Абелевы группы без кручения, нормально определяющиеся своими голоморфами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 3(23)

УДК 512.541

С.Я. Гриншпон, И.Э. Гриншпон АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ, НОРМАЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕСЯ СВОИМИ ГОЛОМОРФАМИ1

Исследуются абелевы группы без кручения, разложимые в прямые суммы однородных групп, которые нормально определяются своими голоморфами. Изучаются также свойства нормальных абелевых подгрупп голоморфов абелевых групп без кручения.

Ключевые слова: голоморф, почти голоморфно изоморфные группы, вполне разложимая группа, однородная группа, тип группы.

Пусть О - абелева группа, Г(О) - ее голоморф, то есть полупрямое расширение группы О с помощью группы ее автоморфизмов ЛШ:(О). Для групповой операции в группе ЛШ:(О) пользуемся мультипликативной записью, а для групповых операций в О и Г(О) - аддитивной записью. Группу Г(О) можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар (д, ф), где geО, феЛШ:(О). Групповая операция в Г(О) задается по правилу: (д, ф) + (И, у) = (д + фк, фу) для любых (д, ф), (И, у)еГ(О). Нейтральным элементом в Г(О) является элемент (0, е) (е - тождественный автоморфизм), а элементом, противоположным элементу (д, ф), - элемент (-ф-^, ф_1). Элементы вида (д, е) образуют в голоморфе Г(О) нормальную подгруппу, изоморфную группе О, а элементы вида (0, ф) - подгруппу, изоморфную группе ЛШ(О). Будем отождествлять эти подгруппы с группами О и ЛШ(О) соответственно. Понятно, что ОпЛШ(О) = {(0, е)}. Часто вместо записи элементов группы Г(О) в виде (д, е) и (0, ф) будем просто писать g и ф соответственно.

Заметим, что если О - абелева группа, то она является максимальной абелевой подгруппой своего голоморфа Г(О). Действительно, если допустить существование абелевой подгруппы О1 голоморфа Г(О) такой, что О с О1 и О Ф О1, то в О1 есть элемент (д, ст), не принадлежащий О, а, значит, ст Ф е. Тогда

(-g, е) + (д, ст) = (0, ст)еОь В силу коммутативности О1 имеем (а, е) + (0, ст) = (0, ст) + (а, е) для любого элемента аеО, то есть ста = а и, значит, ст = е. Получили противоречие. Итак, О -максимальная абелева подгруппа своего голоморфа.

Отметим также, что если Н - нормальная абелева подгруппа группы Г(О), Н1, Ф1 - соответственно множества первых, вторых компонент элементов группы Н, то Н1 - характеристическая подгруппа группы О (см. [1]), Ф1 - нормальная подгруппа в ЛШ:(О).

В настоящей статье рассматриваются вопросы, связанные с нормальной опре-деляемостью абелевых групп без кручения из некоторых классов своими голоморфами.

1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями»; работа выполнена также в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.

Две группы называются голоморфно изоморфными, если голоморфы этих групп изоморфны. Говорят, что группа А определяется своим голоморфом в некотором классе групп ЭТ, если любая группа В из этого класса, голоморфно изоморфная группе А , изоморфна группе А . Известны примеры неизоморфных конечных некоммутативных групп, голоморфы которых изоморфны [2]. В [1] В. Миллс показал, что всякая конечно порожденная абелева группа определяется своим голоморфом в классе всех конечно порожденных абелевых групп. Ряд интересных результатов о свойствах голоморфов абелевых групп и об определяемо-сти абелевых групп своими голоморфами получен И. Х. Беккером [3-8]. Полезные результаты о голоморфах абелевых групп и голоморфах (аффинных группах) модулей содержатся в [14] и [15].

Обобщением понятия голоморфного изоморфизма является понятие почти голоморфного изоморфизма. Группы А и В называются почти голоморфно изоморфными, если каждая из них изоморфна нормальной подгруппе голоморфа другой группы. Понятно, что если две группы являются голоморфно изоморфными, то они почти голоморфно изоморфны. Обратное, вообще говоря, неверно. Почти голоморфно изоморфные конечно порожденные абелевы группы исследовались в работе В. Миллса [2]. Почти голоморфно изоморфные абелевы _р-группы изучались в работах [8] и [9]. Отметим, что если в некотором классе групп ЭТ из почти голоморфного изоморфизма двух групп следует их изоморфизм, то всякая группа из класса ЭТ определяется своим голоморфом в этом классе.

Будем говорить, что группа О нормально определяется в классе ЭТ своим голоморфом, если для любой группы Н из этого класса из почти голоморфного изоморфизма групп О и Н следует изоморфизм самих групп О и Н.

