группы является однородной группой, поэтому любая вполне характеристическая подгруппа вполне транзитивно разложимой группы является однородно разложимой.

Рассмотрим связь между типами и рангами прямых слагаемых £ разложения (2) и типами и рангами прямых слагаемых А, (, е Т) разложения (1) в случае, когда А - вполне транзитивно разложимая группа.

Будем говорить, что семейство типов {т, },еТ соответствует вполне характеристической подгруппе £ = © £ (£[ — £ п А,), где £ - однородные группы,

,еТ

если , (£) = т, для всякого ,.

Пусть , и ,2 - два типа, V — ^(1)^(2),..У'п),...),

V — (^(1), ^(2),..л/ п),...) - характеристики, принадлежащие соответственно типам , и ,2. Сумму типов ,1 + ,2 определим как тип, содержащий характеристику V + V = (V« + ^(1), ¿2) + w(2),...v(n) + ^(п),...), где ж +1 = ж для всякого I. Если ,1 > ,2, то разность типов ,1 - ,2 определим как тип, содержащий характеристику V - V = (V11 - w(1), v(2) - ^..д^ - ^(п),...), где

V е ,1, V е ,2, V > V, и полагаем ж -1 =ж для всякого I. Заметим, что в [1. С. 133] для рассмотренных операций над типами применяется мультипликативная запись, для наших целей удобнее пользоваться аддитивной записью.

Если характеристика V принадлежит типу , и v(k) = ж, то будем писать ,(к) = ж .

Условимся считать, что нулевой группе соответствует тип ,(0) (несобственный тип), который обладает следующими свойствами: 1) ,(0) <, для всяко-

го типа ,, отличного от ,(0); 2) , ±,(0) = t(0) для всякого типа ,.

Нам понадобится следующая теорема, доказанная в [2].

Теорема 1. Пусть А = © А, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа.

1. Если семейство типов {т, },еТ соответствует некоторой вполне характеристической подгруппе £ = © £', (£ — £ п А,), то оно удовлетворяет сле-

íеT

дующим условиям: а) т, <, для всякого , е Т ;

б) для всякого к е N, для которого ркА, — А( имеем т(к) = ж ; в) если ,1 > ,2 (,1, ,2 е Т ), то

т,1 >4 -,2 + т,2 .

2. Если £ = © £ (£ = £ п А) - вполне характе-

íеT

ристическая подгруппа группы А и £ Ф 0, то г (£) = г (А).

Две абелевы группы называются почти изоморфными по вполне характеристическим подгруппам, ес-

ли каждая из них изоморфна вполне характеристической подгруппе другой группы.

Рассмотрим всевозможные множества типов М, содержащих несобственный тип ,(0), в которых каждому типу ,, отличному от ,(0), поставлено в соответствие некоторое кардинальное число пм (,(0)). Будем называть такие множества типов отмеченными множествами типов.

Пусть М1 и М2 - два отмеченных множества типов. Будем говорить, что сюръективное отображение ф : М1 ^ М2 является отмеченным отображением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) ф(,) <, для всякого , е М1;

2) ф сохраняет символы ж (то есть, если

ф(,) Ф,(0), то в характеристиках типов , и ф(1) символы ж стоят на одних и тех же местах);

3) если ф(,2) Ф,(0) и ,1 > ,2 (,1, ,2 е М1), то ф(,] ) > ф(,2 ) и ф(,) - ф(,2 ) > ^ -,2 ;

4) пм2 (,) = X пм1 (, ') для всякого , е М2 \{(0)}.

,=ф(,')

Заметим, что для отмеченного отображения ф имеем ф(,(0)) =,(0). Это вытекает из свойства 1) отмеченного отображения и из того, что ,(0) <, для всякого типа ,, отличного от ,(0).

Пусть О - вполне транзитивно разложимая группа и О = © О, - ее каноническое разложение. Обозна-

,еТ

чим через Т * множество Т и {,(0)}. Будем рассматривать Т * как отмеченное множество типов, где пТ *(,) при , е Т - это ранг группы О,.

Теорема 2. Пусть О — © О, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа и верна следующая импликация:

(*) если М - отмеченное множество типов, для которого найдется пара отмеченных отображений ф: Т* ^М и у : М ^ Т*, то М — Т* и

пМ О1) — пт * (,) для всякого , е Т .

Тогда, если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А -однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что А - вполне характеристическая подгруппа группы О. Пусть В = О, В с А с О , где В и А -вполне характеристические подгруппы соответственно групп А и О. Имеем А — © А, где А, - вполне ха-

,еТ

рактеристическая подгруппа группы А, и А{ — А п О(. Всякая группа А , как вполне характеристическая подгруппа однородной вполне транзитивной группы, является однородной группой, и поэтому группа А - однородно разложимая группа. Обозначим через М множество всех типов однородных прямых слагаемых в каноническом разложении группы А , и пусть М' — М и {,(0)}, а пМ' (,) для всякого , е М' -это ранг компоненты типа , в каноническом разложении группы А. М - отмеченное множество типов.

