Подходы к оценке надёжности технической системы с помощью определения энтропии её структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.390:004.94

ПОДХОДЫ К ОЦЕНКЕ НАДЁЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНТРОПИИ ЕЁ СТРУКТУРЫ

Н. Н. Кондрат

Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова

Рассматриваются оценки надёжности технической системы путём вычисления энтропии в структуре системы, основанные на способах построения путей в ориентированном графе. Показателями структуры являются вероятности состояний элементов системы, которые разделены по качественному признаку на два противоположных состояния. Показаны недостатки вероятностного подхода вычисления надёжности. Предложена качественная оценка топологии системы с помощью определения энтропии её структуры. Показан алгоритм вычисления энтропии мостиковой структуры с использованием матрицы путей.

Ключевые слова: количество информации, метод минимальных путей, метод полного перебора, ориентированный граф, структура технической системы, энтропия.

Предметом данного исследования является оценка надёжности технической системы (ТС), вычисляемая путём определения энтропии в её структуре и основанная на способах построения путей в ориентированном графе. Цель исследования состоит в анализе подходов к оценке надёжности ТС.

Технические объекты относятся к сложным системам, и потому, рассматривая их поведение, например, с позиций надёжности эксплуатации, трудно определить их будущее состояние ввиду протекания сложных процессов как внутри, так и вне таких объектов. Необходимо абсолютно точно знать настоящее состояние ТС, а это вряд ли возможно, поскольку оно зависит от первоначальных условий функционирования ТС.

Надёжность технической системы определяется как способность сохранять свойства, необходимые для выполнения того назначения, ради которого оно изготовлено. Причём надежность технической системы зависит не только от надёжности элементов, входящих в её состав, но и от способа их соединения, то есть от структуры системы.

При вычислении показателей надёжности технической системы чаще всего прибегают к так называемым структурным методам, то есть методам, учитывающим структуру системы. Структура системы может быть представлена крупными блоками. В этом случае можно каждый из блоков разукрупнить до составляющих его элементов. Характеристики надёжности элементов системы, как правило, известны, либо они могут быть вычислены другими методами. Для того чтобы рассчитать надёжность системы, необходимо:

- представить ТС в виде структурной схемы, на которой показаны не только элементы и связи между ними,

но и состояния элементов в отдельности и всей системы в целом;

- создать математическую модель, описывающую структурную схему ТС, причём эта модель должна быть

адекватной и должна позволять рассчитывать надёжность всей системы на основе знания об этой надёжности и учитывать условия эксплуатации системы.

В качестве структурных схем надёжности могут применяться ориентированные графы.

Структура технической системы характеризуется количеством элементов, её образующих, и способом их соединения. Поскольку большинство реальных технических систем предназначены для доставки ресурсов потребителю (воды, нефти, газа, электроэнергии и т. п.), то структуру таких систем можно изобразить в виде ориентированного графа [1; 2].

Простейшая техническая система может состоять из двух элементов, которые соединены либо параллельно, либо последовательно (рис. 1). Гораздо чаще подобные виды соединения элементов чередуются и образуют различные подграфы с параллельным и последовательным соединением элементов (рис. 2).

Рис. 1. Последовательное и параллельное соединение элементов

Рис. 2. Структура системы с последовательным и параллельным соединением элементов

О состоянии технической системы либо её элементов можно судить с позиции количества информации и/или энтропии. Под информацией подразумеваем совокупность сведений (или сигналов) о последовательно возникающих (появляющихся) событиях или состояниях рассматриваемого объекта, обусловленных протеканием физического процесса или явления [3; 4]. Существующие в настоящее время алгоритмы и методы оценки состояния технической системы в зависимости от состояний её элементов основываются на вероятностном подходе.

В 1965 году А. Н. Колмогоров опубликовал статью об алгоритмическом подходе к определению количества информации. В его работе рассматриваются два известных подхода определения понятия «количество информации»: комбинаторный и вероятностный. Автором вводится также новый, алгоритмический, подход, в основе которого лежит использование теории рекурсивных функций [5]. При рассмотрении каждого из подходов А. Н. Колмогоров приводит формулы для вычисления количества информации и энтропии на примере задачи кодирования сообщений в некотором алфавите.

Как уже было сказано выше, наиболее простым способом соединения элементов является последовательно-параллельная структура. Неработоспособное состояние системы возникает, если

- одновременно отказали элементы, соединённые параллельно;

- отказал хотя бы один из элементов, соединённый последовательно.

Надёжность структуры ТС вычисляется в этом случае достаточно просто [6].

Самым простым случаем в расчётном смысле является последовательное соединение элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. Для безотказной работы простой системы в течение какого-то времени нужно, чтобы безотказно работал каждый из её элементов.

Надёжность (вероятность работоспособного состояния) простой системы, составленной из независимых по отказам, последовательно соединённых элементов, равна произведению надёжностей её элементов:

р=Пр (1)

¡=1

При увеличении числа элементов ТС надёжность резко снижается.

Вероятность безотказной работы ТС, состоящей из п элементов, соединённых параллельно, можно вычислить по теореме сложения вероятностей:

р = (Р1 + Р2 + к Рп Ь(Р1Р 2 + Р1 Рз + к Ь(Р1Р 2 Рз + Р1Р2 Р 4 + ••• )-к ± (2)

±(Р1Р2 к Рп )

Надёжность работы ТС определяется по теореме умножения вероятностей:

р=1-П(1-р) (3)

¡=1

Нужно сказать, что не всякую структуру можно изобразить в параллельно-последовательном виде. В случае сложной топологии системы с наличием мостиковых соединений такой подход становится неприемлемым. Для вычисления надёжности приходится применять логические функции, графы древовидной структуры и далее составлять системы уравнений работоспособности ТС. Кроме того, имеется недостаток и у вероятностного подхода в вычислениях надёжности: количественная оценка не всегда информативна. Качественную оценку топологии некоторой сложной системы можно получить с помощью определения энтропии структуры системы.