Важную роль при изучении голоморфов абелевых групп играют нормальные абелевы подгруппы голоморфов. Справедливы следующие результаты.

Лемма 1 [10]. Если 5 - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О), (а, ст)е5, деО, то

ста - а е5, (2а, е)е5, (0, ст2)е5; (1)

- де5; (2)

стОстд - д) = - д; (3)

ст^ = д + п(<стд - д); (4)

(а, ст) = ^па + п(п^ 1) (ста - а), стп ^ ; (5)

2(ста - а) = 0. (6)

Лемма 2. Пусть 5 - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) абелевой группы без кручения О, 51 - множество первых компонент элементов группы Б. Справедливы следующие утверждения:

1) 5 - группа без кручения;

2) если 5 Ф 0, то 5 Ф 0.

Доказательство. 1) Пусть (а, ст)е 5 и п(а, ст) = (0, е) для некоторого натурального числа п. Имеем (формула (5))

( п(п -1) п

п(а, ст) = 1 па +-(ста - а), ст

Так как О - группа без кручения, то из равенства (6) следует, что ста - а = 0 и формула (5) принимает вид

п(а, ст) = (па, стп). (7)

Итак, (па, стп) = (0, е). Отсюда следует, что па = 0 и стп = е. Значит, а = 0, так как О - группа без кручения. Покажем, что ст = е. По формуле (4) стпд = д + п(стд - д) для любого деО. Учитывая, что стп = е, получаем д = д + п(стд - д), то есть п(стд - д) = 0. Так как О - группа без кручения, то стд - д = 0 и, следовательно, ст = е.

2) Пусть (а, ст)е5 и (а, ст) Ф (0, е). Если ст Ф е, то существует элемент деО, такой, что - д Ф 0. Применяя формулу (2), получим стд - де5. Значит, стд - д е^ и 51 Ф 0. Если же ст = е, то а Ф 0 и 51 также отлична от нуля. ■

Рассмотрим связи между типами элементов почти голоморфно изоморфных абелевых групп без кручения.

Напомним некоторые обозначения и термины из теории абелевых групп без кручения.

Пусть А - абелева группа, аеА. Наибольшее неотрицательное целое число к, для которого уравнение ркх = а имеет решение, называется р-высотой элемента а в группе А (обозначение: ИрА)(а) или Ир(а)). Если уравнение ркх = а имеет решение при любом натуральном к, то а называется элементом бесконечной р-высоты, то есть кр(а) = да.

Пусть X- множество всех последовательностей вида х = №, к2, ..., кп, ...), где кп - целое неотрицательное число или символ да (/ е N). Такие последовательности будем называть характеристиками.

В множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно, (кь к2, ..., кп, ...)<(/ь 12, ..., 1п, ...) тогда и только тогда, когда для каждого / е N выполняется условие к < I. Относительно этого частичного порядка множество X является полной решеткой.

Пусть Р = (рь р2, ., рп, .) - множество всех простых чисел, занумерованных в порядке возрастания. Если А - абелева группа без кручения и аеА, то характеристика хА(а) (или х(а)) элемента а в группе А - это такая характеристика X = (кь к2, ..., кп, ...), в которой каждое кп есть рп-высота к'А (а) элемента а в

группе А ([13, с. 129]). Заметим, что, согласно определению, характеристика нулевого элемента - это последовательность (да, ., да, .).

Две характеристики XI = №, к2, ..., кп, ...) и XI = (к, 12, •••, 1п, • ••) считаются эквивалентными в том и только в том случае, когда множество М={п е N | кп Ф 1п }

конечно, причем, если кп Ф 1п, то кп Ф да и 1п Ф да.

Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если характеристика элемента а абелевой группы без кручения А принадлежит типу £, то говорят, что элемент а имеет тип £ (что записывается следующим образом: £А(а) = £ или £(а) = £, если понятно, о какой группе А идет речь).

Тип £ называется рп-делимым (рпеР), если для всякой характеристики X = (кь к2, ., кп, .), принадлежащей типу £, имеем кп = да.

Множество типов будем рассматривать как частично упорядоченное множество относительно естественного отношения порядка (то есть £2 тогда и только

тогда, когда существуют характеристики XI и х2, принадлежащие типам ^ и £2, соответственно такие, что XI < X2). Частично упорядоченное множество всех типов является полной решеткой.

Абелева группа без кручения, все ненулевые элементы которой имеют один и тот же тип £, называется однородной ([13, с. 130, 131]). Чтобы подчеркнуть, что все ненулевые элементы однородной группы А имеют фиксированный тип £, будем говорить, что А - однородная группа типа £, и записывать это так: £(А) = £ Очевидно, что всякая группа без кручения ранга 1 является однородной.

