О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 1(5)

УДК 512.541

А.Р. Чехлов

О ПРОЕКТИВНО ИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУППАХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Выделены некоторые типы проективно инвариантных подгрупп абелевых групп, являющиеся вполне инвариантными. Описаны сепарабельные группы, в которых все проективно инвариантные подгруппы вполне инвариантны.

Ключевые слова: вполне инвариантная подгруппа, проективно инвариантная подгруппа.

Пусть А - абелева группа. Запись Н < А означает, что Н - подгруппа в А;

Н < й А, что Н - вполне инвариантная подгруппа в А; Н < pi А, что Н - проективно инвариантная подгруппа в А; Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; если не оговорено противное, то Ар - р-компонента, /(А) - периодическая часть группы А. N - множество всех натуральных чисел, Z - кольцо всех целых чисел, О - поле или аддитивная группа всех рациональных чисел.

Пусть В и С - группы, X - непустое подмножество в С. Обозначим через

Нот (С,В)Х = X/ е нот (Св)/(X) - подгруппу, порожденную всеми гомоморфными образами подмножества X в группе В (гомоморфная оболочка подмножества X в группе В).

Подгруппа Н < А называется вполне инвариантной, если /Н £ Н для каждого эндоморфизма / группы А. Проекцией группы называется всякий ее идемпотент-ный эндоморфизм. Подгруппа Н < А называется проективно инвариантной, если

пН £ Н для каждой проекции п группы А. В неразложимой группе каждая подгруппа является рьподгруппой. Всякая неразложимая редуцированная группа является либо циклической р-группой (в такой группе все подгруппы вполне инвариантны), либо неразложимой группой без кручения (в такой группе каждая подгруппа вполне инвариантна тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу целых чисел).

Отметим, что в [1] доказано, что в периодической сепарабельной группе все рьподгруппы вполне инвариантны. Ряд свойств рьподгрупп и описаний некоторых классов групп, в которых все рьподгруппы являются вполне инвариантными, получен в [2].

Лемма 1 [2, лемма 2]. 1) Пусть п, р - проекции группы А, причем пА < pi А. Тогда (1-п)р(1-п) также является проекцией группы А.

2) Пусть Н - рьподгруппа группы А = ВФС. Тогда НпВ < pi В, НпС < pi С и Нот (С,В)(НПС) £ НПВ, Нот (В,С)(НпВ) £ НпС.

3) Пусть А = ВФС, В < й А, В1 < В, С < С и Н = В1ФС1. Тогда Н < pi А в точности тогда, когда В1 < pi В, С < pi С и Нот (С,В)С £ Вь

Лемма 2 [2, лемма 4, п. 1)]. Пусть А = Ф,е/ Ai - фиксированное разложение группы А и Н < pi А. Тогда условие Н < й А равносильно тому, что Нп Ai < й Ai для всех i е I.

Напомним, что й-подгруппа G p-группы А называется широкой [3, § 67], если G + В = А для каждой базисной подгруппы В группы А. Покажем, что всякая рь подгруппа G редуцированной p-группы А с аналогичным свойством является й-подгруппой. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда А не сепарабельна. В начале заметим, что pmA £ G. Воспользуемся доказательством п. д) из [3, § 67]. Пусть a = Ь + g е ртА, где Ь е В, g е G (ртА = А1 = П“=1 пА для p-группы А). Вложим Ь в конечное прямое слагаемое В' группы В и запишем А = В'ФА'. Если п: А А'- проекция, то па = ^ е G. Но (1-п)a = 0 как элемент бесконечной высоты в В'. Следовательно, a = ^ е G. Пусть теперь гп = ттгео h(png), где ^а) -высота элемента а. Поскольку А1 £ рпА и А - редуцированная группа, то все гп -целые числа. Имеем G £ А(г0, гь..., гп,...), где А(г0, гь..., гп,...) = {а е А | Н(а) > (г0, гь..., гп,...)}, а Н(а) - индикатор элемента а. Теперь достаточно показать, что G = А(г0, гь..., гп,...) [3, теорема 67.2]. Пусть а е А(г0, гь..., гп,...) и Н(а) = (у0, ^1,., sn-l, &'п = ^), где, как в теореме 67.2 из [3], можно считать, что 5о, 5ъ..., &’п—\ - неотрицательные целые числа. В теореме 67.2 показано, что найдется элемент g е G со свойством Н(д) = (г0, гь..., гп, те). Вложим g в некоторое конечное прямое слагаемое С группы А [3, лемма 65.4], А = СФЫ. Если а = с + у, где с е С, у е Ы, то Н(а) = Н(с)пН(у). В частности, Н(а) < Н(с), Н(у). Имеем Н(д) < Н(а)< Н(у). Поэтому существует ф е Е(А) со свойством ф(д) = у [3; лемма 65.5, упр. 6, п. б)]. Согласно лемме 1, у е GпN. А поскольку С - сепарабельная группа, то GпC < й С. Поэтому если /(д) = с для некоторого /е Е(С), то /(д) = с е GпC. Итак, а е G.