Аксиоматично утверждение о том, что элементы системы связаны между собой определённым образом. И от того, какие требования предъявляются к системным элементам, как они связаны между собой, в каких состояниях они находятся в тот или иной момент времени, зависит не только топология структуры, но и количество информации. Например, рассматривая структурную надёжность системы, разделяют состояния элементов на работоспособное и неработоспособное, что предопределяет необходимость рассчитывать количество информации (информационной энтропии) по качественному признаку.

Поскольку количество информации и энтропия связаны простым соотношением I = —Н и поскольку именно энтропия выступает как мера неопределённости, можем определить энтропию следующим образом:

Н = -¿1 Ри (4)

¡=1 ] =1

Однако эта формула не учитывает способ соединения элементов, которые, как было уже сказано, могут быть как в работоспособном, так и неработоспособном состояниях. В случае последовательного соединения следующих из четырёх возможных состояний системы: оба элемента работают; первый элемент работает, второй не работает; первый элемент не работает, второй работает; оба элемента не работают) - работоспособным состоянием будет только одно из состояний, а именно состояние, когда оба элемента работают. В случае параллельного соединения таких работоспособных состояний уже три, неработоспособным будет только одно состояние - оба элемента не работают.

Реальные технические системы имеют сложную структуру со множеством элементов, элементы которых могут соединяться различными способами. Поэтому необходимо учитывать возможность существования подграфов с параллельным и последовательным соединением элементов, для которых возможно применение экви-валентирования.

Наибольший интерес представляет раздельное вычисление энтропии работоспособного и неработоспособного состояний системы. Общее количество состояний системы определяется величиной 2п, где п - количество

элементов системы. Все эти состояния можно описать в виде двоичных чисел длины n, где работоспособному состоянию элемента соответствует символ «1», а неработоспособному - символ «0». Список всех возможных состояний системы, состоящей из трёх элементов, будет выглядеть так:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Первое состояние - 000 - означает, что все элементы системы находятся в неработоспособном состоянии, последнее - 111 - все элементы ТС работают. С ростом числа элементов системы возрастает и количество возможных её состояний. Для мостиковой схемы количество таких состояний будет равняться 2s = 32.

Каждое из двоичных чисел можно записать в массив размером 2n X n, где строки соответствуют двоичному числу, а столбцы - цифрам этого числа.

Пути, состоящие из элементов системы и полученные одним из методов, описанных выше, можно записать в виде их матрицы. В этой матрице количество строк равно количеству найденных путей, а количество столбцов - количеству элементов системы. В каждой строке матрицы элемент, лежащий на соответствующем пути, обозначен цифрой «1», то есть он находится в работоспособном состоянии. Все остальные элементы обозначены символом «*». Символ «*» выбран в качестве «маски», он означает, что элемент может находиться как в работоспособном состоянии, то есть равняться 1, так и в неработоспособном состоянии, то есть равняться 0. В качестве «маски» можно выбрать и любой другой символ [7-9].

Матрица путей для мостиковой схемы представлена в таблице.

Матрица путей для мостиковой схемы

№ путей Элементы

1 2 3 4 5

путь 1 1 1 * * *

путь 2 * * 1 1 *

путь 3 1 * * 1 1

путь 4 * 1 1 * 1

Каждую из строк двоичных чисел сравниваем со строками матрицы путей. Количество столбцов в обеих матрицах совпадает. Если в двоичной записи числа расположение единичных элементов соответствует хотя бы в одной из строк матрицы путей, то такое состояние системы является работоспособным. Энтропию каждого состояния будем вычислять по следующей формуле:

H = П Pl П qk log2(n Pl П qk ^ (5)

l k l k

где l - номера работающих элементов, а k - номера неработоспособных элементов.

Если состояние системы определено как работоспособное, найденное значение энтропии будем накапливать как суммарную энтропию всех работоспособных состояний системы. В противном случае будем добавлять полученное значение к суммарной энтропии неработоспособных состояний.

Всё сказанное выше позволяет сделать вывод, что данный алгоритм раздельного вычисления энтропии применим как для полного списка путей, так и для минимальных путей.

Библиографический список

1. Дистель, Р. Теория графов / Р. Дистель; пер. с англ. - Новосибирск: Издательство института математики, 2002. - 336 с.

2. Кормен, Т. Х. Алгоритмы для работы с графами. Часть VI. / Т. Х. Кормен [и др.] // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. - 2-е изд. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2006. - 1296 с.

3. Касьянов. В. Н. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение / В. Н. Касьянов, В. А. Евстигнеев.- СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 1104 с.

4. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных путей / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Современные наукоёмкие технологии. - 2016. - № 2. - С. 425-429.

5. Колмогоров, А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» / А. Н. Колмогоров // Проблемы передачи информации. - 1965. - Т. 1. - Вып. 1. - С. 2-10.

6. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных сечений / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 3. - С. 472-476.

7. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом перебора состояний / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 7. - Ч. 4. - С. 745-748.

8. Дулесов, А. С. Эквивалентирование количества информационной энтропии в структуре технической системы / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 6. - Ч. 1. - С. 14—19.

9. Дулесов, А. С. Определение для простейшей структуры технической системы количества информационной энтропии посредством её нормировки / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 2. - Ч. 20. - С. 4008-4012.

© Кондрат Н. Н., 2019