Для абелевой группы без кручения А обозначим через Т(А) множество всех типов элементов группы А.

Лемма 3. Пусть 5 - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) абелевой группы без кручения О. Тогда для любого типа £ е Т(5) существует тип ? е Т(О), такой, что ? > £

Доказательство. Пусть тип £ принадлежит множеству типов группы 5. Тогда существует ненулевой элемент (а, ст)е5, такой, что его характеристика принадлежит типу £ ^((а, ст)) е £). Эта характеристика имеет вид

X((a, ст)) = (кь к2, ..., кп, ...).

Пусть а Ф 0. Обозначим его тип через £'. Если кп < да, то существует элемент (хп, пп)е5, такой, что ркпп (хп, пп) = (а, ст). Тогда, учитывая формулу (7), имеем

(ркппхп, пр"п) = (а, ст). Получили, что ркппхп = а . Значит, уравнение а = ркппхп разрешимо в группе О. Поэтому Н(а) (а) > кп . Если кп = да, то для любого натурально-

рп

го числа т существует такой элемент (ут, |т)е5, что уравнение р'п (Ут, ^т) = (а, ст) разрешимо в 5, а значит, уравнение ртут = а разрешимо в О.

Поэтому к(а) (а) = да .

рп

Таким образом, X(G)(a) > X(s)((a, ст)) и, значит, £(а) = £ > £

Пусть а = 0. Тогда ст Ф е. Если кп < да, то существует элемент (0, 'Лп)е5, такой,

к кп

что рг^ (0, пп) = (0, ст) или пр" = ст . Так как ст Ф е, то существует элемент деО,

п

ркп к

такой, что стд Ф д. Согласно формуле (4), имеем стд = прп д = д + р„ (ппд - д).

п

Отсюда следует, что стд - д = ркпп (ппд - д). Уравнение стд - д = ркпп х разрешимо в О. Значит, й(О) (о£ - д) > к .

рп

Если кп = да, то рп-высота й(О) (стд - д) = да.

рп

Таким образом, X(G)(стg - д) > X(s)((0, ст)). Следовательно, £(стд - д) = £' > £ ■ Пусть 51 - множество всех первых компонент элементов подгруппы 5 из леммы 3. Имеем стд - де51 для каждого элемента де О, если (а, ст)е5. Тогда из доказательства леммы 3 получаем такое утверждение.

Предложение 4. Пусть 5 - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) абелевой группы без кручения О и 51 - множество первых компонент элементов группы X Тогда для любого типа £ е Т(5) существует тип £ е Т^), такой, что

г' >г.

Теорема 5. Пусть О и Н- почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения, О - однородная группа, а группа Н обладает свойством: для любых двух ненулевых элементов Ъ1, Ъ2еН, таких, что £(Ъ\) сравним с £(Ъ2), имеем £(Ъ\) = £(Ъ2). Тогда Н - однородная группа и £(О) = £(Н).

Доказательство. Пусть тип однородной группы О равен £ и пусть тип #1еТ(Н). Группы О и Н - почти голоморфно изоморфны, значит, Н = О', где О' -нормальная подгруппа голоморфа Г(О) и О = Н', где Н' - нормальная подгруппа голоморфа Г(Н). Из почти голоморфного изоморфизма групп О и Н вытекает, что £1 е Т(О' ). Тогда из леммы 3 получаем, что тип £ удовлетворяет условию £ > £1. Так как О = Н', то £еТ(Н' ). Согласно лемме 2, для типа £ существует тип £2еТ(Н) такой, что £2 > £. Получили, что £2 > £ > £1. Так как £1, £2еТ(Н), то существуют элементы Ъ1, Ъ2еН, такие, что ^Ъ^ = £1, £(Ъ2) = £2. Имеем £(Ъ2) > ^Ъ^, то есть типы элементов Ъ1 и Ъ2 сравнимы. Учитывая условие теоремы на типы элементов группы Н, получаем £(Ъ1) = £(Ъ2), то есть £1 = £2 и, значит, £1 = £. В силу произвольности выбора типа ^ получаем, что Н - однородная группа и ее тип равен £. ■

Следствие 6. Если О и Н - однородные почти голоморфно изоморфные группы, то £(О) = £(Н).

Теорема 7. Пусть О = © О£, Н = © НТ, где О£ и НТ - однородные группы

£еТ1 £ еТ2

типов £ и £ соответственно, Т и Т2 - множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Если О и Н - почти голоморфно изоморфные группы, то Т1 = Т2.