Построим отображение ф: Т* ^ М' следующим образом: ф(1 (0)) — /С0), ф(1 ) —,(А/) для всякого , Ф,(0). Используя теорему 1, получаем, что ф - отмеченное отображение. Аналогично, учитывая вполне характеристичность подгруппы В в группе А и изоморфизм В = О, получаем, что существует отмеченное отображение у: М' ^ Т * . Тогда в силу импликации (*) имеем М' — Т * и ПМ' (,) — г(О,) для всякого , е Т, и, следовательно, А = О.

Теорема 3. Пусть О — © О, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа и для всякой возрастающей последовательности ,1 < ,2 <... < /п <... типов из Т, у которой Р(/1) — Р(/2 ) —... — Р(/п ) —..., выполняется, по крайней мере, одно из двух условий :

!) г О) < г (О, 1) для некоторого I е N ;

2) 2,к+1 < ,к + ,к+2 для некоторого к е N.

Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Пусть М - отмеченное множество типов, для которого найдется пара отмеченных отображений ф: Т* ^М и у :М ^Т*. Предположим, что существует такой тип ,1 е Т , что ф(/1 ) < ,1. Тогда уф(/1 ) < ф(/1 ) < ,1. Так как у и ф - сюръектив-ные отображения, то существует ,2 е Т, такой, что Уф(/2 ) — ,1, причем Р(/2 ) — Р(/1 ) в силу свойства 2) отмеченного отображения. Имеем

,1 — уф(/2 ) < ф(/2 ) < ,2, и так как уф(/1 ) < ,1, то ,1 Ф ,2. Итак, получили ,1 < ,2 и уф(/2 ) < ,2.

Аналогичным образом по индукции можно построить возрастающую последовательность типов из Т ,1 < ,2 <... <,п <... такую, что уф(/+1) — ^ и +1) — Р(и) для всякого I е N . По свойству 3) отмеченного отображения имеем

Уф(/,+2 ) - Уф(/,+1 ) > ф(/!+2 ) - ф(/!+1 ) > и+2 - /г+1 . Тогда ^ - и > Ь+2 - t¿+1 и 2/х+1 > и + и+2 для всякого I е N .

Используя свойство 4) отмеченного отображения, получаем для любого / е N

г О ) — X пМС/’) — пМ (ф(/!+1 )) + X пМС/’) и

У(/')—,,■ У(/' ')—,1

, ' Ффй+1)

ПМ (ф(/!+1)) — X г (О/ ') — г О+1) + X г (О/ ").

у (, "з—фС/^+1) у ( ")=ф(tг■+1)

, Ф+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Отсюда следует, что г(О(.) > пМ (ф(/^+1)) > г(О/.+1 ).

Итак, получили, что если в множестве Т существует тип ,1, такой, что ф(/1 ) < ,1, то в этом множестве можно построить возрастающую последовательность типов ,1 < ,2 <... <,п <..., у которой

Р(/1) — Р(/2) —... — Р(/п) — ... , и для всякого I е N имеем г (О/; ) > г (О/(+1 ) и Ц+1 > ^ ^+2.

Поэтому, если любая возрастающая последовательность типов из Т ,1 < ,2 <... <,п <..., у которой

Р(/1) — Р(/2) —... — Р(/п ) —..., удовлетворяет, по крайней мере, одному из условий 1), 2), то ф(/) —, для любого типа , е Т . Следовательно, М — Т * и пМ С,) — пТ«С,) для всякого типа , е Т . Тогда по теореме 2, если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О. Теорема доказана.

Пусть О — © О, - вполне транзитивно разложи-

,еТ

мая группа. Для всякого типа , е Т обозначим через М( следующее множество:

М( — {, ' е Т |,, Ре,') — Ре,), г (О) — г(О/}.

Следствие 4. Пусть О — © О, - вполне транзи-

,еТ

тивно разложимая группа и М( - конечное множество для всякого типа , е Т . Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Пусть ,1 < ,2 <... < ,п <... - произвольная возрастающая последовательность типов из Т, у которой Р(/1 ) — Р(/2 ) —... — Р(/п ) —.... Предположим, что для всякого к е N выполняется г (О,к) > г (О,). Так как всякое множество кардинальных чисел является вполне упорядоченным (относительно обычного порядка), то существует такое , е N, что г (О,,) — г (О,,+1) — г (О,,+2) —.... Отсюда

получаем М( — К0, что противоречит условию данного следствия. Значит г(О() < г(О( 1) для некоторого I е N . Применение теоремы 3 завершает доказательство следствия.

Из следствия 4 непосредственно вытекает

Следствие 5. Пусть О - вполне транзитивно разложимая группа конечного ранга. Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа конечного ранга, подобная группе О.

ЛИТЕРАТУРА

1. FuchsL. Infinite Abelian groups. V. II. N.Y. and London: Academic Press, 1973. 367 p.

2. Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1982. С. 56-92.

Статья представлена кафедрой алгебры Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 9 июня 2003 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.