Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1(2)

УДК 512.541

А.Р. Чехлов

СВОЙСТВА ПОДГРУПП АБЕЛЕВЫХ ГРУПП, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОЕКЦИЙ

Рассмотрены свойства подгрупп, инвариантных относительно проекций. Изучение строения таких подгрупп сведено к редуцированным группам. Найдены условия, при которых группа без кручения является подгруппой, инвариантной относительно проекций, в своей алгебраически компактной оболочке.

Ключевые слова: абелева группа; вполне характеристическая подгруппа; подгруппа, инвариантная относительно проекций.

Пусть A - абелева группа. Запись H < A означает, что H - подгруппа в A; H < fi A (или H - fi-подгруппа в A), что H - вполне характеристическая подгруппа в A; H <pi A (или H - р'-подгруппа в A), что H - подгруппа в A, инвариантная относительно проекций; E(A) - кольцо эндоморфизмов группы A; если не оговорено противное, то Ap -^-компонента, t(A) - периодическая часть группы A.

Пусть B и C - группы, X - непустое подмножество в C. Обозначим через Hom (C, B)X = ^ f (X) - подгруппу, порожденную всеми гомоморфными

f еИош (C,В)

образами подмножества X в группе B (гомоморфная оболочка подмножества X в группе B). Термин «гомоморфная оболочка» предложен в [1] (см. также [2]). Всегда Hom(C,B)X < fi B. Если X=C, то Hom(C,B)X совпадает со следом группы C в B.

Подгруппа H < A называется инвариантной относительно проекций, если nH ç H для каждой проекции п группы A.

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства:

a) H < pi A тогда и только тогда, когда nH = Hn,%A для каждой проекции п группы A ;

b) если H <pi A , то Hr\B <pi B для каждого прямого слагаемого B группы A; а если A = 0A;, то H = 0(HnA,);

c) если H <pi B, а B <pi A, то H <pi A;

d) если H <pi A и п - проекция группы A, то отображение a + H ^ n a + H -проекция группы A/H; в частности, если A = B®C, то

A/H = (B + H)/H 0 (C + H)/H;

e) если H < B < A и H <pi A, а B/H <pi A/H, то B <pi A;

f) пересечение ^¿'-подгрупп и подгруппа, порожденная pi -подгруппами, являются pi -подгруппами; в группе без кручения сервантная подгруппа, порожденная pi -подгруппой, также является pi -подгруппой.

Отметим, что pi -подгруппы абелевых ^-групп изучались в [3]. Так, в [3] доказано, что в периодических сепарабельных группах все ^i-подгруппы являются вполне характеристическими. Некоторые обобщения этих результатов на модули были получены в [4].

Приведем следующий полезный результат:

Лемма 1 ([5, лемма 9.5]). Пусть А = Б®С — прямое разложение с проекциями п, 0. Если разложению А = Б®С1 соответствуют проекции пь 01, то п1 = п + пф0, 01 = 0 - пф0 для некоторого эндоморфизма ф группы А. Обратно, для всяких эндоморфизмов п1, 01 приведенного выше вида имеет место разложение А = Б®01А.

Лемма 2. 1) Пусть п, р — проекции группы А, причем пА <рг А. Тогда (1-п)р(1-п) также является проекцией группы А.

2) Пусть Н — р'-подгруппа группы А = Б®С. Тогда НпБ <р1 Б, НпС <р1 С и Иош(С,Б)(ЯпС) с НпБ, Иош(Б,С)(НпБ) с НпС.

3) Пусть А = Б®С, Б <р1 А, Б1 < Б, С1 < С и Н = Б1®С1. Тогда Н <р1 А в точности тогда, когда Б1 <р1 Б, С1 <рг С и Нош(С,Б)С1 с Б1.

4) Пусть А = Б® С, где Б < р1 А. В группе А каждая р'-подгруппа является /г-подгруппой тогда и только тогда, когда этим свойством обладают группы Б и С. В частности, в произвольной группе А каждая р1 -подгруппа является /г-подгруп-пой тогда и только тогда, когда этим свойством обладает ее редуцированная часть, а делимая часть без кручения (если она ненулевая) разложима.

Доказательство. 1) Обозначим 0 = 1 — п. Имеем

0р0 = 0р(п + 0)р0 = 0рпр0 + 0р0р0.

Поскольку 0рп = 0, то 0р0 = 0р0р0 = (0р0)2.

2) Согласно лемме 1 А = Б®С1, где С1 = 0^ и 01 = 0 — пф0, а фе Нош(С,Б). Для х е НпС имеем 01(х) = х - ф(х)еН. Откуда ф(х)еН.