Доказательство. Группы О и Н почти голоморфно изоморфны, то есть О = Н', Н = О', где О' и Н’ - нормальные абелевы подгруппы голоморфов Г(О) и Г(Н) соответственно.

Пусть £0еТь Из почти голоморфного изоморфизма групп О и Н следует, что £0 еТ(Н' ). По лемме 3 существует тип £ 0еТ(Н), такой, что £0 > £0.

Предположим, что £0 е Т(Н)\Т2. Тогда £0 = шД^, £2,..., £к}, где £i е Т2 ( = 1,

2, ..., к). Так как типы в Т2 попарно несравнимы, то £0 < £ для всех / = 1, 2, ..., к.

Имеем £1 > £0 > £0. Из почти голоморфного изоморфизма групп О и Н вытекает, что £1 е Т(О'). По лемме 3 существует тип £1 еТ(О), такой, что £1 > £1.

Возможны 2 случая:

1) Пусть £1еТ1. Тогда £1 > £1 > £0 > £0, откуда £1 > £0. Получили, что типы £0 и £1 сравнимы. Это противоречит условию теоремы.

2) Пусть £1еТ(О)\Т1. Тогда £1 = inf{£2, £3, ..., £т}, где £-еТь } = 2, ..., т. Аналогично ранее доказанному получаем, что £ > £1 для всех ] = 2, ..., т. Имеем £2 > £1 > £1 > £0 > £0. Типы £0 и £2 принадлежат Т1 и сравнимы между собой. Противоречие.

Значит, £0 е Т2 , £0 > £0 .

Аналогично доказывается, что для типа £0 е Т2 существует тип £' еТ1, такой, что £' > £0.

Итак, £ '> £0 > £0. Так как типы в Т1 попарно несравнимы, то £' = £0. Значит, £0 = £0 и справедливо включение Т1сТ2.

Обратное включение Т2сТ1 доказывается аналогично.

Следовательно, Т1=Т2. ■

Рассмотрим теперь делимые части почти голоморфно изоморфных абелевых групп без кручения.

Теорема 8. Если две абелевы группы почти голоморфно изоморфны и одна из них без кручения, то делимые части этих групп изоморфны.

Доказательство. Пусть О - абелева группа без кручения, Н - почти голоморфно изоморфная ей абелева группа. Тогда О^Н', Н=О', где О' и Н’ - нормальные подгруппы групп Г(О) и Г(Н) соответственно. По лемме 2 группа Н также группа без кручения.

Покажем, что если одна из групп О или Н нередуцированная группа, то и другая группа также нередуцированная.

Обозначим через -О(О), -О(Н), Б(О' ) и Б(Н' ) - делимые части соответственно групп О, Н, О' и Н', а через О1, Ф , Н1 и Т - множества всех первых, вторых компонент соответственно групп Б(О' ) и Б(Н' ).

Пусть О - нередуцированная группа, значит, Н' также нередуцированная и Б(Н' ) Ф 0. Тогда существует (к, у)е^(Н' ), (к, у) Ф (0, е). Из делимости группы Б(Н' ) следует, что для любого натурального числа п существует такой элемент (ап, ^п)еО(Н' ), что п(ап, |п) = (к, у). Так как Н - группа без кручения, то по формуле (7) имеем п(ап, ^п) = (пап, ^), то есть к = пап, у = Щ .

Если к Ф 0, то группа Н - нередуцированная.

Пусть к = 0, тогда у Ф е и Щ = уФе . По лемме 1 для любого элемента аеН имеем у а - аеН' и существует такой элемент к1 еН, что у к1 - к1 Ф 0. Из формулы (4) леммы 1 получаем |пк1 = к1 + п(|пк1 - к1) или у к1 - к1 = п(|пк1 - к1). Для ненулевого элемента у к1 - к1 группы без кручения Н мы получили, что уравнение у к1 - к1 = пх разрешимо в этой группе для любого натурального числа п. Это означает, что группа Н нередуцированная.

Пусть (д, ст)еБ(О' ), (д, ст) Ф (0, е). Тогда для всякого натурального числа п существует такой элемент (Ъп, ап)еО(О' ), что п(Ъп, юп) = (д, ст), и отсюда следует, что пЪп = д и ®п = ст . Значит, деБ(О) и О1 - делимая подгруппа группы -О(О).

Аналогично доказывается, что Н1 делимая подгруппа группы -О(Н).

Покажем, что группа Б(О' ) разложима в прямую сумму своих подгрупп О1 и

Ф.