Напомним, что для порядкового числа с подгруппа раА определяется следующим образом: р0А = А, ра+1А = р(раА) и раА = пр<стрвА, если с - предельное число. Наименьшее порядковое число т, для которого рг+1А = ргА, называется р-длиной группы А; ргА в этом случае является максимальнойр-делимой подгруппой в А.

Если А - р-группа и а - ее элемент порядка рк, то число к называется экспонентой е(а) элемента а.

Лемма 3. Пусть А - неограниченная р-группа. Тогда

1) если 0 Ф Н < pi А, то Нп(рпА[р]) Ф 0 для каждого п е N;

2) если, кроме того, группа А вполне транзитивна 0 Ф G < й А, то Gп(рсА[р]) Ф 0 для каждого порядкового числа с со свойствомраА Ф 0.

Доказательство. 1) Пусть Б - делимая часть группы А. Тогда если А = СФБ, то Н = (НпС)Ф(НпБ). В силу инъективности группы Б для любых

0 Ф с е (НпС)[р] и 0 Ф ё е Б[р] отображение с ^ ё продолжается до гомоморфизма С ^ Б. Согласно лемме 1, п. 2, ё е Нп(Б[р]). Осталось заметить, что Б £ рпА для каждого п е N. Пусть теперь группа А редуцированная. Допустим, что (а) п НФ 0 для некоторого циклического прямого слагаемого (а) группы А.

Тогда для всякого элемента с экспоненты е(с) = п + 1 > к = е(а), принадлежащего дополнительному прямому слагаемому С, отображение (а) ^ рп+1-кс продолжается до гомоморфизма (а) ^ С. Отсюда следует, что Нп(рпС[р\) Ф 0.

Допустим, что Н имеет нулевое пересечение со всяким циклическим прямым слагаемым группы А. Тогда Нп В = 0 для каждой базисной подгруппы В группы А. Запишем В в виде В = © “=1 Вп, где Вп = 0 или является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка рп. Для каждого п имеет место прямое разложение А = В!Ф...ФВпФАп, где Ап = (©“„+!В1) + рпА. В силу предположения Н £ Ап. Хорошо известно, что рпА, значит, и рпА[р] - существенные подгруппы в Ап [3; § 32, упр. 9]. Откуда Нп(рпА[р]) Ф 0.

2) Следует из того, что если д е G[p], то для любого а е А[р] с индикатором Н(а) > Н(д) существует ф е Е(А) со свойством фд = а.

Из леммы 3 вытекает, что в неограниченной редуцированной вполне транзитивной р-группе, р-длина которой является предельным порядковым числом с, нет минимальных й-подгрупп. Действительно, если Н - минимальная й-под-

группа, то Н = Нп (рвА[р]) для каждого порядкового числа в < с. Откуда

Н = п < с (Нп(рвА[р])) £ пр < срвА[р] = 0. В частности, в неограниченной редуцированной сепарабельной р-группе нет минимальных й-подгрупп. Если же р-длина

редуцированной вполне транзитивной р-группы равна с+1, то раА будет минимальной й-подгруппой (а если подгруппа раА неразложима, она будет минимальной й-подгруппой и без условия вполне транзитивности группы А). Если же р-группа нередуцированная и Б - ее делимая часть, то Б[р] - минимальная й-подгруппа.

Покажем, что если А - неограниченная редуцированная р-группа, то у нее нет максимальных рьподгрупп (воспользуемся идеей доказательства А.П. Дика соответствующего утверждения для й-подгрупп). Действительно, если Н - максимальная рьподгруппа, у е А\Н, е(у) = к, то Н + А[рк] = А, где А[рк] = {а е А |рка = 0}. Пусть теперь (х) - такое прямое слагаемое группы А, что е(х) = т > к. Тогда

х = h+a для некоторых h е Н, а е А[рк]. Так какркх = р^, то (h) - прямое слагаемое группы А, А = ф) Ф С. Если у = №+с для некоторых Ы е ф) и с е С, то рку = р^' + ркс = 0. Поэтому е(с) < к, значит, (с) является гомоморфным образом группы ф). По лемме 1, п. 2 (с) £ НпС и, следовательно, у е Н. Противоречие.

Если А - ограниченная р-группа и ркА = 0, где к > 2 и рк-1А Ф 0, то А[рк-1] -наибольшая рьподгруппа. В элементарной р-группе каждая ее ненулевая рьпод-группа совпадает с самой группой. Если же А - нередуцированная р-группа с неограниченной редуцированной частью, то максимальных рьподгрупп опять нет.