3) Необходимость вытекает из 2). Достаточность. Пусть п, 0 — проекции, соответствующие разложению А = Б®С, р — проекция группы А. Так как р(Б) с Б, то (р|Б)2 = р|Б и поэтому р(Б1) сБ1. Если теперь хеС1, то

р(х) = (п + 0)р(п + 0)(х) = (прп)(х) + (пр0)(х) + (0рп)(х) + (0р0)(х) =

= (пр0)(х) + (0р0)(х).

Здесь пр0 е Нош(С,Б). Поэтому (пр0)(х)еБ1, а (0р0)(х)еС1 по 1).

4) Необходимость. Пусть Н<рг А и Б' = Нош(С,Б). Тогда из п. 2) следует, что Н' = Б' ® Н<рг А. Если теперь /е Е(С), то продолжим / до эндоморфизма /

группы А (полагая, что / | В = 0 ). Имеем /(Н') с Н'. Откуда /(Н') = /(Н) с Н .

Достаточность. Пусть Н <р1 А. Тогда Н = (НпБ) ® (НпС). Если теперь /е Е(А), то /(Б) с Б. Поэтому /(НпС) = п/ (НпС) + 0/(НпС) , где п, 0 — проекции группы А, соответствующие разложению А = Б®С. Здесь 0/(НпС) = 0/0(НпС) с НпС поскольку 0/0 еЕ(С), а п/(НпС) с НпБ по п.3).

Из леммы 2 непосредственно вытекает, что каждое прямое слагаемое, инвариантное относительно проекций, является вполне характеристическим [5. § 9, упр. 4]. В произвольном прямом слагаемом рг-подгруппа не обязана быть /г-подгруппой, даже если в группе множества этих подгрупп совпадают.

Лемма 3. Пусть А = ©Д- — фиксированное разложение группы А, п,: А ^ Ai —

/е/

соответствующие проекции, Б, < А, и Н = . Тогда

/е/

1) если А, <р1 А для всякого ге1, то Н < р1 А тогда и только тогда, когда Б, < р1 А, для всех ге1; в частности, подгруппа Б периодической группы Т является р'-подгруппой тогда и только тогда, когда каждая ее ^-компонента Бр < рг Тр;

2) если Нош(Ау, А,Щ- с Б, для всех г, ]е1 (г #у), то Н < р1 А тогда и только тогда, когда п,р(Б,) с Б, для каждой проекции р группы А.

Доказательство. 1) Вытекает из п. 3 леммы 2. 2) Необходимость очевидна. Достаточность. Пусть аеБ,, Gг. = 0 Aj . Тогда р(а) = Ь + с, где ЪеА,, а

JeI\{г}

с е Нот (А, С)В с 0 с Н . Согласно условию леммы, Ь = п,(р(а))еБ, с Н.

¡^1 \{г}

Поэтому р(а)еН.

Лемма 4. Пусть А = ©А — фиксированное разложение группы А и Н<р1 А.

/е/

Тогда:

1) условие Н</ А равносильно тому, что НпА, </г А для всех ге1;

2) если = 0 AJ•, а Б, = Нош^-, Ai)(HnGi•), то Б, с НпА, и 0В; < /г А .

\{г} /е/

В частности, если Б, с НпА, для каждого ге1, то Н <рг А;

3) если А, = Адля всех г,уе1, то всякая ^г-подгруппа группы А является /г-подгруппой.

Доказательство. 1) Вытекает из п. 2 леммы 2. 2) Пусть хе Б, и п, 0 — проекции группы А, соответствующие разложению А = Ai®G;. Тогда если феЕ(А), то ф = (п + 0)ф(п + 0) = пфп + 0фп + пф0 + 0ф0. Откуда ф(х) = (пфп)(х) + (0фп)(х). Здесь пфп — эндоморфизм группы А, и (пфп)(х)еБ, с Н в силу вполне характеристичности подгруппы Б, в А,, а (0фл)(х) е Нот (Д, О.)В. с 0 В у с Н .

уе/\{г}

3) Пусть G — произвольная р'-подгруппа группы А, / е Е(А) и у = /(х) для некоторого х е GnAi. Согласно п. 1, достаточно показать, что у е GnAi. Если у #г и ф: А, ^ А]- — изоморфизм, то г = ф(y)еGnAi по лемме 2, п. 2. Откуда у = ф-1(z)еGnAi.