Рассмотрим автоморфизм п группы О, действующий следующим образом: П д = 2д, если деБ(О), и п д = д, если деЯ(О) (О = Б(О) © Я(О)). Имеем -(0, п) + (2д, е) + (0, п) = (И, е), но (2д, е)еБ(О' ). Значит, и (д, е)еБ(О' ). Тогда (0, ст)еБ(О' ). Получаем Б(О') = О1 ©Ф .

Аналогично Б( Н' ) = Н1 © Т.

Б(О' ) и Б(Н' ) - ненулевые нормальные абелевы подгруппы групп Г(О) и Г(Н) соответственно. Тогда О1 Ф 0 , Н1 Ф 0 (лемма 2). Так как О1 и Н1 - характеристические подгруппы групп О и Н, то О1 = -О(О) и Н1 = Б(Н).

Учитывая почти голоморфный изоморфизм групп О и Н, имеем О(О) = Б(Н') = Н1 © Т = Б(Н) © Т и, значит, г(Б(О)) > г(В(Н)). С другой стороны, Б(Н) = Б(О') = О1 ©Ф = Б(О)©Ф, и отсюда г(В(Н)) > г(Б(О)). Следовательно, г(Б(О)) = г(Б(Н)), и поэтому Б(О) = О(Н). ■

Теорема 9. Голоморф делимой абелевой группы О без кручения не содержит ненулевых нормальных абелевых подгрупп, отличных от О.

Доказательство. Пусть О' - ненулевая нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) делимой группы без кручения О. Обозначим через Б(О' ) - делимую часть группы О'.

Пусть (а, ст)е О' и (а, ст) Ф (0, е).

Если ст Ф е, то существует такой элемент де О, что стд - д Ф 0. Для всякого натурального числа п найдется такой элемент дп, что пдп = д, и, значит, п(стдп - дп) = стд - д. Так как <стдп - дпеО' и стд - деО', то стд - деБ(О' ).

Если ст = е, то для каждого п е N рассмотрим автоморфизм пп группы О, такой, к

что ппк =— для любого элемента кеО. Тогда - (0, пп) + (а, е) + (0, пп) = (ап, е), п

где ап определяется из равенства пап = а. Имеем (ап, е)еО', значит, аеБ(О' ).

Получили, что подгруппа Б(О' ) Ф 0.

В доказательстве теоремы 8 было установлено, что Б(О') = Б(О) © Ф .

Так как О - делимая группа, то -О(О) = О и, значит, Б(О') = О © Ф . Следовательно, ОсО'. Учитывая, что О - максимальная абелева нормальная подгруппа своего голоморфа, получаем О = О'. ■

Из теоремы 9 вытекает такой результат.

Теорема 10. Всякая делимая абелева группа без кручения нормально определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп.

Учитывая полученные результаты, в дальнейшем при исследовании нормальной определяемости абелевых групп без кручения будем рассматривать только редуцированные группы.

Отметим, что для абелевых р-групп утверждение, аналогичное теореме 9, уже не имеет места. Голоморф делимой р-группы О может содержать ненулевые нормальные абелевы подгруппы, отличные от О. Такими подгруппами являются, например, подгруппы вида О[рк], где к - произвольное натуральное число.

Перейдем к рассмотрению почти голоморфно изоморфных вполне разложимых абелевых групп без кручения.

Пусть О = © Ог - вполне разложимая абелева группа без кручения (г(О) = 1

/е/

для всякого /е/), О =© О£ - каноническое разложение группы О, где

£еТ

О£ = © Ог , /(£) = {/е/ | £(О/) = £}.

ге/(£)

Лемма 11. Если 5 - характеристическая подгруппа группы О и Sг\Оf Ф 0 для некоторого £'е Т, то S^Оj Ф 0 для каждого]е /(£' ).

Доказательство. Пусть SnОt' = А и а - некоторый ненулевой элемент группы А. Имеем О = (а)* © О' [13, с. 137], О = О^ © О”, (/е/(£)). Из теоремы об изоморфизме прямых разложений вполне разложимых групп [13, предложение 86.1] следует О' = О''. Пусть ю - автоморфизм группы О, отображающий (а)* на О^ и О' на О''. Получаем ю(a)еОj. Следовательно, SnОj Ф 0. ■

Сделаем одно замечание о нормальных подгруппах голоморфов абелевых групп без кручения, которое нам понадобится в дальнейшем.

Замечание. Если 5 - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О) группы без кручения О, 51 и Ф1 - множества первых, вторых компонент элементов груп-

пы 5 соответственно, то {2Sl, Ф2^ с 5 (лемма 1). Так как 51 и Ф1 - абелевы группы без кручения, то 251 = 5, Ф2 = Ф1. Итак, {2Sl, Ф2 ^ = 251 © Ф2 = 51 © Ф1,

то есть группа 51 © Ф1 изоморфно вкладывается в группу &

Теорема 12. Вполне разложимая однородная группа нормально определяется своим голоморфом в классе вполне разложимых однородных групп.