Если же редуцированная часть ограничена, то наибольшая pi-подгруппа совпадает с суммой делимой части и наибольшей pi-подгруппой ее ограниченной части. В делимой р-группе максимальных pi-подгрупп нет.

Пусть р - простое число. Обозначим через C p-компоненту группы А. В [4,

теорема 1.1] описаны fi-подгруппы G группы A со свойством рА £ G £ C+pA. В частности, теорема 1.1 из [4] дает описание fi-подгрупп, содержащих рА, произвольной р-группы А, а также группы А с р-делимой факторгруппой А/C. Рассмотрим pi-подгруппы группы А, содержащие рА. Из теоремы 1 следует, что периодическая часть всякой такой подгруппы является fi-подгруппой в А.

Теорема 1. Подгруппа G группы А, содержащая рА, является проективно инвариантной тогда и только тогда, когда G совпадает с одной из следующих подгрупп: рА, С[рк]+рА, C+рА, H+рА, где k Е N, а H- такая проективно инвариантная

подгруппа группы А, что C £ H.

Доказательство. Необходимость. Пусть B - базисная подгруппа группы А.

Тогда А = B+рА. Запишем B в виде B = B0®B', где В0 - свободная группа (или В0 = 0), B' = ©“ j Bi, а Bt = 0 или является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка р1. Поскольку каждая Bt для i > 1 - прямое слагаемое в А, а

G < pi А, то GnB = (GnB0) Ф ©^ (GnBi).

Допустим, что G Ф рА и пусть а Е G\pA. В силу равенства G = (GnB)+pA считаем, что а Е B. Имеем а = b0 + bi +...+bi , где b0 Е B0 и bi е Bi . Ввиду включе-

*1 ln ls ls

ния рА £ G можно считать, что если b0 Ф 0, то b0 & pB0 и, аналогично, bi <£ pBi . Отсюда G п Bi Ф pBi (s = 1,., n). Заметим, что А = Bj Ф . ФBmФAm для каждого

ss

m Е N, где Ат = (B0ФФi>m+lBi)+pmA. Отсюда в силу леммы 2, п. 2 следует, что если GnBk Ф pBk для некоторого к > 1, то GnBk = Bk и GnBj = Bj для каждого j = 1, ., k. Аналогично, если b0 & pB0 (такой элемент найдется, если GnB0 Ф pB0), то B1Ф . ФBm £ G для каждого т Е N. Отсюда B' £ G и, значит, C £ B'+рА £ G. Таким образом, либо GnB = B^.^B^p^^^B^pBo для некоторого k Е N, либо B £ G.

В первом случае G £ (GnB)+pA = B^..^Bk+pA = B^..^B^pAk. При

доказательстве импликации 2)^3) в [4, теорема 1.1] показано, что

B1Ф. ФBkФpAk = C[pk]+pA (учесть равенство Ak = (B0ФФi>*+1Bi)+pkA, где порядки

элементов из Ф i>k+1Bi > pk+l, откуда будет следовать включение

C[pk] = A[pk] £ B1Ф.ФBkФpAk).

Во втором случае, если C+pA £ G, то пусть H - pi-подгруппа в А, порожденная

подгруппами GnB и C. Тогда H+pA = G.

Достаточность очевидна.

Ранг подгруппы B0 назовем р-рангом без кручения группы А (это инвариант

группы А). Если в условиях предыдущей теоремы GnB0 = B0, то G = А. Отсюда вытекает

Следствие 1. Если р-ранг без кручения группы А < 1, то всякая ее проективно инвариантная подгруппа, содержащая рА, является вполне инвариантной и совпадает с одной из следующих подгрупп: рА, С[рк]+рА, С+рА или А, где к - некоторое натуральное число.

Следствие 2. Пусть А - такая группа, что каждый ее элемент содержится в некотором прямом слагаемом, являющемся прямой суммой групп р-ранга без кручения < 1. Тогда всякая р1-подгруппа Н группы А со свойством рА £ Н является вполне инвариантной.

Доказательство. Пусть а е Ни а е В = Ф1е1 А, где В - заявленное прямое слагаемое в А, а = а! +...+ап, а. е Д. (] = 1, ..., п). Имеем а. е НпД. < р1 А. .

Поэтому по следствию 1 /(а.) е Н п Д. для каждого / е Е(Д. ). Этого по лемме 2

достаточно, чтобы Н была вполне инвариантной в А.

Группа А называется сепарабельной, если любое конечное подмножество ее элементов можно вложить в прямое слагаемое, являющееся прямой суммой групп ранга 1 (каждая группа ранга 1 изоморфна некоторой подгруппе группы О или подгруппе группы 2р„ для некоторого простого р).