Если а — элемент порядка рк группы А, то через е(а) = к обозначим его экспоненту. Положим А[рк] = {аеА | рк = 0}, причем если А — ргруппа, то А[р”] = А.

Пусть Б — периодическая делимая группа, Н — некоторая периодическая подгруппа группы А. Тогда Нот (А,Б)И = ®Бр[рМр ], где тр = Бир {е(Н) | НеНр} [1,

лемма 1.1]. Здесь тр = 0, если Нр = 0 и, значит, Бр [рМр ] = 0. Если же Б — произвольная делимая группа, 0 Ф Н — непериодическая подгруппа группы А, то Нош(А, Б)Н = Б [1, лемма 1.2].

Заметим, что в делимой периодической группе Б всякая р'-подгруппа является вполне характеристической. Действительно, по лемме 2 можно ограничиться примарным случаем. Тогда Б является прямой суммой групп, изоморфных 2(рт). В 2(рх) каждая подгруппа вполне характеристична. Поэтому данное утверждение следует из леммы 4, п. 1. Если же Б — разложимая делимая группа без кручения,

то ее ненулевые р'-подгруппы совпадают с самой группой. Это следует из отмеченного выше свойства гомоморфных оболочек и леммы 2, п. 2. Модули, инвариантные относительно проекций своей инъективной оболочки, образуют класс ква-зинепрерывных (или п-инъективных) модулей [6, предложение 4.13]. Класс ква-зиинъективных модулей состоит из модулей, вполне инвариантных в своей инъективной оболочке [6, предложение 4.17]. Квазиинъективные модули являются квазинепрерывными. Таким образом, периодические квазинепрерывные группы являются квазиинъективными, а разложимые квазинепрерывные группы без кручения являются инъективными. Из сказанного, в частности, вытекает, что в делимой группе Б = Б0®{(Б) каждая р'-подгруппа является /-подгруппой тогда и только тогда, когда ее часть без кручения Б0 разложима.

Теорема 5. Пусть А = Б®Б, где Б — редуцированная, Б — делимая группа, Б = Б0®{(Б). Тогда Н <р А в точности тогда, когда Н совпадает с одной из следующих двух подгрупп:

к

1) Н = Б'® (® Вр [р р ]), где Б' — периодическая р'-подгруппа группы Б и

р

кр > тр = вир {е{Ь) | Ъ € В'р } ;

2) Н = Б'® В0 ®¡(В), где Б' <рг Б, О Ф В0 < В0 , причем В0 = В0 , если Б' — непериодическая группа или если группа Б0 разложима.

Доказательство. Необходимость. Имеем Н = В' ® (Н п В0) ® (0(Н п Вр)),

р

где Б' = НпБ <р1 Б. Если НпБ0 = 0, то в силу замечания перед этой теоремой и леммы 2, п. 2 следует, что Вр [рМр ] с Н п Вр . Так как НпБр </г Бр, то

!с

НпВр = Вр[р р ], где ^N>^{0, да}. Поэтому кр > тр. Если Б' — непериодическая группа, то Нош(Б, Б)Б' = Б. Аналогичные рассуждения, если В'0 = Н п В0 Ф 0 .

Достаточность. Вытекает из леммы 2, п. 3.

Отметим, что соответствующая теорема для /г-подгрупп доказана в [1, теорема 1.4].

Теорема 6. Пусть А = г(А)®Б — редуцированная группа. Тогда Н < рг А в точности тогда, когда Н = Т' ® Б', где Т' <рг Т = {(А), Б' < рг Б, причем (Нот (В, Т)В' )р с Тр , если рБ Ф Б.

Доказательство. Вытекает из леммы 2, п. 3.

Напомним, что группа без кручения А называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов а, Ь Ф 0 условие на их характеристики хА(а) < Хл(Ь) влечет существование /е Е(А) со свойством /(а) = Ь. Для группы без кручения А обозначим через т(А) — множество типов {(а) всех ее ненулевых элементов а; если { — некоторый тип, то через А*({) обозначается подгруппа в А, порожденная всеми ее элементами, имеющими тип > {, множество всех элементов группы А типа > { образует сервантную подгруппу А({). Всегда А*({) с А({). Если А — однородная группа без кручения, то {(А) — ее тип, равный типу любого 0 Ф аеА.

Теорема 7. Пусть для вполне транзитивной группы без кручения A существует такое разложение A = 0A;, что для всех ti, t2 e х(Аг), iel, с условием ti < t2 для

/е/

некоторого jel\ {/} найдется tei(Aj) со свойством ti < t < t2. Тогда каждая pi-подгруппа H группы А является fi-подгруппой.