Доказательство. Пусть О = © Ог - вполне разложимая однородная группа,

/е/

Н - почти голоморфно изоморфная ей вполне разложимая однородная группа. Покажем, что О = Н. Имеем О = Н', Н = О', где О' и Н’ - нормальные абелевы подгруппы голоморфов Г(О) и Г(Н) соответственно. По следствию 6 Т(О) = Т(Н). Пусть О1, Н1, Ф1, Т1 - множества первых, вторых компонент групп О' и Н’ соответственно. По лемме 11 г(О1) = г(О) и г(Н1) = г(Н). Так как О1 © Ф1 изоморфно вкладывается в группу О' и О' = Н, то г(Н) = г (О' ) = г(О1) + г(Ф1) > г(О1) = г(О). Аналогично получаем, что г(О) = г(Н' ) = г(Н1) + г(Т1) > г(Н1) = г(Н). Значит, г(О) = г(Н), и поэтому О = Н. Следовательно, группа О нормально определяется своим голоморфом в классе вполне разложимых однородных групп. ■

Лемма 13. Пусть О = © О£, где О1 - однородная абелева группа типа £, Т -

£еТ

некоторое множество попарно несравнимых типов. Тогда для всякого ненулевого элемента деО и любого типа £еТ, £(д) > £ .

Доказательство. Предположим противное. Пусть 0 Ф д0еО, £(д0) > £0

для некоторого £оеТ. Запишем д0 в виде д0 = + д£^ +... + д£ , где д£ Ф 0 - эле-

менты из различных компонент О£ , и пусть %(д£) = е £г, / = 1, п , £,еТ. Тогда

Х(?0) = ш£х{Хъ Х2, •••, Хп} и, значит, £0 < £(^)) < £1. Итак, получили £1 > £0, где £0, £1 еТ, что невозможно. ■

Обозначим через ЭТ класс вполне разложимых абелевых групп без кручения с попарно несравнимыми типами прямых слагаемых их канонических разложений.

Теорема 14. Всякая группа из класса ЭТ нормально определяется своим голоморфом в этом классе.

Доказательство. Пусть О = © О£ - некоторая группа из класса ЭТ,

£еТ

Н = © Н£, - произвольная группа из этого класса почти голоморфно изоморф-

£ 'еТ '

ная группе О. Через О1 и Нг обозначены однородные вполне разложимые прямые слагаемые типов £ и £' групп О и Н соответственно. Т и Т' - некоторые множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Следовательно, Т = Т' согласно теореме 7.

Пусть £0еТ. Имеем О = Н', Н = О', где О' и Н’ - нормальные абелевы подгруппы голоморфов Г(О) и Г(Н) соответственно. Обозначим через Н1, Т1 - множества первых, вторых компонент элементов группы Н'. В группе Н1 найдется элемент к1 Ф 0, такой, что £Я1 (к1) > £0 (предложение 4). Если бы £Н^ (к1) > £0, то £я(к1) > £0,

чего не может быть в силу леммы 13. Значит, £Н^ (к1) = £0, то есть £0еТ(Н1).

Покажем, что если ке Н1 и £Я1 (к) = £0 , то к е Н . Действительно, пусть кеН1

и £Н (к) = £0. Тогда по лемме 13 £Нк) = £0. Если бы к г Н^ , то существовал бы

тип £1еТ, £1 Ф £0, что к = к£ + к', где 0 Ф к£ е Н£ , к' е © Н£'. Поэтому

1 1 1 £ 'еТ

£' Ф£1

£0 = £Н (к) < £Н (к£ ) = £1, чего быть не может, так как £1, £0еТ.

Итак, установлено, что группа Н1 содержит элемент к1, такой, что £Н1 (к1 ) = £0

и к1 е Н^ . Пусть к2 е Н1 п Н^ , к2 Ф 0. Имеем Н^ = (к1 )* © С , Н^ = (к2 )* © С1.

Существует автоморфизм п группы Н, отображающий (к1)* на (к2)*. Так как Н1 -характеристическая подгруппа группы Н, то £Н^ (к1) = £щ (пк1). Но 5(п к1) = тк2

для некоторых целых чисел 5 и т, и поэтому £Н1 (к2 ) = £Н1 (пк1 ) = £Н1 (к1) = £0. Значит, Н1 п Н^ - однородная группа и £(Н1 п Нг ) = £0. В силу леммы 11 г (Н1 п Н£0) = г (Н£0).