Покажем, что всякая р1-подгруппа Н сепарабельной группы А является сепарабельной. Кроме того, факторгруппа А/Н также сепарабельна. Действительно, если хь..., хк е Н, то существует разложение А = А1Ф...ФАпФВ, где Аь Ап - группы ранга 1 и хь..., хк е А1Ф...ФАп. Имеем Н = (НпА1)Ф...Ф( НпАп)Ф (НпВ), где каждая из групп Нп А 1, ., Нп Ап либо нулевая, либо группа ранга 1, а в прямой сумме этих групп содержатся все элементы хь..., хк. Далее, А/Н = (Д+Н)/НФ...Ф(Ап+Н)/НФ(В+Н)/Н, где А,+Н)/Н = А,/(А,пН) для каждого

i = 1, ..., п. Если А1 - подгруппа группы 2 ^ , то такова же и ее факторгруппа

АДДпН). Если же Ai - группа без кручения ранга 1, то при АпН Ф 0 факторгруппа А/(АпН) изоморфна подгруппе группы Фр е п 2 для некоторого множе-

р”

ства П простых чисел, зависящего от i. Таким образом, каждая А/(АпН) - прямая сумма групп ранга 1 и прямое слагаемое ©гп=1 (Д+Я)/Н группы А/Н содержит

смежные классы х,+Н.

Теорема 2. Пусть А - сепарабельная группа. Каждая ее р1-подгруппа является А-подгруппой тогда и только тогда, когда А обладает следующим свойством: если ее прямое слагаемое В, являющееся группой без кручения ранга 1, р-делимо для некоторого простого числа р, то в дополнительном прямом слагаемом имеется прямое слагаемое, изоморфное В.

Доказательство. Необходимость. Пусть рВ = В и в дополнительном прямом слагаемом С нет прямого слагаемого, изоморфного В. Пусть V = Нот (В,С)В. Тогда В' = ВФ V < й1 А и V < й1 А. Поэтому если А = ЕФЫ, то В' = (В'п^^Ф(В 'пЫ) и V = ^пЕ)Ф^пЫ). Так как В = В'/V = (В'пК)/^пК)Ф(В'пЫ)/^пЫ), то в правой части одно из слагаемых, скажем первое, равно нулю, т.е. В' пЕ = VnF. Если те-

перь 0 Ф b Е B и H = ф) Ф V, то (Vn^(HnN) = (HnF)Ф(HnN) = H. Значит, H < pi А. Однако ф) fi B и, следовательно, H^ fi А.

Достаточность. Пусть H < pi A, x Е H. Так как А сепарабельна, то x принадлежит прямому слагаемому G^..^Gn, x = g1 + .+gn, где gi Е HnGi, r(Gi) = 1,

i = 1, ..., n. Согласно лемме 2, достаточно показать, что f(g) Е H для f Е E(Gi). Если Gi - подгруппа группы Zр„ , то в Gi каждая подгруппа вполне инвариантна.

Пусть Gi - группа без кручения. Тогда E(G) изоморфно подкольцу кольца Q, порожденному такими дробями 1/р, что pGi = Gi. Если множество {р | pGi = Gi, р -

простое число} пусто, то E(Gi) = Z и, следовательно, f(g) Е HnG. Если же pGi = Gi для некоторого простого р, то по условию для Gi найдется такая подгруппа Bi = Gi, что G^Bi - прямое слагаемое в А. Пусть x(b) = xfi(gi)), где bi Е Bt. По

лемме 1 bi Е H и, значит,fi(gi) Е H.

Отметим, что в [5] автор получил следующее описание векторных групп, каждая pi-подгруппа которых является fi-подгруппой.

Теорема 3. В редуцированной векторной группе А = П i е i А, где At - группы без кручения ранга 1, каждая проективно инвариантная подгруппа является вполне инвариантной тогда и только тогда, когда группа А представима в виде прямой

суммы А = G^G^G^G4 векторных групп G1, G2, G3, G4, где G1 = G2, G3 изоморфна некоторому прямому слагаемому в G2, прямые слагаемые ранга 1 групп G^G^G3 и G4 не изоморфны, ранг группы G4 конечен и G4 не имеет ненулевых элементов бесконечной p-высоты для каждого простого числа р.

ЛИТЕРАТУРА

1. Megibben C. Projective-invariant subgroups of abelian groups // Tamkand J. Math. 1977. V. 8. No. 2. P. 177 - 182.

2. Чехлов А.Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76 - 82.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.; 1977. Т. 2. 416 с.

4. Еремина М.В., Крылов П.А. Тензорное произведение абелевых групп как нетеров модуль над кольцом эндоморфизмов // Изв. вузов. Математика. 2001. № 4. С. 16 - 23.

5. Чехлов А.Р. Векторные группы, инвариантные относительно проекций, подгруппы которых вполне характеристичны // Междунар. конф. по матем. и механ. Томск, 2008. С. 67.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: cheklov@math.tsu.ru

Статья принята в печать 18.12.2008 г.