Доказательство. Применим п. 1 леммы 4. Пусть feE(A) и aeHrAj. Тогда X(a) < Xf(a)). По условию найдется beAj со свойством x(a) < x(b) < xfa)). В силу вполне транзитивности ф(а) = b и y(b) = f (а) для некоторых ф, уeE(A). Дважды применяя п. 2 леммы 2, получаем, что f (a)eH.

Следствие 8. 1) Пусть A = 0Д- , где Aj - группы, удовлетворяющие условиям

/е/

теоремы 7. Тогда каждая р-подгруппа группы A является fi-подгруппой.

2) Всякая сервантная р-подгруппа разложимой однородной вполне транзитивной группы совпадает с самой группой.

Теорема 9. Пусть A - сепарабельная группа без кручения. Каждая ее pi-подгруппа является fi-подгруппой тогда и только тогда, когда A обладает следующим свойством: если ее прямое слагаемое ранга 1 и типа t рделимо для некоторого простого числа p, то дополнительное прямое слагаемое содержит прямое слагаемое ранга 1 того же типа t.

Доказательство. Необходимость. Пусть B - прямое слагаемое в A ранга 1, pB = B и в дополнительном прямом слагаемом C нет прямого слагаемого ранга 1 типа, равного t = t(B). Имеем A*(t) = C*(t) с A(t) = B ® C(t), причем C(t) = C*(t). Пусть, далее, 0 Ф beB и H = {b) ® C(t). Тогда если A = F ® N, то A*(t)=F*(t) ® N*(t) с H с F(t) ® N(t) . Так как A(t )/A*(t ) = F (t )/F *(t ) ® N (t )/N ) имеет ранг 1, то F(t) = F*(t) или N(t) = N*(t). Пусть, скажем, N(t) = N*(t). Тогда H = (F(t) n H) ® N(t) = (F n H) ® (N n H), т.е. H <pi A. Однако деление на p является эндоморфизмом f прямого слагаемого B, для которого f(b)^H, что противоречит условию.

Достаточность. Пусть H <pi A, xeH. Так как A сепарабельна, то x принадлежит прямому слагаемому Gi®^®G„, x = gi+^+g„, где gjeHnGj, r(G¡) = 1, i = 1,^,n. Согласно лемме 4, п. 1, достаточно показать, что fj(Gj)eH для fjeE(Gj). Поскольку r(Gj) = 1, то E(Gj) изоморфно подкольцу кольца Q, порожденному такими дробями 1/p, что pGj = G. Если pGj Ф Gj для каждого простого числа p, то E(G;) изоморфно кольцу целых чисел Ж и, следовательно, f(gj)eHnGj. Если же pGj = Gj для некоторого простого p, то по условию для Gj найдется такая подгруппа B j = G j, что G j ® B j - прямое слагаемое в A. Пусть x(b;) = xffe)), где b j e Bj. По лемме 2 beH и, значит, f(g;) eH.

Предложение 10. Пусть A - такая редуцированная алгебраически компактная группа без кручения, что все ее радические компоненты разложимы. Тогда условие H <pi A влечет H < fi A.

Доказательство. Группа A представима в виде A = ÏÏA^, где каждая ее ради-ческая компонента Ap является радической алгебраически компактной группой.

Пусть аеНи/еЕ(А). Имеем а = (...,0р,...), где, поскольку Н<р1 А, ареНп Ар. Далее, используя свойства р-адических алгебраически компактных групп, запишем Ар = Бр 0 Ор, где ар&Бр и Ор Ф 0. Тогда /(а) = (...ДаД...), /(ар) = Ь^+я^, где ЬреБр, ЯреОр. Если Б = ПБр, О = ПОр, то А = Б 0 О, /(а) = Ь+я, где Ь = (...,Ьр,...), Я = (...,яр,...)еО. По лемме 2 яеН п О. Поэтому достаточно показать, что ЬеН. Так как Ар — однородная вполне транзитивная группа, то найдутся фр, уреЕ(Ар) со свойствами фр(Ьр)е А п Ор и ур(фр(Ьр)) = Ьр. Тогда если ф = (..^ф^,...), у = (,..,ур,...), то феНош(Б, О), уеНош(О, Б). Согласно лемме 2, ф(Ь)еН п О и Ь = у(ф(Ь)) еН п Б.