Так как О = Н’, то по лемме 13 в группе Н’ нет элементов, типы которых больше £0. Группа Н1 © Т1 изоморфно вкладывается в Н’. При этом вложении образ всякого элемента из Н1 п Нг имеет тип £0 в группе Н’. Таким образом,

г (О£ ) > г (Н1 п Н^) = г (Н^). Аналогично получаем, что г (Н£( ,) > г (О£0). В силу

произвольности типа £0 из Т имеем О = Н. ■

В теореме 14 рассматривались вполне разложимые группы из класса ЭТ. Результат этой теоремы нельзя перенести на произвольные вполне разложимые группы.

Лемма 15. Пусть О=А © В, где А - характеристическая подгруппа группы О, 5(А) ={(а,ст)еГ(О)|аеА,(УаеА)ста = а, (ЗпеИош(В,А))(УЬеВ)стЬ = Ь +пЬ}. Тогда 5(А) - нормальная абелева подгруппа голоморфа группы О и 5(А) = А © С, где С = Иош(В, А).

Доказательство. Покажем, что 5(А) - подгруппа голоморфа группы Г(О). Пусть (а, ст) и (а1, ст1)е5(А). Тогда (а,ст)-(а1,ст1)=(а-стст-1а1,стст-1) = (а-а1,стст-1).

Для всякого элемента деА имеем стст-^ = д . Пусть ЬеВ и ст Ь = Ь + п Ь, ст1 Ь = Ь + п1 Ь, где п, П1 еИош(В, А). Имеем ст-'Ь = Ь -ст-^Ь = Ь -П\Ь . Итак, стст1-1Ь = ст(Ь -п1Ь) = Ь +пЬ — П1Ь = Ь + (п — п1 )Ь . Значит, (а, ст) - (а1, ст1)еS(A) и 5(А) - подгруппа группы Г(О).

Если (а1, ст1) и (а2, ст2) - элементы группы 5(А), то ст1ст2 = ст2ст1. Имеем (а1, ст1) + (а2, ст2) = (а1+а2, ст1ст2) и (а2, ст2) + (а1, ст1) = (а2+а1, ст2ст1). Значит, 5(А) -абелева подгруппа группы Г(О).

Покажем, что 5(А) - нормальная подгруппа группы Г(О). Пусть (д, ф) - произвольный элемент из Г(О). Рассмотрим сумму - (д, ф) + (а, ст) + (д, ф) = (- ф-1д + + ф-1а + фЧстд, ф-1ст ф) = (а, ст). Элемент д как элемент прямой суммы запишем

в виде а0 + Ь0, где а0еА, Ь0еВ. Получаем ф-1стд = ф-1а0 + ф-1Ь0 + ф-1п Ь0, где ст Ь0 = Ь0 + п Ь0, пеИош(В, А). В силу характеристичности А в О ф-1п Ь0 еА, ф-1аеА. Итак, - ф-1д + ф-1а + фЧстд = -фЧа0 - ф-1Ь0 + ф-1а + ф-1а0 + ф-1Ь0 + ф-1пЬ0 = = ф-1(а + п Ь0)= а еА. Пусть фЬ = Ь’ + а’, Ь’еВ, а'еА. Тогда ст ф Ь = ст Ь’ + ст а' = = Ь’ + ХЬ’ + а’, где ст Ь’ = Ь’ + ХЬ’, X е Иош(В, А). Имеем ф-1ст ф Ь = ф-1Ь’ + + ф-1ХЬ’ + ф-1а’, но ф-1Ь’ = Ь - ф-1а’, откуда ф-1ст фЬ = Ь + ф-1ХЬ’ = Ь + ф-1Х п ф | ВЬ,

где п - проекция О на В, ф | В - ограничение автоморфизма ф на В. Очевидно, что ф-1Хл ф | ВбИош(В, А). На элементах из А автоморфизм ф-1ст ф действует тождественно, так как ст а = а для всех аеА.

Следовательно, ст обладает всеми свойствами вторых компонент элементов из Х(А). Итак, Х(А) - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г(О). Всякому элементу (а, ст)е^(А) поставим в соответствие пару (а, п), где п - гомоморфизм группы В в группу А, индуцированный автоморфизмом ст. Полученное соответствие и будет изоморфизмом Х(А) = А © Иош(В, А). ■

Теорема 16. Существует вполне разложимая абелева группа без кручения, которая нормально не определяется своим голоморфом в классе всех вполне разложимых групп без кручения.

Доказательство. Пусть п - некоторое множество простых чисел. Будем говорить, что тип # является п-делимым, если он р-делим для тех и только тех простых чиселр, которые принадлежат п.

Для любых двух типов £1 и #2, где £1 > #2, определим их разность £1 - #2 как тип, содержащий характеристику Х1 - Х2 (Х1 6 #1, Х2 е #2, Х1 > Х2).

Разность характеристик определяется покомпонентно, где, конечно, да минус нечто равняется да.

П

Пусть О = © О# , где О# - однородная вполне разложимая группа конечного

,=1 1 1

ранга типа #,, все - п-делимые типы (п - некоторое множество простых чисел), #1 > #2 > ... > #П, Г(О# ) = 1 и для некоторого &б{2, ..., п} #1 - 4 Ф и для всякого

, е{2, ..., п}.

П

Рассмотрим группу Н = © Нт , где Нт - однородная вполне разложимая

1=1 ‘ ‘

группа типа т,, где т, = #1 - # для всех , = 2, ..., п, т1 = #1 и г (О# ) = г (Нт ), , = 1, 2, ..., п. О( - характеристическая подгруппа группы О. Используем эту подгруппу для построения нормальной абелевой подгруппы X(О#) голоморфа Г(О)

П

так, как это указано в лемме 15. Имеем X(О^) = О^ © © Иош( О#, О^). Известно,

что если С1 и С2 - группы без кручения ранга 1, то Иош(С1, С2) Ф 0 тогда и только тогда, когда #(С1) < # (С2), и в этом случае Иош(С1, С2) есть группа без кручения ранга 1, причем #(Иош(С1, С2)) = #(С2) - 1(С1) [13, с. 133].

Следовательно, X(О# ) = О# © © Нт = © Нт = Н .

1 1 1=2 ‘ 1 =1 ‘

Аналогично, в голоморфе Г(Н) рассмотрим нормальную абелеву подгруппу

X(Нт.). Имеем X(НТ1) = Н^ ©Иош(© Нт,, Н^) = Н^ © © Оц = © О#. = О . Итак,

группы О и Н почти голоморфно изоморфны, но О ^ Н, так как т* Ф ^ для всякого , е {2, ..., п}.

Следовательно, группа О нормально не определяется своим голоморфом в классе вполне разложимых групп. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Mills W.H. On the non-isomorphism of certain holomorphs. // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 74. No. 3. P. 428-443.

2. Miller G.A. On the multiple holomorph of a group // Math. Ann. 1908. V. 66. P. 133-142.

3. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп // Сиб. матем. журнал. 1964. Т. 5. No. 6. C. 1228- 1238.

4. Беккер И.Х. О голоморфах нередуцированных абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 1968. № 8. C. 3-8.

5. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Математика.

1974. Ш. 3. С. 3-13.

6. Беккер И.Х. Абелевы группы с изоморфными голоморфами // Изв. вузов. Математика.

1975. 3. С. 97-99.

7. Беккер И.Х. Абелевы голоморфные группы. // Междунар. конф. «Всесибирские чтения по матем. и мех». Избранные доклады. Т. 1. Математика. 1997. С. 43-47.

8. Беккер И.Х., Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные примарные абелевы группы // Группы и модули: межвуз. тематич. сб. науч. трудов. 1976. C. 90-103.

9. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы // Труды ТГУ. 1975. Т. 220. Вопросы математики. Вып. 3. С. 78-84.

10. Mills W.H. Multiple holomorphs of finitely generated abelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 71. № 3. P. 379-392.

11. Гриншпон И.Э. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм // Фундамент. и приклад. матем. 2007. Т. 13. № 3. С. 9-16.

12. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974. 335 с.

13. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977. 416 с.

14. Крылов П.А. Аффинные группы модулей и их автоморфизмы // Алгебра и логика. 2001.

Т. 40. № 1. С. 60-82.

15. Беккер И.Х., Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения, близкие к алгебраически компактным // Абелевы группы и модули. 1994. С. 3-52.

Статья поступила 13.03.2013 г.

Grinshpon S.Ya., Grinshpon I.E. TORSION FREE ABELIAN GROUPS NORMALLY DETERMINED BY THEIR HOLOMORPHS. In this paper, we study homogeneously decomposable into direct sums torsion free abelian groups that are normally determined by their holomorphs. Properties of normal abelian subgroups of holomorphs of torsion free abelian groups are also studied.

Keywords: holomorph, almost holomorphically isomorphic groups, completely decomposable group, homogeneous group, type of a group.

GRINSHPON Samuil Yakovlevich (Tomsk State University)

E-mail: grinshpon@math.tsu.ru

GRINSHPON Irina Eduardovna (Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics)

E-mail: irina-grinshpon@yandex.ru