Теорема 11. Редуцированная группа без кручения А является р'-подгруппой своего алгебраически компактного замыкания А тогда и только тогда, когда А представима в виде А = Б 0 С, где:

1) В, С < /А ;

2) В < ¡СВ ;

3) ркомпоненты Ср группы С неразложимы, замыкание (в Z-адической топологии) каждой сервантной подгруппы группы С служит для С прямым слагаемым, и группа С содержит такую плотную сервантную подгруппу 0 Ор, что Ор с Ср.

Доказательство. Необходимость. Пусть В (соответственно С) — прямое произведение всех разложимых (соответственно неразложимых) р-адических компонент группы А . Тогда А = В 0 С и, кроме того, В, С < / А . Теперь, если В = А п В и С = А п С , то, поскольку А < р А, А = Б 0 С, причем В (соответственно С ) совпадает с алгебраически компактным замыканием группы Б (соответственно С). По предложению 10 В < у? В . Пусть, далее, О^ = СпОр. Тогда О^ — плотная сервантная подгруппа в Ср, значит, подгруппа 0 Ор плотна в С. Алгебраически компактное замыкание G всякой сервантной подгруппы О группы С служит в С прямым слагаемым: С = G 0 Б для некоторой подгруппы Б с С . Имеем С = (С п G) © (С п Д). Замыкание подгруппы О в группе С совпадает с С п О.

Достаточность. Проверим, что С < р1С . Пусть С = Е 0 Б . Имеем С^ = (СрпЕ)0(СрпР). В силу неразложимости Ср с Е либо Ср с Б. В частности, Е, Р < /г С; кроме того, соответственно Ор с Е либо Ор с Б. Поэтому 0О^ = (Еп(0О^))0(Рп(0О^ )). По условию замыкание Е0 (соответственно Р0) подгруппы Еп(0Ор) (соответственно Рп(0О^)) служит для С прямым слагаемым: С = Ео0М (соответственно С = N 0 Р0). Имеем С = Е о 0 М = N 0 Б о. Здесь Е о = Е и Б о = Б . Так как Е, Р < /С, то М = Р, а N = Е . Следовательно, С = (СпЕ)0(СпР). Ссылка на лемму 2, п. 3 заканчивает доказательство.

Если А = Б 0 С, то в [5, теорема 9.6] доказано, что пересечение всех дополнительных прямых слагаемых к подгруппе Б в группе А есть максимальная вполне характеристическая подгруппа группы А, не пересекающаяся с Б.

Теорема 12. Пусть A = B ® C.

1) Наименьшая р'-подгруппа группы A, содержащая C, является fi-подгруппой и совпадает с:

а) Hom(C, B)C 0 C;

б) суммой G всех дополнительных прямых слагаемых к подгруппе B в группе A.

2) Наибольшая р'-подгруппа группы A, не пересекающаяся с B, является fi-подгруппой и совпадает с:

а) Р = ^ ker ф ;

феИош (C,B)

б) пересечением N всех дополнительных прямых слагаемых к подгруппе B в группе A.

Доказательство. 1) п. а) вытекает из леммы 2, п. 2. Поскольку C с G, то G = (BnG)0C. Если Ci - дополнительное прямое слагаемое к B, то из леммы 1 следует, что C + C1 = ф(C)0C для некоторого гомоморфизма ф:C^B. Откуда G = ( ^ Ф(С)) Ф C = Hom (C, B)C 0 C , что ввиду а) доказывает б).

ф&Hom (C,B)

2) Вполне характеристичность подгруппы H следует из ее определения. Если теперь X - р'-подгруппа группы A со свойством XnB = 0, то из равенства X = (XnB)0(XnC) следует, что X=XnC с C. Ввиду леммы 2, п. 2 Xс ker ф для каждого гомоморфизма фе Hom(C, B). Поэтому X с H, что доказывает а).

Если A = B 0 C1 и X < pi A со свойством XnB = 0, то так же, как и выше, X с C1. Поэтому б) вытекает из того, что N является fi-подгруппой группы A (см. замечание перед теоремой).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1981. С. 56 - 92.

2. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фунд. и прикл. матем. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 407 - 473.

3. Megibben C. Projective-invariant subgroups of abelian groups // Tamkand J. Math. 1977. V. 8. No. 2. P. 177 - 182.

4. Hausen J. Endomorphism rings generated by idempotents // Tamkand J. Math. 1981. V. 12. No. 2. P. 215 - 218.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 335 с.; 1977. Т.2. 416 с.

6. Пунинский Г.Е., Туганбаев А.А. Кольца и модули. М.: Союз, 1998. 420 с.

Принята в печать 01.12.07.